Страница 37 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

9. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник, стороны которого равны:

1) 5 см, 6 см и 8 см;

2) 4 см, 7 см и 8 см;

3) 9 см, 12 см и 15 см.

9. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник, стороны которого равны:

1) 5 см, 6 см и 8 см;

2) 4 см, 7 см и 8 см;

3) 9 см, 12 см и 15 см.

Для того чтобы определить вид треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) по длинам его сторон, нужно воспользоваться следствием из теоремы косинусов. Пусть $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, причём $c$ — наибольшая сторона. Необходимо сравнить сумму квадратов двух меньших сторон с квадратом наибольшей стороны.

• Если $a^2 + b^2 > c^2$, то треугольник является остроугольным.
• Если $a^2 + b^2 = c^2$, то треугольник является прямоугольным (согласно теореме, обратной теореме Пифагора).
• Если $a^2 + b^2 < c^2$, то треугольник является тупоугольным.

1) Даны стороны треугольника: 5 см, 6 см и 8 см.

Пусть $a=5$, $b=6$ и $c=8$. Наибольшая сторона $c=8$.

Вычислим сумму квадратов двух меньших сторон: $a^2 + b^2 = 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$.

Вычислим квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 8^2 = 64$.

Сравниваем полученные значения: $61 < 64$. Так как выполняется неравенство $a^2 + b^2 < c^2$, данный треугольник является тупоугольным.

Ответ: тупоугольный.

2) Даны стороны треугольника: 4 см, 7 см и 8 см.

Пусть $a=4$, $b=7$ и $c=8$. Наибольшая сторона $c=8$.

Вычислим сумму квадратов двух меньших сторон: $a^2 + b^2 = 4^2 + 7^2 = 16 + 49 = 65$.

Вычислим квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 8^2 = 64$.

Сравниваем полученные значения: $65 > 64$. Так как выполняется неравенство $a^2 + b^2 > c^2$, данный треугольник является остроугольным.

Ответ: остроугольный.

3) Даны стороны треугольника: 9 см, 12 см и 15 см.

Пусть $a=9$, $b=12$ и $c=15$. Наибольшая сторона $c=15$.

Вычислим сумму квадратов двух меньших сторон: $a^2 + b^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$.

Вычислим квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 15^2 = 225$.

Сравниваем полученные значения: $225 = 225$. Так как выполняется равенство $a^2 + b^2 = c^2$, данный треугольник является прямоугольным.

Ответ: прямоугольный.

10. Диагонали параллелограмма равны 6 см и $4\sqrt{3}$ см, а угол между ними равен $30^{\circ}$. Найдите стороны параллелограмма.

10. Диагонали параллелограмма равны 6 см и $4\sqrt{3}$ см, а угол между ними равен $30^\circ$. Найдите стороны параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм, диагонали которого $d_1 = 6$ см и $d_2 = 4\sqrt{3}$ см. Угол между диагоналями равен $30^{\circ}$. Обозначим стороны параллелограмма как $a$ и $b$.

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, они образуют четыре треугольника, в каждом из которых две стороны являются половинами диагоналей, а третья сторона — одной из сторон параллелограмма. Длины половин диагоналей равны:
$\frac{d_1}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см;
$\frac{d_2}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Углы между половинами диагоналей в точке их пересечения равны заданному углу $30^{\circ}$ и смежному с ним углу $180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$. Для нахождения сторон параллелограмма $a$ и $b$ применим теорему косинусов к двум соседним треугольникам, образованным половинами диагоналей.

Найдем первую сторону $a$, используя треугольник с углом $30^{\circ}$ между сторонами, равными половинам диагоналей:
$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos(30^{\circ})$
$a^2 = 3^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos(30^{\circ})$
$a^2 = 9 + 12 - 12\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$a^2 = 21 - 6 \cdot 3 = 21 - 18 = 3$
$a = \sqrt{3}$ см.

Найдем вторую сторону $b$, используя треугольник с углом $150^{\circ}$ между сторонами, равными половинам диагоналей:
$b^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos(150^{\circ})$
Учитывая, что $\cos(150^{\circ}) = \cos(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\cos(30^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:
$b^2 = 3^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$
$b^2 = 9 + 12 + 12\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$b^2 = 21 + 6 \cdot 3 = 21 + 18 = 39$
$b = \sqrt{39}$ см.

Ответ: $\sqrt{3}$ см и $\sqrt{39}$ см.

