Страница 40 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

41. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой стороной 13 см.

41. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой стороной 13 см.

Для нахождения радиуса $R$ окружности, описанной около треугольника, воспользуемся формулой $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.

В нашем случае дан равнобедренный треугольник со сторонами $a = 10$ см (основание) и $b = c = 13$ см (боковые стороны).

1. Найдем высоту и площадь треугольника.

Проведем высоту $h$ к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка по $10 / 2 = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, боковой стороной ($13$ см) и половиной основания ($5$ см). По теореме Пифагора найдем высоту $h$:

$h^2 + 5^2 = 13^2$

$h^2 + 25 = 169$

$h^2 = 169 - 25 = 144$

$h = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $S$ по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ см².

2. Найдем радиус описанной окружности.

Подставим значения сторон и площади в формулу для радиуса:

$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S} = \frac{10 \cdot 13 \cdot 13}{4 \cdot 60} = \frac{10 \cdot 169}{240} = \frac{1690}{240} = \frac{169}{24}$ см.

Также можно было использовать специальную формулу для радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника: $R = \frac{b^2}{2h}$, где $b$ — боковая сторона, а $h$ — высота, проведенная к основанию.

$R = \frac{13^2}{2 \cdot 12} = \frac{169}{24}$ см.

Представим ответ в виде смешанной дроби:

$\frac{169}{24} = 7 \frac{1}{24}$ см.

Ответ: $7 \frac{1}{24}$ см.

42. Основания равнобокой трапеции равны 8 см и 24 см, а боковая сторона — 10 см. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

42. Основания равнобокой трапеции равны 8 см и 24 см, а боковая сторона — 10 см. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями AD и BC. По условию, меньшее основание $BC = 8$ см, большее основание $AD = 24$ см, а боковые стороны $AB = CD = 10$ см.

1. Найдем высоту трапеции

Проведем высоты BH и CK из вершин B и C на основание AD. Так как трапеция равнобокая, отрезки, которые высоты отсекают от большего основания, равны:

$AH = KD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{24 - 8}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора найдем высоту $h = BH$:

$h^2 = AB^2 - AH^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$.

Следовательно, высота трапеции $h = \sqrt{36} = 6$ см.

2. Найдем диагональ трапеции

Радиус окружности, описанной около трапеции, совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника, образованного любыми тремя ее вершинами, например, треугольника ABD. Для нахождения этого радиуса нам понадобится длина диагонали BD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHD. Его катеты равны $BH = 6$ см и $HD = AD - AH = 24 - 8 = 16$ см.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу BD, которая является диагональю трапеции ($d$):

$d^2 = BD^2 = BH^2 + HD^2 = 6^2 + 16^2 = 36 + 256 = 292$.

$d = BD = \sqrt{292} = \sqrt{4 \cdot 73} = 2\sqrt{73}$ см.

3. Найдем радиус описанной окружности

Для треугольника ABD со сторонами $AB=10$ см, $AD=24$ см и $BD=2\sqrt{73}$ см радиус описанной окружности $R$ вычисляется по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.

Площадь треугольника ABD равна:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 6 = 72$ см$^2$.

Подставим известные значения в формулу для радиуса:

$R = \frac{AB \cdot AD \cdot BD}{4S_{ABD}} = \frac{10 \cdot 24 \cdot 2\sqrt{73}}{4 \cdot 72} = \frac{480\sqrt{73}}{288}$.

Сократим дробь $\frac{480}{288}$, разделив числитель и знаменатель на 96:

$\frac{480}{288} = \frac{5 \cdot 96}{3 \cdot 96} = \frac{5}{3}$.

Таким образом, радиус равен:

$R = \frac{5\sqrt{73}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{5\sqrt{73}}{3}$ см.

43. Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны. Найдите боковую сторону трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен $6\sqrt{2}$ см.

43. Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны.

Найдите боковую сторону трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен $6\sqrt{2}$ см.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. По условию задачи, диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны. Радиус окружности, описанной около трапеции, равен $R = 6\sqrt{2}$ см. Необходимо найти длину боковой стороны.

1. Пусть диагонали трапеции пересекаются в точке $O$. Поскольку трапеция $ABCD$ равнобокая, то треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$ равны по трем сторонам ($AB=DC$, $BD=AC$, $AD$ — общая сторона). Из равенства этих треугольников следует равенство углов: $\angle CAD = \angle BDA$.

