Страница 25 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

209. На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены такие точки $D$ и $E$ соответственно, что $AD : DC = 3 : 2$, $BE : EC = 1 : 3$. Выразите векторы $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AE}$ и $\overrightarrow{BD}$ через векторы $\overrightarrow{BE} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$.

209. На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены такие точки $D$ и $E$ соответственно, что $AD : DC = 3 : 2$, $BE : EC = 1 : 3$. Выразите векторы $\vec{BC}$, $\vec{AC}$, $\vec{AB}$, $\vec{AE}$ и $\vec{BD}$ через векторы $\vec{BE} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

По условию задачи даны соотношения для точек на сторонах треугольника:

• Точка $D$ на стороне $AC$ такова, что $AD : DC = 3 : 2$. Это означает, что вектор $\vec{DC}$ коллинеарен вектору $\vec{AD}$ и его длина составляет $\frac{2}{3}$ длины вектора $\vec{AD}$. Таким образом, $\vec{DC} = \frac{2}{3}\vec{AD} = \frac{2}{3}\vec{b}$.
• Точка $E$ на стороне $BC$ такова, что $BE : EC = 1 : 3$. Это означает, что вектор $\vec{EC}$ коллинеарен вектору $\vec{BE}$ и его длина в 3 раза больше длины вектора $\vec{BE}$. Таким образом, $\vec{EC} = 3\vec{BE} = 3\vec{a}$.

Теперь выразим требуемые векторы через $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Выражение вектора $\vec{BC}$
Вектор $\vec{BC}$ можно представить как сумму векторов $\vec{BE}$ и $\vec{EC}$.
$\vec{BC} = \vec{BE} + \vec{EC}$
Мы знаем, что $\vec{BE} = \vec{a}$ и $\vec{EC} = 3\vec{a}$.
$\vec{BC} = \vec{a} + 3\vec{a} = 4\vec{a}$
Ответ: $\vec{BC} = 4\vec{a}$

Выражение вектора $\vec{AC}$
Вектор $\vec{AC}$ можно представить как сумму векторов $\vec{AD}$ и $\vec{DC}$.
$\vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC}$
Мы знаем, что $\vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{DC} = \frac{2}{3}\vec{b}$.
$\vec{AC} = \vec{b} + \frac{2}{3}\vec{b} = \frac{5}{3}\vec{b}$
Ответ: $\vec{AC} = \frac{5}{3}\vec{b}$

Выражение вектора $\vec{AB}$
Воспользуемся правилом треугольника для векторов: $\vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CB}$.
Вектор $\vec{CB}$ противоположен вектору $\vec{BC}$, поэтому $\vec{CB} = -\vec{BC}$.
Из предыдущих вычислений мы знаем, что $\vec{AC} = \frac{5}{3}\vec{b}$ и $\vec{BC} = 4\vec{a}$.
$\vec{AB} = \frac{5}{3}\vec{b} + (-4\vec{a}) = \frac{5}{3}\vec{b} - 4\vec{a}$
Ответ: $\vec{AB} = \frac{5}{3}\vec{b} - 4\vec{a}$

Выражение вектора $\vec{AE}$
Воспользуемся правилом треугольника: $\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE}$.
Мы уже нашли $\vec{AB} = \frac{5}{3}\vec{b} - 4\vec{a}$ и дано $\vec{BE} = \vec{a}$.
$\vec{AE} = (\frac{5}{3}\vec{b} - 4\vec{a}) + \vec{a} = \frac{5}{3}\vec{b} - 3\vec{a}$
Ответ: $\vec{AE} = \frac{5}{3}\vec{b} - 3\vec{a}$

Выражение вектора $\vec{BD}$
Воспользуемся правилом треугольника: $\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD}$.
Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, поэтому $\vec{BA} = -\vec{AB} = -(\frac{5}{3}\vec{b} - 4\vec{a}) = 4\vec{a} - \frac{5}{3}\vec{b}$.
По условию $\vec{AD} = \vec{b}$.
$\vec{BD} = (4\vec{a} - \frac{5}{3}\vec{b}) + \vec{b} = 4\vec{a} - \frac{5}{3}\vec{b} + \frac{3}{3}\vec{b} = 4\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}$
Ответ: $\vec{BD} = 4\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}$

210. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD отмечены точки M и N, причём $BM = \frac{1}{3}BC$, $CN = \frac{4}{5}CD$ (рис. 18). Выразите векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AN}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

Рис. 17

Рис. 18

210. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD отмечены точки M и N, причём $BM = \frac{1}{3}BC$, $CN = \frac{4}{5}CD$ (рис. 18). Выразите векторы $\overrightarrow{AM}$ и $\overrightarrow{AN}$ через векторы $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$.

