Страница 16 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

126. Высота правильного треугольника равна $3\sqrt{3}$ см. На стороне этого треугольника как на диаметре построен полукруг, лежащий в той же полуплоскости, что и треугольник. Определите площадь части треугольника, находящейся вне полукруга.

126. Высота правильного треугольника равна $3\sqrt{3}$ см. На стороне этого треугольника как на диаметре построен полукруг, лежащий в той же полуплоскости, что и треугольник. Определите площадь части треугольника, находящейся вне полукруга.

Для того чтобы найти площадь части треугольника, находящейся вне полукруга, необходимо из общей площади треугольника вычесть площадь их общей части (площадь пересечения).

Найдем сторону и площадь правильного треугольника.Высота $h$ правильного треугольника связана с его стороной $a$ формулой $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.По условию $h = 3\sqrt{3}$ см, тогда:$3\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$a = 6$ см.Площадь правильного треугольника $S_{\triangle}$ со стороной $a$ равна:$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Найдем площадь общей части треугольника и полукруга.Полукруг построен на одной из сторон треугольника как на диаметре. Диаметр полукруга равен стороне $a=6$ см, значит, его радиус $r = \frac{a}{2} = 3$ см. Центр полукруга, обозначим его $O$, является серединой этой стороны.Пусть треугольник — это $ABC$, а полукруг построен на стороне $AC$. Полукруг пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Общая часть треугольника и полукруга — это фигура, площадь которой можно найти как сумму площадей двух треугольников, $\triangle OAM$ и $\triangle OCN$, и сектора $MON$.Рассмотрим $\triangle OAM$. В нем стороны $OA$ и $OM$ являются радиусами, поэтому $OA = OM = r = 3$ см. Угол $\angle OAM$ — это угол правильного треугольника, он равен $60^\circ$. Равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ является равносторонним. Значит, $\triangle OAM$ — равносторонний, и центральный угол $\angle AOM = 60^\circ$.Аналогично, $\triangle OCN$ также равносторонний, и $\angle CON = 60^\circ$.Центральный угол сектора $MON$ можно найти, зная, что $\angle AOC$ — развернутый ($180^\circ$):$\angle MON = 180^\circ - \angle AOM - \angle CON = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.Теперь вычислим площадь общей части, $S_{\text{внутри}}$:$S_{\text{внутри}} = S_{\triangle OAM} + S_{\triangle OCN} + S_{\text{сектора } MON}$Площадь равностороннего $\triangle OAM$ со стороной $r=3$ см:$S_{\triangle OAM} = \frac{r^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$ см².Площадь сектора $MON$ с радиусом $r=3$ см и углом $60^\circ$:$S_{\text{сектора } MON} = \frac{\pi r^2}{360^\circ} \cdot 60^\circ = \frac{\pi \cdot 3^2}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$ см².Суммируем площади:$S_{\text{внутри}} = S_{\triangle OAM} + S_{\triangle OCN} + S_{\text{сектора } MON} = \frac{9\sqrt{3}}{4} + \frac{9\sqrt{3}}{4} + \frac{3\pi}{2} = \frac{18\sqrt{3}}{4} + \frac{3\pi}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2} + \frac{3\pi}{2}$ см².

Найдем искомую площадь.Площадь части треугольника вне полукруга, $S_{\text{вне}}$, — это разность общей площади треугольника и площади их пересечения:$S_{\text{вне}} = S_{\triangle} - S_{\text{внутри}} = 9\sqrt{3} - \left(\frac{9\sqrt{3}}{2} + \frac{3\pi}{2}\right)$$S_{\text{вне}} = 9\sqrt{3} - \frac{9\sqrt{3}}{2} - \frac{3\pi}{2} = \frac{18\sqrt{3} - 9\sqrt{3}}{2} - \frac{3\pi}{2} = \frac{9\sqrt{3} - 3\pi}{2}$ см².

Ответ: $\frac{3(3\sqrt{3} - \pi)}{2}$ см².

127. Найдите площадь кругового сегмента, если радиус круга равен 10 см, а градусная мера дуги сегмента равна:

1) $135^\circ$;

2) $210^\circ$.

