Страница 23 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

189. С помощью правила параллелограмма постройте сумму векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, изображённых на рисунке 13.

189. С помощью правила параллелограмма постройте сумму векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, изображённых на рисунке 13.

Поскольку в задаче отсутствует рисунок 13, на котором изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, приведем общий алгоритм построения их суммы с помощью правила параллелограмма.

Правило параллелограмма гласит, что для нахождения суммы двух неколлинеарных векторов их нужно отложить от одной точки, достроить на них параллелограмм, и тогда вектор, совпадающий с диагональю этого параллелограмма, исходящей из их общего начала, будет являться их суммой.

Построение выполняется в несколько шагов:

1. Выберите на плоскости произвольную точку O (начало отсчета).

2. От точки O отложите вектор $\vec{OA}$, равный вектору $\vec{a}$ (т. е. $\vec{OA}$ имеет ту же длину и направление, что и $\vec{a}$).

3. От той же точки O отложите вектор $\vec{OB}$, равный вектору $\vec{b}$.

4. На векторах $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ как на сторонах постройте параллелограмм OACB. Для этого из точки A проведите луч, параллельный вектору $\vec{OB}$, а из точки B — луч, параллельный вектору $\vec{OA}$. Точка пересечения этих лучей будет четвертой вершиной параллелограмма — C.

5. Соедините точку O с точкой C. Вектор $\vec{OC}$ и есть сумма векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Таким образом, искомый вектор суммы $\vec{c}$ определяется равенством: $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = \vec{OC}$.

Ответ: Суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ является вектор-диагональ $\vec{OC}$ параллелограмма OACB, построенного на векторах $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$, отложенных от общего начала O.

190. Для векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, изображённых на рисунке 13, постройте вектор $\vec{a}-\vec{b}$.

190. Для векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, изображённых на рисунке 13, постройте вектор $\vec{a} - \vec{b}$.

Поскольку в условии задачи отсутствует “рисунок 13”, на котором изображены векторы, мы не можем построить разность для конкретных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Однако, мы можем развернуто описать общий алгоритм построения вектора разности $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$. Существует два основных геометрических способа для этого.

Способ 1: Сложение с противоположным вектором

Разность векторов $\vec{a} - \vec{b}$ можно определить как сумму вектора $\vec{a}$ и вектора, противоположного вектору $\vec{b}$. Это записывается как $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$.

1. Сначала нужно построить вектор $-\vec{b}$. Это вектор, который имеет такую же длину (модуль), что и вектор $\vec{b}$, но направлен в строго противоположную сторону.
2. Затем, используя правило треугольника для сложения векторов, нужно отложить вектор $-\vec{b}$ от конца (терминальной точки) вектора $\vec{a}$. То есть, начало вектора $-\vec{b}$ совмещается с концом вектора $\vec{a}$.
3. Искомый вектор разности $\vec{a} - \vec{b}$ будет вектором, соединяющим начало вектора $\vec{a}$ с концом вектора $-\vec{b}$.

Способ 2: Правило треугольника для вычитания

Этот способ удобен, когда векторы отложены от одной общей точки.

1. Нужно отложить векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ от одной произвольной точки O (совместить их начала).
2. Соединить концы векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
3. Вектор, проведенный от конца вектора $\vec{b}$ к концу вектора $\vec{a}$, и будет являться вектором разности $\vec{a} - \vec{b}$. Важно не перепутать направление: вектор разности направлен к тому вектору, из которого вычитают (к уменьшаемому).

Ниже представлен рисунок, иллюстрирующий оба способа на примере произвольных векторов.

Ответ: Поскольку рисунок 13 с исходными векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не предоставлен, невозможно выполнить конкретное построение. Выше описаны два общих метода построения разности векторов, которые можно применить к любым заданным векторам на плоскости.

191. Четырёхугольник $ABCD$ — прямоугольник, $O$ — точка пересечения его диагоналей. Среди данных пар векторов укажите пары противоположных векторов:

1) $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$;

2) $\vec{BC}$ и $\vec{DA}$;

3) $\vec{AO}$ и $\vec{CO}$;

4) $\vec{BO}$ и $\vec{OD}$;

5) $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$;

6) $\vec{AD}$ и $\vec{CD}$.

