Страница 32 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

276. Среди точек $A (3; -4)$, $B (-3; -4)$, $C (-3; 4)$, $D (4; -7)$, $K (-4; 7)$ и $P (3; 4)$ укажите пары точек, симметричных относительно начала координат.

276. Среди точек $A (3; -4)$, $B (-3; -4)$, $C (-3; 4)$, $D (4; -7)$, $K (-4; 7)$ и $P (3; 4)$ укажите пары точек, симметричных относительно начала координат.

Две точки являются симметричными относительно начала координат, если их соответствующие координаты являются противоположными числами. Это означает, что для точки с координатами $(x; y)$ симметричной ей будет точка с координатами $(-x; -y)$.

Проверим каждую из предложенных точек, чтобы найти для нее симметричную пару из списка:

1. Для точки $A(3; -4)$ найдем симметричную. Ее координаты будут $(-3; -(-4))$, то есть $(-3; 4)$. В списке есть точка $C$ с координатами $(-3; 4)$. Следовательно, первая пара симметричных точек — это A и C.

2. Для точки $B(-3; -4)$ симметричной будет точка с координатами $(-(-3); -(-4))$, то есть $(3; 4)$. В списке есть точка $P$ с координатами $(3; 4)$. Следовательно, вторая пара — это B и P.

3. Для точки $D(4; -7)$ симметричной будет точка с координатами $(-4; -(-7))$, то есть $(-4; 7)$. В списке есть точка $K$ с координатами $(-4; 7)$. Следовательно, третья пара — это D и K.

Точки $C$, $P$, и $K$ также образуют пары с $A$, $B$, и $D$ соответственно, что подтверждает наш анализ.

Ответ: Парами точек, симметричных относительно начала координат, являются: $A(3; -4)$ и $C(-3; 4)$; $B(-3; -4)$ и $P(3; 4)$; $D(4; -7)$ и $K(-4; 7)$.

277. Симметричны ли точки $M(-5; 8)$ и $N(-3; 4)$ относительно точки $K(-1; 2)$?

277. Симметричны ли точки $M (-5; 8)$ и $N (-3; 4)$ относительно точки $K (-1; 2)$?

Точки M и N являются симметричными относительно точки K, если точка K является серединой отрезка MN. Для проверки этого условия необходимо найти координаты середины отрезка MN и сравнить их с координатами точки K.

Координаты $(x_c; y_c)$ середины отрезка с концами в точках $M(x_M; y_M)$ и $N(x_N; y_N)$ находятся по формулам:
$x_c = \frac{x_M + x_N}{2}$
$y_c = \frac{y_M + y_N}{2}$

Даны точки $M(-5; 8)$ и $N(-3; 4)$. Найдем координаты середины отрезка MN:

$x_c = \frac{-5 + (-3)}{2} = \frac{-5 - 3}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

$y_c = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Таким образом, середина отрезка MN — это точка с координатами $(-4; 6)$.

В условии дана точка $K(-1; 2)$.

Сравним координаты полученной середины отрезка с координатами точки K:
$(-4; 6) \neq (-1; 2)$

Так как координаты середины отрезка MN не совпадают с координатами точки K, точки M и N не являются симметричными относительно точки K.

Ответ: нет.

278. Найдите координаты точки, относительно которой симметричны точки $A(-4; 3)$ и $B(2; -7)$.

278. Найдите координаты точки, относительно которой симметричны точки $A (-4; 3)$ и $B (2; -7)$.

Если две точки A и B симметричны относительно некоторой точки C, то эта точка C является серединой отрезка AB. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое соответствующих координат его концов.

Пусть искомая точка имеет координаты $(x; y)$. Даны точки A(-4; 3) и B(2; -7).

Найдем координату $x$ искомой точки по формуле координаты середины отрезка:

$x = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Теперь найдем координату $y$ искомой точки:

$y = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{3 + (-7)}{2} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Следовательно, искомая точка имеет координаты (-1; -2).

Ответ: (-1; -2)

279. Найдите координаты точки $C$, симметричной точке $B(-3; 1)$ относительно точки $A(2; -5)$.

279. Найдите координаты точки $C$, симметричной точке $B(-3; 1)$ относительно точки $A(2; -5)$.