127. Найдите площадь кругового сегмента, если радиус круга равен 10 см, а градусная мера дуги сегмента равна:

1) $135^{\circ}$;

2) $210^{\circ}$.

Площадь кругового сегмента ($S_{сегм}$) можно найти как разность площади кругового сектора ($S_{сект}$) и площади треугольника ($S_{\triangle}$), образованного радиусами, ограничивающими сектор, и хордой, стягивающей дугу сегмента.

Общая формула для вычисления площади кругового сегмента:

$S_{сегм} = S_{сект} - S_{\triangle} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} - \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha)$

где $R$ — радиус круга, а $\alpha$ — градусная мера дуги сегмента.

По условию задачи, радиус круга $R = 10$ см.

1) Градусная мера дуги сегмента равна $135^{\circ}$.

Подставим известные значения в формулу. Радиус $R = 10$ см, угол $\alpha = 135^{\circ}$.

Сначала найдем площадь кругового сектора:

$S_{сект} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} = \frac{\pi \cdot 10^2 \cdot 135}{360} = \frac{100\pi \cdot 135}{360} = \frac{100\pi \cdot 3}{8} = \frac{75\pi}{2}$ см².

Теперь найдем площадь треугольника. Для этого нам понадобится значение $\sin(135^{\circ})$:

$\sin(135^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 45^{\circ}) = \sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 10^2 \cdot \sin(135^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 25\sqrt{2}$ см².

Вычислим площадь сегмента:

$S_{сегм} = S_{сект} - S_{\triangle} = \frac{75\pi}{2} - 25\sqrt{2}$ см².

Ответ: $\left( \frac{75\pi}{2} - 25\sqrt{2} \right)$ см².

2) Градусная мера дуги сегмента равна $210^{\circ}$.

Подставим известные значения в общую формулу. Радиус $R = 10$ см, угол $\alpha = 210^{\circ}$. Так как угол дуги больше $180^{\circ}$, мы ищем площадь большего сегмента. Формула остается прежней, но значение синуса будет отрицательным, что приведет к сложению площадей сектора и треугольника.

Найдем площадь кругового сектора:

$S_{сект} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} = \frac{\pi \cdot 10^2 \cdot 210}{360} = \frac{100\pi \cdot 210}{360} = \frac{100\pi \cdot 7}{12} = \frac{175\pi}{3}$ см².

Теперь найдем площадь треугольника. Для этого нам понадобится значение $\sin(210^{\circ})$:

$\sin(210^{\circ}) = \sin(180^{\circ} + 30^{\circ}) = -\sin(30^{\circ}) = -\frac{1}{2}$.

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 10^2 \cdot \sin(210^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -25$ см².

Вычислим площадь сегмента:

$S_{сегм} = S_{сект} - S_{\triangle} = \frac{175\pi}{3} - (-25) = \frac{175\pi}{3} + 25$ см².

Ответ: $\left( \frac{175\pi}{3} + 25 \right)$ см².

128. Найдите площадь кругового сегмента, если его основание равно 4 см, а градусная мера дуги сегмента равна: 1) $45^\circ$; 2) $300^\circ$.

128. Найдите площадь кругового сегмента, если его основа- ние равно 4 см, а градусная мера дуги сегмента равна:

1) $45^\circ$;

2) $300^\circ$.

Площадь кругового сегмента ($S_{сегмента}$) вычисляется как площадь кругового сектора ($S_{сектора}$) минус площадь треугольника ($S_{\triangle}$), образованного радиусами и основанием сегмента (хордой). Общая формула, которая работает как для меньшего, так и для большего сегмента, выглядит так:

$S_{сегмента} = \frac{1}{2}R^2 (\alpha_{рад} - \sin\alpha)$, где $R$ — радиус круга, $\alpha$ — центральный угол, соответствующий дуге сегмента, а $\alpha_{рад}$ — тот же угол в радианах.

Радиус круга $R$ можно найти, зная длину хорды $c$ и соответствующий ей центральный угол $\beta$. Хорда и два радиуса образуют равнобедренный треугольник, и по теореме синусов или из рассмотрения прямоугольных треугольников, образованных высотой, получаем: $c = 2R \sin(\frac{\beta}{2})$. Отсюда $R = \frac{c}{2 \sin(\frac{\beta}{2})}$.

