Страница 47 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

111. На катушку, радиус которой равен $2,5 \text{ см}$, намотано $50 \text{ см}$ нитки. Сколько сделано полных витков?

111. На катушку, радиус которой равен $2,5 \text{ см}$, намотано $50 \text{ см}$ нитки. Сколько сделано полных витков?

Для того чтобы определить количество полных витков нитки на катушке, необходимо сначала найти длину одного витка. Длина одного витка соответствует длине окружности катушки. Затем следует разделить общую длину нитки на длину одного витка.

1. Найдем длину одного витка. Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2\pi r$, где $r$ – это радиус окружности. По условию задачи, радиус катушки $r = 2,5$ см. Подставим это значение в формулу: $C = 2 \cdot \pi \cdot 2,5 = 5\pi$ см. Для удобства вычислений воспользуемся приближенным значением числа $\pi \approx 3,14$: $C \approx 5 \cdot 3,14 = 15,7$ см.

2. Найдем количество полных витков. Общая длина нитки $L = 50$ см. Чтобы найти количество витков $N$, разделим общую длину нитки на длину одного витка: $N = \frac{L}{C} = \frac{50}{5\pi} = \frac{10}{\pi}$ Используя приближенное значение, получим: $N \approx \frac{50}{15,7} \approx 3,1847$ Поскольку в задаче спрашивается о количестве полных витков, необходимо взять целую часть от полученного значения. Целая часть от 3,1847 равна 3.

Ответ: 3

112. Диаметр колеса автомобиля равен 0,9 м. Найдите скорость автомобиля в километрах в час, если его колесо за одну минуту делает 250 оборотов. Ответ округлите до единиц.

112. Диаметр колеса автомобиля равен 0,9 м. Найдите скорость автомобиля в километрах в час, если его колесо за одну минуту делает 250 оборотов. Ответ округлите до единиц.

Для того чтобы найти скорость автомобиля, необходимо последовательно выполнить несколько шагов.

1. Найти длину окружности колеса.

Длина окружности колеса ($C$) — это расстояние, которое автомобиль проезжает за один полный оборот колеса. Она вычисляется по формуле $C = \pi d$, где $d$ — диаметр колеса.

Из условия задачи известно, что диаметр $d = 0,9$ м. Тогда длина окружности равна:

$C = \pi \times 0,9$ м.

2. Найти расстояние, пройденное автомобилем за одну минуту.

Колесо совершает 250 оборотов в минуту. Чтобы найти общее расстояние, пройденное за минуту ($S_{мин}$), нужно умножить длину одного оборота (длину окружности) на количество оборотов в минуту:

$S_{мин} = C \times 250 = (0,9 \times \pi) \times 250 = 225\pi$ м.

Таким образом, скорость автомобиля составляет $225\pi$ метров в минуту.

3. Перевести скорость в километры в час.

Для перевода скорости из метров в минуту (м/мин) в километры в час (км/ч), необходимо учесть, что в 1 часе 60 минут, а в 1 километре 1000 метров.

Сначала найдем расстояние в метрах, которое автомобиль проходит за час ($S_{час}$):

$S_{час} = S_{мин} \times 60 = 225\pi \times 60 = 13500\pi$ м.

Теперь переведем это расстояние в километры, разделив на 1000:

$V = \frac{13500\pi}{1000} = 13,5\pi$ км/ч.

4. Вычислить и округлить окончательный ответ.

Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3,14159$ для вычисления итоговой скорости:

$V \approx 13,5 \times 3,14159 \approx 42,411$ км/ч.

По условию задачи, ответ необходимо округлить до единиц (до целого числа). При округлении 42,411 до ближайшего целого числа получаем 42.

Ответ: 42.

113. Радиус окружности равен 4 см. Найдите длину дуги окружности, градусная мера которой равна:

1) $15^\circ$;

2) $345^\circ$.

113. Радиус окружности равен 4 см. Найдите длину дуги окружности, градусная мера которой равна:

1) $15^\circ$;

2) $345^\circ$.