Если точка $C$ симметрична точке $B$ относительно точки $A$, то точка $A$ является серединой отрезка $BC$.

Пусть координаты искомой точки $C$ равны $(x; y)$. Координаты точки $A(2; -5)$ являются средним арифметическим соответствующих координат точек $B(-3; 1)$ и $C(x; y)$.

Формулы для нахождения координат середины отрезка:
$x_A = \frac{x_B + x_C}{2}$
$y_A = \frac{y_B + y_C}{2}$

Подставим известные значения и найдем координату $x$ точки $C$:
$2 = \frac{-3 + x}{2}$
$4 = -3 + x$
$x = 4 + 3 = 7$

Теперь найдем координату $y$ точки $C$:
$-5 = \frac{1 + y}{2}$
$-10 = 1 + y$
$y = -10 - 1 = -11$

Следовательно, координаты точки $C$ равны $(7; -11)$.

Ответ: $C(7; -11)$

280. Точки $A (-4; y)$ и $B (x; 3)$ симметричны относительно точки $K (5; -2)$. Найдите $x$ и $y$.

280. Точки $A(-4; y)$ и $B(x; 3)$ симметричны относительно точки $K(5; -2)$. Найдите $x$ и $y$.

Если точки A(-4; y) и B(x; 3) симметричны относительно точки K(5; -2), это означает, что точка K является серединой отрезка AB.

Координаты середины отрезка находятся по формулам:

$x_K = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_K = \frac{y_A + y_B}{2}$

Подставим известные значения в эти формулы, чтобы найти неизвестные x и y.

Для координаты x:

$5 = \frac{-4 + x}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$10 = -4 + x$

Отсюда находим x:

$x = 10 + 4$

$x = 14$

Для координаты y:

$-2 = \frac{y + 3}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$-4 = y + 3$

Отсюда находим y:

$y = -4 - 3$

$y = -7$

Таким образом, мы нашли искомые значения x и y.

Ответ: x = 14, y = -7.

281. Запишите уравнение окружности, симметричной окружности $(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 11$ относительно:

1) начала координат;

2) точки M (-4; 2).

281. Запишите уравнение окружности, симметричной окружности $(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 11$ относительно:

1) начала координат;

2) точки $M (-4; 2)$.

Исходное уравнение окружности: $(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 11$.
Это уравнение имеет стандартный вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.
Из данного уравнения находим, что центр исходной окружности — это точка $C(4; -3)$, а квадрат её радиуса $R^2 = 11$.
При симметрии относительно точки, радиус окружности не изменяется. Изменяется только положение её центра. Новый центр $C'(a'; b')$ будет симметричен старому центру $C(a; b)$ относительно заданной точки симметрии.

1) начала координат

Найдём координаты нового центра $C'(a'; b')$, который симметричен центру $C(4; -3)$ относительно начала координат $O(0; 0)$.
Точка $O(0; 0)$ является серединой отрезка $CC'$. Координаты середины отрезка находятся по формулам:
$x_O = \frac{x_C + x_{C'}}{2}$ и $y_O = \frac{y_C + y_{C'}}{2}$.
Подставим известные значения и найдём $a'$ и $b'$ (координаты точки $C'$):
$0 = \frac{4 + a'}{2} \implies 4 + a' = 0 \implies a' = -4$.
$0 = \frac{-3 + b'}{2} \implies -3 + b' = 0 \implies b' = 3$.
Таким образом, новый центр окружности — точка $C'(-4; 3)$.
Радиус окружности остаётся прежним, $R^2 = 11$.
Составим уравнение новой окружности, подставив координаты нового центра и радиус в стандартную формулу:
$(x - (-4))^2 + (y - 3)^2 = 11$
$(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 11$.
Ответ: $(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 11$.

