Страница 30 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

257. Постройте образы отрезков $AB$ и $CD$, изображённых на рисунке 21, при симметрии относительно прямой $m$.

257. Постройте образы отрезков $AB$ и $CD$, изображённых на рисунке 21, при симметрии относительно прямой $m$.

Рис. 21

Для построения образов отрезков $AB$ и $CD$ при симметрии относительно прямой $m$ (осевой симметрии) необходимо построить образы их конечных точек ($A, B, C, D$) и соединить соответствующие пары точек.

Точка $P'$ называется симметричной точке $P$ относительно прямой $m$, если прямая $m$ является серединным перпендикуляром к отрезку $PP'$. Для построения на клетчатой бумаге воспользуемся свойством наклонов перпендикулярных прямых. Прямая $m$ построена так, что при смещении на 1 клетку вправо она смещается на 2 клетки вверх. Её "клеточный" уклон равен 2. Прямая, перпендикулярная ей, будет иметь уклон $-\frac{1}{2}$, то есть на каждые 2 клетки вправо она будет смещаться на 1 клетку вниз (или на 2 клетки влево и 1 клетку вверх).

1. Найдём точку $A'$, симметричную точке $A$. Проведём из точки $A$ перпендикуляр к прямой $m$. Для этого будем двигаться от точки $A$ по клеткам с уклоном $-\frac{1}{2}$. Сместившись на 2 клетки вправо и 1 клетку вниз от точки $A$, мы попадём в точку на прямой $m$. Чтобы найти симметричную точку $A'$, нужно от полученной точки на прямой $m$ сделать такой же шаг: ещё раз сместиться на 2 клетки вправо и 1 клетку вниз.

2. Найдём точку $B'$, симметричную точке $B$. Аналогично, из точки $B$ проведём прямую, перпендикулярную $m$. На этой прямой по другую сторону от $m$ на том же расстоянии от неё найдём точку $B'$.

3. Соединим точки $A'$ и $B'$. Полученный отрезок $A'B'$ является искомым образом отрезка $AB$.

Ответ: Образом отрезка $AB$ является отрезок $A'B'$, построенный по симметричным точкам $A'$ и $B'$.

1. Найдём точку $C'$, симметричную точке $C$. Проведём из точки $C$ перпендикуляр к прямой $m$ (смещаясь с уклоном $-\frac{1}{2}$) и найдём на нём точку $C'$ по другую сторону от $m$ на том же расстоянии.

2. Найдём точку $D'$, симметричную точке $D$. Проведём из точки $D$ перпендикуляр к $m$ и найдём симметричную точку $D'$.

3. Соединим точки $C'$ и $D'$. Полученный отрезок $C'D'$ является искомым образом отрезка $CD$.

Ответ: Образом отрезка $CD$ является отрезок $C'D'$, построенный по симметричным точкам $C'$ и $D'$.

На рисунке ниже показан результат построения. Исходные отрезки - черные, их образы - синие. Пунктиром показаны перпендикуляры, соединяющие точки с их образами.

258. Начертите окружность радиусом 3 см и проведите прямую, не проходящую через её центр. Постройте окружность, симметричную данной относительно этой прямой.

258. Начертите окружность радиусом 3 см и проведите прямую, не проходящую через её центр. Постройте окружность, симметричную данной относительно этой прямой.

Для решения данной задачи необходимо выполнить следующие шаги построения с помощью циркуля и линейки.

1. Начертите окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = 3$ см. Для этого установите раствор циркуля равным 3 см с помощью линейки, поставьте иглу циркуля в точку $O$ и проведите окружность.
2. Проведите прямую $a$, которая не проходит через центр $O$. Эта прямая будет осью симметрии.
3. Осевая симметрия является движением, то есть она сохраняет расстояния между точками. Следовательно, образом окружности будет окружность с тем же радиусом. Таким образом, радиус искомой окружности также равен $3$ см. Задача сводится к нахождению центра $O'$ новой окружности.
4. Центр $O'$ новой окружности должен быть симметричен центру $O$ исходной окружности относительно прямой $a$. Для построения точки $O'$ выполните следующие действия:
   • Из точки $O$ опустите перпендикуляр на прямую $a$. Обозначьте точку их пересечения (основание перпендикуляра) буквой $H$.
   • На продолжении перпендикуляра за точку $H$ отложите отрезок $HO'$, равный по длине отрезку $OH$. То есть, должно выполняться равенство $OH = HO'$.
   Точка $O'$ и будет центром искомой симметричной окружности.
5. Установите иглу циркуля в точку $O'$, сохраняя радиус $R = 3$ см, и начертите новую окружность.

Полученная окружность с центром в точке $O'$ и радиусом $3$ см является симметричной исходной окружности относительно прямой $a$.

