Страница 29 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

249. При параллельном переносе образом точки $A (-2; 3)$ является точка $B (-3; 5)$. Какая точка является образом точки $C (4; -3)$ при этом параллельном переносе?

249. При параллельном переносе образом точки $A (-2; 3)$ является точка $B (-3; 5)$. Какая точка является образом точки $C (4; -3)$ при этом параллельном переносе?

Параллельный перенос задается вектором. Пусть вектор переноса имеет координаты $(a; b)$. При таком переносе любая точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку с координатами $(x+a; y+b)$.

По условию, точка $A(-2; 3)$ переходит в точку $B(-3; 5)$. Это означает, что:

$-2 + a = -3$

$3 + b = 5$

Из этих уравнений найдем компоненты вектора переноса $a$ и $b$:

$a = -3 - (-2) = -3 + 2 = -1$

$b = 5 - 3 = 2$

Таким образом, вектор параллельного переноса равен $(-1; 2)$.

Теперь найдем образ точки $C(4; -3)$ при этом же параллельном переносе. Пусть ее образ — это точка $C'(x'; y')$. Координаты точки $C'$ вычисляются следующим образом:

$x' = x_C + a = 4 + (-1) = 3$

$y' = y_C + b = -3 + 2 = -1$

Следовательно, образ точки C — это точка с координатами $(3; -1)$.

Ответ: $(3; -1)$

250. Вершинами треугольника $ABC$ являются точки $A (-2; 4)$, $B (3; -2)$ и $C (-1; -3)$. Выполнили параллельный перенос треугольника $ABC$, при котором образом точки $B$ является точка $C$. Каковы координаты вершин полученного треугольника? Выполните чертёж.

250. Вершинами треугольника $ABC$ являются точки $A(-2; 4)$, $B(3; -2)$ и $C(-1; -3)$. Выполнили параллельный перенос треугольника $ABC$, при котором образом точки $B$ является точка $C$. Каковы координаты вершин полученного треугольника? Выполните чертёж.

Каковы координаты вершин полученного треугольника?

Параллельный перенос задается вектором $\vec{v}(a; b)$, на который смещаются все точки фигуры. По условию задачи, образом точки $B(3; -2)$ является точка $C(-1; -3)$. Обозначим образ точки $B$ как $B'$. Тогда $B'$ имеет те же координаты, что и точка $C$.
Координаты образа точки $B(x_B; y_B)$ находятся по формулам:
$x_{B'} = x_B + a$
$y_{B'} = y_B + b$
Подставим известные координаты точек $B$ и $C$ (которая является образом $B'$):
$-1 = 3 + a$
$-3 = -2 + b$
Из этих уравнений находим компоненты $a$ и $b$ вектора переноса:
$a = -1 - 3 = -4$
$b = -3 - (-2) = -3 + 2 = -1$
Следовательно, вектор параллельного переноса $\vec{v}(-4; -1)$. Формулы переноса для любой точки $(x; y)$ будут $x' = x - 4$ и $y' = y - 1$.
Теперь, используя этот вектор, найдем координаты вершин нового треугольника $A'B'C'$.
- Для вершины $A(-2; 4)$:
$x_{A'} = -2 + (-4) = -6$
$y_{A'} = 4 + (-1) = 3$
Получаем точку $A'(-6; 3)$.
- Для вершины $B(3; -2)$:
Образом точки $B$ по условию является точка $C$. Поэтому $B'(-1; -3)$.
- Для вершины $C(-1; -3)$:
$x_{C'} = -1 + (-4) = -5$
$y_{C'} = -3 + (-1) = -4$
Получаем точку $C'(-5; -4)$.
Ответ: Координаты вершин полученного треугольника: $A'(-6; 3)$, $B'(-1; -3)$, $C'(-5; -4)$.

Выполните чертёж.

На координатной плоскости изображены исходный треугольник $ABC$ (синий) и полученный в результате параллельного переноса треугольник $A'B'C'$ (красный). Векторы переноса показаны пунктирными линиями.