2) точки М (-4; 2)

Найдём координаты нового центра $C'(a'; b')$, который симметричен центру $C(4; -3)$ относительно точки $M(-4; 2)$.
Точка $M$ является серединой отрезка $CC'$. Используем те же формулы для координат середины отрезка:
$x_M = \frac{x_C + x_{C'}}{2}$ и $y_M = \frac{y_C + y_{C'}}{2}$.
Подставим известные значения:
$-4 = \frac{4 + a'}{2} \implies -8 = 4 + a' \implies a' = -8 - 4 = -12$.
$2 = \frac{-3 + b'}{2} \implies 4 = -3 + b' \implies b' = 4 + 3 = 7$.
Таким образом, новый центр окружности — точка $C'(-12; 7)$.
Радиус окружности остаётся прежним, $R^2 = 11$.
Запишем уравнение новой окружности:
$(x - (-12))^2 + (y - 7)^2 = 11$
$(x + 12)^2 + (y - 7)^2 = 11$.
Ответ: $(x + 12)^2 + (y - 7)^2 = 11$.

282. На рисунке 24 прямые $AB$ и $CD$ параллельны. Точки $A$ и $D$ симметричны относительно точки $O$. Прямая $BC$ проходит через точку $O$. Докажите, что точки $B$ и $C$ симметричны относительно точки $O$.

Рис. 24

282. На рисунке 24 прямые $AB$ и $CD$ параллельны. Точки $A$ и $D$ симметричны относительно точки $O$. Прямая $BC$ проходит через точку $O$. Докажите, что точки $B$ и $C$ симметричны относительно точки $O$.

Рис. 24

Чтобы доказать, что точки B и C симметричны относительно точки O, необходимо установить, что O является серединой отрезка BC. По условию задачи, прямая BC проходит через точку O, значит точки B, O, C лежат на одной прямой. Следовательно, достаточно доказать, что длины отрезков BO и CO равны ($BO = CO$).

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle DOC$.

• $AO = OD$ по условию, так как точки A и D симметричны относительно точки O.
• $\angle AOB = \angle DOC$ как вертикальные углы.
• Поскольку прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$), а прямая $AD$ является секущей, то накрест лежащие углы при этих прямых равны: $\angle OAB = \angle ODC$.

Таким образом, треугольник $\triangle AOB$ равен треугольнику $\triangle DOC$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона BO в $\triangle AOB$ лежит напротив угла $\angle OAB$. Сторона CO в $\triangle DOC$ лежит напротив угла $\angle ODC$. Так как углы $\angle OAB$ и $\angle ODC$ равны, то и противолежащие им стороны равны: $BO = CO$.

Мы установили, что точка O лежит на отрезке BC и делит его пополам ($BO = CO$). Это по определению означает, что точки B и C симметричны относительно точки O, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

283. Запишите уравнение прямой, симметричной прямой $2x - 5y = -7$ относительно:

1) начала координат;

2) точки K $(-2; 1).$

283. Запишите уравнение прямой, симметричной прямой $2x - 5y = -7$ относительно:

1) начала координат;

2) точки K $(-2; 1)$.

1) начала координат

Пусть дана прямая $l_1$ с уравнением $2x - 5y = -7$. Мы ищем уравнение прямой $l_2$, симметричной прямой $l_1$ относительно начала координат $O(0, 0)$.

Симметрия относительно начала координат означает, что для любой точки $M(x_1, y_1)$, лежащей на прямой $l_1$, соответствующая ей симметричная точка $M'(x_2, y_2)$ лежит на прямой $l_2$. Координаты симметричной точки $M'$ связаны с координатами точки $M$ следующими соотношениями:
$x_2 = -x_1$
$y_2 = -y_1$

Отсюда мы можем выразить координаты точки $M$ через координаты точки $M'$:
$x_1 = -x_2$
$y_1 = -y_2$

Поскольку точка $M(x_1, y_1)$ лежит на прямой $l_1$, ее координаты удовлетворяют уравнению этой прямой:
$2x_1 - 5y_1 = -7$

Подставим выражения для $x_1$ и $y_1$ в это уравнение, чтобы получить уравнение, связывающее координаты точек прямой $l_2$:
$2(-x_2) - 5(-y_2) = -7$
$-2x_2 + 5y_2 = -7$

Это и есть уравнение прямой $l_2$, записанное через координаты ее точек $(x_2, y_2)$. Убрав индексы, получим общее уравнение прямой:
$-2x + 5y = -7$
Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы получить более стандартную форму:
$2x - 5y = 7$

Ответ: $2x - 5y = 7$

2) точки K (–2; 1)

Теперь найдем уравнение прямой $l_2$, симметричной прямой $l_1$ ($2x - 5y = -7$) относительно точки $K(-2, 1)$.