Для нахождения длины дуги окружности $L$ используется формула: $L = \frac{2\pi R \alpha}{360^\circ}$, где $R$ — радиус окружности, а $\alpha$ — градусная мера дуги. По условию задачи радиус $R = 4$ см.

1)Найдём длину дуги, градусная мера которой равна $15^\circ$.
Подставим известные значения в формулу:
$L_1 = \frac{2\pi \cdot 4 \cdot 15^\circ}{360^\circ} = \frac{8\pi \cdot 15}{360} = \frac{120\pi}{360} = \frac{\pi}{3}$ (см).
Ответ: $\frac{\pi}{3}$ см.

2)Найдём длину дуги, градусная мера которой равна $345^\circ$.
Подставим известные значения в формулу:
$L_2 = \frac{2\pi \cdot 4 \cdot 345^\circ}{360^\circ} = \frac{8\pi \cdot 345}{360}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 8:
$L_2 = \frac{\pi \cdot 345}{45}$.
Теперь сократим дробь $\frac{345}{45}$, разделив числитель и знаменатель на 15:
$345 \div 15 = 23$;
$45 \div 15 = 3$.
Следовательно, $L_2 = \frac{23\pi}{3}$ (см).
Ответ: $\frac{23\pi}{3}$ см.

114. Длина дуги окружности равна $25\pi$ см, а её градусная мера — $24^\circ$. Найдите радиус окружности.

114. Длина дуги окружности равна $25\pi$ см, а её градусная мера — $24^\circ$. Найдите радиус окружности.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для вычисления длины дуги окружности:

$L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$

где $L$ — это длина дуги, $R$ — радиус окружности, а $\alpha$ — градусная мера центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Из условия задачи нам известны следующие величины:

Длина дуги $L = 25\pi$ см.

Градусная мера дуги $\alpha = 24^\circ$.

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти неизвестный радиус $R$:

$25\pi = \frac{\pi \cdot R \cdot 24}{180}$

Мы можем сократить $\pi$ в обеих частях уравнения:

$25 = \frac{24 \cdot R}{180}$

Теперь сократим дробь $\frac{24}{180}$. Наибольший общий делитель для чисел 24 и 180 равен 12.

$\frac{24 \div 12}{180 \div 12} = \frac{2}{15}$

После сокращения уравнение принимает вид:

$25 = \frac{2}{15} R$

Чтобы выразить $R$, умножим обе части уравнения на $\frac{15}{2}$:

$R = 25 \cdot \frac{15}{2}$

$R = \frac{375}{2}$

$R = 187.5$

Таким образом, радиус окружности равен 187,5 см.

Ответ: 187,5 см.

115. Длина дуги окружности равна $5\pi$ см. Найдите градусную меру этой дуги, если радиус окружности равен 20 см.

115. Длина дуги окружности равна $5\pi$ см. Найдите градусную меру этой дуги, если радиус окружности равен $20$ см.

Для нахождения градусной меры дуги воспользуемся формулой длины дуги окружности: $L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$, где $L$ – длина дуги, $R$ – радиус окружности, а $\alpha$ – градусная мера дуги.

Из условия задачи известны следующие величины:

• Длина дуги $L = 5\pi$ см.
• Радиус окружности $R = 20$ см.

Чтобы найти градусную меру дуги $\alpha$, выразим ее из формулы: $\alpha = \frac{L \cdot 180^\circ}{\pi R}$

Подставим известные значения в полученную формулу: $\alpha = \frac{5\pi \cdot 180^\circ}{\pi \cdot 20}$

Сократим $\pi$ в числителе и знаменателе, а также выполним деление: $\alpha = \frac{5 \cdot 180^\circ}{20} = 5 \cdot 9^\circ$

Вычислим итоговое значение: $\alpha = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$.

116. Начертите окружность радиусом 8 см. Отметьте на ней точки $A$ и $B$ так, чтобы длина дуги $AB$ была равной $2\pi$ см.