Ответ: Для построения искомой окружности необходимо сначала найти ее центр $O'$, который симметричен центру $O$ данной окружности относительно прямой $a$. Это делается построением перпендикуляра из точки $O$ к прямой $a$ и откладыванием на его продолжении отрезка, равного расстоянию от $O$ до прямой. Затем следует начертить окружность с центром в найденной точке $O'$ и тем же радиусом, что и у исходной, то есть $3$ см.

259. Начертите равносторонний треугольник со стороной 3 см, проведите прямую, проходящую через одну из его вершин и не имеющую с треугольником других общих точек. Постройте треугольник, симметричный данному относительно этой прямой.

259. Начертите равносторонний треугольник со стороной 3 см, проведите прямую, проходящую через одну из его вершин и не имеющую с треугольником других общих точек. Постройте треугольник, симметричный данному относительно этой прямой.

Для решения задачи выполним последовательность геометрических построений с помощью циркуля и линейки.

1. Построение равностороннего треугольника. С помощью линейки начертим отрезок $AB$ длиной 3 см. Затем с помощью циркуля построим две дуги окружностей с центрами в точках $A$ и $B$ и радиусом 3 см. Точку их пересечения обозначим как $C$. Соединив точки $A$, $B$ и $C$, получим искомый равносторонний треугольник $ABC$.
2. Проведение оси симметрии. Выберем одну из вершин треугольника, например, вершину $A$. Через точку $A$ проведём произвольную прямую $l$, которая не имеет с треугольником других общих точек (то есть не пересекает сторону $BC$ и не лежит на прямых $AB$ или $AC$). Эта прямая будет служить осью симметрии.
3. Построение симметричных вершин. Теперь построим треугольник $A'B'C'$, симметричный треугольнику $ABC$ относительно прямой $l$. Для этого найдём симметричные образы каждой вершины:
   • Поскольку вершина $A$ лежит на оси симметрии $l$, она отображается сама в себя. Таким образом, точка $A'$ совпадает с точкой $A$.
   • Для нахождения точки $B'$, симметричной точке $B$, опустим из точки $B$ перпендикуляр на прямую $l$. Обозначим точку их пересечения $H_B$. Затем на продолжении отрезка $BH_B$ за точку $H_B$ отложим отрезок $H_B B'$, равный по длине отрезку $BH_B$. Точка $B'$ — искомая.
   • Аналогично для точки $C'$: опустим перпендикуляр из точки $C$ на прямую $l$ (точка пересечения $H_C$) и на его продолжении отложим отрезок $H_C C'$, равный отрезку $CH_C$.
4. Построение симметричного треугольника. Соединим полученные точки $A'$, $B'$ и $C'$ (то есть $A$, $B'$ и $C'$) отрезками. Треугольник $AB'C'$ — искомый треугольник, симметричный данному относительно прямой $l$.

Ниже приведён чертёж, иллюстрирующий результат построений (исходный треугольник $ABC$ выделен оранжевым, симметричный ему треугольник $A'B'C'$ — красным).

Осевая симметрия является движением, то есть сохраняет расстояния между точками. Поэтому полученный треугольник $A'B'C'$ равен исходному треугольнику $ABC$ и также является равносторонним со стороной 3 см.

Ответ: Построение треугольника, симметричного данному относительно указанной прямой, выполнено. Итоговый чертеж представлен в решении.

260. Начертите равносторонний треугольник $ABC$ со стороной 2 см и проведите прямую $m$, пересекающую стороны $AB$ и $BC$. Постройте треугольник, симметричный треугольнику $ABC$ относительно прямой $m$.

260. Начертите равносторонний треугольник $ABC$ со стороной 2 см и проведите прямую $m$, пересекающую стороны $AB$ и $BC$. Постройте треугольник, симметричный треугольнику $ABC$ относительно прямой $m$.

Решение задачи состоит из последовательного выполнения построений с помощью циркуля и линейки.

1. Построение равностороннего треугольника $ABC$. Начертите отрезок $AB$ длиной 2 см. Затем, установив раствор циркуля равным 2 см, проведите две дуги с центрами в точках $A$ и $B$. Точку пересечения дуг обозначьте как $C$. Соедините точки $A$, $B$ и $C$ отрезками. Полученный $\triangle ABC$ — равносторонний со стороной 2 см.

2. Проведение прямой $m$. Проведите произвольную прямую $m$ так, чтобы она пересекала стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$.

3. Построение точек, симметричных вершинам треугольника. Для построения симметричного треугольника необходимо найти точки $A'$, $B'$ и $C'$, симметричные вершинам $A$, $B$ и $C$ относительно прямой $m$.

   • Чтобы построить точку $A'$, симметричную точке $A$, проведите через точку $A$ прямую, перпендикулярную прямой $m$. Пусть $H_A$ — точка их пересечения. На продолжении луча $AH_A$ за точку $H_A$ отложите отрезок $H_A A'$ так, чтобы $AH_A = H_A A'$.