Рис. 18

Выражение вектора $\vec{AM}$

Для нахождения вектора $\vec{AM}$ воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника). Вектор $\vec{AM}$ можно представить как сумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BM}$:
$\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM}$
По условию задачи нам дано, что $\vec{AB} = \vec{a}$.
Точка M лежит на стороне BC, и по условию $BM = \frac{1}{3}BC$. Так как векторы $\vec{BM}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены, то $\vec{BM} = \frac{1}{3}\vec{BC}$.
ABCD — это параллелограмм, следовательно, его противоположные стороны равны и параллельны. Это означает, что $\vec{BC} = \vec{AD}$.
Из условия мы знаем, что $\vec{AD} = \vec{b}$, значит, $\vec{BC} = \vec{b}$.
Теперь можем найти вектор $\vec{BM}$:
$\vec{BM} = \frac{1}{3}\vec{BC} = \frac{1}{3}\vec{b}$
Подставим полученные выражения для $\vec{AB}$ и $\vec{BM}$ в исходное равенство:
$\vec{AM} = \vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$
Ответ: $\vec{AM} = \vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$.

Выражение вектора $\vec{AN}$

Для нахождения вектора $\vec{AN}$ также воспользуемся правилом сложения векторов. Вектор $\vec{AN}$ можно представить как сумму векторов $\vec{AD}$ и $\vec{DN}$:
$\vec{AN} = \vec{AD} + \vec{DN}$
По условию задачи, $\vec{AD} = \vec{b}$.
Точка N лежит на стороне CD. Из условия $CN = \frac{4}{5}CD$ следует, что длина отрезка $DN$ равна $DN = CD - CN = CD - \frac{4}{5}CD = \frac{1}{5}CD$.
Вектор $\vec{DN}$ направлен от точки D к точке N, то есть в сторону, противоположную направлению вектора $\vec{CD}$. Поэтому векторное соотношение будет выглядеть так: $\vec{DN} = -\frac{1}{5}\vec{CD}$.
В параллелограмме ABCD вектор $\vec{CD}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, то есть $\vec{CD} = -\vec{AB}$.
Так как $\vec{AB} = \vec{a}$, то $\vec{CD} = -\vec{a}$.
Подставим это в выражение для вектора $\vec{DN}$:
$\vec{DN} = -\frac{1}{5}(-\vec{a}) = \frac{1}{5}\vec{a}$
Теперь подставим найденные выражения для векторов $\vec{AD}$ и $\vec{DN}$ в исходную формулу для $\vec{AN}$:
$\vec{AN} = \vec{AD} + \vec{DN} = \vec{b} + \frac{1}{5}\vec{a}$
Ответ: $\vec{AN} = \frac{1}{5}\vec{a} + \vec{b}$.

211. Коллинеарны ли векторы $ \vec{MN} $ и $ \vec{KP} $, если $ M (3; -2) $, $ N (-7; 4) $, $ K (6; -3) $, $ P (1; 0)? $

211. Коллинеарны ли векторы $\vec{MN}$ и $\vec{KP}$, если $M (3; -2)$, $N (-7; 4)$, $K (6; -3)$, $P (1; 0)$?

Для того чтобы определить, являются ли векторы коллинеарными, необходимо найти их координаты и проверить, пропорциональны ли они. Два вектора $\vec{a} = \{x_1; y_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2\}$ коллинеарны, если существует такое число $k$, что $x_1 = k \cdot x_2$ и $y_1 = k \cdot y_2$.

