Страница 42 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

58. На сторонах угла $O$ отложены отрезки $OA = 8$ см, $AB = 3$ см, $OC = 5$ см, $CD = 7$ см (рис. 30). Найдите отношение площадей треугольника $OBD$ и четырёхугольника $ABDC$.

Рис. 30

58. На сторонах угла $O$ отложены отрезки $OA = 8$ см, $AB = 3$ см, $OC = 5$ см, $CD = 7$ см (рис. 30). Найдите отношение площадей треугольника $OBD$ и четырёхугольника $ABDC$.

Рис. 30

Для решения задачи воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$, где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

В данной задаче треугольники $OAC$ и $OBD$ имеют общий угол при вершине $O$. Обозначим этот угол как $\alpha$.

Из условия задачи известны длины отрезков: $OA = 8$ см, $AB = 3$ см, $OC = 5$ см, $CD = 7$ см.Найдем длины сторон $OB$ и $OD$ треугольника $OBD$:
$OB = OA + AB = 8 + 3 = 11$ см.
$OD = OC + CD = 5 + 7 = 12$ см.

Теперь можем выразить площади нужных нам фигур.
Площадь треугольника $OBD$ ($S_{OBD}$) равна:
$S_{OBD} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OD \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 12 \cdot \sin\alpha = 66\sin\alpha$.

Площадь четырехугольника $ABDC$ ($S_{ABDC}$) можно найти как разность площадей треугольника $OBD$ и треугольника $OAC$.
Сначала найдем площадь треугольника $OAC$ ($S_{OAC}$):
$S_{OAC} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OC \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin\alpha = 20\sin\alpha$.
Теперь вычислим площадь четырехугольника $ABDC$:
$S_{ABDC} = S_{OBD} - S_{OAC} = 66\sin\alpha - 20\sin\alpha = 46\sin\alpha$.

Наконец, найдем искомое отношение площади треугольника $OBD$ к площади четырехугольника $ABDC$:
$\frac{S_{OBD}}{S_{ABDC}} = \frac{66\sin\alpha}{46\sin\alpha}$.

Поскольку угол $\alpha$ является углом в треугольнике, его синус не равен нулю ($\sin\alpha \neq 0$), поэтому мы можем сократить дробь на $\sin\alpha$, а также на их общий делитель 2:
$\frac{66}{46} = \frac{33 \cdot 2}{23 \cdot 2} = \frac{33}{23}$.

Ответ: $\frac{33}{23}$.

59. Найдите площадь треугольника со сторонами 4 см, 13 см и 15 см.

59. Найдите площадь треугольника со сторонами 4 см, 13 см и 15 см.

Для нахождения площади треугольника, когда известны длины всех трех его сторон, используется формула Герона.

Обозначим стороны треугольника как $a, b, c$:

$a = 4$ см

$b = 13$ см

$c = 15$ см

Формула Герона для площади треугольника $S$ имеет вид:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

где $p$ — полупериметр треугольника, который вычисляется по формуле:

$p = \frac{a+b+c}{2}$

1. Вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{4 + 13 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

2. Подставим значение полупериметра и длин сторон в формулу Герона:

$S = \sqrt{16 \cdot (16-4) \cdot (16-13) \cdot (16-15)}$

$S = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1}$

$S = \sqrt{16 \cdot 36}$

Чтобы упростить вычисление, можно извлечь квадратный корень из каждого множителя:

$S = \sqrt{16} \cdot \sqrt{36} = 4 \cdot 6 = 24$ см².

Ответ: 24 см².

60. Три окружности, радиусы которых равны 9 см, 11 см и 12 см, попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются центры этих окружностей.

60. Три окружности, радиусы которых равны 9 см, 11 см и 12 см, попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются центры этих окружностей.

Пусть радиусы трех окружностей равны $r_1 = 9$ см, $r_2 = 11$ см, и $r_3 = 12$ см. Вершинами искомого треугольника являются центры этих окружностей. Обозначим стороны этого треугольника как $a, b, c$.

