Страница 19 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

160. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки $A (-1; 4)$ и $B (3; -8)$.

160. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки $A (-1; 4)$ и $B (3; -8)$.

Для составления уравнения прямой, проходящей через две точки $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$, используется каноническое уравнение прямой:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

В нашем случае даны точки $A(-1; 4)$ и $B(3; -8)$. Подставим их координаты в формулу, приняв $x_1 = -1$, $y_1 = 4$, $x_2 = 3$ и $y_2 = -8$:

$\frac{x - (-1)}{3 - (-1)} = \frac{y - 4}{-8 - 4}$

Упростим выражение, выполнив вычисления в знаменателях:

$\frac{x + 1}{4} = \frac{y - 4}{-12}$

Теперь преобразуем это уравнение к общему виду уравнения прямой $y = kx + b$. Для этого выразим $y$. Можно использовать свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$-12(x + 1) = 4(y - 4)$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы упростить его:

$-3(x + 1) = y - 4$

Раскроем скобки в левой части:

$-3x - 3 = y - 4$

Оставим $y$ в правой части, а все остальные члены перенесем в левую:

$y = -3x - 3 + 4$

$y = -3x + 1$

Полученное уравнение является искомым уравнением прямой. Его также можно представить в общем виде $3x + y - 1 = 0$.

Ответ: $y = -3x + 1$

161. Запишите уравнение прямой, изображённой на рисунке 7.

Рис. 7

a

$y = 5$

б

$x = -2$

в

$y = -\frac{5}{2}x$

161. Запишите уравнение прямой, изображённой на рисунке 7.

Рис. 7

a

$y = 5$

б

$x = -2$

B

$y = -2.5x$

а
На рисунке изображена прямая, которая параллельна оси абсцисс (оси Ox) и проходит через точку с координатами (4; 5). Уравнение прямой, параллельной оси Ox, имеет вид $y = c$, где $c$ — это ордината любой точки, принадлежащей этой прямой. Поскольку прямая проходит через точку (4; 5), её ордината равна 5. Таким образом, уравнение данной прямой — $y = 5$.
Ответ: $y = 5$

б
На рисунке изображена прямая, которая параллельна оси ординат (оси Oy) и проходит через точку с координатами (-2; -1). Уравнение прямой, параллельной оси Oy, имеет вид $x = c$, где $c$ — это абсцисса любой точки, принадлежащей этой прямой. Поскольку прямая проходит через точку (-2; -1), её абсцисса равна -2. Таким образом, уравнение данной прямой — $x = -2$.
Ответ: $x = -2$

в
На рисунке изображена прямая, которая проходит через две точки: начало координат (0; 0) и точку с координатами (-2; 5). Общее уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью Oy.
Поскольку прямая проходит через начало координат (0; 0), то её смещение по оси y равно нулю, то есть $b = 0$. Уравнение принимает вид $y = kx$.
Для нахождения углового коэффициента $k$ подставим координаты точки (-2; 5) в уравнение:
$5 = k \cdot (-2)$
Отсюда находим $k$:
$k = \frac{5}{-2} = -2.5$
Таким образом, уравнение данной прямой — $y = -2.5x$.
Ответ: $y = -2.5x$

162. Найдите координаты точки пересечения прямых $9x + 5y = 1$ и $2x + 3y = 8$.

162. Найдите координаты точки пересечения прямых $9x + 5y = 1$ и $2x + 3y = 8$.

Координаты точки пересечения прямых являются решением системы уравнений, задающих эти прямые. Составим и решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 9x + 5y = 1 \\ 2x + 3y = 8 \end{cases} $

Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -5, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными по знаку.

$ \begin{cases} (9x + 5y) \cdot 3 = 1 \cdot 3 \\ (2x + 3y) \cdot (-5) = 8 \cdot (-5) \end{cases} \implies \begin{cases} 27x + 15y = 3 \\ -10x - 15y = -40 \end{cases} $

Теперь сложим левые и правые части уравнений:

$(27x + 15y) + (-10x - 15y) = 3 + (-40)$

$17x = -37$

$x = -\frac{37}{17}$

Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение исходной системы ($2x + 3y = 8$) и найдем $y$:

$2 \cdot (-\frac{37}{17}) + 3y = 8$

$-\frac{74}{17} + 3y = 8$

$3y = 8 + \frac{74}{17}$

$3y = \frac{136}{17} + \frac{74}{17}$

$3y = \frac{210}{17}$

$y = \frac{210}{17 \cdot 3} = \frac{70}{17}$

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(-\frac{37}{17}; \frac{70}{17})$.

Ответ: $(-\frac{37}{17}; \frac{70}{17})$

163. Точки A (-4; 1), B (3; 4) и C (-1; -6) — вершины треугольника ABC. Составьте уравнение прямой, содержащей медиану AM треугольника ABC.