По условию, длина основания (хорды) $c = 4$ см.

Градусная мера дуги сегмента $\alpha = 45^\circ$. Так как этот угол меньше $180^\circ$, то это меньший сегмент. Центральный угол $\beta$, опирающийся на хорду, равен градусной мере дуги, то есть $\beta = 45^\circ$.

Сначала найдем радиус круга $R$:

$R = \frac{c}{2 \sin(\frac{\beta}{2})} = \frac{4}{2 \sin(\frac{45^\circ}{2})} = \frac{2}{\sin(22.5^\circ)}$.

Для нахождения $\sin(22.5^\circ)$ используем формулу половинного угла $\sin(\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$:

$\sin(22.5^\circ) = \sqrt{\frac{1-\cos(45^\circ)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$.

Теперь можем найти квадрат радиуса $R^2$:

$R^2 = \left(\frac{2}{\sin(22.5^\circ)}\right)^2 = \left(\frac{2}{\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}\right)^2 = \left(\frac{4}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}\right)^2 = \frac{16}{2-\sqrt{2}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$R^2 = \frac{16(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{16(2+\sqrt{2})}{4-2} = 8(2+\sqrt{2})$ см$^2$.

Теперь вычислим площадь сегмента. Угол в радианах $\alpha_{рад} = 45^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{4}$.

$S_{сегмента} = \frac{1}{2}R^2 (\alpha_{рад} - \sin\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 8(2+\sqrt{2}) \left( \frac{\pi}{4} - \sin(45^\circ) \right)$.

$S_{сегмента} = 4(2+\sqrt{2}) \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 4(2+\sqrt{2}) \frac{\pi - 2\sqrt{2}}{4} = (2+\sqrt{2})(\pi - 2\sqrt{2})$ см$^2$.

Ответ: $(2+\sqrt{2})(\pi - 2\sqrt{2})$ см$^2$.

Градусная мера дуги сегмента $\alpha = 300^\circ$. Так как этот угол больше $180^\circ$, то это больший сегмент. Хорда $c=4$ см стягивает меньшую дугу, поэтому центральный угол $\beta$, соответствующий треугольнику, равен $360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$.

Найдем радиус круга $R$:

$R = \frac{c}{2 \sin(\frac{\beta}{2})} = \frac{4}{2 \sin(\frac{60^\circ}{2})} = \frac{4}{2 \sin(30^\circ)}$.

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, то:

$R = \frac{4}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 4$ см.

Теперь вычислим площадь сегмента. Угол дуги сегмента $\alpha = 300^\circ$. В радианах это $\alpha_{рад} = 300^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{5\pi}{3}$.

Используем общую формулу:

$S_{сегмента} = \frac{1}{2}R^2 (\alpha_{рад} - \sin\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 4^2 \left( \frac{5\pi}{3} - \sin(300^\circ) \right)$.

Найдем значение синуса: $\sin(300^\circ) = \sin(360^\circ - 60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем значения в формулу:

$S_{сегмента} = \frac{1}{2} \cdot 16 \left( \frac{5\pi}{3} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \right) = 8 \left( \frac{5\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{40\pi}{3} + 4\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $(\frac{40\pi}{3} + 4\sqrt{3})$ см$^2$.

129. Радиус круга равен 4 см. В нём проведена хорда, равная стороне правильного треугольника, вписанного в этот круг. Найдите площадь большего из сегментов, основанием которых является эта хорда.

129. Радиус круга равен 4 см. В нём проведена хорда, равная стороне правильного треугольника, вписанного в этот круг. Найдите площадь большего из сегментов, основанием которых является эта хорда.

Для решения задачи сначала найдем ключевые параметры, связанные с хордой: ее длину и центральный угол, который она стягивает.

По условию, длина хорды равна стороне правильного (равностороннего) треугольника, вписанного в круг. Сторона правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$, вычисляется по формуле $a_n = 2R \sin(\frac{180^\circ}{n})$.