Поскольку окружности касаются друг друга внешним образом, расстояние между центрами двух касающихся окружностей равно сумме их радиусов. Таким образом, стороны треугольника равны:

$a = r_1 + r_2 = 9 + 11 = 20$ см

$b = r_1 + r_3 = 9 + 12 = 21$ см

$c = r_2 + r_3 = 11 + 12 = 23$ см

Для нахождения площади треугольника по трем известным сторонам воспользуемся формулой Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{20+21+23}{2} = \frac{64}{2} = 32$ см.

Теперь подставим значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{32(32-20)(32-21)(32-23)}$

$S = \sqrt{32 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 9}$

Разложим числа под корнем на множители для упрощения:

$S = \sqrt{(16 \cdot 2) \cdot (4 \cdot 3) \cdot 11 \cdot 9} = \sqrt{16 \cdot 4 \cdot 9 \cdot (2 \cdot 3 \cdot 11)}$

Вынесем множители из-под знака корня:

$S = \sqrt{16} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{66} = 4 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{66} = 24\sqrt{66}$ см².

Ответ: $24\sqrt{66}$ см².

61. Стороны треугольника равны 10 см, 17 см и 21 см. Найдите наибольшую высоту треугольника, радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей.

61. Стороны треугольника равны 10 см, 17 см и 21 см. Найдите наибольшую высоту треугольника, радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей.

Для решения задачи сначала необходимо найти площадь треугольника. Так как известны все три стороны, удобнее всего воспользоваться формулой Герона.

Обозначим стороны треугольника: $a = 10$ см, $b = 17$ см, $c = 21$ см.

1. Вычислим полупериметр $p$ треугольника:

$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{10 + 17 + 21}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

2. Вычислим площадь $S$ треугольника по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3}$

Разложим числа под корнем на множители для удобства вычисления:

$S = \sqrt{(8 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{(16 \cdot 3^2 \cdot 7^2)} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{7^2} = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см².

Теперь, зная площадь треугольника, мы можем найти все требуемые величины.

Наибольшая высота треугольника

В любом треугольнике наибольшая высота проведена к наименьшей стороне. В нашем случае наименьшая сторона – это $a = 10$ см. Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту: $S = \frac{1}{2} a h_a$. Отсюда найдем наибольшую высоту $h_{max} = h_a$:

$h_{max} = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 84}{10} = \frac{168}{10} = 16,8$ см.

Ответ: $16,8$ см.

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в треугольник окружности ($r$) вычисляется по формуле: $r = \frac{S}{p}$, где $S$ – площадь, а $p$ – полупериметр.

$r = \frac{84}{24}$

Сократим дробь на 12:

$r = \frac{7}{2} = 3,5$ см.

Ответ: $3,5$ см.

Радиус описанной окружности

Радиус описанной около треугольника окружности ($R$) вычисляется по формуле: $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ – стороны треугольника, а $S$ – его площадь.

$R = \frac{10 \cdot 17 \cdot 21}{4 \cdot 84}$

Сократим дробь. Так как $84 = 4 \cdot 21$, то:

$R = \frac{10 \cdot 17 \cdot 21}{4 \cdot (4 \cdot 21)} = \frac{10 \cdot 17}{4 \cdot 4} = \frac{170}{16}$

Сократим полученную дробь на 2:

$R = \frac{85}{8} = 10,625$ см.

Ответ: $10,625$ см.

62. В треугольник со сторонами 15 см, 28 см и 41 см вписана окружность, центр которой соединён с вершинами треугольника. Найдите площади трёх образовавшихся треугольников.

62. В треугольник со сторонами 15 см, 28 см и 41 см вписана окружность, центр которой соединён с вершинами треугольника. Найдите площади трёх образовавшихся треугольников.

Пусть стороны исходного треугольника равны $a = 15$ см, $b = 28$ см и $c = 41$ см. Центр вписанной окружности, соединенный с вершинами, делит исходный треугольник на три треугольника. Основаниями этих трех треугольников являются стороны исходного треугольника ($a, b, c$), а высота каждого из них равна радиусу вписанной окружности $r$.

Для нахождения площадей этих треугольников необходимо сначала вычислить радиус вписанной окружности $r$. Радиус находится по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь исходного треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Сначала вычислим полупериметр $p$ исходного треугольника: $p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{15 + 28 + 41}{2} = \frac{84}{2} = 42$ см.

