Страница 18 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

149. Определите по уравнению окружности координаты её центра и радиус:

1) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9;$

2) $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 16;$

3) $x^2 + (y + 5)^2 = 25;$

4) $(x - 2)^2 + y^2 = 14.$

149. Определите по уравнению окружности координаты её центра и радиус:

1) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9;$

2) $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 16;$

3) $x^2 + (y + 5)^2 = 25;$

4) $(x - 2)^2 + y^2 = 14.$

Общее уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

Для определения координат центра и радиуса необходимо сравнить каждое из данных уравнений с этим общим видом.

1) Дано уравнение: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9$.

Сравнивая это уравнение с общим видом $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, мы можем определить:
- координату центра по оси x: $a = 1$
- координату центра по оси y: $b = 2$
- квадрат радиуса: $R^2 = 9$

Следовательно, координаты центра окружности — $(1; 2)$.

Радиус окружности равен $R = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: центр $(1; 2)$, радиус $3$.

2) Дано уравнение: $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 16$.

Чтобы привести уравнение к стандартному виду, представим член $(x + 3)^2$ как $(x - (-3))^2$. Уравнение примет вид: $(x - (-3))^2 + (y - 4)^2 = 16$.

Сравнивая с общим видом $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, мы можем определить:
- координату центра по оси x: $a = -3$
- координату центра по оси y: $b = 4$
- квадрат радиуса: $R^2 = 16$

Следовательно, координаты центра окружности — $(-3; 4)$.

Радиус окружности равен $R = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: центр $(-3; 4)$, радиус $4$.

3) Дано уравнение: $x^2 + (y + 5)^2 = 25$.

Чтобы привести уравнение к стандартному виду, представим член $x^2$ как $(x - 0)^2$ и член $(y + 5)^2$ как $(y - (-5))^2$. Уравнение примет вид: $(x - 0)^2 + (y - (-5))^2 = 25$.

Сравнивая с общим видом $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, мы можем определить:
- координату центра по оси x: $a = 0$
- координату центра по оси y: $b = -5$
- квадрат радиуса: $R^2 = 25$

Следовательно, координаты центра окружности — $(0; -5)$.

Радиус окружности равен $R = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: центр $(0; -5)$, радиус $5$.

4) Дано уравнение: $(x - 2)^2 + y^2 = 14$.

Чтобы привести уравнение к стандартному виду, представим член $y^2$ как $(y - 0)^2$. Уравнение примет вид: $(x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 14$.

Сравнивая с общим видом $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, мы можем определить:
- координату центра по оси x: $a = 2$
- координату центра по оси y: $b = 0$
- квадрат радиуса: $R^2 = 14$

Следовательно, координаты центра окружности — $(2; 0)$.

Радиус окружности равен $R = \sqrt{14}$.

Ответ: центр $(2; 0)$, радиус $\sqrt{14}$.

150. Составьте уравнение окружности, если известны координаты её центра K и радиус R:

1) $K (2; 5)$, $R = 2$;

2) $K (-4; 0)$, $R = 1$;

3) $K (0; 5)$, $R = \sqrt{3}$.

150. Составьте уравнение окружности, если известны координаты её центра K и радиус R:

1) K $(2; 5)$, R $= 2$;

2) K $(-4; 0)$, R $= 1$;

3) K $(0; 5)$, R $= \sqrt{3}$.

Общее уравнение окружности с центром в точке K(a; b) и радиусом R имеет вид:
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$
Подставим данные для каждого случая в эту формулу.

1) Даны координаты центра K(2; 5) и радиус R = 2.
В этом случае a = 2, b = 5, R = 2.
Подставляем значения в формулу:
$(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 2^2$
$(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 4$
Ответ: $(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 4$.

2) Даны координаты центра K(-4; 0) и радиус R = 1.
В этом случае a = -4, b = 0, R = 1.
Подставляем значения в формулу:
$(x - (-4))^2 + (y - 0)^2 = 1^2$
$(x + 4)^2 + y^2 = 1$
Ответ: $(x + 4)^2 + y^2 = 1$.

3) Даны координаты центра K(0; 5) и радиус $R = \sqrt{3}$.
В этом случае a = 0, b = 5, $R = \sqrt{3}$.
Подставляем значения в формулу:
$(x - 0)^2 + (y - 5)^2 = (\sqrt{3})^2$
$x^2 + (y - 5)^2 = 3$
Ответ: $x^2 + (y - 5)^2 = 3$.