1. Найдём координаты вектора $\vec{MN}$

Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конца и начала. Для вектора $\vec{MN}$ с началом в точке $M(3; -2)$ и концом в точке $N(-7; 4)$ координаты будут следующими:

$\vec{MN} = \{x_N - x_M; y_N - y_M\} = \{-7 - 3; 4 - (-2)\} = \{-10; 6\}$

2. Найдём координаты вектора $\vec{KP}$

Аналогично для вектора $\vec{KP}$ с началом в точке $K(6; -3)$ и концом в точке $P(1; 0)$:

$\vec{KP} = \{x_P - x_K; y_P - y_K\} = \{1 - 6; 0 - (-3)\} = \{-5; 3\}$

3. Проверим пропорциональность координат

Теперь проверим, пропорциональны ли координаты векторов $\vec{MN}\{-10; 6\}$ и $\vec{KP}\{-5; 3\}$. Для этого найдём отношение их соответствующих координат:

Отношение первых координат: $\frac{-10}{-5} = 2$

Отношение вторых координат: $\frac{6}{3} = 2$

Поскольку отношения координат равны ($2=2$), это означает, что координаты векторов пропорциональны с коэффициентом $k=2$. Следовательно, векторы коллинеарны, и выполняется равенство $\vec{MN} = 2 \cdot \vec{KP}$.

Ответ: Да, векторы $\vec{MN}$ и $\vec{KP}$ коллинеарны.

212. Среди векторов $\vec{a}(3; -2)$, $\vec{b}(-9; 6)$, $\vec{c}(6; -4)$, $\vec{d}(-27; 18)$ укажите пары:

1) сонаправленных векторов;

2) противоположно направленных векторов.

212. Среди векторов $\vec{a}(3; -2)$, $\vec{b}(-9; 6)$, $\vec{c}(6; -4)$, $\vec{d}(-27; 18)$ укажите пары:

1) сонаправленных векторов;

2) противоположно направленных векторов.

Два вектора $\vec{u}(x_1; y_1)$ и $\vec{v}(x_2; y_2)$ называются коллинеарными, если существует такое число $k$, что выполняются равенства $x_2 = k \cdot x_1$ и $y_2 = k \cdot y_1$. Иными словами, их соответствующие координаты пропорциональны: $\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = k$.

• Если коэффициент пропорциональности $k > 0$, то векторы сонаправлены.
• Если коэффициент пропорциональности $k < 0$, то векторы противоположно направлены.

Проверим все пары векторов на коллинеарность и определим знак коэффициента $k$.

Даны векторы: $\vec{a}(3; -2)$, $\vec{b}(-9; 6)$, $\vec{c}(6; -4)$, $\vec{d}(-27; 18)$.

1) сонаправленных векторов

Ищем пары векторов, для которых коэффициент пропорциональности $k$ положителен.

Сравним векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$:

Найдём отношение их координат: $\frac{6}{3} = 2$ и $\frac{-4}{-2} = 2$.

Отношения равны, $k = 2$. Так как $k > 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ сонаправлены. ($\vec{c} = 2\vec{a}$)

Сравним векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$:

Найдём отношение их координат: $\frac{-27}{-9} = 3$ и $\frac{18}{6} = 3$.

Отношения равны, $k = 3$. Так как $k > 0$, векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$ сонаправлены. ($\vec{d} = 3\vec{b}$)

Проверка других пар показывает, что они либо не коллинеарны, либо противоположно направлены.

Ответ: $\vec{a}$ и $\vec{c}$; $\vec{b}$ и $\vec{d}$.

2) противоположно направленных векторов

Ищем пары векторов, для которых коэффициент пропорциональности $k$ отрицателен.

Сравним векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

Найдём отношение их координат: $\frac{-9}{3} = -3$ и $\frac{6}{-2} = -3$.

Отношения равны, $k = -3$. Так как $k < 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены. ($\vec{b} = -3\vec{a}$)

Сравним векторы $\vec{a}$ и $\vec{d}$:

Найдём отношение их координат: $\frac{-27}{3} = -9$ и $\frac{18}{-2} = -9$.