Далее найдем площадь исходного треугольника $S$ по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$. $S = \sqrt{42(42-15)(42-28)(42-41)} = \sqrt{42 \cdot 27 \cdot 14 \cdot 1}$. Для удобства вычислений разложим подкоренное выражение на множители: $S = \sqrt{(2 \cdot 3 \cdot 7) \cdot (3^3) \cdot (2 \cdot 7)} = \sqrt{2^2 \cdot 3^4 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 126$ см$^2$.

Зная площадь и полупериметр, найдем радиус вписанной окружности $r$: $r = \frac{S}{p} = \frac{126}{42} = 3$ см.

Теперь мы можем вычислить площади трёх образовавшихся треугольников, используя найденный радиус. Площадь треугольника с основанием $s$ и высотой $r$ равна $\frac{1}{2}sr$.
Площадь первого треугольника (основание 15 см): $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 3 = \frac{45}{2} = 22,5$ см$^2$.
Площадь второго треугольника (основание 28 см): $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 3 = 14 \cdot 3 = 42$ см$^2$.
Площадь третьего треугольника (основание 41 см): $S_3 = \frac{1}{2} \cdot 41 \cdot 3 = \frac{123}{2} = 61,5$ см$^2$.

Ответ: 22,5 см$^2$, 42 см$^2$, 61,5 см$^2$.

63. Биссектриса треугольника делит одну из его сторон на отрезки, больший из которых равен 9 см. Две другие стороны треугольника равны 14 см и 21 см. Найдите площадь треугольника.

63. Биссектриса треугольника делит одну из его сторон на отрезки, больший из которых равен 9 см. Две другие стороны треугольника равны 14 см и 21 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Согласно условию, две стороны равны 14 см и 21 см. Обозначим их как $a = 14$ см и $b = 21$ см. Фраза "две другие стороны" означает, что биссектриса делит третью, неизвестную сторону $c$. Пусть эта биссектриса, проведенная из угла между сторонами $a$ и $b$, делит сторону $c$ на отрезки $c_1$ и $c_2$.

Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника, которое гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим (прилежащим) сторонам:
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{a}{b} = \frac{14}{21} = \frac{2}{3}$

Из полученной пропорции видно, что отрезки не равны. Так как отношение $\frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{3} < 1$, то отрезок $c_1$ меньше отрезка $c_2$. По условию, больший из отрезков равен 9 см. Следовательно, $c_2 = 9$ см.

Теперь можем найти длину меньшего отрезка $c_1$:
$\frac{c_1}{9} = \frac{2}{3} \implies c_1 = 9 \cdot \frac{2}{3} = 6$ см.

Полная длина третьей стороны $c$ равна сумме длин ее отрезков:
$c = c_1 + c_2 = 6 + 9 = 15$ см.

Итак, мы определили, что треугольник имеет стороны 14 см, 21 см и 15 см. Для нахождения его площади воспользуемся формулой Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ – полупериметр.

Сначала вычислим полупериметр:
$p = \frac{14+21+15}{2} = \frac{50}{2} = 25$ см.

Подставим все значения в формулу Герона и вычислим площадь:
$S = \sqrt{25(25-14)(25-21)(25-15)} = \sqrt{25 \cdot 11 \cdot 4 \cdot 10}$
$S = \sqrt{100 \cdot 110} = 10\sqrt{110}$ см².

Ответ: $10\sqrt{110}$ см².

64. Один из углов ромба на $120^\circ$ больше другого, а его сторона равна $6\sqrt{3}$ см. Найдите площадь ромба.

64. Один из углов ромба на $120^\circ$ больше другого, а его сторона равна $6\sqrt{3}$ см. Найдите площадь ромба.

Обозначим два разных угла ромба как $\alpha$ и $\beta$. В ромбе, как и в любом параллелограмме, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. По условию задачи, один угол на $120^\circ$ больше другого. Мы можем составить систему уравнений для нахождения углов ромба:

$ \begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \beta = \alpha + 120^\circ \end{cases} $

Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти меньший угол $\alpha$:

$\alpha + (\alpha + 120^\circ) = 180^\circ$

$2\alpha + 120^\circ = 180^\circ$

$2\alpha = 180^\circ - 120^\circ$

$2\alpha = 60^\circ$

$\alpha = 30^\circ$

Теперь найдем больший угол $\beta$:

$\beta = 30^\circ + 120^\circ = 150^\circ$

Таким образом, углы ромба равны $30^\circ$ и $150^\circ$.