151. Составьте уравнение окружности с центром в точке $P(3, -1)$, проходящей через точку $M(-2; -4)$.

151. Составьте уравнение окружности с центром в точке P $(3, -1)$, проходящей через точку M $(-2; -4)$.

Каноническое уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

По условию задачи, центр окружности находится в точке $P(3, -1)$. Следовательно, координаты центра $x_0 = 3$ и $y_0 = -1$.

Подставим координаты центра в общее уравнение окружности:

$(x - 3)^2 + (y - (-1))^2 = R^2$

$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = R^2$

Чтобы найти радиус $R$, воспользуемся тем, что окружность проходит через точку $M(-2, -4)$. Радиус окружности равен расстоянию от ее центра $P$ до точки $M$ на окружности.

Найдем квадрат радиуса $R^2$ как квадрат расстояния между точками $P(3, -1)$ и $M(-2, -4)$:

$R^2 = (x_M - x_P)^2 + (y_M - y_P)^2$

$R^2 = (-2 - 3)^2 + (-4 - (-1))^2$

$R^2 = (-5)^2 + (-4 + 1)^2$

$R^2 = (-5)^2 + (-3)^2$

$R^2 = 25 + 9 = 34$

Теперь подставим найденное значение $R^2 = 34$ в уравнение окружности:

$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 34$

Ответ: $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 34$

152. Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если A (3; -6), B (-1; 4).

152. Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок $AB$, если $A (3; -6)$, $B (-1; 4)$.

Уравнение окружности в общем виде записывается как $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0)$ — координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

1. Нахождение координат центра окружности

Центр окружности $C(x_0; y_0)$ является серединой ее диаметра $AB$. Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое координат его концов. Для точек $A(3; -6)$ и $B(-1; 4)$ имеем:

$x_0 = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_0 = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, центр окружности — точка $C(1; -1)$.

2. Нахождение радиуса окружности

Радиус окружности $R$ равен половине длины диаметра $AB$. Для уравнения окружности нам нужен квадрат радиуса, $R^2$. Найдем сначала квадрат длины диаметра $AB$ по формуле расстояния между двумя точками $(d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2)$:

$AB^2 = (-1 - 3)^2 + (4 - (-6))^2 = (-4)^2 + (10)^2 = 16 + 100 = 116$

Квадрат радиуса равен четверти квадрата диаметра:

$R^2 = \frac{AB^2}{4} = \frac{116}{4} = 29$

Также можно было найти $R^2$ как квадрат расстояния от центра $C(1; -1)$ до одной из точек на окружности, например, до точки $A(3; -6)$:

$R^2 = (3 - 1)^2 + (-6 - (-1))^2 = 2^2 + (-5)^2 = 4 + 25 = 29$

3. Составление уравнения окружности

Теперь подставим найденные координаты центра $x_0 = 1$, $y_0 = -1$ и квадрат радиуса $R^2 = 29$ в общую формулу уравнения окружности:

$(x - 1)^2 + (y - (-1))^2 = 29$

$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 29$

Ответ: $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 29$

153. Составьте уравнение окружности, радиусом которой является отрезок $MN$, если $M(-3; 1)$, $N(1; 6)$.

153. Составьте уравнение окружности, радиусом которой является отрезок $MN$, если $M (-3; 1)$, $N (1; 6)$.

Уравнение окружности с центром в точке с координатами $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

По условию, радиусом окружности является отрезок $MN$. Это означает, что один из концов отрезка является центром окружности, а другой — точкой на окружности. Следовательно, задача имеет два возможных решения.

Сначала найдем квадрат радиуса $R^2$. Он равен квадрату длины отрезка $MN$. Используем формулу расстояния между точками $M(-3; 1)$ и $N(1; 6)$:

$R^2 = |MN|^2 = (x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2$

$R^2 = (1 - (-3))^2 + (6 - 1)^2 = (1 + 3)^2 + 5^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$

Теперь рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Центр окружности в точке M(-3; 1)

В этом случае координаты центра $(a; b)$ равны $(-3; 1)$. Подставляем эти значения и $R^2 = 41$ в общее уравнение окружности:

$(x - (-3))^2 + (y - 1)^2 = 41$

$(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 41$

Случай 2: Центр окружности в точке N(1; 6)

В этом случае координаты центра $(a; b)$ равны $(1; 6)$. Подставляем эти значения и $R^2 = 41$ в общее уравнение окружности:

$(x - 1)^2 + (y - 6)^2 = 41$

Таким образом, условию задачи удовлетворяют уравнения двух окружностей.