116. Начертите окружность радиусом 8 см. Отметьте на ней точки $A$ и $B$ так, чтобы длина дуги $AB$ была равной $2\pi$ см.

Для того чтобы начертить окружность и отметить на ней точки A и B, удовлетворяющие условию, необходимо сначала вычислить величину центрального угла $\angle AOB$, который стягивает дугу AB длиной $2\pi$ см.

Длина дуги окружности $L$ связана с радиусом $R$ и центральным углом $\alpha$ (в градусах) следующей формулой:
$L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$

В условии задачи даны:
Радиус окружности $R = 8$ см.
Длина дуги $L = 2\pi$ см.

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти угол $\alpha$:
$2\pi = \frac{\pi \cdot 8 \cdot \alpha}{180^\circ}$

Сократим $\pi$ в обеих частях уравнения:
$2 = \frac{8 \cdot \alpha}{180^\circ}$

Теперь выразим $\alpha$:
$\alpha = \frac{2 \cdot 180^\circ}{8} = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$

Таким образом, чтобы длина дуги AB была равна $2\pi$ см, центральный угол $\angle AOB$ должен быть равен $45^\circ$.

Пошаговый план построения:
1. С помощью циркуля начертите окружность с центром в точке O и радиусом 8 см.
2. Отметьте на окружности произвольную точку A.
3. Проведите отрезок OA, который является радиусом окружности.
4. Используя транспортир, отложите от луча OA угол $\angle AOB$, равный $45^\circ$.
5. Точка пересечения второй стороны угла с окружностью и будет искомой точкой B.
Дуга AB, заключенная между точками A и B, будет иметь длину $2\pi$ см.

Ответ: Необходимо начертить окружность радиусом 8 см, выбрать на ней точку A, а затем отложить от радиуса OA центральный угол в $45^\circ$, чтобы найти точку B.

117. Градусная мера дуги окружности, радиус которой 6 см, равна 240°. Найдите радиус окружности, длина которой равна длине этой дуги.

117. Градусная мера дуги окружности, радиус которой $6 \text{ см}$, равна $240^\circ$. Найдите радиус окружности, длина которой равна длине этой дуги.

Пусть радиус данной окружности $R_1 = 6$ см, а градусная мера дуги $\alpha = 240^\circ$.

1. Найдем длину этой дуги ($L_{дуги}$). Формула для вычисления длины дуги окружности: $L_{дуги} = \frac{2 \pi R_1 \alpha}{360^\circ}$

Подставим известные значения в формулу: $L_{дуги} = \frac{2 \pi \cdot 6 \cdot 240^\circ}{360^\circ} = \frac{12 \pi \cdot 240}{360}$

Сократим дробь $\frac{240}{360}$ на 120, получим $\frac{2}{3}$: $L_{дуги} = 12 \pi \cdot \frac{2}{3} = 4 \pi \cdot 2 = 8\pi$ см.

2. По условию задачи, длина искомой окружности ($C_2$) равна длине найденной дуги: $C_2 = L_{дуги} = 8\pi$ см.

3. Длина окружности вычисляется по формуле $C_2 = 2 \pi R_2$, где $R_2$ — радиус этой окружности. Найдем $R_2$: $2 \pi R_2 = 8\pi$

Разделим обе части уравнения на $2\pi$: $R_2 = \frac{8\pi}{2\pi} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

118. На катете $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) как на диаметре построена окружность. Найдите длину дуги этой окружности, принадлежащей треугольнику, если $\angle A = 40^\circ, AC = 10$ см.

118. На катете $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) как на диаметре построена окружность. Найдите длину дуги этой окружности, принадлежащей треугольнику, если $\angle A = 40^\circ$, $AC = 10$ см.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, то есть $\angle C = 90^\circ$. Из условия задачи нам известно, что $\angle A = 40^\circ$ и катет $AC = 10$ см.