191. Четырёхугольник $ABCD$ — прямоугольник, $O$ — точка пересечения его диагоналей. Среди данных пар векторов укажите пары противоположных векторов:

1) $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$;

2) $\vec{BC}$ и $\vec{DA}$;

3) $\vec{AO}$ и $\vec{CO}$;

4) $\vec{BO}$ и $\vec{OD}$;

5) $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$;

6) $\vec{AD}$ и $\vec{CD}$.

Противоположные векторы — это коллинеарные векторы, имеющие одинаковую длину (модуль), но противоположное направление. Для двух противоположных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выполняется равенство $\vec{a} = -\vec{b}$. Рассмотрим каждую пару векторов, исходя из свойств прямоугольника $ABCD$, в котором диагонали пересекаются в точке $O$.

1) $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$
В прямоугольнике $ABCD$ противолежащие стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны по длине. Вектор $\overrightarrow{AB}$ направлен от точки $A$ к точке $B$. Вектор $\overrightarrow{DC}$ направлен от точки $D$ к точке $C$. Так как $AB \parallel DC$, векторы коллинеарны. Их направления совпадают. Следовательно, эти векторы равны: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Они не являются противоположными.
Ответ: не являются противоположными.

2) $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{DA}$
В прямоугольнике стороны $BC$ и $DA$ параллельны и равны по длине. Вектор $\overrightarrow{BC}$ направлен от $B$ к $C$, а вектор $\overrightarrow{DA}$ — от $D$ к $A$. Эти векторы коллинеарны, их модули равны ($|\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{DA}|$), но их направления противоположны. Следовательно, эти векторы являются противоположными.
Ответ: являются противоположными.

3) $\overrightarrow{AO}$ и $\overrightarrow{CO}$
Диагонали прямоугольника в точке пересечения $O$ делятся пополам, поэтому отрезки $AO$ и $CO$ равны по длине. Векторы $\overrightarrow{AO}$ и $\overrightarrow{CO}$ лежат на одной прямой $AC$. Вектор $\overrightarrow{AO}$ направлен от $A$ к $O$, а вектор $\overrightarrow{CO}$ — от $C$ к $O$. Их направления противоположны. Следовательно, эти векторы являются противоположными.
Ответ: являются противоположными.

4) $\overrightarrow{BO}$ и $\overrightarrow{OD}$
Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам, поэтому $BO = OD$. Векторы $\overrightarrow{BO}$ и $\overrightarrow{OD}$ лежат на одной прямой $BD$. Вектор $\overrightarrow{BO}$ направлен от $B$ к $O$, а вектор $\overrightarrow{OD}$ — от $O$ к $D$. Их направления совпадают (оба направлены вдоль диагонали от $B$ к $D$). Следовательно, эти векторы равны: $\overrightarrow{BO} = \overrightarrow{OD}$. Они не являются противоположными.
Ответ: не являются противоположными.

5) $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BA}$
Эти векторы лежат на одной прямой, их модули равны длине отрезка $AB$. Вектор $\overrightarrow{AB}$ направлен от $A$ к $B$, а вектор $\overrightarrow{BA}$ — от $B$ к $A$. Их направления противоположны. По определению, эти векторы являются противоположными.
Ответ: являются противоположными.

6) $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{CD}$
В прямоугольнике смежные стороны $AD$ и $CD$ перпендикулярны. Следовательно, векторы $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{CD}$ не являются коллинеарными, а значит, не могут быть противоположными.
Ответ: не являются противоположными.

192. Четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Найдите:

1) $\vec{AB} - \vec{DC} + \vec{BC}$;

2) $\vec{AB} - \vec{AC} + \vec{AD}$;

3) $\vec{AD} + \vec{AB} - \vec{BD} - \vec{DC}$.

192. Четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Найдите:

1) $\vec{AB} - \vec{DC} + \vec{BC};$

2) $\vec{AB} - \vec{AC} + \vec{AD};$

3) $\vec{AD} + \vec{AB} - \vec{BD} - \vec{DC}.$

1) $\vec{AB} - \vec{DC} + \vec{BC}$
Поскольку четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом, его противоположные стороны задают равные векторы: $\vec{AB} = \vec{DC}$.
Подставим это равенство в исходное выражение:
$\vec{AB} - \vec{DC} + \vec{BC} = \vec{AB} - \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{0} + \vec{BC} = \vec{BC}$.
Ответ: $\vec{BC}$