11. Две стороны треугольника равны 7 см и 8 см, а синус угла между ними равен $ \frac{4\sqrt{3}}{7} $. Найдите третью сторону треугольника.

11. Две стороны треугольника равны 7 см и 8 см, а синус угла между ними равен $\frac{4\sqrt{3}}{7}$. Найдите третью сторону треугольника.

Для нахождения третьей стороны треугольника воспользуемся теоремой косинусов. Пусть известные стороны треугольника равны $a = 7$ см и $b = 8$ см, а угол между ними — $\gamma$. Третью, неизвестную сторону, обозначим как $c$.

Теорема косинусов гласит:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

По условию задачи, нам известен синус угла $\gamma$: $\sin(\gamma) = \frac{4\sqrt{3}}{7}$. Чтобы применить теорему косинусов, необходимо найти косинус этого угла. Для этого используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma) = 1$.

Выразим из него $\cos^2(\gamma)$:

$\cos^2(\gamma) = 1 - \sin^2(\gamma)$

Подставим известное значение синуса:

$\cos^2(\gamma) = 1 - \left(\frac{4\sqrt{3}}{7}\right)^2 = 1 - \frac{16 \cdot 3}{49} = 1 - \frac{48}{49} = \frac{1}{49}$

Отсюда находим два возможных значения для косинуса угла:

$\cos(\gamma) = \pm\sqrt{\frac{1}{49}} = \pm\frac{1}{7}$

Поскольку угол в треугольнике может быть как острым (и его косинус будет положительным), так и тупым (и его косинус будет отрицательным), мы должны рассмотреть оба этих случая.

Случай 1: Угол $\gamma$ острый

В этом случае $\cos(\gamma) = \frac{1}{7}$. Подставим это значение в формулу теоремы косинусов:

$c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \frac{1}{7}$

$c^2 = 49 + 64 - 2 \cdot 8$

$c^2 = 113 - 16 = 97$

$c_1 = \sqrt{97}$ см

Случай 2: Угол $\gamma$ тупой

В этом случае $\cos(\gamma) = -\frac{1}{7}$. Подставим это значение в формулу теоремы косинусов:

$c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \left(-\frac{1}{7}\right)$

$c^2 = 49 + 64 + 2 \cdot 8$

$c^2 = 113 + 16 = 129$

$c_2 = \sqrt{129}$ см

Таким образом, задача имеет два возможных решения, так как угол между заданными сторонами может быть как острым, так и тупым.

Ответ: $\sqrt{97}$ см или $\sqrt{129}$ см.

12. Центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, удалён на $3\sqrt{2}$ см и на 4 см от вершин $A$ и $C$ соответственно. Найдите сторону $AC$, если $\angle B = 90^\circ$.

12. Центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, удалён на $3\sqrt{2}$ см и на 4 см от вершин $A$ и $C$ соответственно. Найдите сторону $AC$, если $\angle B = 90^\circ$.

Пусть $I$ — центр вписанной окружности в прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle B = 90^\circ$). Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, $AI$ и $CI$ — биссектрисы углов $A$ и $C$ соответственно.

По условию задачи, расстояния от центра вписанной окружности до вершин $A$ и $C$ равны $IA = 3\sqrt{2}$ см и $IC = 4$ см.

Рассмотрим треугольник $AIC$. Углы этого треугольника равны:

$\angle IAC = \frac{\angle A}{2}$

$\angle ICA = \frac{\angle C}{2}$

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике $ABC$ равна $90^\circ$:

$\angle A + \angle C = 90^\circ$

Сумма углов в треугольнике $AIC$ равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle AIC$:

$\angle AIC = 180^\circ - (\angle IAC + \angle ICA) = 180^\circ - (\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle C}{2}) = 180^\circ - \frac{\angle A + \angle C}{2}$

Подставим значение суммы углов $\angle A + \angle C = 90^\circ$:

$\angle AIC = 180^\circ - \frac{90^\circ}{2} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

Теперь мы знаем две стороны ($IA$ и $IC$) и угол между ними ($\angle AIC$) в треугольнике $AIC$. Мы можем найти третью сторону $AC$ по теореме косинусов:

$AC^2 = IA^2 + IC^2 - 2 \cdot IA \cdot IC \cdot \cos(\angle AIC)$

Подставим известные значения:

$AC^2 = (3\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2 \cdot (3\sqrt{2}) \cdot 4 \cdot \cos(135^\circ)$

Мы знаем, что $\cos(135^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$AC^2 = (9 \cdot 2) + 16 - 24\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$AC^2 = 18 + 16 + \frac{24\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2}$

$AC^2 = 34 + \frac{24 \cdot 2}{2}$

$AC^2 = 34 + 24$

$AC^2 = 58$

$AC = \sqrt{58}$ см.