В нашем случае радиус $R = 4$ см, а для треугольника $n = 3$. Длина хорды $a$ будет равна:

$a = a_3 = 2 \cdot 4 \cdot \sin(\frac{180^\circ}{3}) = 8 \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Центральный угол $\alpha$, который стягивает сторона правильного вписанного n-угольника, равен $\alpha = \frac{360^\circ}{n}$. Для треугольника:

$\alpha = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$.

Хорда делит круг на два сегмента. Площадь сегмента равна площади соответствующего сектора плюс или минус площадь треугольника, образованного хордой и двумя радиусами, проведенными к ее концам. Большему сегменту соответствует больший сектор.

Площадь большего сегмента равна сумме площади большего сектора и площади треугольника, образованного радиусами и хордой.

1. Найдем площадь треугольника ($S_{\triangle}$), образованного двумя радиусами ($R=4$ см) и хордой. Угол между радиусами равен $\alpha = 120^\circ$.

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Найдем площадь большего сектора ($S_{сектор}$). Центральный угол, соответствующий этому сектору, равен $\beta = 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$.

$S_{больший\_сектор} = \frac{\beta}{360^\circ} \cdot \pi R^2 = \frac{240^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot 4^2 = \frac{2}{3} \cdot 16\pi = \frac{32\pi}{3}$ см$^2$.

3. Теперь найдем площадь большего сегмента ($S_{сегмент}$) как сумму площади большего сектора и площади треугольника:

$S_{больший\_сегмент} = S_{больший\_сектор} + S_{\triangle} = \frac{32\pi}{3} + 4\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $(\frac{32\pi}{3} + 4\sqrt{3})$ см$^2$.

130. Радиус круга равен 2 см. По разные стороны от центра круга проведены параллельные хорды, равные соответственно сторонам правильного четырёхугольника и правильного шестиугольника, вписанных в этот круг. Найдите площадь части круга, находящейся между хордами.

130. Радиус круга равен 2 см. По разные стороны от центра круга проведены параллельные хорды, равные соответственно сторонам правильного четырёхугольника и правильного шестиугольника, вписанных в этот круг. Найдите площадь части круга, находящейся между хордами.

Для решения задачи найдем площадь части круга, расположенной между двумя параллельными хордами. Эта площадь равна площади всего круга за вычетом площадей двух сегментов, отсекаемых этими хордами с внешней стороны.

Дан радиус круга $R = 2$ см.

1. Нахождение параметров хорд

Первая хорда ($a_4$) равна стороне правильного четырехугольника (квадрата), вписанного в круг. Длина стороны такого квадрата вычисляется по формуле $a_n = 2R \sin(\frac{180^\circ}{n})$ для $n=4$:$a_4 = 2R \sin(\frac{180^\circ}{4}) = 2R \sin(45^\circ) = 2 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.Центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен $\alpha_4 = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан.

Вторая хорда ($a_6$) равна стороне правильного шестиугольника, вписанного в круг. Длина стороны такого шестиугольника равна радиусу круга:$a_6 = R = 2$ см.Центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен $\alpha_6 = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$ или $\frac{\pi}{3}$ радиан.

2. Вычисление площадей сегментов

Площадь сегмента круга вычисляется как разность площади соответствующего сектора и площади треугольника, образованного хордой и двумя радиусами.

Площадь сегмента, отсекаемого хордой $a_4$:$S_{сег4} = S_{сектор4} - S_{\triangle4}$$S_{сектор4} = \frac{1}{2}R^2 \alpha_4 = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi$ см$^2$.$S_{\triangle4} = \frac{1}{2}R^2 \sin(\alpha_4) = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \sin(90^\circ) = 2 \cdot 1 = 2$ см$^2$.$S_{сег4} = \pi - 2$ см$^2$.

Площадь сегмента, отсекаемого хордой $a_6$:$S_{сег6} = S_{сектор6} - S_{\triangle6}$$S_{сектор6} = \frac{1}{2}R^2 \alpha_6 = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ см$^2$.$S_{\triangle6} = \frac{1}{2}R^2 \sin(\alpha_6) = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \sin(60^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см$^2$.$S_{сег6} = \frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}$ см$^2$.