163. Точки $A(-4; 1)$, $B(3; 4)$ и $C(-1; -6)$ — вершины треугольника $ABC$. Составьте уравнение прямой, содержащей медиану $AM$ треугольника $ABC$.

Медиана $AM$ треугольника $ABC$ соединяет вершину $A$ с серединой стороны $BC$. Обозначим середину стороны $BC$ как точку $M$.

Для начала найдём координаты точки $M$. Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляются по формулам:

$x_M = \frac{x_B + x_C}{2}$

$y_M = \frac{y_B + y_C}{2}$

Подставим в эти формулы координаты точек $B(3; 4)$ и $C(-1; -6)$:

$x_M = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_M = \frac{4 + (-6)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Следовательно, точка $M$ имеет координаты $(1; -1)$.

Теперь нам нужно составить уравнение прямой, которая проходит через две известные точки: $A(-4; 1)$ и $M(1; -1)$. Для этого воспользуемся каноническим уравнением прямой, проходящей через две точки $(x_A; y_A)$ и $(x_M; y_M)$:

$\frac{x - x_A}{x_M - x_A} = \frac{y - y_A}{y_M - y_A}$

Подставим координаты точек $A$ и $M$ в это уравнение:

$\frac{x - (-4)}{1 - (-4)} = \frac{y - 1}{-1 - 1}$

$\frac{x + 4}{5} = \frac{y - 1}{-2}$

Преобразуем полученное уравнение в общий вид $Ax + By + C = 0$, используя основное свойство пропорции:

$-2(x + 4) = 5(y - 1)$

Раскроем скобки:

$-2x - 8 = 5y - 5$

Перенесём все слагаемые в одну сторону:

$2x + 5y + 8 - 5 = 0$

$2x + 5y + 3 = 0$

Это и есть искомое уравнение прямой, содержащей медиану $AM$.

Ответ: $2x + 5y + 3 = 0$.

164. При каком значении $a$ точки $K (5; -4)$, $P (-1; a)$ и $F (3; -9)$ лежат на одной прямой?

164. При каком значении $a$ точки $K (5; -4)$, $P (-1; a)$ и $F (3; -9)$ лежат на одной прямой?

Три точки лежат на одной прямой в том случае, если угловой коэффициент прямой, проходящей через любые две пары этих точек, одинаков.

Угловой коэффициент $k$ прямой, проходящей через две точки с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, вычисляется по формуле:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Нам даны точки $K(5; -4)$, $P(-1; a)$ и $F(3; -9)$.

1. Сначала найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через точки K и F, так как их координаты полностью известны:
$k_{KF} = \frac{y_F - y_K}{x_F - x_K} = \frac{-9 - (-4)}{3 - 5} = \frac{-9 + 4}{-2} = \frac{-5}{-2} = 2.5$

2. Теперь выразим через параметр $a$ угловой коэффициент прямой, проходящей через точки K и P:
$k_{KP} = \frac{y_P - y_K}{x_P - x_K} = \frac{a - (-4)}{-1 - 5} = \frac{a + 4}{-6}$

3. Для того чтобы все три точки лежали на одной прямой, вычисленные угловые коэффициенты должны быть равны. Составим и решим уравнение:
$k_{KP} = k_{KF}$
$\frac{a + 4}{-6} = 2.5$
$a + 4 = 2.5 \cdot (-6)$
$a + 4 = -15$
$a = -15 - 4$
$a = -19$

Таким образом, при $a = -19$ точки K, P и F будут лежать на одной прямой.

Ответ: -19

165. Докажите, что окружность $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 17$ и прямая $x - y = 8$ пересекаются, и найдите координаты точек их пересечения.

165. Докажите, что окружность $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 17$ и прямая $x - y = 8$ пересекаются, и найдите координаты точек их пересечения.

Чтобы доказать, что окружность и прямая пересекаются, и найти координаты точек пересечения, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнения окружности и уравнения прямой. Если система имеет одно или два действительных решения, то окружность и прямая пересекаются.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases}(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 17 \\x - y = 8\end{cases}$

Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = y + 8$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$((y + 8) - 2)^2 + (y + 3)^2 = 17$

Упростим полученное уравнение:

$(y + 6)^2 + (y + 3)^2 = 17$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(y^2 + 12y + 36) + (y^2 + 6y + 9) = 17$

Приведем подобные слагаемые:

$2y^2 + 18y + 45 = 17$

$2y^2 + 18y + 45 - 17 = 0$

$2y^2 + 18y + 28 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2, чтобы упростить его:

$y^2 + 9y + 14 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25$

Так как дискриминант $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это доказывает, что прямая и окружность пересекаются в двух точках.

Найдем корни уравнения (координаты $y$ точек пересечения):

$y_1 = \frac{-9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 5}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

$y_2 = \frac{-9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$, используя уравнение $x = y + 8$:

При $y_1 = -7$:

$x_1 = -7 + 8 = 1$

Первая точка пересечения имеет координаты $(1, -7)$.

