Страница 43 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

67. Диагонали четырёхугольника равны 4 см и 16 см, а его площадь — $16\sqrt{2}\text{ см}^2$. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника.

67. Диагонали четырёхугольника равны 4 см и 16 см, а его площадь — $16\sqrt{2}$ см$^2$. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника.

Площадь произвольного четырехугольника ($S$) можно найти по формуле через его диагонали ($d_1$ и $d_2$) и угол ($\alpha$) между ними:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha)$

По условию задачи нам известны следующие величины:

• Длина первой диагонали $d_1 = 4$ см.
• Длина второй диагонали $d_2 = 16$ см.
• Площадь четырехугольника $S = 16\sqrt{2}$ см².

Подставим эти значения в формулу площади, чтобы найти синус угла между диагоналями:

$16\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 16 \cdot \sin(\alpha)$

Выполним вычисления в правой части уравнения:

$16\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \sin(\alpha)$

$16\sqrt{2} = 32 \cdot \sin(\alpha)$

Теперь выразим $\sin(\alpha)$:

$\sin(\alpha) = \frac{16\sqrt{2}}{32}$

$\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Углом, синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, в диапазоне от 0° до 180° может быть:

$\alpha_1 = 45^\circ$

или

$\alpha_2 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

При пересечении диагоналей образуются два смежных угла, один из которых острый (45°), а другой тупой (135°). Оба значения являются корректными, так как в задаче не уточнено, какой из углов (острый или тупой) нужно найти.

Ответ: 45° или 135°.

68. Сторона равностороннего треугольника равна 2 см. На сторонах треугольника во внешнюю сторону построены квадраты. Найдите площадь шестиугольника, вершинами которого являются вершины квадратов, не принадлежащих данному треугольнику.

68. Сторона равностороннего треугольника равна 2 см. На сторонах треугольника во внешнюю сторону построены квадраты. Найдите площадь шестиугольника, вершинами которого являются вершины квадратов, не принадлежащих данному треугольнику.

Площадь искомого шестиугольника можно найти, сложив площади фигур, из которых он состоит. Эта составная фигура включает в себя:

• Один центральный равносторонний треугольник.
• Три квадрата, построенных на каждой из его сторон.
• Три равнобедренных треугольника, находящихся в углах между квадратами.

Рассчитаем площадь каждой части по отдельности.

1. Площадь равностороннего треугольника

Сторона равностороннего треугольника по условию равна $a = 2$ см. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны:

$S_{\triangle} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ см².

2. Общая площадь трех квадратов

Квадраты построены на сторонах треугольника, поэтому сторона каждого квадрата также равна $a = 2$ см. Площадь одного квадрата:

$S_{\square} = a^2 = 2^2 = 4$ см².

Поскольку квадратов три, их общая площадь составляет:

$S_{\text{3}\square} = 3 \cdot S_{\square} = 3 \cdot 4 = 12$ см².

3. Общая площадь трех внешних треугольников

Между каждой парой смежных квадратов образуется треугольник. Две стороны каждого такого треугольника являются сторонами квадратов, то есть они равны по 2 см. Найдем угол между этими сторонами. Этот угол дополняет углы при вершине исходного треугольника до полного оборота в $360^\circ$. Угол равностороннего треугольника равен $60^\circ$, а углы квадратов — по $90^\circ$.

Угол при вершине внешнего треугольника равен:

$\alpha = 360^\circ - 90^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 120^\circ$.

Площадь одного такого треугольника найдем по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S_{\text{внеш. }\triangle} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin(120^\circ)$

Зная, что $\sin(120^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$S_{\text{внеш. }\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см².

Таких треугольников три, поэтому их общая площадь:

$S_{\text{3 внеш. }\triangle} = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ см².

4. Общая площадь шестиугольника

Для нахождения общей площади шестиугольника сложим площади всех найденных частей:

$S_{\text{шестиуг.}} = S_{\triangle} + S_{\text{3}\square} + S_{\text{3 внеш. }\triangle}$

$S_{\text{шестиуг.}} = \sqrt{3} + 12 + 3\sqrt{3} = 12 + 4\sqrt{3}$ см².

Ответ: $12 + 4\sqrt{3}$ см².

69. Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Площади треугольников $AOB$, $BOC$ и $AOD$ соответственно равны $12 \text{ см}^2$, $8 \text{ см}^2$ и $9 \text{ см}^2$. Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$.

69. Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Площади треугольников $AOB$, $BOC$ и $AOD$ соответственно равны $12\text{ см}^2$, $8\text{ см}^2$ и $9\text{ см}^2$.

Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. При этом четырехугольник разбивается на четыре треугольника: $AOB$, $BOC$, $COD$ и $AOD$. Площадь всего четырехугольника равна сумме площадей этих треугольников: $S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{AOD}$.

По условию задачи нам известны площади трех треугольников: $S_{AOB} = 12$ см², $S_{BOC} = 8$ см², и $S_{AOD} = 9$ см². Для нахождения площади четырехугольника $ABCD$ нам необходимо сначала вычислить площадь четвертого треугольника $COD$.

Воспользуемся свойством площадей треугольников, образованных пересечением диагоналей выпуклого четырехугольника. Рассмотрим треугольники $AOB$ и $AOD$. У них есть общая высота, проведенная из вершины $A$ к диагонали $BD$. Это означает, что отношение их площадей равно отношению их оснований: $\frac{S_{AOB}}{S_{AOD}} = \frac{BO}{DO}$.

Аналогично, рассмотрим треугольники $BOC$ и $COD$. У них есть общая высота, проведенная из вершины $C$ к диагонали $BD$. Поэтому отношение их площадей также равно отношению их оснований: $\frac{S_{BOC}}{S_{COD}} = \frac{BO}{DO}$.

Приравнивая два полученных выражения, получаем: $\frac{S_{AOB}}{S_{AOD}} = \frac{S_{BOC}}{S_{COD}}$.

Это равенство можно переписать в виде: $S_{AOB} \cdot S_{COD} = S_{AOD} \cdot S_{BOC}$. Данное свойство гласит, что произведения площадей противолежащих треугольников, образованных пересечением диагоналей выпуклого четырехугольника, равны.

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти $S_{COD}$: $12 \cdot S_{COD} = 9 \cdot 8$ $12 \cdot S_{COD} = 72$ $S_{COD} = \frac{72}{12}$ $S_{COD} = 6$ см².

Теперь, зная площади всех четырех треугольников, мы можем найти общую площадь четырехугольника $ABCD$: $S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{AOD} = 12 + 8 + 6 + 9 = 35$ см².

Ответ: 35 см².

70. В окружность вписан четырёхугольник, стороны которого последовательно равны 4 см, 6 см, 8 см и 12 см. Найдите площадь четырёхугольника.

70. В окружность вписан четырёхугольник, стороны которого последовательно равны 4 см, 6 см, 8 см и 12 см. Найдите площадь четырёхугольника.

Для нахождения площади четырехугольника, вписанного в окружность (такой четырехугольник называется вписанным), можно использовать формулу Брахмагупты. Эта формула позволяет вычислить площадь по известным длинам сторон.

Формула Брахмагупты для площади $S$ вписанного четырехугольника со сторонами $a$, $b$, $c$, $d$ выглядит следующим образом:
$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$
где $p$ — это полупериметр четырехугольника, который вычисляется как $p = \frac{a+b+c+d}{2}$.

В нашей задаче даны стороны четырехугольника: $a = 4$ см, $b = 6$ см, $c = 8$ см, $d = 12$ см.

1. Сначала вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{4 + 6 + 8 + 12}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

2. Теперь найдем разности между полупериметром и каждой из сторон:
$p - a = 15 - 4 = 11$
$p - b = 15 - 6 = 9$
$p - c = 15 - 8 = 7$
$p - d = 15 - 12 = 3$

3. Подставим полученные значения в формулу Брахмагупты, чтобы найти площадь $S$:
$S = \sqrt{11 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 3}$
Сгруппируем множители для удобства извлечения корня:
$S = \sqrt{9 \cdot (11 \cdot 7 \cdot 3)} = \sqrt{9 \cdot 231}$
$S = \sqrt{9} \cdot \sqrt{231} = 3\sqrt{231}$ см².

Ответ: $3\sqrt{231}$ см².

71. Найдите углы правильного двенадцатиугольника.

71. Найдите углы правильного двенадцатиугольника.