Симметрия относительно точки $K(x_K, y_K)$ означает, что точка $K$ является серединой отрезка, соединяющего любую точку $M(x_1, y_1)$ на прямой $l_1$ и симметричную ей точку $M'(x_2, y_2)$ на прямой $l_2$.

Используя формулы для координат середины отрезка:
$x_K = \frac{x_1 + x_2}{2}$
$y_K = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Выразим координаты точки $M(x_1, y_1)$ через координаты точки $M'(x_2, y_2)$ и точки симметрии $K(-2, 1)$:
$x_1 = 2x_K - x_2 = 2(-2) - x_2 = -4 - x_2$
$y_1 = 2y_K - y_2 = 2(1) - y_2 = 2 - y_2$

Теперь подставим эти выражения для $x_1$ и $y_1$ в уравнение исходной прямой $l_1$:
$2x_1 - 5y_1 = -7$
$2(-4 - x_2) - 5(2 - y_2) = -7$

Раскроем скобки и упростим уравнение:
$-8 - 2x_2 - 10 + 5y_2 = -7$
$-2x_2 + 5y_2 - 18 = -7$
$-2x_2 + 5y_2 = 11$

Убираем индексы и получаем искомое уравнение прямой $l_2$:
$-2x + 5y = 11$
Для удобства можно умножить обе части на $-1$:
$2x - 5y = -11$

Ответ: $2x - 5y = -11$

284. Отметьте точки $K$ и $O$. Постройте образ точки $K$ при повороте вокруг центра $O$:

1) на угол $30^\circ$ против часовой стрелки;

2) на угол $100^\circ$ по часовой стрелке.

284. Отметьте точки K и O. Постройте образ точки K при повороте вокруг центра O:

1) на угол $30^\circ$ против часовой стрелки;

2) на угол $100^\circ$ по часовой стрелке.

Для выполнения построений сначала отметим на плоскости две произвольные точки: К и центр поворота О.

1) на угол 30° против часовой стрелки
Чтобы построить образ точки К (назовем его К') при повороте вокруг центра О на угол 30° против часовой стрелки, нужно выполнить следующие шаги:
1. Провести луч ОК.
2. С помощью транспортира отложить от луча ОК угол, равный 30°, в направлении против часовой стрелки. Построить второй луч, выходящий из точки О под этим углом.
3. С помощью циркуля измерить расстояние ОК. Затем, установив острие циркуля в точку О, отложить на втором луче отрезок ОК', равный по длине отрезку ОК.
Точка К' является искомым образом точки К, так как по построению выполняются два условия поворота: расстояние от центра поворота до образа точки равно расстоянию от центра до исходной точки ($OK = OK'$), и угол между лучами ОК и ОК' равен углу поворота ($\angle KOK' = 30°$).
Ответ: Точка К', построенная указанным способом, является образом точки К.

2) на угол 100° по часовой стрелке
Чтобы построить образ точки К (назовем его К'') при повороте вокруг центра О на угол 100° по часовой стрелке, выполняем аналогичные действия:
1. Провести луч ОК.
2. С помощью транспортира отложить от луча ОК угол, равный 100°, в направлении по часовой стрелке. Построить второй луч из точки О.
3. С помощью циркуля на построенном луче отложить отрезок ОК'', равный по длине отрезку ОК.
Точка К'' является искомым образом точки К, так как по построению $OK = OK''$ и угол $\angle KOK'' = 100°$ (отложенный по часовой стрелке).
Ответ: Точка К'', построенная указанным способом, является образом точки К.

285. Даны отрезок $AB$ и точка $O$ (рис. 25). Постройте образ отрезка $AB$ при повороте на угол $45^\circ$ вокруг центра $O$ по часовой стрелке.

Рис. 25

285. Даны отрезок $AB$ и точка $O$ (рис. 25). Постройте образ отрезка $AB$ при повороте на угол $45^\circ$ вокруг центра $O$ по часовой стрелке.

