Страница 36 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Чему равен:

1) $ \sin (180^{\circ} - \alpha) $, если $ \sin \alpha = 0,9 $;

2) $ \cos (180^{\circ} - \alpha) $, если $ \cos \alpha = 0,23 $;

3) $ \text{tg} (180^{\circ} - \alpha) $, если $ \text{tg} \alpha = -\frac{1}{3} $;

4) $ \text{ctg} (180^{\circ} - \alpha) $, если $ \text{ctg} \alpha = 9 $?

1. Чему равен:

1) $\sin (180^\circ - \alpha)$, если $\sin \alpha = 0,9$;

2) $\cos (180^\circ - \alpha)$, если $\cos \alpha = 0,23$;

3) $\tan (180^\circ - \alpha)$, если $\tan \alpha = -\frac{1}{3}$;

4) $\cot (180^\circ - \alpha)$, если $\cot \alpha = 9$?

Для решения данных задач используются формулы приведения. Эти формулы позволяют выразить тригонометрические функции углов, связанных с опорными углами (например, $180^\circ$ или $\pi$ радиан), через функции исходного угла $\alpha$.

Основные формулы приведения для угла $(180^\circ - \alpha)$:

• $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$ (синус во второй четверти положителен)
• $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ (косинус во второй четверти отрицателен)
• $\text{tg}(180^\circ - \alpha) = -\text{tg} \alpha$ (тангенс во второй четверти отрицателен)
• $\text{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\text{ctg} \alpha$ (котангенс во второй четверти отрицателен)

Применим эти формулы для решения каждого подпункта.

1) sin(180° − α), если sin α = 0,9;

Согласно формуле приведения, $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$.

Так как по условию $\sin \alpha = 0,9$, то:

$\sin(180^\circ - \alpha) = 0,9$.

Ответ: 0,9

2) cos(180° − α), если cos α = 0,23;

Используем формулу приведения для косинуса: $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$.

Подставим известное значение $\cos \alpha = 0,23$:

$\cos(180^\circ - \alpha) = -0,23$.

Ответ: -0,23

3) tg(180° − α), если tg α = -1/3;

Формула приведения для тангенса: $\text{tg}(180^\circ - \alpha) = -\text{tg} \alpha$.

Подставим данное значение $\text{tg} \alpha = -\frac{1}{3}$:

$\text{tg}(180^\circ - \alpha) = -(-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

4) ctg(180° − α), если ctg α = 9?

Применяем формулу приведения для котангенса: $\text{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\text{ctg} \alpha$.

Подставляем известное значение $\text{ctg} \alpha = 9$:

$\text{ctg}(180^\circ - \alpha) = -9$.

Ответ: -9

2. Найдите значение выражения:

1) $6\sin 90^\circ - 3\cos 180^\circ$;

2) $2\cos 0^\circ + \text{tg} 0^\circ$;

3) $\sin^2 50^\circ + \cos^2 50^\circ$;

4) $\sin^2 20^\circ + \cos^2 160^\circ$.

2. Найдите значение выражения:

1) $6\sin 90^{\circ} - 3\cos 180^{\circ}$;

2) $2\cos 0^{\circ} + \operatorname{tg} 0^{\circ}$;

3) $\sin^2 50^{\circ} + \cos^2 50^{\circ}$;

4) $\sin^2 20^{\circ} + \cos^2 160^{\circ}$.

1) Для решения данного выражения воспользуемся известными значениями тригонометрических функций: $ \sin{90^\circ} = 1 $ и $ \cos{180^\circ} = -1 $.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$ 6\sin{90^\circ} - 3\cos{180^\circ} = 6 \cdot 1 - 3 \cdot (-1) = 6 + 3 = 9 $.
Ответ: 9

2) Найдем значения тригонометрических функций для угла $ 0^\circ $: $ \cos{0^\circ} = 1 $ и $ \text{tg}{0^\circ} = 0 $.
Подставим их в выражение:
$ 2\cos{0^\circ} + \text{tg}{0^\circ} = 2 \cdot 1 + 0 = 2 $.
Ответ: 2