2. Рассмотрим треугольник $\triangle AOD$. Углы $\angle OAD$ (тот же, что и $\angle CAD$) и $\angle ODA$ (тот же, что и $\angle BDA$) являются углами при его основании $AD$. Так как $\angle OAD = \angle ODA$, треугольник $\triangle AOD$ является равнобедренным, т.е. $AO = DO$.

3. По условию, диагонали трапеции перпендикулярны, значит, угол $\angle AOD = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle AOD$ — равнобедренный прямоугольный треугольник.

4. В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при гипотенузе равны $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$. Таким образом, $\angle ODA = 45^\circ$.

5. Окружность, описанная около трапеции $ABCD$, является также описанной и для треугольника $\triangle ABD$, вершины которого лежат на этой окружности.

6. Применим к треугольнику $\triangle ABD$ расширенную теорему синусов: $$ \frac{AB}{\sin(\angle BDA)} = 2R $$ Здесь $AB$ — искомая боковая сторона (обозначим ее $c$), $R = 6\sqrt{2}$ см — радиус описанной окружности, а угол $\angle BDA = \angle ODA = 45^\circ$.

7. Подставляя известные значения, получаем: $$ \frac{c}{\sin(45^\circ)} = 2 \cdot 6\sqrt{2} $$ Выразим отсюда $c$: $$ c = 12\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) $$ Зная, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, находим: $$ c = 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12 \cdot \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = 12 \cdot \frac{2}{2} = 12 \text{ см}. $$

Ответ: 12 см.

44. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла, а основания относятся как $5:13$.

Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если её диагональ равна 12 см.

44. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла, а основания относятся как 5 : 13. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если её диагональ равна 12 см.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания, причем AD > BC. По условию, диагональ AC является биссектрисой острого угла ∠DAB. Это означает, что ∠BAC = ∠CAD.

Поскольку основания трапеции параллельны (BC || AD), углы ∠BCA и ∠CAD являются накрест лежащими при секущей AC, следовательно, ∠BCA = ∠CAD. Из этих двух равенств следует, что ∠BAC = ∠BCA. Это значит, что треугольник ABC является равнобедренным, и его стороны AB и BC равны: AB = BC.

Так как трапеция ABCD равнобокая, ее боковые стороны равны: AB = CD. Объединяя полученные результаты, имеем AB = BC = CD.

По условию, основания относятся как 5 : 13. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда меньшее основание BC = $5x$, а большее основание AD = $13x$. Из равенства сторон, которое мы доказали, следует, что боковые стороны также равны $5x$: AB = CD = $5x$.

Для нахождения $x$ воспользуемся длиной диагонали AC = 12 см. Проведем из вершины C высоту CH на основание AD. В равнобокой трапеции длина отрезка HD, который является проекцией боковой стороны CD на большее основание, вычисляется по формуле:

$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{13x - 5x}{2} = \frac{8x}{2} = 4x$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. По теореме Пифагора найдем высоту CH:

$CH^2 = CD^2 - HD^2 = (5x)^2 - (4x)^2 = 25x^2 - 16x^2 = 9x^2$, откуда $CH = 3x$.

Далее рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. Его катеты равны CH = $3x$ и AH. Длину катета AH можно найти как $AH = AD - HD = 13x - 4x = 9x$. Гипотенузой этого треугольника является диагональ AC. Применим теорему Пифагора:

$AC^2 = AH^2 + CH^2$

$12^2 = (9x)^2 + (3x)^2$

$144 = 81x^2 + 9x^2$

$144 = 90x^2$

Отсюда находим $x^2 = \frac{144}{90} = \frac{16}{10} = 1.6$.

Радиус R окружности, описанной около трапеции, совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника, образованного тремя ее вершинами, например, треугольника ACD. Радиус описанной окружности можно найти по следствию из теоремы синусов:

$R = \frac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол.

Для треугольника ACD формула примет вид: $R = \frac{AC}{2\sin(\angle ADC)}$.

Синус угла ADC найдем из прямоугольного треугольника CHD:

$\sin(\angle ADC) = \frac{CH}{CD} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$.