3. Нахождение искомой площади

Площадь всего круга равна:$S_{круга} = \pi R^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ см$^2$.

Искомая площадь части круга между хордами ($S$) равна площади круга минус площади двух внешних сегментов:$S = S_{круга} - S_{сег4} - S_{сег6}$$S = 4\pi - (\pi - 2) - (\frac{2\pi}{3} - \sqrt{3})$$S = 4\pi - \pi + 2 - \frac{2\pi}{3} + \sqrt{3}$$S = 3\pi - \frac{2\pi}{3} + 2 + \sqrt{3}$$S = \frac{9\pi - 2\pi}{3} + 2 + \sqrt{3}$$S = \frac{7\pi}{3} + 2 + \sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $(\frac{7\pi}{3} + 2 + \sqrt{3})$ см$^2$.

131. Найдите расстояние между точками A и B, если:

1) A $(2; 4)$, B $(5; 8)$;

2) A $(-3; 1)$, B $(4; 1)$.

131. Найдите расстояние между точками $A$ и $B$, если:

1) $A (2; 4)$, $B (5; 8)$;

2) $A (-3; 1)$, $B (4; 1)$.

Для нахождения расстояния $d$ между двумя точками с координатами $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$ на плоскости используется формула:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Подставляем координаты данных точек в формулу. Здесь $x_1 = 2$, $y_1 = 4$, $x_2 = 5$, $y_2 = 8$.

$d = \sqrt{(5 - 2)^2 + (8 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: 5

Подставляем координаты данных точек в формулу. Здесь $x_1 = -3$, $y_1 = 1$, $x_2 = 4$, $y_2 = 1$.

$d = \sqrt{(4 - (-3))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{(4 + 3)^2 + 0^2} = \sqrt{7^2 + 0} = \sqrt{49} = 7$.

Обратите внимание, что у этих точек одинаковая ордината (координата y). Это значит, что они лежат на одной горизонтальной прямой, и расстояние между ними равно модулю разности их абсцисс (координат x):

$d = |4 - (-3)| = |4 + 3| = |7| = 7$.

Ответ: 7

132. Докажите, что точки $A(-2; -3)$, $B(2; 1)$ и $C(7; 6)$ лежат на одной прямой. Какая из точек лежит между двумя другими?

132. Докажите, что точки $A(-2; -3)$, $B(2; 1)$ и $C(7; 6)$ лежат на одной прямой. Какая из точек лежит между двумя другими?

Для того чтобы доказать, что три точки лежат на одной прямой, можно воспользоваться свойством отрезков: если три точки лежат на одной прямой, то длина самого большого отрезка, образованного этими точками, равна сумме длин двух других отрезков.

Найдем расстояния между парами точек A(-2; -3), B(2; 1) и C(7; 6) по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

1. Найдем длину отрезка AB:

$AB = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{(2+2)^2 + (1+3)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

2. Найдем длину отрезка BC:

$BC = \sqrt{(7 - 2)^2 + (6 - 1)^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.

3. Найдем длину отрезка AC:

$AC = \sqrt{(7 - (-2))^2 + (6 - (-3))^2} = \sqrt{(7+2)^2 + (6+3)^2} = \sqrt{9^2 + 9^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162} = \sqrt{81 \cdot 2} = 9\sqrt{2}$.

4. Проверим, выполняется ли равенство:

Сравним сумму длин меньших отрезков с длиной большего. Самый длинный отрезок — AC.

$AB + BC = 4\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$.

Так как $AB + BC = 9\sqrt{2}$ и $AC = 9\sqrt{2}$, то выполняется равенство $AB + BC = AC$.

Это доказывает, что точки A, B и C лежат на одной прямой.

Какая из точек лежит между двумя другими?

Из равенства $AB + BC = AC$ следует, что точка B лежит на отрезке AC, то есть между точками A и C.

Ответ: Точки A, B и C лежат на одной прямой, так как выполняется условие $AB + BC = AC$. Между точками A и C лежит точка B.