3) Данное выражение является частным случаем основного тригонометрического тождества: $ \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1 $.
В нашем случае $ \alpha = 50^\circ $, поэтому:
$ \sin^2{50^\circ} + \cos^2{50^\circ} = 1 $.
Ответ: 1

4) Для решения этого выражения используем формулу приведения: $ \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos{\alpha} $.
Представим $ 160^\circ $ как $ 180^\circ - 20^\circ $. Тогда:
$ \cos{160^\circ} = \cos(180^\circ - 20^\circ) = -\cos{20^\circ} $.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$ \sin^2{20^\circ} + \cos^2{160^\circ} = \sin^2{20^\circ} + (-\cos{20^\circ})^2 = \sin^2{20^\circ} + \cos^2{20^\circ} $.
Снова применяем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1 $, где $ \alpha = 20^\circ $:
$ \sin^2{20^\circ} + \cos^2{20^\circ} = 1 $.
Ответ: 1

3. Найдите:

1) $ \cos \alpha $, если $ \sin \alpha = \frac{2}{3} $ и $ 0^\circ \le \alpha \le 90^\circ $;

2) $ \sin \alpha $, если $ \cos \alpha = -\frac{1}{5} $;

3) $ \cos \alpha $, если $ \sin \alpha = \frac{5}{6} $.

3. Найдите:

1) $\cos \alpha$, если $\sin \alpha = \frac{2}{3}$ и $0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ$;

2) $\sin \alpha$, если $\cos \alpha = -\frac{1}{5}$;

3) $\cos \alpha$, если $\sin \alpha = \frac{5}{6}$.

Для решения всех пунктов будем использовать основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

1) cos α, если sin α = 2/3 и 0° ≤ α ≤ 90°
Из основного тригонометрического тождества выразим $ \cos\alpha $:
$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $
Подставим известное значение $ \sin\alpha = \frac{2}{3} $:
$ \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{9-4}{9} = \frac{5}{9} $
Отсюда $ \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{5}{9}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3} $.
По условию, угол $ \alpha $ находится в диапазоне $ 0^\circ \le \alpha \le 90^\circ $, что соответствует первой четверти. В первой четверти косинус имеет положительное значение. Следовательно, выбираем знак «+».
$ \cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{5}}{3} $.

2) sin α, если cos α = -1/5
Из основного тригонометрического тождества выразим $ \sin\alpha $:
$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $
Подставим известное значение $ \cos\alpha = -\frac{1}{5} $:
$ \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{1}{5}\right)^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{25-1}{25} = \frac{24}{25} $
Отсюда $ \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{24}{25}} = \pm\frac{\sqrt{24}}{5} = \pm\frac{\sqrt{4 \cdot 6}}{5} = \pm\frac{2\sqrt{6}}{5} $.
Так как четверть, в которой находится угол $ \alpha $, не указана, возможны два значения для синуса (положительное во второй четверти и отрицательное в третьей, где косинус отрицателен).
Ответ: $ \pm\frac{2\sqrt{6}}{5} $.

3) cos α, если sin α = 5/6
Из основного тригонометрического тождества выразим $ \cos\alpha $:
$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $
Подставим известное значение $ \sin\alpha = \frac{5}{6} $:
$ \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 1 - \frac{25}{36} = \frac{36-25}{36} = \frac{11}{36} $
Отсюда $ \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{11}{36}} = \pm\frac{\sqrt{11}}{6} $.
Так как четверть, в которой находится угол $ \alpha $, не указана, возможны два значения для косинуса (положительное в первой четверти и отрицательное во второй, где синус положителен).
Ответ: $ \pm\frac{\sqrt{11}}{6} $.

4. Сравните с нулём значение выражения:

1) $ \cos 102^\circ \cot 92^\circ; $

2) $ \sin 0^\circ \cos 28^\circ \tan 82^\circ. $

4. Сравните с нулём значение выражения:

1) $\cos 102^\circ \cot 92^\circ$;

2) $\sin 0^\circ \cos 28^\circ \tan 82^\circ$.

1) Чтобы сравнить с нулем значение выражения $cos 102^\circ \cdot ctg 92^\circ$, определим знаки каждого множителя.