Отношения равны, $k = -9$. Так как $k < 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{d}$ противоположно направлены. ($\vec{d} = -9\vec{a}$)

Сравним векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$:

Найдём отношение их координат: $\frac{6}{-9} = -\frac{2}{3}$ и $\frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.

Отношения равны, $k = -\frac{2}{3}$. Так как $k < 0$, векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ противоположно направлены. ($\vec{c} = -\frac{2}{3}\vec{b}$)

Сравним векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$:

Найдём отношение их координат: $\frac{-27}{6} = -\frac{9}{2}$ и $\frac{18}{-4} = -\frac{9}{2}$.

Отношения равны, $k = -\frac{9}{2}$. Так как $k < 0$, векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ противоположно направлены. ($\vec{d} = -\frac{9}{2}\vec{c}$)

Ответ: $\vec{a}$ и $\vec{b}$; $\vec{a}$ и $\vec{d}$; $\vec{b}$ и $\vec{c}$; $\vec{c}$ и $\vec{d}$.

213. Даны вектор $\vec{a}(5; -4)$ и точка $K(-3; 7)$. Найдите координаты такой точки $P$, чтобы векторы $\vec{a}$ и $\vec{KP}$ были противоположными.

213. Даны вектор $\vec{a}(5; -4)$ и точка $K(-3; 7)$. Найдите координаты такой точки $P$, чтобы векторы $\vec{a}$ и $\vec{KP}$ были противоположными.

По условию, векторы $\vec{a}$ и $\overrightarrow{KP}$ противоположны. Два вектора называются противоположными, если они имеют одинаковые модули и противоположные направления. Это означает, что координаты одного вектора являются противоположными числами по отношению к соответствующим координатам другого вектора. Математически это записывается как $\overrightarrow{KP} = -\vec{a}$.

Нам дан вектор $\vec{a}(5; -4)$. Найдем координаты вектора $-\vec{a}$:

$-\vec{a} = (-5; -(-4)) = (-5; 4)$.

Следовательно, вектор $\overrightarrow{KP}$ имеет координаты $(-5; 4)$.

Обозначим координаты искомой точки $P$ как $(x_P; y_P)$. Координаты точки $K$ известны: $K(-3; 7)$.

Координаты вектора, заданного двумя точками, находятся путем вычитания соответствующих координат начальной точки из координат конечной точки. Для вектора $\overrightarrow{KP}$ имеем:

$\overrightarrow{KP} = (x_P - x_K; y_P - y_K)$

Подставим известные координаты точки $K$:

$\overrightarrow{KP} = (x_P - (-3); y_P - 7) = (x_P + 3; y_P - 7)$

Теперь у нас есть два выражения для координат вектора $\overrightarrow{KP}$. Приравняем их соответствующие координаты:

$x_P + 3 = -5$

$y_P - 7 = 4$

Решим полученную систему уравнений. Из первого уравнения найдем $x_P$:

$x_P = -5 - 3$

$x_P = -8$

Из второго уравнения найдем $y_P$:

$y_P = 4 + 7$

$y_P = 11$

Таким образом, координаты точки $P$ равны $(-8; 11)$.

Ответ: $P(-8; 11)$.

214. Найдите значение $k$, при котором векторы $\vec{m}(-2; k)$ и $\vec{n}(3; 6)$ коллинеарны.

214. Найдите значение k, при котором векторы $\vec{m}(-2; k)$ и $\vec{n}(3; 6)$ коллинеарны.

Два вектора $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ являются коллинеарными, если их соответствующие координаты пропорциональны. Условие коллинеарности для ненулевых векторов, у которых координаты не равны нулю, можно записать в виде равенства отношений их координат:

$\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$

В данной задаче нам даны векторы $\vec{m}(-2; k)$ и $\vec{n}(3; 6)$. Подставим их координаты в условие коллинеарности:

$\frac{-2}{3} = \frac{k}{6}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $k$. Для этого выразим $k$ из пропорции, умножив обе части на 6:

$k = \frac{-2 \cdot 6}{3}$

$k = \frac{-12}{3}$

$k = -4$

Следовательно, векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ коллинеарны при значении $k = -4$.