133. Вершинами треугольника являются точки $A (-2; 1)$, $B (-1; 5)$ и $C (-6; 2)$. Докажите, что треугольник $ABC$ — равнобедренный.

133. Вершинами треугольника являются точки A (-2; 1), B (-1; 5) и C (-6; 2). Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

Чтобы доказать, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, нужно показать, что две его стороны имеют одинаковую длину. Найдем длины всех сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Координаты вершин треугольника: $A(-2; 1)$, $B(-1; 5)$ и $C(-6; 2)$.

1. Найдем длину стороны $AB$:

$AB = \sqrt{(-1 - (-2))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(-1 + 2)^2 + 4^2} = \sqrt{1^2 + 16} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$.

2. Найдем длину стороны $BC$:

$BC = \sqrt{(-6 - (-1))^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{(-6 + 1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{(-5)^2 + 9} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$.

3. Найдем длину стороны $AC$:

$AC = \sqrt{(-6 - (-2))^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{(-6 + 2)^2 + 1^2} = \sqrt{(-4)^2 + 1} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$.

Сравнив длины сторон, мы видим, что $AB = AC = \sqrt{17}$.

Так как две стороны треугольника $ABC$ равны, то по определению он является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Длины сторон треугольника равны $AB = \sqrt{17}$, $AC = \sqrt{17}$ и $BC = \sqrt{34}$. Поскольку $AB = AC$, треугольник $ABC$ является равнобедренным.

134. Найдите координаты середины отрезка MN, если:

1) $M (4; 3)$, $N (6; 1)$;

2) $M (-4; -5)$, $N (-1; 4)$.

134. Найдите координаты середины отрезка MN, если:

1) $M (4; 3), N (6; 1);$

2) $M (-4; -5), N (-1; 4).$

Для нахождения координат $(x_C; y_C)$ середины отрезка с концами в точках $M(x_M; y_M)$ и $N(x_N; y_N)$ используются формулы, которые представляют собой среднее арифметическое соответствующих координат концов отрезка:

$x_C = \frac{x_M + x_N}{2}$

$y_C = \frac{y_M + y_N}{2}$

Даны точки $M(4; 3)$ и $N(6; 1)$.

Найдем координаты $x$ и $y$ середины отрезка MN:

$x_C = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$y_C = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, координаты середины отрезка MN равны (5; 2).

Ответ: (5; 2).

Даны точки $M(-4; -5)$ и $N(-1; 4)$.

Найдем координаты $x$ и $y$ середины отрезка MN:

$x_C = \frac{-4 + (-1)}{2} = \frac{-5}{2} = -2,5$

$y_C = \frac{-5 + 4}{2} = \frac{-1}{2} = -0,5$

Таким образом, координаты середины отрезка MN равны (-2,5; -0,5).

Ответ: (-2,5; -0,5).

135. Точка $C$ — середина отрезка $AB$. Найдите координаты точки $B$, если $A(-3; 8)$, $C(-5; 4)$.

135. Точка $C$ — середина отрезка $AB$. Найдите координаты точки $B$, если $A(-3; 8)$, $C(-5; 4)$.

По условию задачи, точка $C$ является серединой отрезка $AB$. Координаты середины отрезка для точек $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ находятся по формулам:
$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$
$y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$

Нам известны координаты точки $A(-3; 8)$ и точки $C(-5; 4)$. Необходимо найти координаты точки $B(x_B; y_B)$. Для этого выразим $x_B$ и $y_B$ из формул середины отрезка:
$x_B = 2x_C - x_A$
$y_B = 2y_C - y_A$

Найдем абсциссу (координату x) точки B:
Подставим известные значения $x_C = -5$ и $x_A = -3$ в формулу:
$x_B = 2 \cdot (-5) - (-3)$
$x_B = -10 + 3$
$x_B = -7$

Найдем ординату (координату y) точки B:
Подставим известные значения $y_C = 4$ и $y_A = 8$ в формулу:
$y_B = 2 \cdot 4 - 8$
$y_B = 8 - 8$
$y_B = 0$

Таким образом, координаты точки $B$ равны $(-7; 0)$.
Ответ: $B(-7; 0)$.