Ответ: $(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 41$ или $(x - 1)^2 + (y - 6)^2 = 41$.

154. Составьте уравнение окружности с центром в точке $A(-5; 8)$, которая касается оси ординат.

154. Составьте уравнение окружности с центром в точке $A (-5; 8)$, которая касается оси ординат.

Общее уравнение окружности с центром в точке с координатами $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

Из условия задачи известно, что центр окружности находится в точке $A(-5; 8)$. Таким образом, мы имеем:

$x_0 = -5$

$y_0 = 8$

Также по условию окружность касается оси ординат (оси $Oy$). Уравнение оси ординат — $x=0$. Радиус окружности, касающейся вертикальной прямой, равен расстоянию от центра окружности до этой прямой. Это расстояние равно модулю абсциссы центра окружности.

Следовательно, радиус $R$ равен:

$R = |x_0| = |-5| = 5$

Теперь подставим известные значения координат центра $(x_0 = -5, y_0 = 8)$ и радиуса $(R = 5)$ в общее уравнение окружности:

$(x - (-5))^2 + (y - 8)^2 = 5^2$

Упрощая, получаем итоговое уравнение:

$(x + 5)^2 + (y - 8)^2 = 25$

Ответ: $(x + 5)^2 + (y - 8)^2 = 25$

155. Составьте уравнение окружности, проходящей через точку $D(-8; -2)$, центр которой принадлежит оси ординат, а радиус равен 10.

155. Составьте уравнение окружности, проходящей через точку $D (-8; -2)$, центр которой принадлежит оси ординат, а радиус равен 10.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

По условию задачи, центр окружности принадлежит оси ординат, следовательно, его абсцисса $x_0 = 0$. Таким образом, центр окружности имеет координаты $C(0; y_0)$.

Радиус окружности, согласно условию, равен $R = 10$.

Подставим известные значения в общее уравнение окружности:

$(x - 0)^2 + (y - y_0)^2 = 10^2$

$x^2 + (y - y_0)^2 = 100$

Также известно, что окружность проходит через точку $D(-8; -2)$. Это означает, что координаты точки $D$ должны удовлетворять уравнению окружности. Подставим $x = -8$ и $y = -2$ в полученное уравнение, чтобы найти значение $y_0$:

$(-8)^2 + (-2 - y_0)^2 = 100$

$64 + (-2 - y_0)^2 = 100$

Вычтем 64 из обеих частей уравнения:

$(-2 - y_0)^2 = 100 - 64$

$(-2 - y_0)^2 = 36$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Это дает два возможных случая:

1) $-2 - y_0 = 6$

$-y_0 = 6 + 2$

$-y_0 = 8$

$y_0 = -8$

2) $-2 - y_0 = -6$

$-y_0 = -6 + 2$

$-y_0 = -4$

$y_0 = 4$

Таким образом, мы нашли два возможных центра для окружности: $C_1(0; -8)$ и $C_2(0; 4)$. Следовательно, существуют две окружности, удовлетворяющие условиям задачи.

1. Для центра $C_1(0; -8)$ уравнение окружности будет:

$x^2 + (y - (-8))^2 = 100$

$x^2 + (y + 8)^2 = 100$

2. Для центра $C_2(0; 4)$ уравнение окружности будет:

$x^2 + (y - 4)^2 = 100$

Ответ: $x^2 + (y + 8)^2 = 100$ и $x^2 + (y - 4)^2 = 100$.

156. Докажите, что данное уравнение является уравнением окружности, и укажите координаты центра и радиус этой окружности:

1) $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 7 = 0;$

2) $x^2 + y^2 - 8y = 0.$

156. Докажите, что данное уравнение является уравнением окружности, и укажите координаты центра и радиус этой окружности:

1) $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 7 = 0;$

2) $x^2 + y^2 - 8y = 0.$

1) Чтобы доказать, что уравнение $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 7 = 0$ является уравнением окружности, необходимо привести его к каноническому виду $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ - это координаты центра окружности, а $R$ - ее радиус.

Сначала сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$:

$(x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) - 7 = 0$

Затем дополним каждое выражение в скобках до полного квадрата, используя формулу квадрата разности $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$.