2) $\vec{AB} - \vec{AC} + \vec{AD}$
Сгруппируем слагаемые в выражении следующим образом: $(\vec{AB} + \vec{AD}) - \vec{AC}$.
Для векторов, выходящих из одной вершины параллелограмма, справедливо правило сложения (правило параллелограмма): $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.
Подставим полученное равенство в наше выражение:
$(\vec{AB} + \vec{AD}) - \vec{AC} = \vec{AC} - \vec{AC} = \vec{0}$.
Ответ: $\vec{0}$

3) $\vec{AD} + \vec{AB} - \vec{BD} - \vec{DC}$
Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $\vec{DC} = \vec{AB}$. Заменим вектор $\vec{DC}$ в выражении:
$\vec{AD} + \vec{AB} - \vec{BD} - \vec{AB} = \vec{AD} - \vec{BD} + (\vec{AB} - \vec{AB}) = \vec{AD} - \vec{BD}$.
Теперь представим вычитание векторов как сложение с противоположным вектором: $\vec{AD} - \vec{BD} = \vec{AD} + (-\vec{BD}) = \vec{AD} + \vec{DB}$.
По правилу треугольника (правилу Шаля) для сложения векторов имеем:
$\vec{AD} + \vec{DB} = \vec{AB}$.
Ответ: $\vec{AB}$

193. Может ли быть нулевым вектором сумма трёх векторов, модули которых равны:

1) 2; 3; 6;

2) 4; 5; 9;

3) 5; 8; 12?

193. Может ли быть нулевым вектором сумма трёх векторов, модули которых равны:

1) 2; 3; 6;

2) 4; 5; 9;

3) 5; 8; 12?

Для того чтобы сумма трёх векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ была нулевым вектором, то есть $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$, необходимо и достаточно, чтобы из этих векторов можно было составить замкнутый треугольник (возможно, вырожденный). Это, в свою очередь, означает, что их модули (длины) $a$, $b$, $c$ должны удовлетворять неравенству треугольника. Самый простой способ проверить это — убедиться, что модуль наибольшего вектора не превышает сумму модулей двух других. То есть, если $c$ — наибольший модуль, должно выполняться условие $c \le a + b$.

1) 2; 3; 6;

Пусть модули трёх векторов равны $a = 2$, $b = 3$ и $c = 6$.Проверим выполнение неравенства треугольника. Наибольший модуль равен 6. Сравним его с суммой двух других модулей:$a + b = 2 + 3 = 5$.Поскольку $6 > 5$, то есть $c > a + b$, неравенство треугольника не выполняется. Следовательно, из векторов с такими модулями невозможно составить замкнутый треугольник, и их сумма не может быть нулевым вектором.

Ответ: нет.

2) 4; 5; 9;

Пусть модули трёх векторов равны $a = 4$, $b = 5$ и $c = 9$.Проверим выполнение неравенства треугольника. Наибольший модуль равен 9. Сравним его с суммой двух других модулей:$a + b = 4 + 5 = 9$.Поскольку $9 \le 9$, то есть $c \le a + b$ (в данном случае $c = a + b$), условие выполняется. Это соответствует случаю вырожденного треугольника, когда все три вектора коллинеарны. Сумма векторов может быть нулевой, если два вектора с меньшими модулями (4 и 5) сонаправлены, а третий вектор (с модулем 9) направлен в противоположную им сторону.

Ответ: да.

3) 5; 8; 12?

Пусть модули трёх векторов равны $a = 5$, $b = 8$ и $c = 12$.Проверим выполнение неравенства треугольника. Наибольший модуль равен 12. Сравним его с суммой двух других модулей:$a + b = 5 + 8 = 13$.Поскольку $12 < 13$, то есть $c < a + b$, неравенство треугольника выполняется. Следовательно, из векторов с такими модулями можно составить замкнутый (невырожденный) треугольник. Если расположить эти векторы последовательно так, чтобы начало следующего вектора совпадало с концом предыдущего, то конец третьего вектора совпадёт с началом первого. В этом случае их векторная сумма будет равна нулевому вектору.

Ответ: да.

194. Даны векторы $\vec{a}(4; -5)$ и $\vec{b}(-1; 7)$. Найдите:

1) $\vec{a} + \vec{b}$;

2) $\vec{a} - \vec{b}$;

3) $\left|\vec{a} + \vec{b}\right|$;

4) $\left|\vec{a} - \vec{b}\right|$.