На катете $AC$ как на диаметре построена окружность. Центр этой окружности, обозначим его $O$, является серединой отрезка $AC$. Радиус окружности $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Эта окружность пересекает гипотенузу $AB$ в некоторой точке, назовем ее $D$. Дуга окружности, принадлежащая треугольнику, — это дуга $CD$. Для нахождения ее длины необходимо определить величину центрального угла $\angle COD$, который опирается на эту дугу.

Рассмотрим треугольник $AOD$. Стороны $OA$ и $OD$ являются радиусами окружности, следовательно, $OA = OD = R = 5$ см. Это означает, что треугольник $AOD$ — равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основанием является сторона $AD$, значит $\angle ODA = \angle OAD$. Угол $\angle OAD$ совпадает с углом $\angle A$ треугольника $ABC$, поэтому $\angle OAD = 40^\circ$. Следовательно, $\angle ODA = 40^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол при вершине $O$ в треугольнике $AOD$:

$\angle AOD = 180^\circ - (\angle OAD + \angle ODA) = 180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

Точки $A$, $O$ и $C$ лежат на одной прямой (диаметре), поэтому угол $\angle AOC$ является развернутым и равен $180^\circ$. Угол $\angle AOC$ состоит из двух смежных углов: $\angle AOD$ и $\angle COD$. Отсюда можем найти угол $\angle COD$:

$\angle COD = \angle AOC - \angle AOD = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Теперь мы можем найти длину дуги $CD$, зная радиус $R$ и центральный угол $\alpha = \angle COD = 80^\circ$. Длина дуги вычисляется по формуле:

$L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$

Подставим известные значения:

$L_{CD} = \frac{\pi \cdot 5 \cdot 80^\circ}{180^\circ} = \frac{400\pi}{180} = \frac{40\pi}{18} = \frac{20\pi}{9}$ см.

Ответ: $\frac{20\pi}{9}$ см.

119. В треугольнике $ABC$ $AB = 6$ см, $\angle A = 45^\circ$, $\angle B = 70^\circ$. Окружность с центром $B$ касается стороны $AC$. Найдите длину дуги этой окружности, принадлежащей треугольнику.

119. В треугольнике $ABC$ $AB = 6$ см, $\angle A = 45^\circ$, $\angle B = 70^\circ$.
Окружность с центром $B$ касается стороны $AC$. Найдите длину дуги этой окружности, принадлежащей треугольнику.

Для нахождения длины дуги окружности используется формула $L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$, где $r$ — это радиус окружности, а $\alpha$ — это градусная мера центрального угла, на который опирается дуга.

1. Определение центрального угла.

Центром окружности по условию является вершина B треугольника. Дуга, которая принадлежит треугольнику, заключена между сторонами AB и BC. Следовательно, центральный угол $\alpha$, соответствующий этой дуге, равен углу при вершине B. Таким образом, $\alpha = \angle B = 70^\circ$.

2. Определение радиуса окружности.

Окружность с центром в B касается стороны AC. Это означает, что радиус окружности $r$ равен расстоянию от точки B до прямой AC. Это расстояние является длиной высоты BH, проведенной из вершины B к стороне AC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (где H — точка касания на стороне AC, следовательно $\angle AHB = 90^\circ$). В этом треугольнике известны:

• гипотенуза $AB = 6$ см
• острый угол $\angle A = 45^\circ$

Катет BH является искомым радиусом $r$. Из определения синуса в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\angle A) = \frac{BH}{AB}$

Выразим отсюда радиус $r = BH$:

$r = AB \cdot \sin(\angle A) = 6 \cdot \sin(45^\circ)$

Зная, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, находим радиус:

$r = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

3. Вычисление длины дуги.