Ответ: Чертёж представлен выше.

251. Даны точки $K (-4; 7)$ и $P (8; -1)$. При параллельном переносе образом середины отрезка $KP$ является точка $M (-3; -1)$. Найдите образы точек $K$ и $P$ при таком параллельном переносе.

251. Даны точки $K(-4; 7)$ и $P(8; -1)$. При параллельном переносе образом середины отрезка $KP$ является точка $M(-3; -1)$. Найдите образы точек $K$ и $P$ при таком параллельном переносе.

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Найдём координаты середины отрезка KP

Пусть точка S – середина отрезка KP. Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое координат его концов:

$x_S = \frac{x_K + x_P}{2}$

$y_S = \frac{y_K + y_P}{2}$

Подставим координаты точек K(–4; 7) и P(8; –1):

$x_S = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_S = \frac{7 + (-1)}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, середина отрезка KP — это точка S(2; 3).

2. Определим вектор параллельного переноса

По условию, образом точки S(2; 3) при параллельном переносе является точка M(–3; –1). Параллельный перенос задаётся формулами $x' = x + a$ и $y' = y + b$, где $(a; b)$ – координаты вектора переноса.

Найдём $a$ и $b$, подставив координаты точек S и M:

$-3 = 2 + a \implies a = -3 - 2 = -5$

$-1 = 3 + b \implies b = -1 - 3 = -4$

Следовательно, параллельный перенос осуществляется на вектор с координатами (–5; –4).

3. Найдём образы точек K и P

Теперь, зная вектор переноса, найдём образы точек K и P. Обозначим их K' и P'.

Для точки K(–4; 7):

$x_{K'} = x_K + a = -4 + (-5) = -9$

$y_{K'} = y_K + b = 7 + (-4) = 3$

Образ точки K — это точка K'(–9; 3).

Для точки P(8; –1):

$x_{P'} = x_P + a = 8 + (-5) = 3$

$y_{P'} = y_P + b = -1 + (-4) = -5$

Образ точки P — это точка P'(3; –5).

Ответ: образ точки K – K'(–9; 3), образ точки P – P'(3; –5).

252. Точки $A (-1; 4)$, $B (5; -2)$ и $C (-6; -1)$ являются вершинами параллелограмма ABCD. При параллельном переносе образом точки A является точка $A_1 (2; -7)$. Найдите образы точек B, C и D при этом параллельном переносе.

252. Точки $A (-1; 4)$, $B (5; -2)$ и $C (-6; -1)$ являются вершинами параллелограмма $ABCD$. При параллельном переносе образом точки $A$ является точка $A_1 (2; -7)$. Найдите образы точек $B$, $C$ и $D$ при этом параллельном переносе.

Для нахождения образов точек B, C и D при заданном параллельном переносе, необходимо выполнить два предварительных шага: найти вектор параллельного переноса и определить координаты четвертой вершины параллелограмма, точки D.

1. Нахождение вектора параллельного переноса.

Параллельный перенос, который переводит точку $M(x; y)$ в точку $M'(x'; y')$, задается формулами $x' = x + a$ и $y' = y + b$, где $\vec{p}(a; b)$ — вектор переноса. По условию, точка $A(-1; 4)$ переходит в точку $A_1(2; -7)$. Найдем $a$ и $b$:

$2 = -1 + a \implies a = 2 - (-1) = 3$

$-7 = 4 + b \implies b = -7 - 4 = -11$

Таким образом, вектор параллельного переноса $\vec{p}$ имеет координаты $(3; -11)$.

2. Нахождение координат вершины D.

В параллелограмме $ABCD$ векторы, образованные противоположными сторонами, равны, например, $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (5 - (-1); -2 - 4) = (6; -6)$

Пусть координаты точки $D$ равны $(x_D; y_D)$. Тогда координаты вектора $\vec{DC}$:

$\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D) = (-6 - x_D; -1 - y_D)$

Приравнивая соответствующие координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} 6 = -6 - x_D \\ -6 = -1 - y_D \end{cases}$

Из первого уравнения находим $x_D$: $x_D = -6 - 6 = -12$.