194. Даны векторы $\vec{a}(4; -5)$ и $\vec{b}(-1; 7)$. Найдите:

1) $\vec{a} + \vec{b}$;

2) $\vec{a} - \vec{b}$;

3) $|\vec{a} + \vec{b}|$;

4) $|\vec{a} - \vec{b}|.$

Даны векторы $\vec{a}(4; -5)$ и $\vec{b}(-1; 7)$.

1) $\vec{a} + \vec{b}$;

Чтобы найти сумму двух векторов, заданных своими координатами, необходимо сложить их соответствующие координаты. Для векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ их сумма равна $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2)$.
Подставим координаты данных векторов:
$\vec{a} + \vec{b} = (4 + (-1); -5 + 7) = (3; 2)$.
Ответ: $(3; 2)$.

2) $\vec{a} - \vec{b}$;

Чтобы найти разность двух векторов, заданных своими координатами, необходимо из координат первого вектора вычесть соответствующие координаты второго вектора. Для векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ их разность равна $\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2; y_1 - y_2)$.
Подставим координаты данных векторов:
$\vec{a} - \vec{b} = (4 - (-1); -5 - 7) = (4 + 1; -12) = (5; -12)$.
Ответ: $(5; -12)$.

3) $|\vec{a} + \vec{b}|$;

Модуль (или длина) вектора $\vec{c}(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Сначала найдем координаты вектора $\vec{a} + \vec{b}$, как в пункте 1:
$\vec{a} + \vec{b} = (3; 2)$.
Теперь найдем модуль (длину) этого вектора:
$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.
Ответ: $\sqrt{13}$.

4) $|\vec{a} - \vec{b}|$.

Аналогично предыдущему пункту, сначала найдем координаты вектора $\vec{a} - \vec{b}$, как в пункте 2:
$\vec{a} - \vec{b} = (5; -12)$.
Теперь найдем модуль (длину) этого вектора:
$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
Ответ: $13$.

195. Даны точки A (4; 1) и B (-2; -3). Найдите координаты точки C такой, что $\vec{CA} + \vec{CB} = \vec{0}$.

195. Даны точки А (4; 1) и В (-2; -3). Найдите координаты точки С такой, что $\vec{CA} + \vec{CB} = \vec{0}$.

Пусть искомая точка $C$ имеет координаты $(x; y)$.

Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конца и начала. Для заданных точек $A(4; 1)$ и $B(-2; -3)$ найдем координаты векторов $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$:

$\vec{CA} = (x_A - x; y_A - y) = (4 - x; 1 - y)$
$\vec{CB} = (x_B - x; y_B - y) = (-2 - x; -3 - y)$

Найдем координаты суммы векторов $\vec{CA} + \vec{CB}$, сложив их соответствующие координаты:

$\vec{CA} + \vec{CB} = ((4 - x) + (-2 - x); (1 - y) + (-3 - y)) = (2 - 2x; -2 - 2y)$

Согласно условию задачи, $\vec{CA} + \vec{CB} = \vec{0}$. Нулевой вектор $\vec{0}$ имеет координаты $(0; 0)$. Таким образом, мы получаем векторное равенство:

$(2 - 2x; -2 - 2y) = (0; 0)$

Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты. Это дает нам систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 2 - 2x = 0 \\ -2 - 2y = 0 \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения получаем: $2x = 2$, откуда $x = 1$.

Из второго уравнения получаем: $2y = -2$, откуда $y = -1$.

Следовательно, искомые координаты точки $C$ равны $(1; -1)$.

Также можно заметить, что условие $\vec{CA} + \vec{CB} = \vec{0}$ означает, что точка $C$ является серединой отрезка $AB$. Найдем ее координаты по формуле середины отрезка:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_C = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: C(1; -1)

196. Найдите координаты векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$, если их сумма имеет координаты $(5; -2)$, а разность — $(7; 5)$.

196. Найдите координаты векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$, если их сумма имеет координаты $(5; -2)$, а разность — $(7; 5)$.

Обозначим координаты искомых векторов как $\vec{m} = (x_1; y_1)$ и $\vec{n} = (x_2; y_2)$.