Подставим известные значения в формулу для радиуса:

$R = \frac{12}{2 \cdot \frac{3}{5}} = \frac{12}{\frac{6}{5}} = 12 \cdot \frac{5}{6} = 10$ см.

Ответ: 10 см.

45. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$. Найдите сторону $AB$, если $AC = 9$ см, а радиусы окружностей, описанных около треугольников $ABM$ и $ACM$, соответственно равны 4 см и 6 см.

45. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$. Найдите сторону $AB$, если $AC = 9$ см, а радиусы окружностей, описанных около треугольников $ABM$ и $ACM$, соответственно равны 4 см и 6 см.

Пусть $R_1$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABM$, и $R_2$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ACM$. Согласно условию задачи, нам даны следующие значения: $AC = 9$ см, $R_1 = 4$ см, $R_2 = 6$ см.

Для решения задачи воспользуемся обобщенной теоремой синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно двум радиусам описанной около этого треугольника окружности ($ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R $).

Применим теорему синусов для треугольника $ACM$: $$ \frac{AC}{\sin(\angle AMC)} = 2R_2 $$ Подставим известные значения: $$ \frac{9}{\sin(\angle AMC)} = 2 \cdot 6 $$ $$ \frac{9}{\sin(\angle AMC)} = 12 $$ Из этого уравнения находим синус угла $\angle AMC$: $$ \sin(\angle AMC) = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} $$

Поскольку точка $M$ лежит на стороне $BC$, углы $\angle AMB$ и $\angle AMC$ являются смежными. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Важным свойством синусов для смежных углов является их равенство: $$ \angle AMB + \angle AMC = 180^\circ $$ $$ \sin(\angle AMB) = \sin(180^\circ - \angle AMC) = \sin(\angle AMC) $$ Следовательно: $$ \sin(\angle AMB) = \frac{3}{4} $$

Теперь применим теорему синусов для треугольника $ABM$: $$ \frac{AB}{\sin(\angle AMB)} = 2R_1 $$ Подставим известные значения $R_1$ и найденное значение синуса угла $\angle AMB$: $$ \frac{AB}{3/4} = 2 \cdot 4 $$ $$ \frac{AB}{3/4} = 8 $$ Выразим и найдем длину стороны $AB$: $$ AB = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6 $$

Ответ: 6 см.

46. Найдите неизвестные стороны и углы треугольника ABC, если:

1) $AB = 12$ см, $\angle A = 74^\circ$, $\angle C = 39^\circ$;

2) $AB = 8$ см, $BC = 5$ см, $\angle B = 100^\circ$;

3) $AB = 6$ см, $BC = 7$ см, $AC = 10$ см;

4) $AC = 5$ см, $BC = 8$ см, $\angle A = 130^\circ$;

5) $AC = 6$ см, $AB = 8$ см, $\angle C = 10^\circ$;

6) $BC = 8$ см, $AC = 7$ см, $\angle B = 10^\circ$;

7) $BC = 8$ см, $AC = 3$ см, $\angle B = 70^\circ$.

46. Найдите неизвестные стороны и углы треугольника $ABC$, если:

1) $AB = 12 \text{ см}$, $\angle A = 74^\circ$, $\angle C = 39^\circ$;

2) $AB = 8 \text{ см}$, $BC = 5 \text{ см}$, $\angle B = 100^\circ$;

3) $AB = 6 \text{ см}$, $BC = 7 \text{ см}$, $AC = 10 \text{ см}$;

4) $AC = 5 \text{ см}$, $BC = 8 \text{ см}$, $\angle A = 130^\circ$;

5) $AC = 6 \text{ см}$, $AB = 8 \text{ см}$, $\angle C = 10^\circ$;

6) $BC = 8 \text{ см}$, $AC = 7 \text{ см}$, $\angle B = 10^\circ$;

7) $BC = 8 \text{ см}$, $AC = 3 \text{ см}$, $\angle B = 70^\circ$.

Для решения задач будем использовать теорему синусов и теорему косинусов для треугольника $ABC$ со сторонами $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$.

Теорема синусов: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.

Теорема косинусов: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.

Сумма углов треугольника: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Дано: $c = 12$ см, $\angle A = 74^\circ$, $\angle C = 39^\circ$. Найти: $\angle B, AC, BC$.