Из второго уравнения находим $y_D$: $y_D = -1 - (-6) = 5$.

Координаты вершины $D$ равны $(-12; 5)$.

Теперь мы можем найти образы точек B, C и D, применив к их координатам вектор переноса $(3; -11)$.

Образ точки B

Найдем образ $B_1(x'; y')$ для точки $B(5; -2)$.

$x' = x_B + a = 5 + 3 = 8$

$y' = y_B + b = -2 + (-11) = -13$

Ответ: $B_1(8; -13)$.

Образ точки C

Найдем образ $C_1(x'; y')$ для точки $C(-6; -1)$.

$x' = x_C + a = -6 + 3 = -3$

$y' = y_C + b = -1 + (-11) = -12$

Ответ: $C_1(-3; -12)$.

Образ точки D

Найдем образ $D_1(x'; y')$ для точки $D(-12; 5)$.

$x' = x_D + a = -12 + 3 = -9$

$y' = y_D + b = 5 + (-11) = -6$

Ответ: $D_1(-9; -6)$.

253. Найдите уравнение окружности, являющейся образом окружности $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 14$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(2; -1).$

253. Найдите уравнение окружности, являющейся образом окружности $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 14$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(2; -1)$.

Стандартное уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

Из уравнения исходной окружности $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 14$ мы можем определить её центр и радиус. Центр $C$ имеет координаты $(2, -1)$, а квадрат радиуса $R^2 = 14$.

Параллельный перенос является движением, то есть преобразованием, сохраняющим расстояния между точками. Следовательно, образом окружности при параллельном переносе будет окружность с тем же радиусом. Изменится только положение её центра.

Чтобы найти координаты нового центра $C'$, нужно к координатам старого центра $C(2, -1)$ прибавить соответствующие координаты вектора переноса $\vec{a}(2; -1)$:
$x'_0 = 2 + 2 = 4$
$y'_0 = -1 + (-1) = -2$
Таким образом, новый центр окружности $C'$ находится в точке $(4, -2)$.

Радиус окружности при переносе не изменился, значит, квадрат нового радиуса $R'^2$ также равен 14.

Теперь мы можем записать уравнение искомой окружности, подставив в стандартную формулу координаты нового центра $C'(4, -2)$ и квадрат радиуса:
$(x - 4)^2 + (y - (-2))^2 = 14$
$(x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 14$

Ответ: $(x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 14$

254. Выполнили параллельный перенос прямой $2x + 3y = 6$. Запишите уравнение полученной прямой, если она проходит через точку:

1) O (0; 0);

2) B (-1; 4).

254. Выполнили параллельный перенос прямой $2x + 3y = 6$. Запишите уравнение полученной прямой, если она проходит через точку:

1) O (0; 0);

2) B (-1; 4).

При параллельном переносе прямая переходит в параллельную ей прямую. Общее уравнение прямой, параллельной данной прямой $2x + 3y = 6$, имеет вид $2x + 3y = c$, где $c$ – некоторая константа. Чтобы найти уравнение искомой прямой, необходимо определить значение $c$, используя координаты точки, через которую эта прямая проходит.

1) Прямая проходит через точку $O(0; 0)$.

Подставим координаты точки $O$ в уравнение $2x + 3y = c$:
$2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = c$
$0 = c$
Следовательно, уравнение полученной прямой имеет вид $2x + 3y = 0$.
Ответ: $2x + 3y = 0$.

2) Прямая проходит через точку $B(-1; 4)$.

Подставим координаты точки $B$ в уравнение $2x + 3y = c$:
$2 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 = c$
$-2 + 12 = c$
$10 = c$
Следовательно, уравнение полученной прямой имеет вид $2x + 3y = 10$.
Ответ: $2x + 3y = 10$.