По условию задачи, сумма векторов $\vec{m} + \vec{n}$ имеет координаты $(5; -2)$, а их разность $\vec{m} - \vec{n}$ имеет координаты $(7; 5)$. Запишем это в виде системы векторных уравнений:

$\begin{cases} \vec{m} + \vec{n} = (5; -2) \\ \vec{m} - \vec{n} = (7; 5) \end{cases}$

Эта система эквивалентна двум независимым системам уравнений для соответствующих координат:

Для координат по оси X: $\begin{cases} x_1 + x_2 = 5 \\ x_1 - x_2 = 7 \end{cases}$

Для координат по оси Y: $\begin{cases} y_1 + y_2 = -2 \\ y_1 - y_2 = 5 \end{cases}$

Решим первую систему. Сложим два уравнения:

$(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = 5 + 7$

$2x_1 = 12$

$x_1 = 6$

Подставим $x_1 = 6$ в первое уравнение: $6 + x_2 = 5$, откуда $x_2 = -1$.

Теперь решим вторую систему. Сложим два уравнения:

$(y_1 + y_2) + (y_1 - y_2) = -2 + 5$

$2y_1 = 3$

$y_1 = 1.5$

Подставим $y_1 = 1.5$ в первое уравнение: $1.5 + y_2 = -2$, откуда $y_2 = -2 - 1.5 = -3.5$.

Таким образом, координаты векторов: $\vec{m} = (6; 1.5)$ и $\vec{n} = (-1; -3.5)$.

Альтернативное решение (векторным методом):

Сложим два векторных уравнения из исходной системы:

$(\vec{m} + \vec{n}) + (\vec{m} - \vec{n}) = (5; -2) + (7; 5)$

$2\vec{m} = (5+7; -2+5) = (12; 3)$

$\vec{m} = (\frac{12}{2}; \frac{3}{2}) = (6; 1.5)$

Теперь вычтем второе векторное уравнение из первого:

$(\vec{m} + \vec{n}) - (\vec{m} - \vec{n}) = (5; -2) - (7; 5)$

$2\vec{n} = (5-7; -2-5) = (-2; -7)$

$\vec{n} = (\frac{-2}{2}; \frac{-7}{2}) = (-1; -3.5)$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: Координаты вектора $\vec{m}$ равны $(6; 1.5)$, а координаты вектора $\vec{n}$ равны $(-1; -3.5)$.

197. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O (рис. 14). Выразите векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$ через векторы $\overrightarrow{CO} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{BO} = \vec{b}$.

Рис. 14

197. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O (рис. 14). Выразите векторы $ \vec{AB} $ и $ \vec{AD} $ через векторы $ \vec{CO} = \vec{a} $ и $ \vec{BO} = \vec{b} $.

Поскольку $ABCD$ — это параллелограмм, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, которая является серединой каждой из них.

Из этого свойства диагоналей следуют векторные равенства:
1. $\vec{AO} = \vec{OC}$
2. $\vec{BO} = \vec{OD}$

По условию задачи нам даны векторы $\vec{CO} = \vec{a}$ и $\vec{BO} = \vec{b}$.

Используя эти данные и свойства параллелограмма, найдем векторы $\vec{AO}$ и $\vec{OD}$:
Вектор $\vec{OC}$ противоположен вектору $\vec{CO}$, следовательно, $\vec{OC} = -\vec{CO} = -\vec{a}$.
Так как $\vec{AO} = \vec{OC}$, то получаем $\vec{AO} = -\vec{a}$.
Так как $\vec{BO} = \vec{OD}$ и $\vec{BO} = \vec{b}$, то получаем $\vec{OD} = \vec{b}$.

Теперь мы можем выразить искомые векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$, используя правило сложения векторов (правило треугольника).

Выражение вектора $\vec{AB}$

Рассмотрим треугольник $AOB$. По правилу треугольника имеем: $\vec{AB} = \vec{AO} + \vec{OB}$.

Мы уже нашли, что $\vec{AO} = -\vec{a}$. Вектор $\vec{OB}$ противоположен вектору $\vec{BO}$, поэтому $\vec{OB} = -\vec{BO} = -\vec{b}$.

Подставим найденные значения в формулу: $\vec{AB} = (-\vec{a}) + (-\vec{b}) = -\vec{a} - \vec{b}$.

Ответ: $\vec{AB} = -\vec{a} - \vec{b}$

Выражение вектора $\vec{AD}$

Рассмотрим треугольник $AOD$. По правилу треугольника имеем: $\vec{AD} = \vec{AO} + \vec{OD}$.

Мы знаем, что $\vec{AO} = -\vec{a}$ и $\vec{OD} = \vec{b}$.

Подставим эти значения в формулу: $\vec{AD} = (-\vec{a}) + \vec{b} = \vec{b} - \vec{a}$.