Угол $102^\circ$ находится во второй координатной четверти, так как $90^\circ < 102^\circ < 180^\circ$. Косинус во второй четверти имеет отрицательный знак, следовательно, $cos 102^\circ < 0$.

Угол $92^\circ$ также находится во второй координатной четверти ($90^\circ < 92^\circ < 180^\circ$). Котангенс во второй четверти также имеет отрицательный знак, следовательно, $ctg 92^\circ < 0$.

Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Таким образом, $cos 102^\circ \cdot ctg 92^\circ > 0$.

Ответ: $cos 102^\circ \cdot ctg 92^\circ > 0$.

2) Чтобы сравнить с нулем значение выражения $sin 0^\circ \cdot cos 28^\circ \cdot tg 82^\circ$, найдем значения его множителей.

Значение синуса нуля градусов равно нулю: $sin 0^\circ = 0$.

Поскольку один из множителей в произведении равен нулю, то все произведение равно нулю, независимо от значений других множителей.

$0 \cdot cos 28^\circ \cdot tg 82^\circ = 0$.

Следовательно, значение данного выражения равно нулю.

Ответ: $sin 0^\circ \cdot cos 28^\circ \cdot tg 82^\circ = 0$.

5. Найдите значение выражения:

1) $\cos 120^\circ \sin 135^\circ \operatorname{ctg} 150^\circ$

2) $4\operatorname{tg}^2 120^\circ + 4\sin^2 120^\circ - 3\cos 90^\circ \operatorname{ctg} 100^\circ$

5. Найдите значение выражения:

1) $ \cos 120^\circ \sin 135^\circ \cot 150^\circ $;

2) $ 4 \tan^2 120^\circ + 4 \sin^2 120^\circ - 3 \cos 90^\circ \cot 100^\circ $.

1) cos 120° sin 135° ctg 150°

Для решения данного выражения необходимо найти значения каждой тригонометрической функции, используя формулы приведения. Углы 120°, 135° и 150° находятся во второй четверти.

1. Найдем значение $ \cos{120°} $. Косинус во второй четверти отрицателен.
$ \cos{120°} = \cos(180° - 60°) = -\cos{60°} = -\frac{1}{2} $

2. Найдем значение $ \sin{135°} $. Синус во второй четверти положителен.
$ \sin{135°} = \sin(180° - 45°) = \sin{45°} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

3. Найдем значение $ \text{ctg}{150°} $. Котангенс во второй четверти отрицателен.
$ \text{ctg}{150°} = \text{ctg}(180° - 30°) = -\text{ctg}{30°} = -\sqrt{3} $

4. Теперь перемножим полученные значения:
$ \cos{120°} \sin{135°} \text{ctg}{150°} = (-\frac{1}{2}) \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (-\sqrt{3}) = \frac{1 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6}}{4} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{6}}{4} $.

2) 4tg² 120° + 4sin² 120° - 3cos 90° ctg 100°

Рассмотрим выражение по частям.

1. Сначала обратим внимание на последнее слагаемое: $ - 3\cos{90°} \text{ctg}{100°} $.
Известно, что значение $ \cos{90°} = 0 $.
Следовательно, все произведение равно нулю: $ 3\cos{90°} \text{ctg}{100°} = 3 \cdot 0 \cdot \text{ctg}{100°} = 0 $.

2. Таким образом, выражение упрощается до: $ 4\text{tg}²{120°} + 4\sin²{120°} $.

3. Найдем значение $ \text{tg}{120°} $. Угол 120° находится во второй четверти, где тангенс отрицателен.
$ \text{tg}{120°} = \text{tg}(180° - 60°) = -\text{tg}{60°} = -\sqrt{3} $
Тогда $ \text{tg}²{120°} = (-\sqrt{3})² = 3 $.

4. Найдем значение $ \sin{120°} $. Угол 120° находится во второй четверти, где синус положителен.
$ \sin{120°} = \sin(180° - 60°) = \sin{60°} = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Тогда $ \sin²{120°} = (\frac{\sqrt{3}}{2})² = \frac{3}{4} $.