Площадь ромба можно вычислить по формуле:

$S = a^2 \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ — сторона ромба, а $\alpha$ — угол между сторонами.

Из условия известно, что сторона ромба $a = 6\sqrt{3}$ см. Используем для расчета острый угол $\alpha = 30^\circ$.

$S = (6\sqrt{3})^2 \cdot \sin(30^\circ)$

Сначала возведем в квадрат сторону:

$a^2 = (6\sqrt{3})^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108$ см$^2$.

Значение синуса $30^\circ$ равно $\frac{1}{2}$.

Теперь подставим найденные значения в формулу площади:

$S = 108 \cdot \frac{1}{2} = 54$ см$^2$.

Ответ: 54 см$^2$.

65. Площадь прямоугольника равна $36\sqrt{3}$ см$^2$, а угол между его диагоналями — $60^\circ$. Найдите стороны прямоугольника.

65. Площадь прямоугольника равна $36\sqrt{3}$ см², а угол между его диагоналями — $60^\circ$. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, а его диагональ равна $d$. Площадь прямоугольника $S$ можно найти двумя способами: как произведение сторон ($S = ab$) или через его диагонали и угол между ними ($\alpha$). Так как диагонали прямоугольника равны, формула площади имеет вид:

$S = \frac{1}{2}d^2 \sin \alpha$

По условию задачи, площадь $S = 36\sqrt{3} \text{ см}^2$, а угол между диагоналями $\alpha = 60^\circ$. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти длину диагонали $d$.

$36\sqrt{3} = \frac{1}{2}d^2 \sin(60^\circ)$

Зная, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$36\sqrt{3} = \frac{1}{2}d^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$36\sqrt{3} = \frac{d^2\sqrt{3}}{4}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

$36 = \frac{d^2}{4}$

Отсюда находим $d^2$:

$d^2 = 36 \cdot 4 = 144$

$d = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$.

Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам. Они образуют две пары равных равнобедренных треугольников. Рассмотрим один из этих треугольников, у которого угол при вершине равен $60^\circ$. Две его стороны равны половине диагонали, то есть $d/2 = 12/2 = 6 \text{ см}$. Поскольку это равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^\circ$, то он является равносторонним. Следовательно, третья сторона этого треугольника, которая является одной из сторон прямоугольника, также равна $6 \text{ см}$.

Пусть сторона $a = 6 \text{ см}$.

Стороны прямоугольника $a$, $b$ и его диагональ $d$ связаны теоремой Пифагора: $a^2 + b^2 = d^2$. Подставим известные значения $a=6$ и $d=12$, чтобы найти вторую сторону $b$:

$6^2 + b^2 = 12^2$

$36 + b^2 = 144$

$b^2 = 144 - 36$

$b^2 = 108$

$b = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3} \text{ см}$.

Таким образом, стороны прямоугольника равны $6 \text{ см}$ и $6\sqrt{3} \text{ см}$.

Ответ: $6 \text{ см}$ и $6\sqrt{3} \text{ см}$.

66. Диагонали четырёхугольника равны 6 см и 9 см, а угол между ними — $60^\circ$. Найдите площадь четырёхугольника.

66. Диагонали четырёхугольника равны 6 см и 9 см, а угол между ними — $60^\circ$. Найдите площадь четырёхугольника.

Для нахождения площади произвольного выпуклого четырехугольника можно использовать формулу, которая связывает длины его диагоналей и синус угла между ними:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$

где $d_1$ и $d_2$ — это длины диагоналей четырехугольника, а $\alpha$ — угол между ними.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:

• Длина первой диагонали $d_1 = 6$ см.
• Длина второй диагонали $d_2 = 9$ см.
• Угол между диагоналями $\alpha = 60°$.

Теперь подставим известные значения в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 \cdot \sin(60°)$

Известно, что значение синуса угла 60° равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Проведем вычисления:

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{27\sqrt{3}}{2} = 13.5\sqrt{3}$

Таким образом, площадь четырехугольника составляет $13.5\sqrt{3}$ см².

Ответ: $13.5\sqrt{3}$ см².