Ответ: $\vec{AD} = \vec{b} - \vec{a}$

198. Даны векторы $\vec{a}(3;-4)$, $\vec{b}(-2;7)$, $\vec{c}(-6;y)$. Найдите наименьшее значение модуля вектора $\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}$.

198. Даны векторы $\vec{a}(3; -4)$, $\vec{b}(-2; 7)$, $\vec{c}(-6; y)$. Найдите наименьшее значение модуля вектора $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$.

Для того чтобы найти наименьшее значение модуля вектора $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$, сначала найдем координаты этого результирующего вектора. Обозначим его как $\vec{d}$.

$\vec{d} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

Координаты вектора $\vec{d}$ вычисляются как сумма и разность соответствующих координат векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$.
Пусть $\vec{d} = (x_d; y_d)$.

$x_d = x_a + x_b - x_c = 3 + (-2) - (-6) = 3 - 2 + 6 = 7$

$y_d = y_a + y_b - y_c = -4 + 7 - y = 3 - y$

Таким образом, результирующий вектор $\vec{d}$ имеет координаты $(7; 3 - y)$.

Теперь найдем модуль (длину) вектора $\vec{d}$. Модуль вектора с координатами $(x, y)$ вычисляется по формуле $|\vec{d}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

$|\vec{d}| = |\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}| = \sqrt{7^2 + (3 - y)^2} = \sqrt{49 + (3 - y)^2}$

Нам нужно найти наименьшее значение этого выражения. Функция квадратного корня является монотонно возрастающей, поэтому ее наименьшее значение достигается тогда, когда подкоренное выражение $49 + (3 - y)^2$ принимает свое наименьшее значение.

Рассмотрим выражение $49 + (3 - y)^2$. Число $49$ является константой. Выражение $(3 - y)^2$, будучи квадратом действительного числа, всегда неотрицательно, то есть $(3 - y)^2 \ge 0$. Его наименьшее значение равно $0$ и достигается при условии $3 - y = 0$, то есть при $y = 3$.

Следовательно, наименьшее значение подкоренного выражения равно $49 + 0 = 49$.

Тогда наименьшее значение модуля вектора равно:

$|\vec{d}|_{min} = \sqrt{49} = 7$

Ответ: 7

199. Найдите геометрическое место точек C $(x; y)$ координатной плоскости таких, что для точек A $(-3; 2)$ и B $(1; 5)$ выполняется равенство $|\vec{BC}| = |\vec{AB}|$.

199. Найдите геометрическое место точек C (x; y) координатной плоскости таких, что для точек A (-3; 2) и B (1; 5) выполняется равенство $|\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AB}|$.

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек, удовлетворяющих заданному условию. В данном случае условие — это равенство $|\vec{BC}| = |\vec{AB}|$. Это означает, что расстояние от точки B до искомой точки C должно быть равно расстоянию от точки A до точки B.

Даны точки $A(-3; 2)$ и $B(1; 5)$. Точка C имеет координаты $(x; y)$.

1. Найдем расстояние между точками A и B. Это расстояние равно модулю (длине) вектора $\vec{AB}$. Формула для расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ имеет вид: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

$|\vec{AB}| = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{(1 + 3)^2 + 3^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Таким образом, расстояние между A и B постоянно и равно 5.

2. Теперь найдем расстояние между точками B и C. Это расстояние равно модулю вектора $\vec{BC}$.

$|\vec{BC}| = \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 5)^2}$.

3. Согласно условию задачи, приравняем найденные расстояния: $|\vec{BC}| = |\vec{AB}|$.

$\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 5)^2} = 5$.

4. Чтобы получить уравнение искомого ГМТ, возведем обе части равенства в квадрат:

$(\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 5)^2})^2 = 5^2$

$(x - 1)^2 + (y - 5)^2 = 25$.

Это каноническое уравнение окружности вида $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

В нашем случае центр окружности находится в точке $(1; 5)$, что совпадает с координатами точки B, а радиус $R = \sqrt{25} = 5$, что равно расстоянию между точками A и B.

Следовательно, искомое геометрическое место точек C — это окружность с центром в точке B и радиусом, равным длине отрезка AB.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это окружность с центром в точке $B(1; 5)$ и радиусом $R=5$. Уравнение этой окружности: $(x - 1)^2 + (y - 5)^2 = 25$.