1. Находим неизвестный угол $\angle B$ из свойства суммы углов треугольника:

$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (74^\circ + 39^\circ) = 180^\circ - 113^\circ = 67^\circ$.

2. Находим неизвестные стороны $BC$ (сторона $a$) и $AC$ (сторона $b$) по теореме синусов:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} \Rightarrow BC = \frac{AB \cdot \sin A}{\sin C} = \frac{12 \cdot \sin 74^\circ}{\sin 39^\circ} \approx \frac{12 \cdot 0.9613}{0.6293} \approx 18.33$ см.

$\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} \Rightarrow AC = \frac{AB \cdot \sin B}{\sin C} = \frac{12 \cdot \sin 67^\circ}{\sin 39^\circ} \approx \frac{12 \cdot 0.9205}{0.6293} \approx 17.55$ см.

Ответ: $\angle B = 67^\circ$, $BC \approx 18.33$ см, $AC \approx 17.55$ см.

Дано: $c = AB = 8$ см, $a = BC = 5$ см, $\angle B = 100^\circ$. Найти: $AC, \angle A, \angle C$.

1. Находим сторону $AC$ (сторона $b$) по теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$

$AC^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 100^\circ = 64 + 25 - 80 \cdot (-0.1736) \approx 89 + 13.89 = 102.89$.

$AC = \sqrt{102.89} \approx 10.14$ см.

2. Находим угол $\angle A$ по теореме синусов:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \Rightarrow \sin A = \frac{BC \cdot \sin B}{AC} \approx \frac{5 \cdot \sin 100^\circ}{10.14} \approx \frac{5 \cdot 0.9848}{10.14} \approx 0.4856$.

$\angle A = \arcsin(0.4856) \approx 29.05^\circ$.

3. Находим угол $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \approx 180^\circ - 29.05^\circ - 100^\circ = 50.95^\circ$.

Ответ: $AC \approx 10.14$ см, $\angle A \approx 29.05^\circ$, $\angle C \approx 50.95^\circ$.

Дано: $c = AB = 6$ см, $a = BC = 7$ см, $b = AC = 10$ см. Найти: $\angle A, \angle B, \angle C$.

1. Находим углы по теореме косинусов:

$\cos A = \frac{AC^2 + AB^2 - BC^2}{2 \cdot AC \cdot AB} = \frac{10^2 + 6^2 - 7^2}{2 \cdot 10 \cdot 6} = \frac{100 + 36 - 49}{120} = \frac{87}{120} = 0.725$.

$\angle A = \arccos(0.725) \approx 43.53^\circ$.

$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{6^2 + 7^2 - 10^2}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{36 + 49 - 100}{84} = \frac{-15}{84} \approx -0.1786$.

$\angle B = \arccos(-0.1786) \approx 100.28^\circ$.

2. Находим угол $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \approx 180^\circ - 43.53^\circ - 100.28^\circ = 36.19^\circ$.

Ответ: $\angle A \approx 43.53^\circ$, $\angle B \approx 100.28^\circ$, $\angle C \approx 36.19^\circ$.

Дано: $b = AC = 5$ см, $a = BC = 8$ см, $\angle A = 130^\circ$. Найти: $AB, \angle B, \angle C$.

1. Находим угол $\angle B$ по теореме синусов:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \Rightarrow \sin B = \frac{AC \cdot \sin A}{BC} = \frac{5 \cdot \sin 130^\circ}{8} \approx \frac{5 \cdot 0.7660}{8} \approx 0.4788$.

$\angle B = \arcsin(0.4788) \approx 28.61^\circ$. (Второй возможный угол $180^\circ - 28.61^\circ = 151.39^\circ$ не подходит, так как $130^\circ + 151.39^\circ > 180^\circ$).

2. Находим угол $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \approx 180^\circ - 130^\circ - 28.61^\circ = 21.39^\circ$.

3. Находим сторону $AB$ (сторона $c$) по теореме синусов:

$AB = \frac{BC \cdot \sin C}{\sin A} \approx \frac{8 \cdot \sin 21.39^\circ}{\sin 130^\circ} \approx \frac{8 \cdot 0.3647}{0.7660} \approx 3.81$ см.

Ответ: $\angle B \approx 28.61^\circ$, $\angle C \approx 21.39^\circ$, $AB \approx 3.81$ см.