5. Подставим найденные значения в упрощенное выражение:
$ 4\text{tg}²{120°} + 4\sin²{120°} = 4 \cdot 3 + 4 \cdot \frac{3}{4} = 12 + 3 = 15 $.

Ответ: 15.

6. Найдите значение выражения, не пользуясь таблицами и калькулятором:

1) $\frac{\cos 123^{\circ}}{\cos 57^{\circ}} - \frac{\operatorname{tg} 141^{\circ}}{\operatorname{tg} 39^{\circ}}$

2) $\frac{\sin 18^{\circ}}{\sin 162^{\circ}} + \frac{\operatorname{ctg} 103^{\circ}}{\operatorname{ctg} 77^{\circ}}$

6. Найдите значение выражения, не пользуясь таблицами и калькулятором:

1) $ \frac{\cos 123^\circ}{\cos 57^\circ} - \frac{\text{tg } 141^\circ}{\text{tg } 39^\circ} $;

2) $ \frac{\sin 18^\circ}{\sin 162^\circ} + \frac{\text{ctg } 103^\circ}{\text{ctg } 77^\circ} $.

Рассмотрим выражение: $\frac{\cos 123^\circ}{\cos 57^\circ} - \frac{\text{tg} 141^\circ}{\text{tg} 39^\circ}$.

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами приведения. Формулы приведения позволяют выразить тригонометрические функции углов, связанных с основными углами ($90^\circ, 180^\circ, 270^\circ, 360^\circ$), через функции исходного угла.

Упростим первую дробь: $\frac{\cos 123^\circ}{\cos 57^\circ}$.

Заметим, что $123^\circ + 57^\circ = 180^\circ$. Отсюда $123^\circ = 180^\circ - 57^\circ$.
Применим формулу приведения для косинуса: $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$.
Получаем: $\cos 123^\circ = \cos(180^\circ - 57^\circ) = -\cos 57^\circ$.

Подставим полученное значение в первую дробь:
$\frac{-\cos 57^\circ}{\cos 57^\circ} = -1$.

Теперь упростим вторую дробь: $\frac{\text{tg} 141^\circ}{\text{tg} 39^\circ}$.

Заметим, что $141^\circ + 39^\circ = 180^\circ$. Отсюда $141^\circ = 180^\circ - 39^\circ$.
Применим формулу приведения для тангенса: $\text{tg}(180^\circ - \alpha) = -\text{tg} \alpha$.
Получаем: $\text{tg} 141^\circ = \text{tg}(180^\circ - 39^\circ) = -\text{tg} 39^\circ$.

Подставим полученное значение во вторую дробь:
$\frac{-\text{tg} 39^\circ}{\text{tg} 39^\circ} = -1$.

Теперь вычислим значение исходного выражения, подставив найденные значения дробей:
$\frac{\cos 123^\circ}{\cos 57^\circ} - \frac{\text{tg} 141^\circ}{\text{tg} 39^\circ} = (-1) - (-1) = -1 + 1 = 0$.

Ответ: 0

Рассмотрим выражение: $\frac{\sin 18^\circ}{\sin 162^\circ} + \frac{\text{ctg} 103^\circ}{\text{ctg} 77^\circ}$.

Для упрощения этого выражения также воспользуемся формулами приведения.

Упростим первую дробь: $\frac{\sin 18^\circ}{\sin 162^\circ}$.

Заметим, что $18^\circ + 162^\circ = 180^\circ$. Отсюда $162^\circ = 180^\circ - 18^\circ$.
Применим формулу приведения для синуса: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$.
Получаем: $\sin 162^\circ = \sin(180^\circ - 18^\circ) = \sin 18^\circ$.

Подставим полученное значение в первую дробь:
$\frac{\sin 18^\circ}{\sin 18^\circ} = 1$.

Теперь упростим вторую дробь: $\frac{\text{ctg} 103^\circ}{\text{ctg} 77^\circ}$.

Заметим, что $103^\circ + 77^\circ = 180^\circ$. Отсюда $103^\circ = 180^\circ - 77^\circ$.
Применим формулу приведения для котангенса: $\text{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\text{ctg} \alpha$.
Получаем: $\text{ctg} 103^\circ = \text{ctg}(180^\circ - 77^\circ) = -\text{ctg} 77^\circ$.