Для нахождения величины внутреннего угла правильного n-угольника можно воспользоваться формулой:
$\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$, где $n$ — количество сторон (и углов) многоугольника.

В данном случае рассматривается правильный двенадцатиугольник, следовательно, число его сторон $n = 12$.

Подставим значение $n=12$ в формулу:
$\alpha = \frac{(12-2) \cdot 180^\circ}{12} = \frac{10 \cdot 180^\circ}{12} = \frac{1800^\circ}{12}$.

Выполним вычисление:
$\alpha = 150^\circ$.

Таким образом, каждый внутренний угол правильного двенадцатиугольника равен $150^\circ$.

Альтернативный способ решения:

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда равна $360^\circ$. В правильном n-угольнике все внешние углы равны между собой. Величину одного внешнего угла ($\beta$) можно найти по формуле:
$\beta = \frac{360^\circ}{n}$.

Для правильного двенадцатиугольника ($n=12$):
$\beta = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$.

Внутренний и внешний углы при одной вершине многоугольника являются смежными, поэтому их сумма составляет $180^\circ$. Отсюда можно найти внутренний угол ($\alpha$):
$\alpha = 180^\circ - \beta = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $150^\circ$.

72. Найдите количество сторон правильного многоугольника, если:

1) его угол равен $172^\circ$;

2) угол, смежный с углом многоугольника, равен $24^\circ$.

72. Найдите количество сторон правильного многоугольника, если:

1) его угол равен $172^\circ$;

2) угол, смежный с углом многоугольника, равен $24^\circ$.

1) Пусть $n$ — искомое количество сторон правильного многоугольника. Внутренний угол правильного многоугольника ($\alpha$) и его внешний угол ($\beta$) являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$. По условию, внутренний угол $\alpha = 172^\circ$.

Найдем величину внешнего угла:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 172^\circ = 8^\circ$

Сумма всех внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда равна $360^\circ$. Так как в правильном многоугольнике все внешние углы равны, то количество сторон $n$ можно найти, разделив $360^\circ$ на величину одного внешнего угла:

$n = \frac{360^\circ}{\beta}$

Подставим найденное значение $\beta$:

$n = \frac{360^\circ}{8^\circ} = 45$

Следовательно, у многоугольника 45 сторон.

Ответ: 45.

2) Угол, смежный с внутренним углом многоугольника, по определению является его внешним углом. По условию задачи, величина внешнего угла $\beta$ равна $24^\circ$.

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Для правильного $n$-угольника все его $n$ внешних углов равны. Поэтому количество сторон $n$ можно найти по формуле:

$n = \frac{360^\circ}{\beta}$

Подставим в формулу данное значение внешнего угла:

$n = \frac{360^\circ}{24^\circ} = 15$

Таким образом, многоугольник имеет 15 сторон.

Ответ: 15.

73. На рисунке 31 изображён правильный восьмиугольник $ABCDEFМK$,

$N$ — точка пересечения прямых $AK$ и $FM$. Найдите угол $MNK$.

Рис. 31

73. На рисунке 31 изображён правильный восьмиугольник $ABCDEFMK$,

$N$ — точка пересечения прямых $AK$ и $FM$. Найдите угол $MNK$.

Рис. 31

Поскольку многоугольник ABCDEFMK является правильным восьмиугольником, все его стороны равны и все его внутренние углы равны.

Величина внутреннего угла правильного n-угольника вычисляется по формуле:

$\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

Для правильного восьмиугольника $n=8$, поэтому каждый внутренний угол равен:

$\alpha = \frac{(8-2) \cdot 180^\circ}{8} = \frac{6 \cdot 180^\circ}{8} = \frac{1080^\circ}{8} = 135^\circ$

Таким образом, внутренние углы при вершинах K и M равны $\angle MKA = 135^\circ$ и $\angle FMK = 135^\circ$.

Точка N является точкой пересечения прямых AK и FM. Это означает, что лучи KN и MN являются продолжениями сторон восьмиугольника AK и FM. Вместе со стороной MK они образуют треугольник $\triangle MNK$.