При $y_2 = -2$:

$x_2 = -2 + 8 = 6$

Вторая точка пересечения имеет координаты $(6, -2)$.

Ответ: окружность и прямая пересекаются, что доказано наличием двух действительных решений у системы уравнений. Координаты точек пересечения: $(1, -7)$ и $(6, -2)$.

166. Найдите расстояние от начала координат до прямой

$2x - y = 4$.

166. Найдите расстояние от начала координат до прямой $2x - y = 4.$

Для нахождения расстояния $d$ от точки с координатами $(x_0, y_0)$ до прямой, заданной общим уравнением $Ax + By + C = 0$, используется следующая формула:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
В данной задаче требуется найти расстояние от начала координат, то есть от точки $O(0, 0)$. Таким образом, $x_0 = 0$ и $y_0 = 0$.
Уравнение прямой дано в виде $2x - y = 4$. Чтобы привести его к общему виду $Ax + By + C = 0$, необходимо перенести все члены уравнения в левую часть:
$2x - 1y - 4 = 0$
Из этого уравнения определяем коэффициенты: $A = 2$, $B = -1$, $C = -4$.
Теперь подставим все известные значения в формулу расстояния:
$d = \frac{|2 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 - 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}$
Произведем вычисления в числителе и знаменателе:
$d = \frac{|0 + 0 - 4|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|-4|}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{5}$:
$d = \frac{4 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$
Таким образом, расстояние от начала координат до прямой $2x - y = 4$ равно $\frac{4\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $\frac{4\sqrt{5}}{5}$.

167. Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки $A (2; -3)$ и $B (-6; -1)$.

167. Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки $A (2; -3)$ и $B (-6; -1)$.

Геометрическое место центров окружностей, проходящих через две заданные точки A и B, есть серединный перпендикуляр к отрезку AB. Это означает, что любая точка M(x, y), являющаяся центром такой окружности, равноудалена от точек A и B. Расстояние от центра до любой из этих точек является радиусом окружности.

Таким образом, для любой точки M(x, y), принадлежащей искомому геометрическому месту, должно выполняться равенство $MA = MB$. Для удобства вычислений будем использовать равенство квадратов этих расстояний: $MA^2 = MB^2$.

Координаты заданных точек: A(2; -3) и B(-6; -1).

Квадрат расстояния от точки M(x, y) до точки A(2; -3) вычисляется по формуле:

$MA^2 = (x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = (x - 2)^2 + (y + 3)^2$

Квадрат расстояния от точки M(x, y) до точки B(-6; -1) вычисляется по формуле:

$MB^2 = (x - (-6))^2 + (y - (-1))^2 = (x + 6)^2 + (y + 1)^2$

Приравняем эти два выражения:

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = (x + 6)^2 + (y + 1)^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = (x^2 + 12x + 36) + (y^2 + 2y + 1)$

Сократим $x^2$ и $y^2$ в обеих частях уравнения:

$-4x + 4 + 6y + 9 = 12x + 36 + 2y + 1$

Упростим обе части:

$-4x + 6y + 13 = 12x + 2y + 37$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить уравнение прямой в общем виде $Ax + By + C = 0$:

$12x + 4x + 2y - 6y + 37 - 13 = 0$

$16x - 4y + 24 = 0$

Разделим все уравнение на 4 для упрощения:

$4x - y + 6 = 0$

Это и есть искомое уравнение геометрического места центров.

Ответ: $4x - y + 6 = 0$

168. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку C (3; -1), угловой коэффициент которой равен:

1) -2;

2) 0.

168. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку $C (3; -1)$, угловой коэффициент которой равен:

1) $-2$;

2) $0$.

Уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0; y_0)$ с известным угловым коэффициентом $k$, можно найти по формуле:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

По условию задачи, прямая проходит через точку $C (3; -1)$, следовательно, $x_0 = 3$ и $y_0 = -1$.

1)

Угловой коэффициент $k = -2$. Подставим значения $x_0$, $y_0$ и $k$ в формулу:

$y - (-1) = -2(x - 3)$

Раскроем скобки и упростим выражение, чтобы получить уравнение прямой в стандартном виде $y = kx + b$:

$y + 1 = -2x + 6$

$y = -2x + 6 - 1$

$y = -2x + 5$

Ответ: $y = -2x + 5$

2)

Угловой коэффициент $k = 0$. Подставим значения $x_0$, $y_0$ и $k$ в формулу:

$y - (-1) = 0 \cdot (x - 3)$

Упростим выражение:

$y + 1 = 0$

$y = -1$

Это уравнение прямой, параллельной оси абсцисс (оси Ox), проходящей через точку с ординатой -1.

Ответ: $y = -1$