Дано: $b = AC = 6$ см, $c = AB = 8$ см, $\angle C = 10^\circ$. Найти: $BC, \angle A, \angle B$.

1. Находим угол $\angle B$ по теореме синусов:

$\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} \Rightarrow \sin B = \frac{AC \cdot \sin C}{AB} = \frac{6 \cdot \sin 10^\circ}{8} \approx \frac{6 \cdot 0.1736}{8} \approx 0.1302$.

$\angle B = \arcsin(0.1302) \approx 7.48^\circ$. (Второй возможный угол $180^\circ - 7.48^\circ = 172.52^\circ$ не подходит, так как $10^\circ + 172.52^\circ > 180^\circ$).

2. Находим угол $\angle A$:

$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C \approx 180^\circ - 7.48^\circ - 10^\circ = 162.52^\circ$.

3. Находим сторону $BC$ (сторона $a$) по теореме синусов:

$BC = \frac{AB \cdot \sin A}{\sin C} \approx \frac{8 \cdot \sin 162.52^\circ}{\sin 10^\circ} \approx \frac{8 \cdot 0.3004}{0.1736} \approx 13.84$ см.

Ответ: $\angle B \approx 7.48^\circ$, $\angle A \approx 162.52^\circ$, $BC \approx 13.84$ см.

Дано: $a = BC = 8$ см, $b = AC = 7$ см, $\angle B = 10^\circ$. Найти: $AB, \angle A, \angle C$.

1. Находим угол $\angle A$ по теореме синусов:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \Rightarrow \sin A = \frac{BC \cdot \sin B}{AC} = \frac{8 \cdot \sin 10^\circ}{7} \approx \frac{8 \cdot 0.1736}{7} \approx 0.1984$.

Так как $\sin A \approx 0.1984 < 1$, возможны два решения для угла $\angle A$:

$\angle A_1 = \arcsin(0.1984) \approx 11.45^\circ$.

$\angle A_2 = 180^\circ - 11.45^\circ = 168.55^\circ$.

Оба варианта возможны, так как в обоих случаях сумма известных углов меньше $180^\circ$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $\angle A_1 \approx 11.45^\circ$.

$\angle C_1 = 180^\circ - \angle B - \angle A_1 \approx 180^\circ - 10^\circ - 11.45^\circ = 158.55^\circ$.

$AB_1 = \frac{AC \cdot \sin C_1}{\sin B} \approx \frac{7 \cdot \sin 158.55^\circ}{\sin 10^\circ} \approx \frac{7 \cdot 0.3657}{0.1736} \approx 14.75$ см.

Случай 2: $\angle A_2 \approx 168.55^\circ$.

$\angle C_2 = 180^\circ - \angle B - \angle A_2 \approx 180^\circ - 10^\circ - 168.55^\circ = 1.45^\circ$.

$AB_2 = \frac{AC \cdot \sin C_2}{\sin B} \approx \frac{7 \cdot \sin 1.45^\circ}{\sin 10^\circ} \approx \frac{7 \cdot 0.0253}{0.1736} \approx 1.02$ см.

Ответ: Задача имеет два решения:
1) $\angle A \approx 11.45^\circ$, $\angle C \approx 158.55^\circ$, $AB \approx 14.75$ см;
2) $\angle A \approx 168.55^\circ$, $\angle C \approx 1.45^\circ$, $AB \approx 1.02$ см.

Дано: $a = BC = 8$ см, $b = AC = 3$ см, $\angle B = 70^\circ$. Найти: $AB, \angle A, \angle C$.

1. Попробуем найти угол $\angle A$ по теореме синусов:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \Rightarrow \sin A = \frac{BC \cdot \sin B}{AC} = \frac{8 \cdot \sin 70^\circ}{3} \approx \frac{8 \cdot 0.9397}{3} \approx 2.5059$.

Значение синуса угла не может быть больше 1. Так как $\sin A \approx 2.5059 > 1$, то угла $A$, удовлетворяющего этому условию, не существует.

Ответ: Треугольник с такими параметрами не существует.

47. В треугольнике $ABC$ $\angle A = \angle B = 50^\circ$, $AB = 8$ см. Найдите:

1) сторону $AC$;

2) высоту $AH$;

3) медиану $CM$;

4) биссектрису $AD$;

5) радиус описанной окружности треугольника $ABC$;

6) радиус вписанной окружности треугольника $ABC$.