Рис. 25

Для построения образа отрезка $AB$ при повороте вокруг центра $O$ на угол $45°$ по часовой стрелке, необходимо найти образы его конечных точек, $A$ и $B$, при данном повороте. Отрезок, соединяющий полученные точки ($A'$ и $B'$), и будет являться образом отрезка $AB$.

Чтобы построить точку $A'$, которая является образом точки $A$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Соединить отрезком центр поворота $O$ с точкой $A$.
2. С помощью транспортира от луча $OA$ отложить угол, равный $45°$, по направлению движения часовой стрелки. Построить второй луч с началом в точке $O$.
3. С помощью циркуля измерить длину отрезка $OA$.
4. На луче, построенном в предыдущем шаге, отложить от точки $O$ отрезок $OA'$, равный по длине отрезку $OA$.

Полученная точка $A'$ является образом точки $A$, так как она удовлетворяет условиям поворота: расстояние до центра поворота сохранилось ($OA' = OA$), и угол поворота равен заданному ($\angle AOA' = 45°$).

Построение образа точки $B$ (точки $B'$) выполняется аналогичным образом:

1. Соединить отрезком точки $O$ и $B$.
2. От луча $OB$ отложить угол $45°$ по часовой стрелке с вершиной в точке $O$.
3. На новом луче отложить отрезок $OB'$, равный по длине отрезку $OB$.

Полученная точка $B'$ является образом точки $B$, так как $OB' = OB$ и $\angle BOB' = 45°$.

После того как образы обеих конечных точек отрезка найдены, их следует соединить.

Отрезок $A'B'$ является искомым образом отрезка $AB$ при повороте на $45°$ вокруг центра $O$ по часовой стрелке.

Ответ: Образом отрезка $AB$ при повороте на $45°$ вокруг центра $O$ по часовой стрелке является отрезок $A'B'$, концы которого строятся путем поворота точек $A$ и $B$ на заданный угол вокруг центра $O$ в соответствии с описанным выше алгоритмом.

286. Точка $O$ — центр квадрата $ABCD$ (рис. 26). Укажите образы точек $B$, $D$, $O$, стороны $CD$, диагонали $AC$ при повороте вокруг точки $O$ против часовой стрелки на угол $90^\circ$.

Рис. 26

286. Точка $O$ — центр квадрата $ABCD$ (рис. 26). Укажите образы точек $B, D, O$, стороны $CD$, диагонали $AC$ при повороте вокруг точки $O$ против часовой стрелки на угол $90^{\circ}$.

Рис. 26

Поскольку $O$ — центр квадрата $ABCD$, то $OA = OB = OC = OD$ и $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^\circ$. Поворот на $90^\circ$ против часовой стрелки вокруг центра $O$ переводит каждую вершину квадрата в следующую за ней вершину в направлении против часовой стрелки (A → B, B → C, C → D, D → A).

образы точек B, D, O

При повороте вокруг точки $O$ на $90^\circ$ против часовой стрелки, точка $B$ перейдет в точку $C$, так как $OB=OC$ и $\angle BOC = 90^\circ$.
Точка $D$ перейдет в точку $A$, так как $OD=OA$ и $\angle DOA = 90^\circ$.
Точка $O$ является центром поворота, поэтому она остается на месте, то есть переходит сама в себя.

Ответ: образами точек B, D, O являются соответственно точки C, A, O.

образ стороны CD

Образом отрезка при повороте является отрезок, соединяющий образы его концов. Найдем образы точек $C$ и $D$. При повороте на $90^\circ$ против часовой стрелки точка $C$ переходит в точку $D$, а точка $D$ переходит в точку $A$. Следовательно, образом стороны $CD$ является отрезок $DA$, то есть сторона $DA$.

Ответ: сторона DA.

образ диагонали AC

Образом диагонали $AC$ является отрезок, соединяющий образы ее концов, то есть точек $A$ и $C$. При повороте на $90^\circ$ против часовой стрелки точка $A$ переходит в точку $B$, а точка $C$ — в точку $D$. Следовательно, образом диагонали $AC$ является отрезок $BD$, то есть диагональ $BD$.

Ответ: диагональ BD.