Ответ: $\sqrt{58}$ см.

13. На продолжении стороны AB прямоугольного треугольника ABC ($\angle B = 90^\circ$) за точку B отметили точку M, а на продолжении стороны AC за точку C — точку N. Найдите отрезок MN, если $AC = 6$ см, $BC = 2\sqrt{7}$ см, $BM = 10$ см, $CN = 6$ см.

13. На продолжении стороны $AB$ прямоугольного треугольника $ABC (\angle B = 90^\circ)$ за точку $B$ отметили точку $M$, а на продолжении стороны $AC$ за точку $C$ — точку $N$. Найдите отрезок $MN$, если $AC = 6$ см, $BC = 2\sqrt{7}$ см, $BM = 10$ см, $CN = 6$ см.

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов. Сначала найдем все необходимые элементы для ее применения.

1. Нахождение длины катета AB

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $B$ ($\angle B = 90^\circ$). По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.

Подставим известные значения: $AC = 6$ см и $BC = 2\sqrt{7}$ см.

$6^2 = AB^2 + (2\sqrt{7})^2$

$36 = AB^2 + 4 \cdot 7$

$36 = AB^2 + 28$

$AB^2 = 36 - 28 = 8$

$AB = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

2. Нахождение длин сторон AM и AN треугольника AMN

Точка $M$ лежит на продолжении стороны $AB$ за точку $B$. Это означает, что точки $A$, $B$ и $M$ лежат на одной прямой, и длина отрезка $AM$ равна сумме длин отрезков $AB$ и $BM$.

$AM = AB + BM = 2\sqrt{2} + 10$ см.

Точка $N$ лежит на продолжении стороны $AC$ за точку $C$. Аналогично, точки $A$, $C$ и $N$ лежат на одной прямой, и длина отрезка $AN$ равна сумме длин отрезков $AC$ и $CN$.

$AN = AC + CN = 6 + 6 = 12$ см.

3. Нахождение косинуса угла MAN

Так как точки $A, B, M$ лежат на одной прямой и точки $A, C, N$ лежат на одной прямой, то угол $\angle MAN$ совпадает с углом $\angle CAB$ треугольника $ABC$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\angle CAB) = \frac{AB}{AC} = \frac{2\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

Следовательно, $\cos(\angle MAN) = \frac{\sqrt{2}}{3}$.

4. Нахождение отрезка MN по теореме косинусов

Теперь рассмотрим треугольник $AMN$. Мы знаем длины двух его сторон ($AM$ и $AN$) и косинус угла между ними ($\angle MAN$). По теореме косинусов:

$MN^2 = AM^2 + AN^2 - 2 \cdot AM \cdot AN \cdot \cos(\angle MAN)$

Подставим найденные значения:

$MN^2 = (10 + 2\sqrt{2})^2 + 12^2 - 2 \cdot (10 + 2\sqrt{2}) \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Вычислим по частям:

$(10 + 2\sqrt{2})^2 = 10^2 + 2 \cdot 10 \cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2 = 100 + 40\sqrt{2} + 8 = 108 + 40\sqrt{2}$

$12^2 = 144$

$2 \cdot (10 + 2\sqrt{2}) \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{24}{3} \cdot (10 + 2\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 8\sqrt{2}(10 + 2\sqrt{2}) = 80\sqrt{2} + 16 \cdot 2 = 80\sqrt{2} + 32$

Теперь объединим все части:

$MN^2 = (108 + 40\sqrt{2}) + 144 - (80\sqrt{2} + 32)$

$MN^2 = 108 + 40\sqrt{2} + 144 - 80\sqrt{2} - 32$

$MN^2 = (108 + 144 - 32) + (40\sqrt{2} - 80\sqrt{2})$

$MN^2 = 220 - 40\sqrt{2}$

Таким образом, длина отрезка $MN$ равна:

$MN = \sqrt{220 - 40\sqrt{2}}$ см.

Ответ: $MN = \sqrt{220 - 40\sqrt{2}}$ см.

14. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены соответственно такие точки $K$ и $F$, что $BK = 5$ см, $FC = 6$ см. Найдите отрезок $KF$, если $AB = 8$ см, $BC = 9$ см, $AC = 7$ см.

14. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены соответственно такие точки $K$ и $F$, что $BK = 5$ см, $FC = 6$ см. Найдите отрезок $KF$, если $AB = 8$ см, $BC = 9$ см, $AC = 7$ см.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи нам известны длины всех его сторон: $AB = 8$ см, $BC = 9$ см, $AC = 7$ см. Точка $K$ лежит на стороне $AB$, а точка $F$ — на стороне $BC$. Это означает, что треугольник $KBF$ является частью треугольника $ABC$ и имеет с ним общий угол $\angle B$.

Сначала найдем длины сторон треугольника $KBF$, прилежащих к углу $\angle B$.
Длина стороны $BK$ дана в условии: $BK = 5$ см.
Точка $F$ лежит на отрезке $BC$, поэтому длина стороны $BF$ вычисляется как разность длин отрезков $BC$ и $FC$:
$BF = BC - FC = 9 - 6 = 3$ см.

Теперь, чтобы найти длину стороны $KF$, мы можем использовать теорему косинусов для треугольника $KBF$. Для этого нам нужно знать значение косинуса угла $\angle B$. Найдем его из треугольника $ABC$, для которого известны все три стороны, также по теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

Выразим из этой формулы $\cos(\angle B)$:

$\cos(\angle B) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC}$

Подставим известные значения длин сторон $ABC$:

$\cos(\angle B) = \frac{8^2 + 9^2 - 7^2}{2 \cdot 8 \cdot 9} = \frac{64 + 81 - 49}{144} = \frac{145 - 49}{144} = \frac{96}{144}$

Сократим полученную дробь на 48:

$\cos(\angle B) = \frac{2}{3}$

Теперь мы можем применить теорему косинусов к треугольнику $KBF$, чтобы найти длину стороны $KF$:

$KF^2 = BK^2 + BF^2 - 2 \cdot BK \cdot BF \cdot \cos(\angle B)$

Подставим известные нам значения $BK = 5$, $BF = 3$ и $\cos(\angle B) = \frac{2}{3}$:

$KF^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \frac{2}{3}$

$KF^2 = 25 + 9 - 2 \cdot 5 \cdot 2$

$KF^2 = 34 - 20$

$KF^2 = 14$

Следовательно, длина отрезка $KF$ равна:

$KF = \sqrt{14}$ см.

Ответ: $\sqrt{14}$ см.

15. Две стороны треугольника относятся как 3 : 8, а угол между ними равен 60°. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 36 см.

15. Две стороны треугольника относятся как $3:8$, а угол между ними равен $60^\circ$. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен $36$ см.

Пусть две стороны треугольника, отношение которых известно, равны $a$ и $b$, а третья сторона равна $c$. Согласно условию, $a : b = 3 : 8$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда длины сторон можно выразить как $a = 3x$ и $b = 8x$.

Угол $\gamma$ между сторонами $a$ и $b$ равен $60^\circ$. Для нахождения третьей стороны $c$ воспользуемся теоремой косинусов:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$
Подставим известные значения в формулу:
$c^2 = (3x)^2 + (8x)^2 - 2(3x)(8x) \cos(60^\circ)$
Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$c^2 = 9x^2 + 64x^2 - 2 \cdot 24x^2 \cdot \frac{1}{2}$
$c^2 = 73x^2 - 24x^2$
$c^2 = 49x^2$
$c = \sqrt{49x^2} = 7x$ (длина стороны не может быть отрицательной).

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон: $P = a + b + c$. По условию $P = 36$ см. Составим уравнение:
$3x + 8x + 7x = 36$
$18x = 36$
$x = \frac{36}{18}$
$x = 2$

Теперь, зная значение $x$, можем найти длины сторон треугольника:
$a = 3x = 3 \cdot 2 = 6$ см
$b = 8x = 8 \cdot 2 = 16$ см
$c = 7x = 7 \cdot 2 = 14$ см

Ответ: 6 см, 14 см, 16 см.

16. Две стороны треугольника равны 9 см и 21 см, а угол, противолежащий большей из них, — $120^\circ$. Найдите третью сторону треугольника.

16. Две стороны треугольника равны $9 \text{ см}$ и $21 \text{ см}$, а угол, противолежащий большей из них, — $120^\circ$. Найдите третью сторону треугольника.

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов. Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$.

Согласно условию, две стороны равны 9 см и 21 см. Пусть $a = 9$ см, а $b = 21$ см. Третью, неизвестную сторону, обозначим как $c$.