47. В треугольнике $ABC$ $\angle A = \angle B = 50^\circ$, $AB = 8$ см. Найдите:

1) сторону $AC$;

2) высоту $AH$;

3) медиану $CM$;

4) биссектрису $AD$;

5) радиус описанной окружности треугольника $ABC$;

6) радиус вписанной окружности треугольника $ABC$.

Поскольку в треугольнике ABC углы при основании равны ($\angle A = \angle B = 50^\circ$), то он является равнобедренным с основанием AB. Следовательно, боковые стороны AC и BC равны.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому угол $\angle C$ можно найти как:
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (50^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

1) сторону AC

Проведем высоту CM из вершины C к основанию AB. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, точка M делит сторону AB пополам: $AM = MB = AB / 2 = 8 / 2 = 4$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AMC. В нем известен катет $AM = 4$ см и угол $\angle A = 50^\circ$.
Из определения косинуса: $\cos A = \frac{AM}{AC}$.
Отсюда $AC = \frac{AM}{\cos A} = \frac{4}{\cos(50^\circ)}$ см.
Ответ: $AC = \frac{4}{\cos(50^\circ)}$ см.

2) высоту AH

Высота AH проведена из вершины A к стороне BC. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHB. В нем известна гипотенуза $AB = 8$ см и угол $\angle B = 50^\circ$.
Катет AH лежит напротив угла B. Из определения синуса: $\sin B = \frac{AH}{AB}$.
Отсюда $AH = AB \cdot \sin B = 8 \sin(50^\circ)$ см.
Ответ: $AH = 8 \sin(50^\circ)$ см.

3) медиану CM

Медиана CM проведена из вершины C к стороне AB. Как было показано в пункте 1, в данном равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также и высотой.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AMC. В нем известен катет $AM = 4$ см и угол $\angle A = 50^\circ$.
Из определения тангенса: $\tan A = \frac{CM}{AM}$.
Отсюда $CM = AM \cdot \tan A = 4 \tan(50^\circ)$ см.
Ответ: $CM = 4 \tan(50^\circ)$ см.

4) биссектрису AD

Биссектриса AD делит угол A пополам, поэтому $\angle BAD = \angle A / 2 = 50^\circ / 2 = 25^\circ$.
Рассмотрим треугольник ABD. В нем известна сторона $AB = 8$ см и два прилежащих к ней угла: $\angle B = 50^\circ$ и $\angle BAD = 25^\circ$.
Найдем третий угол этого треугольника: $\angle ADB = 180^\circ - (\angle B + \angle BAD) = 180^\circ - (50^\circ + 25^\circ) = 105^\circ$.
Применим теорему синусов к треугольнику ABD: $\frac{AD}{\sin B} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)}$.
$\frac{AD}{\sin(50^\circ)} = \frac{8}{\sin(105^\circ)}$.
Отсюда $AD = \frac{8 \sin(50^\circ)}{\sin(105^\circ)}$ см.
Ответ: $AD = \frac{8 \sin(50^\circ)}{\sin(105^\circ)}$ см.

5) радиус описанной окружности треугольника ABC

Радиус описанной окружности (R) можно найти с помощью обобщенной теоремы синусов: $\frac{c}{\sin C} = 2R$.
В нашем случае $c = AB = 8$ см, а $\angle C = 80^\circ$.
$\frac{8}{\sin(80^\circ)} = 2R$.
Отсюда $R = \frac{8}{2 \sin(80^\circ)} = \frac{4}{\sin(80^\circ)}$ см.
Ответ: $R = \frac{4}{\sin(80^\circ)}$ см.

6) радиус вписанной окружности треугольника ABC

Центр вписанной окружности (инцентр) — это точка пересечения биссектрис. В равнобедренном треугольнике ABC биссектриса угла C (которая совпадает с медианой и высотой CM) является осью симметрии, поэтому инцентр I лежит на CM.
Радиус вписанной окружности (r) — это длина перпендикуляра, опущенного из инцентра на сторону. Так как CM перпендикулярна AB, то отрезок IM (где M - середина AB) равен радиусу r.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AMI. AI является биссектрисой угла A, поэтому $\angle IAM = \angle A / 2 = 50^\circ / 2 = 25^\circ$. Катет $AM = 4$ см.
Из определения тангенса: $\tan(\angle IAM) = \frac{IM}{AM}$.
$\tan(25^\circ) = \frac{r}{4}$.
Отсюда $r = 4 \tan(25^\circ)$ см.
Ответ: $r = 4 \tan(25^\circ)$ см.