Для выражения с $x$, $(x^2 - 2x)$, необходимо добавить и вычесть $(2/2)^2 = 1^2 = 1$:

$(x^2 - 2x + 1) - 1 = (x-1)^2 - 1$

Для выражения с $y$, $(y^2 - 4y)$, необходимо добавить и вычесть $(4/2)^2 = 2^2 = 4$:

$(y^2 - 4y + 4) - 4 = (y-2)^2 - 4$

Подставим полученные полные квадраты обратно в уравнение:

$((x-1)^2 - 1) + ((y-2)^2 - 4) - 7 = 0$

Теперь упростим уравнение и перенесем константы в правую часть:

$(x-1)^2 + (y-2)^2 - 1 - 4 - 7 = 0$

$(x-1)^2 + (y-2)^2 - 12 = 0$

$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 12$

Данное уравнение имеет канонический вид уравнения окружности, так как правая часть $12 > 0$. Это доказывает, что исходное уравнение является уравнением окружности. Из полученного уравнения находим координаты центра $(a, b) = (1, 2)$ и радиус $R = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

Ответ: Уравнение является уравнением окружности с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом $2\sqrt{3}$.

2) Проведем аналогичные преобразования для уравнения $x^2 + y^2 - 8y = 0$. Приведем его к каноническому виду $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$.

Сгруппируем слагаемые:

$x^2 + (y^2 - 8y) = 0$

Выражение $x^2$ можно записать как $(x-0)^2$.

Дополним выражение с $y$ до полного квадрата. Для $(y^2 - 8y)$ нужно добавить и вычесть $(8/2)^2 = 4^2 = 16$:

$(y^2 - 8y + 16) - 16 = (y-4)^2 - 16$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(x-0)^2 + ((y-4)^2 - 16) = 0$

Перенесем константу в правую часть:

$x^2 + (y-4)^2 - 16 = 0$

$x^2 + (y-4)^2 = 16$

Уравнение приведено к каноническому виду. Так как правая часть $16 > 0$, это уравнение окружности. Координаты центра $(a, b) = (0, 4)$, а радиус $R = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: Уравнение является уравнением окружности с центром в точке $(0, 4)$ и радиусом $4$.

157. Найдите координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением $x^2 - 4x + y^2 + 6y + 9 = 0$. Определите положение точек A $(1; -5)$, B $(4; -3)$ и C $(3; -2)$ относительно этой окружности.

157. Найдите координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением $x^2 - 4x + y^2 + 6y + 9 = 0$. Определите положение точек A (1; -5), B (4; -3) и C (3; -2) относительно этой окружности.

1. Нахождение координат центра и радиуса окружности

Для нахождения центра и радиуса окружности необходимо привести ее уравнение $x^2 - 4x + y^2 + 6y + 9 = 0$ к каноническому виду $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус. Для этого используем метод выделения полного квадрата.

Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$:
$(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) + 9 = 0$

Дополним каждую группу до полного квадрата. Для выражения $x^2 - 4x$ нужно добавить и вычесть $(\frac{-4}{2})^2 = 4$. Для выражения $y^2 + 6y$ нужно добавить и вычесть $(\frac{6}{2})^2 = 9$.

$(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 + 6y + 9) - 9 + 9 = 0$

Теперь свернем полные квадраты:
$(x-2)^2 - 4 + (y+3)^2 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 4$

Сравнивая полученное уравнение с каноническим видом $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, находим:
Координаты центра окружности: $(a; b) = (2; -3)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 4$, следовательно, радиус $R = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: Центр окружности находится в точке $(2; -3)$, радиус равен 2.

2. Определение положения точек A, B и C

Чтобы определить положение точки относительно окружности, нужно подставить ее координаты в левую часть канонического уравнения $(x-2)^2 + (y+3)^2$ и сравнить полученное значение с квадратом радиуса $R^2=4$.
- Если результат меньше $R^2$, точка лежит внутри окружности.
- Если результат равен $R^2$, точка лежит на окружности.
- Если результат больше $R^2$, точка лежит вне окружности.

Положение точки A (1; –5)
Подставляем координаты точки А в выражение $(x-2)^2 + (y+3)^2$:
$(1-2)^2 + (-5+3)^2 = (-1)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$
Так как $5 > 4$ (то есть результат больше $R^2$), точка А лежит вне окружности.

Ответ: Точка А лежит вне окружности.