Теперь, когда известны радиус $r = 3\sqrt{2}$ см и центральный угол $\alpha = 70^\circ$, подставим эти значения в формулу длины дуги:

$L = \frac{70}{360} \cdot 2\pi r = \frac{70}{360} \cdot 2\pi \cdot (3\sqrt{2})$

Упростим полученное выражение:

$L = \frac{7}{36} \cdot 6\pi\sqrt{2} = \frac{42\pi\sqrt{2}}{36} = \frac{7\pi\sqrt{2}}{6}$ см.

Ответ: $\frac{7\pi\sqrt{2}}{6}$ см.

120. Радиус круга равен 6 см. Найдите площадь сектора, если градусная мера его дуги равна $330^\circ$.

120. Радиус круга равен $6 \text{ см}$. Найдите площадь сектора, если градусная мера его дуги равна $330^\circ$.

Для нахождения площади сектора круга воспользуемся формулой:

$S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^{\circ}}$

где $R$ — радиус круга, а $\alpha$ — градусная мера дуги сектора.

По условию задачи нам даны:

Радиус круга $R = 6$ см.

Градусная мера дуги $\alpha = 330^{\circ}$.

Подставим эти значения в формулу:

$S_{сектора} = \frac{\pi \cdot (6 \text{ см})^2 \cdot 330^{\circ}}{360^{\circ}}$

Сначала возведем радиус в квадрат:

$6^2 = 36$

Теперь подставим это значение в формулу:

$S_{сектора} = \frac{\pi \cdot 36 \cdot 330}{360}$ см²

Сократим дробь. Можно сократить 36 и 360 на 36:

$S_{сектора} = \frac{\pi \cdot 1 \cdot 330}{10}$ см²

Теперь сократим 330 и 10:

$S_{сектора} = \pi \cdot 33$ см²

Таким образом, площадь сектора равна $33\pi$ см².

Ответ: $33\pi$ см².

121. Какую часть площади круга составляет площадь сектора, если соответствующий сектору центральный угол равен 25°?

121. Какую часть площади круга составляет площадь сектора, если соответствующий сектору центральный угол равен $25^\circ$?

Площадь сектора круга относится к площади всего круга так же, как центральный угол этого сектора относится к полному углу круга, который составляет $360^\circ$.

Пусть $S_{круга}$ — это площадь всего круга, а $S_{сектора}$ — площадь сектора. Центральный угол сектора, по условию, равен $\alpha = 25^\circ$.

Искомая часть представляет собой отношение площади сектора к площади круга:

$\frac{S_{сектора}}{S_{круга}} = \frac{\alpha}{360^\circ}$

Подставим значение угла $\alpha$:

$\frac{25^\circ}{360^\circ} = \frac{25}{360}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 25 и 360 равен 5.

$\frac{25 \div 5}{360 \div 5} = \frac{5}{72}$

Следовательно, площадь сектора составляет $\frac{5}{72}$ от площади круга.

Ответ: $\frac{5}{72}$

122. Площадь сектора составляет $\frac{8}{15}$ площади круга. Найдите центральный угол, соответствующий данному сектору.

122. Площадь сектора составляет $ \frac{8}{15} $ площади круга. Найдите центральный угол, соответствующий данному

сектору.

Отношение площади сектора к площади всего круга равно отношению центрального угла этого сектора к полному углу окружности, который составляет $360^{\circ}$.

Пусть $\alpha$ — искомый центральный угол в градусах. Тогда мы можем записать следующую пропорцию:
$\frac{S_{сектора}}{S_{круга}} = \frac{\alpha}{360^{\circ}}$

Согласно условию задачи, площадь сектора составляет $\frac{8}{15}$ площади круга:
$\frac{S_{сектора}}{S_{круга}} = \frac{8}{15}$

Приравняем правые части этих двух выражений, чтобы найти $\alpha$:
$\frac{\alpha}{360^{\circ}} = \frac{8}{15}$

Теперь выразим $\alpha$:
$\alpha = \frac{8}{15} \times 360^{\circ}$

Проведем вычисления:
$\alpha = \frac{8 \times 360}{15} = 8 \times 24 = 192^{\circ}$

Ответ: $192^{\circ}$