48. В трапеции $ABCD$ $AB = CD = 8$ см, $\angle CBD = 58^\circ$, $\angle ABD = 46^\circ$. Найдите:

1) основания и диагональ трапеции;

2) радиус окружности, описанной около треугольника $ABD$.

48. В трапеции $ABCD$ $AB = CD = 8$ см, $\angle CBD = 58^\circ$, $\angle ABD = 46^\circ$. Найдите:

1) основания и диагональ трапеции;

2) радиус окружности, описанной около треугольника $ABD$.

Поскольку в трапеции ABCD боковые стороны равны ($AB = CD = 8$ см), трапеция является равнобедренной. Основания трапеции — $BC$ и $AD$.

Найдем углы, необходимые для решения.Угол при вершине B трапеции равен сумме двух данных углов:$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 46^\circ + 58^\circ = 104^\circ$.Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$, поэтому угол при вершине A:$\angle BAD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ$.Так как основания $BC$ и $AD$ параллельны, накрест лежащие углы при секущей $BD$ равны:$\angle ADB = \angle CBD = 58^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Мы знаем сторону $AB = 8$ см и все его углы: $\angle BAD = 76^\circ$, $\angle ABD = 46^\circ$ и $\angle ADB = 58^\circ$.Применим теорему синусов для треугольника $ABD$:$\frac{AB}{\sin\angle ADB} = \frac{AD}{\sin\angle ABD} = \frac{BD}{\sin\angle BAD}$Подставим известные значения:$\frac{8}{\sin 58^\circ} = \frac{AD}{\sin 46^\circ} = \frac{BD}{\sin 76^\circ}$

Из этого соотношения находим большее основание $AD$ и диагональ $BD$:$AD = \frac{8 \cdot \sin 46^\circ}{\sin 58^\circ} \approx \frac{8 \cdot 0.7193}{0.8480} \approx 6.79$ см.$BD = \frac{8 \cdot \sin 76^\circ}{\sin 58^\circ} \approx \frac{8 \cdot 0.9703}{0.8480} \approx 9.15$ см.

Для нахождения меньшего основания $BC$ рассмотрим треугольник $BCD$. В равнобедренной трапеции $\angle CDA = \angle BAD = 76^\circ$.Тогда угол $\angle BDC$ можно найти как разность:$\angle BDC = \angle CDA - \angle ADB = 76^\circ - 58^\circ = 18^\circ$.Применим теорему синусов к треугольнику $BCD$:$\frac{BC}{\sin\angle BDC} = \frac{CD}{\sin\angle CBD}$$\frac{BC}{\sin 18^\circ} = \frac{8}{\sin 58^\circ}$Отсюда находим $BC$:$BC = \frac{8 \cdot \sin 18^\circ}{\sin 58^\circ} \approx \frac{8 \cdot 0.3090}{0.8480} \approx 2.92$ см.

Ответ: основания трапеции равны $AD = \frac{8 \sin 46^\circ}{\sin 58^\circ} \approx 6.79$ см и $BC = \frac{8 \sin 18^\circ}{\sin 58^\circ} \approx 2.92$ см; диагональ $BD = \frac{8 \sin 76^\circ}{\sin 58^\circ} \approx 9.15$ см.

Радиус $R$ окружности, описанной около треугольника, находится с помощью следствия из теоремы синусов. Отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру ($2R$) описанной окружности.Применительно к треугольнику $ABD$:$2R = \frac{AB}{\sin\angle ADB}$

Подставим известные значения:$2R = \frac{8}{\sin 58^\circ}$Отсюда выразим и вычислим радиус $R$:$R = \frac{4}{\sin 58^\circ} \approx \frac{4}{0.8480} \approx 4.72$ см.

Ответ: радиус окружности, описанной около треугольника ABD, равен $R = \frac{4}{\sin 58^\circ} \approx 4.72$ см.