Рассмотрим углы этого треугольника. Угол $\angle NKM$ смежен с внутренним углом восьмиугольника $\angle MKA$. Следовательно, он является внешним углом восьмиугольника при вершине K:

$\angle NKM = 180^\circ - \angle MKA = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$

Аналогично, угол $\angle KMN$ смежен с внутренним углом восьмиугольника $\angle FMK$. Он является внешним углом восьмиугольника при вершине M:

$\angle KMN = 180^\circ - \angle FMK = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$

Теперь, зная два угла треугольника $\triangle MNK$, мы можем найти третий угол $\angle MNK$, используя свойство о сумме углов треугольника:

$\angle MNK + \angle NKM + \angle KMN = 180^\circ$

$\angle MNK + 45^\circ + 45^\circ = 180^\circ$

$\angle MNK + 90^\circ = 180^\circ$

$\angle MNK = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Ответ: $90^\circ$

74. Определите количество сторон правильного многоугольника, если угол, смежный с углом многоугольника, на $156^\circ$ меньше угла многоугольника.

74. Определите количество сторон правильного многоугольника, если угол, смежный с углом многоугольника, на $156^\circ$ меньше угла многоугольника.

Пусть $\alpha$ — величина внутреннего угла правильного многоугольника, а $\beta$ — величина смежного с ним (внешнего) угла.

По свойству смежных углов, их сумма равна $180^\circ$. Таким образом, мы можем записать первое уравнение:
$\alpha + \beta = 180^\circ$

По условию задачи, смежный угол на $156^\circ$ меньше угла многоугольника. Это дает нам второе уравнение:
$\beta = \alpha - 156^\circ$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \beta = \alpha - 156^\circ \end{cases}$

Подставим выражение для $\beta$ из второго уравнения в первое:
$\alpha + (\alpha - 156^\circ) = 180^\circ$

Решим полученное уравнение относительно $\alpha$:
$2\alpha - 156^\circ = 180^\circ$
$2\alpha = 180^\circ + 156^\circ$
$2\alpha = 336^\circ$
$\alpha = \frac{336^\circ}{2} = 168^\circ$

Итак, внутренний угол многоугольника равен $168^\circ$. Теперь найдем величину внешнего угла $\beta$:
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 168^\circ = 12^\circ$

Количество сторон правильного многоугольника ($n$) можно найти, зная величину его внешнего угла, по формуле:
$\beta = \frac{360^\circ}{n}$

Выразим из этой формулы $n$:
$n = \frac{360^\circ}{\beta}$

Подставим найденное значение $\beta = 12^\circ$:
$n = \frac{360^\circ}{12^\circ} = 30$

Таким образом, искомый правильный многоугольник имеет 30 сторон.

Ответ: 30.

75. Найдите центральный угол правильного сорокапятиугольника.

75. Найдите центральный угол правильного сорокапятиугольника.

Центральный угол правильного многоугольника — это угол, под которым видна его сторона из центра описанной окружности. Сумма всех центральных углов любого многоугольника составляет $360^\circ$, что соответствует полной окружности.

Для нахождения величины одного центрального угла правильного n-угольника необходимо разделить $360^\circ$ на количество его сторон (или углов) $n$.

Формула для вычисления центрального угла $\alpha$ выглядит следующим образом:

$\alpha = \frac{360^\circ}{n}$

В условии задачи дан правильный сорокапятиугольник, следовательно, количество его сторон $n = 45$.

Подставим это значение в формулу:

$\alpha = \frac{360^\circ}{45}$

Выполним вычисление:

$\alpha = 8^\circ$

Ответ: $8^\circ$

76. Центральный угол правильного многоугольника равен 18°. Найдите количество сторон многоугольника.

76. Центральный угол правильного многоугольника равен $18^\circ$. Найдите количество сторон многоугольника.

Сумма центральных углов правильного многоугольника всегда равна $360^\circ$. У правильного многоугольника с $n$ сторонами все $n$ центральных углов равны. Величина одного центрального угла ($\alpha$) вычисляется по формуле:
$\alpha = \frac{360^\circ}{n}$
По условию задачи, центральный угол $\alpha$ равен $18^\circ$. Мы можем использовать эту информацию, чтобы найти количество сторон $n$. Для этого выразим $n$ из формулы:
$n = \frac{360^\circ}{\alpha}$
Теперь подставим известное значение $\alpha = 18^\circ$ в полученное выражение:
$n = \frac{360^\circ}{18^\circ}$
$n = 20$
Следовательно, многоугольник имеет 20 сторон.
Ответ: 20