Положение точки B (4; –3)
Подставляем координаты точки B в выражение $(x-2)^2 + (y+3)^2$:
$(4-2)^2 + (-3+3)^2 = 2^2 + 0^2 = 4 + 0 = 4$
Так как $4 = 4$ (то есть результат равен $R^2$), точка B лежит на окружности.

Ответ: Точка B лежит на окружности.

Положение точки C (3; –2)
Подставляем координаты точки C в выражение $(x-2)^2 + (y+3)^2$:
$(3-2)^2 + (-2+3)^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$
Так как $2 < 4$ (то есть результат меньше $R^2$), точка C лежит внутри окружности.

Ответ: Точка C лежит внутри окружности.

158. Найдите координаты точек пересечения прямой $3x + 7y = 21$ с осями координат. Принадлежит ли этой прямой точка:

1) K $(-7; 6)$;

2) P $(2; 3)$?

158. Найдите координаты точек пересечения прямой $3x + 7y = 21$ с осями координат. Принадлежит ли этой прямой точка:

1) K (-7; 6);

2) P (2; 3)?

Дано уравнение прямой: $3x + 7y = 21$.

Найдем координаты точек пересечения прямой с осями координат.

Точка пересечения с осью абсцисс (осью Ox) имеет координату $y=0$. Подставим это значение в уравнение прямой, чтобы найти соответствующую координату $x$:

$3x + 7 \cdot 0 = 21$

$3x = 21$

$x = \frac{21}{3} = 7$

Таким образом, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(7; 0)$.

Точка пересечения с осью ординат (осью Oy) имеет координату $x=0$. Подставим это значение в уравнение прямой, чтобы найти соответствующую координату $y$:

$3 \cdot 0 + 7y = 21$

$7y = 21$

$y = \frac{21}{7} = 3$

Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0; 3)$.

Ответ: Координаты точек пересечения с осями координат: с осью Ox — $(7; 0)$, с осью Oy — $(0; 3)$.

Проверим, принадлежат ли точки K и P данной прямой.

Для этого нужно подставить координаты каждой точки в уравнение прямой $3x + 7y = 21$. Если в результате получится верное равенство, то точка принадлежит прямой.

1) K (-7; 6)

Подставляем $x = -7$ и $y = 6$ в уравнение:

$3 \cdot (-7) + 7 \cdot 6 = -21 + 42 = 21$

Мы получили верное равенство $21 = 21$, следовательно, точка K принадлежит данной прямой.

Ответ: да, принадлежит.

2) P (2; 3)

Подставляем $x = 2$ и $y = 3$ в уравнение:

$3 \cdot 2 + 7 \cdot 3 = 6 + 21 = 27$

Мы получили неверное равенство $27 \neq 21$, следовательно, точка P не принадлежит данной прямой.

Ответ: нет, не принадлежит.

159. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку $M (5; -7)$ и параллельна:

1) оси абсцисс;

2) оси ординат.

159. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку $M (5; -7)$ и параллельна:

1) оси абсцисс;

2) оси ординат.

1) оси абсцисс

Ось абсцисс (ось $Ox$) — это горизонтальная прямая, все точки которой имеют ординату (координату $y$), равную нулю. Уравнение оси абсцисс — $y=0$. Прямая, параллельная оси абсцисс, также является горизонтальной, и ее общее уравнение имеет вид $y = c$, где $c$ — некоторая константа. Это означает, что все точки на такой прямой имеют одну и ту же ординату. По условию, прямая проходит через точку $M(5; -7)$. Следовательно, ордината каждой точки на этой прямой должна быть равна ординате точки $M$, то есть $-7$. Таким образом, искомое уравнение прямой: $y = -7$.
Ответ: $y = -7$

2) оси ординат

Ось ординат (ось $Oy$) — это вертикальная прямая, все точки которой имеют абсциссу (координату $x$), равную нулю. Уравнение оси ординат — $x=0$. Прямая, параллельная оси ординат, также является вертикальной, и ее общее уравнение имеет вид $x = c$, где $c$ — некоторая константа. Это означает, что все точки на такой прямой имеют одну и ту же абсциссу. По условию, прямая проходит через точку $M(5; -7)$. Следовательно, абсцисса каждой точки на этой прямой должна быть равна абсциссе точки $M$, то есть $5$. Таким образом, искомое уравнение прямой: $x = 5$.
Ответ: $x = 5$