255. Прямая $a$ проходит через середину основания $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$. Можно ли утверждать, что прямая $a$ является осью симметрии треугольника $ABC$?

255. Прямая $a$ проходит через середину основания $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$. Можно ли утверждать, что прямая $a$ является осью симметрии треугольника $ABC$?

Осью симметрии равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$ является прямая, которая проходит через вершину $B$ и середину основания $AC$. Эта прямая является одновременно медианой, высотой и биссектрисой, проведенной из вершины $B$, и она перпендикулярна основанию $AC$.

В условии задачи дано, что прямая $a$ проходит через середину основания $AC$. Обозначим эту середину точкой $M$. Таким образом, прямая $a$ проходит через точку $M$.

Однако одного этого условия недостаточно, чтобы утверждать, что прямая $a$ является осью симметрии. Через точку $M$ можно провести бесконечное множество прямых. Для того чтобы прямая $a$ была осью симметрии, она должна также проходить через вершину $B$ (или, что то же самое, быть перпендикулярной основанию $AC$). В условии задачи этого не указано.

Рассмотрим контрпример. Пусть прямая $a$ проходит через точку $M$ (середину $AC$), но не проходит через вершину $B$. Например, прямая $a$ может быть проведена через точку $M$ под углом, отличным от 90 градусов к основанию $AC$. В таком случае при отражении относительно прямой $a$ вершина $B$ перейдет в точку $B'$, не лежащую на треугольнике, а вершины $A$ и $C$ не будут симметричны друг другу. Следовательно, такая прямая не является осью симметрии.

Таким образом, утверждать, что любая прямая $a$, проходящая через середину основания равнобедренного треугольника, является его осью симметрии, нельзя.

Ответ: Нет, нельзя.

256. Даны прямая $a$ и точка $P$, непринадлежащая ей (рис. 20).

Постройте точку, симметрич-ную точку $P$ относительно пря-мой $a$.

256. Даны прямая $a$ и точка $P$, не принадлежащая ей (рис. 20). Постройте точку, симметричную точке $P$ относительно прямой $a$.

Рис. 20

Точка, симметричная точке P относительно прямой a, — это такая точка P', для которой прямая a является серединным перпендикуляром к отрезку PP'. Это означает, что отрезок PP' перпендикулярен прямой a, а точка их пересечения (обозначим ее M) должна быть серединой отрезка PP'.

Для построения искомой точки на клетчатой бумаге выполним следующие шаги:

1. Проведем перпендикуляр из точки P к прямой a.На рисунке видно, что прямая a проходит по сетке так, что при смещении на одну клетку вправо она смещается на одну клетку вниз (ее тангенс угла наклона к оси абсцисс равен -1). Прямая, перпендикулярная ей, будет также проходить по диагоналям, но в другом направлении (при смещении на одну клетку вправо происходит смещение на одну клетку вверх). Проведем через точку P такую прямую.
2. Найдем расстояние от точки P до прямой a.Двигаясь по построенному перпендикуляру от точки P, мы дойдем до точки его пересечения с прямой a (назовем ее M). Чтобы попасть из P в M, необходимо сместиться на 2 клетки вправо и на 2 клетки вверх (пройти 2 клетки по диагонали). Это расстояние (длина отрезка PM) и есть расстояние от точки P до прямой a.
3. Построим симметричную точку P'.Для нахождения симметричной точки P' нужно отложить от точки M на перпендикулярной прямой отрезок MP', равный отрезку PM, по другую сторону от прямой a. Для этого от точки M смещаемся еще на 2 клетки вправо и на 2 клетки вверх. Полученная точка и будет искомой точкой P'.

Если ввести систему координат, где левый нижний угол сетки — начало координат $(0, 0)$, а одна клетка — единичный отрезок, то точка P имеет координаты $(1, 4)$, а прямая a задается уравнением $x + y = 9$. Тогда построенная точка P' будет иметь координаты $(5, 8)$.

Ответ: Результат построения показан на рисунке выше. Точка P' является искомой точкой, симметричной P относительно прямой a.