Угол, противолежащий большей из двух известных сторон (то есть стороне $b = 21$ см), равен $120^\circ$. Обозначим этот угол как $\beta$. Таким образом, $\beta = 120^\circ$.

Теорема косинусов для стороны $b$ записывается следующим образом:

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\beta)$

Подставим в эту формулу известные значения:

$21^2 = 9^2 + c^2 - 2 \cdot 9 \cdot c \cdot \cos(120^\circ)$

Вычислим значения квадратов и косинуса угла:

$21^2 = 441$

$9^2 = 81$

$\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -0.5$

Теперь подставим вычисленные значения обратно в уравнение:

$441 = 81 + c^2 - 2 \cdot 9 \cdot c \cdot (-0.5)$

$441 = 81 + c^2 + 9c$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $c$:

$c^2 + 9c + 81 - 441 = 0$

$c^2 + 9c - 360 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = B^2 - 4AC$:

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-360) = 81 + 1440 = 1521$

Найдем корни уравнения по формуле $c = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{1521} = 39$

$c_1 = \frac{-9 + 39}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$c_2 = \frac{-9 - 39}{2} = \frac{-48}{2} = -24$

Поскольку длина стороны треугольника не может быть отрицательной величиной, корень $c_2 = -24$ не является решением задачи. Следовательно, длина третьей стороны треугольника равна 15 см.

Ответ: 15 см.

17. Для сторон $a$, $b$ и $c$ треугольника выполняется равенство $a^2 = b^2 + c^2 - bc\sqrt{2}$. Докажите, что угол, противолежащий стороне $a$, равен $45^\circ$.

17. Для сторон a, b и с треугольника выполняется равенство $a^2 = b^2 + c^2 - bc\sqrt{2}$. Докажите, что угол, противолежащий стороне a, равен 45°.

Для доказательства воспользуемся теоремой косинусов. Для треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и углом $\alpha$, который противолежит стороне $a$, теорема косинусов имеет вид: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)$.

По условию задачи нам дано равенство: $a^2 = b^2 + c^2 - bc\sqrt{2}$.

Сравнивая эти два выражения для $a^2$, мы можем приравнять их правые части:$b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha) = b^2 + c^2 - bc\sqrt{2}$.

Упростим это уравнение, вычтя из обеих частей $b^2 + c^2$. Получим:$-2bc \cos(\alpha) = -bc\sqrt{2}$.

Так как $b$ и $c$ — это длины сторон треугольника, они не равны нулю, и мы можем разделить обе части равенства на $-2bc$:$\cos(\alpha) = \frac{-bc\sqrt{2}}{-2bc} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол $\alpha$ в треугольнике находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. В этом диапазоне единственное значение угла, для которого косинус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, это $45^\circ$. Следовательно, угол, противолежащий стороне $a$, равен $45^\circ$, что и требовалось доказать.

Ответ: Угол, противолежащий стороне $a$, равен $45^\circ$.

лежащий стороне а, равен 18?

18. Диагонали параллелограмма равны 30 см и 50 см, а его стороны относятся как $8:19$. Найдите стороны параллелограмма.

18. Диагонали параллелограмма равны 30 см и 50 см, а его стороны относятся как $8 : 19$. Найдите стороны параллелограмма.

Для решения задачи воспользуемся свойством параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. Если стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а диагонали – $d_1$ и $d_2$, то это свойство можно записать в виде формулы:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

По условию задачи нам даны длины диагоналей: $d_1 = 30$ см и $d_2 = 50$ см. Также известно, что стороны относятся как 8 : 19. Обозначим стороны параллелограмма через коэффициент пропорциональности $x$:

$a = 8x$

$b = 19x$

Теперь подставим все известные значения в формулу:

$30^2 + 50^2 = 2((8x)^2 + (19x)^2)$

Вычислим квадраты чисел:

$900 + 2500 = 2(64x^2 + 361x^2)$

Сложим числа в левой и правой частях уравнения:

$3400 = 2(425x^2)$

$3400 = 850x^2$

Найдем $x^2$:

$x^2 = \frac{3400}{850}$

$x^2 = 4$

Так как длина стороны является положительной величиной, находим $x$:

$x = \sqrt{4} = 2$

Теперь, зная значение $x$, можем найти длины сторон параллелограмма:

$a = 8x = 8 \cdot 2 = 16$ см

$b = 19x = 19 \cdot 2 = 38$ см

Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому его стороны равны 16 см и 38 см.

Ответ: 16 см, 38 см.