Ответ: -4

215. Найдите координаты вектора, модуль которого равен 1 и который сонаправлен с вектором:

1) $\vec{a}(-5; 12);$

2) $\vec{c}(m; n).$

215. Найдите координаты вектора, модуль которого равен 1 и который сонаправлен с вектором:

1) $ \vec{a}(-5; 12) $;

2) $ \vec{c}(m; n) $.

Чтобы найти координаты вектора, модуль которого равен 1 и который сонаправлен с данным вектором $\vec{v}(v_x; v_y)$, нужно найти так называемый единичный вектор (или орт) этого направления. Координаты единичного вектора $\vec{u}$ вычисляются путем деления каждой координаты исходного вектора на его модуль (длину) $|\vec{v}|$.
Формула для координат единичного вектора: $\vec{u} = (\frac{v_x}{|\vec{v}|}; \frac{v_y}{|\vec{v}|})$, где $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.

1) Дан вектор $\vec{a}(-5; 12)$. Сначала найдем его модуль (длину): $|\vec{a}| = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$. Теперь найдем координаты искомого единичного вектора, разделив координаты вектора $\vec{a}$ на его модуль: $(\frac{-5}{13}; \frac{12}{13}) = (-\frac{5}{13}; \frac{12}{13})$.
Ответ: $(-\frac{5}{13}; \frac{12}{13})$.

2) Дан вектор $\vec{c}(m; n)$. Для того чтобы задача имела решение, вектор $\vec{c}$ не должен быть нулевым, то есть $m^2 + n^2 \neq 0$. Найдем модуль вектора $\vec{c}$: $|\vec{c}| = \sqrt{m^2 + n^2}$. Найдем координаты искомого единичного вектора, разделив координаты вектора $\vec{c}$ на его модуль: $(\frac{m}{|\vec{c}|}; \frac{n}{|\vec{c}|}) = (\frac{m}{\sqrt{m^2 + n^2}}; \frac{n}{\sqrt{m^2 + n^2}})$.
Ответ: $(\frac{m}{\sqrt{m^2 + n^2}}; \frac{n}{\sqrt{m^2 + n^2}})$.

216. Найдите координаты вектора $\vec{b}$, коллинеарного вектору $\vec{a}(-6; 8)$, если $|\vec{b}| = 40$.

216. Найдите координаты вектора $\vec{b}$, коллинеарного вектору $\vec{a}(-6; 8)$, если $|\vec{b}|=40$.

По определению, коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Это означает, что один вектор можно выразить через другой, умножив его на некоторое число (скаляр) $k$. Таким образом, если вектор $\vec{b}$ коллинеарен вектору $\vec{a}$, то $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$.

Задан вектор $\vec{a}(-6; 8)$. Найдем координаты вектора $\vec{b}$:

$\vec{b} = k \cdot \vec{a} = k \cdot (-6; 8) = (-6k; 8k)$

Длина (модуль) вектора $\vec{b}$ вычисляется по формуле $|\vec{b}| = \sqrt{x_b^2 + y_b^2}$. По условию задачи, $|\vec{b}| = 40$. Подставим координаты вектора $\vec{b}$ в формулу длины и составим уравнение:

$|\vec{b}| = \sqrt{(-6k)^2 + (8k)^2} = 40$

Теперь решим это уравнение относительно $k$:

$\sqrt{36k^2 + 64k^2} = 40$

$\sqrt{100k^2} = 40$

$10 \cdot |k| = 40$

$|k| = \frac{40}{10}$

$|k| = 4$

Из последнего равенства следует, что $k$ может принимать два значения: $k = 4$ или $k = -4$. Это означает, что существуют два вектора, удовлетворяющих условиям задачи (один сонаправлен с $\vec{a}$, другой — противоположно направлен).

1. Найдем координаты $\vec{b}$ при $k = 4$:

$\vec{b} = (-6 \cdot 4; 8 \cdot 4) = (-24; 32)$

2. Найдем координаты $\vec{b}$ при $k = -4$:

$\vec{b} = (-6 \cdot (-4); 8 \cdot (-4)) = (24; -32)$

Ответ: $(-24; 32)$ или $(24; -32)$.