Подставим полученное значение во вторую дробь:
$\frac{-\text{ctg} 77^\circ}{\text{ctg} 77^\circ} = -1$.

Теперь вычислим значение исходного выражения, подставив найденные значения дробей:
$\frac{\sin 18^\circ}{\sin 162^\circ} + \frac{\text{ctg} 103^\circ}{\text{ctg} 77^\circ} = 1 + (-1) = 1 - 1 = 0$.

Ответ: 0

7. Найдите сторону $BC$ треугольника $ABC$, если:

1) $AB = 4\sqrt{3}$ см, $AC = 2$ см, $\angle A = 30^{\circ}$;

2) $AB = 4$ см, $AC = 8$ см, $\angle A = 120^{\circ}$.

7. Найдите сторону $BC$ треугольника $ABC$, если:

1) $AB = 4\sqrt{3}$ см, $AC = 2$ см, $\angle A = 30^\circ$;

2) $AB = 4$ см, $AC = 8$ см, $\angle A = 120^\circ$.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов. Для треугольника $ABC$ она записывается следующим образом для стороны $BC$:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)$

1) Дано: $AB = 4\sqrt{3}$ см, $AC = 2$ см, $\angle A = 30^\circ$.

Подставим данные значения в формулу теоремы косинусов:

$BC^2 = (4\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 2 \cdot \cos(30^\circ)$

Теперь произведем вычисления. Учитывая, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$BC^2 = (16 \cdot 3) + 4 - 16\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$BC^2 = 48 + 4 - \frac{16 \cdot 3}{2}$

$BC^2 = 52 - \frac{48}{2}$

$BC^2 = 52 - 24$

$BC^2 = 28$

Чтобы найти длину стороны $BC$, извлечем квадратный корень из полученного значения:

$BC = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$ см.

Ответ: $2\sqrt{7}$ см.

2) Дано: $AB = 4$ см, $AC = 8$ см, $\angle A = 120^\circ$.

Подставим данные значения в формулу теоремы косинусов:

$BC^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ)$

Произведем вычисления. Учитывая, что $\cos(120^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$:

$BC^2 = 16 + 64 - 64 \cdot (-\frac{1}{2})$

$BC^2 = 16 + 64 + 32$

$BC^2 = 80 + 32$

$BC^2 = 112$

Теперь найдем длину стороны $BC$, извлекая квадратный корень:

$BC = \sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$ см.

Ответ: $4\sqrt{7}$ см.

8. Найдите косинус среднего по величине угла треугольника, стороны которого равны 6 см, 9 см и 11 см.

8. Найдите косинус среднего по величине угла треугольника, стороны которого равны 6 см, 9 см и 11 см.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против меньшей стороны — меньший угол. Следовательно, средний по величине угол лежит против средней по длине стороны.

Стороны треугольника равны 6 см, 9 см и 11 см. Средняя по длине сторона равна 9 см. Нам нужно найти косинус угла, лежащего против этой стороны.

Для нахождения косинуса угла треугольника по трём известным сторонам воспользуемся теоремой косинусов. Пусть стороны треугольника равны $a, b, c$, а угол, противолежащий стороне $b$, равен $\beta$. Тогда теорема косинусов записывается так:

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\beta)$

Выразим из этой формулы косинус угла $\beta$:

$\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

В нашем случае сторона, противолежащая искомому углу, это $b = 9$ см, а две другие стороны — $a = 6$ см и $c = 11$ см. Подставим эти значения в формулу:

$\cos(\beta) = \frac{6^2 + 11^2 - 9^2}{2 \cdot 6 \cdot 11}$

Выполним вычисления:

$\cos(\beta) = \frac{36 + 121 - 81}{132}$

$\cos(\beta) = \frac{157 - 81}{132}$

$\cos(\beta) = \frac{76}{132}$

Теперь сократим полученную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 4:

$\cos(\beta) = \frac{76 \div 4}{132 \div 4} = \frac{19}{33}$

Ответ: $\frac{19}{33}$