   • Аналогично постройте точку $B'$, симметричную точке $B$. Проведите перпендикуляр из точки $B$ к прямой $m$, отметьте точку пересечения $H_B$ и отложите отрезок $H_B B'$ так, чтобы $BH_B = H_B B'$.

   • Таким же образом постройте точку $C'$, симметричную точке $C$, через перпендикуляр к прямой $m$ (с основанием $H_C$), отложив отрезок $H_C C'$ так, чтобы $CH_C = H_C C'$.

4. Построение искомого треугольника $A'B'C'$. Соедините отрезками полученные точки $A'$, $B'$ и $C'$.

Треугольник $A'B'C'$ является симметричным треугольнику $ABC$ относительно прямой $m$. Так как осевая симметрия является движением, она сохраняет расстояния между точками. Следовательно, $\triangle A'B'C'$ равен $\triangle ABC$, то есть также является равносторонним со стороной 2 см.

Ответ: Треугольник $A'B'C'$, построенный путем соединения точек $A'$, $B'$, $C'$, симметричных вершинам треугольника $ABC$ относительно прямой $m$, является искомым.

261. В каком случае прямая $m$ является осью симметрии отрезка $AB$?

261. В каком случае прямая $m$ является осью симметрии отрезка $AB$?

Прямая $m$ является осью симметрии отрезка $AB$ в том и только в том случае, если она является его серединным перпендикуляром. Это означает, что для прямой $m$ должны одновременно выполняться два условия:

1. Прямая $m$ перпендикулярна прямой, содержащей отрезок $AB$. Математически это записывается как $m \perp AB$.

2. Прямая $m$ проходит через середину отрезка $AB$. Если обозначить середину отрезка $AB$ как точку $O$, то прямая $m$ должна содержать точку $O$, и при этом будет выполняться равенство $AO = OB$.

Только при одновременном выполнении этих двух условий каждая точка отрезка $AB$ при симметричном отражении относительно прямой $m$ перейдет в другую точку этого же отрезка, а концы отрезка, точки $A$ и $B$, поменяются местами.

Ответ: Прямая $m$ является осью симметрии отрезка $AB$, если она перпендикулярна этому отрезку и проходит через его середину.

262. На рисунке 22 $AB = AD$, $CB = CD$. Докажите, что точки $B$ и $D$ симметричны относительно прямой $AC$.

Рис. 21

Рис. 22

262. На рисунке 22 $AB = AD$, $CB = CD$. Докажите, что точки B и D симметричны относительно прямой AC.

Рис. 22

Для доказательства того, что точки $B$ и $D$ симметричны относительно прямой $AC$, необходимо доказать, что прямая $AC$ является серединным перпендикуляром к отрезку $BD$.

Согласно свойству серединного перпендикуляра, любая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на этом перпендикуляре.

1. Рассмотрим точку $A$. По условию задачи дано, что $AB = AD$. Это означает, что точка $A$ равноудалена от точек $B$ и $D$. Следовательно, точка $A$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$.

2. Рассмотрим точку $C$. По условию $CB = CD$. Это означает, что точка $C$ также равноудалена от точек $B$ и $D$. Следовательно, и точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$.

Поскольку обе точки $A$ и $C$ принадлежат серединному перпендикуляру к отрезку $BD$, то прямая, проходящая через эти точки, а именно прямая $AC$, и является серединным перпендикуляром к отрезку $BD$.

По определению осевой симметрии, если прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему две точки, то эти точки симметричны относительно данной прямой. Таким образом, точки $B$ и $D$ симметричны относительно прямой $AC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

263. Докажите, что если прямая, содержащая диагональ параллелограмма, является его осью симметрии, то этот параллелограмм — ромб.

263. Докажите, что если прямая, содержащая диагональ параллелограмма, является его осью симметрии, то этот параллелограмм — ромб.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Пусть прямая, содержащая его диагональ $AC$, является его осью симметрии.

По определению осевой симметрии, при отражении относительно прямой $AC$ параллелограмм $ABCD$ отображается сам на себя. Точки, лежащие на оси симметрии, остаются неподвижными, следовательно, точки $A$ и $C$ отображаются сами на себя. Вершина $B$, не лежащая на оси $AC$, должна отобразиться в вершину $D$. Аналогично, вершина $D$ отображается в вершину $B$.

Из этого следует, что при отражении относительно прямой $AC$ отрезок $AB$ отображается на отрезок $AD$, а отрезок $CB$ — на отрезок $CD$.

Осевая симметрия является движением, то есть сохраняет расстояния между точками. Следовательно, длины отрезков, симметричных относительно оси, равны:

$AB = AD$ и $CB = CD$.

По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны:

$AB = CD$ и $AD = CB$.

Объединяя все эти равенства, мы получаем, что все стороны параллелограмма равны между собой:

$AB = AD = CB = CD$.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, по определению является ромбом.

Следовательно, если прямая, содержащая диагональ параллелограмма, является его осью симметрии, то этот параллелограмм — ромб. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.