Страница 54 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

176. Четырёхугольник MKPE — параллелограмм (рис. 38).

Укажите вектор, равный вектору:

1) $\vec{KP}$;

2) $\vec{PK}$;

3) $\vec{MO}$;

4) $\vec{PO}$.

Рис. 38

176. Четырёхугольник $MKPE$ — параллелограмм (рис. 38).

Укажите вектор, равный вектору:

1) $\vec{KP}$;

2) $\vec{PK}$;

3) $\vec{MO}$;

4) $\vec{PO}$.

Рис. 38

По определению, два вектора равны, если они сонаправлены (параллельны и направлены в одну сторону) и их длины (модули) равны.

В параллелограмме MKPE выполняются следующие свойства:

• Противоположные стороны параллельны и равны по длине. Это означает, что $KP \parallel ME$ и $KP = ME$, а также $MK \parallel PE$ и $MK = PE$.
• Диагонали в точке пересечения O делятся пополам. Это означает, что точка O является серединой диагоналей ME и KP, то есть $MO = OE$ и $KO = OP$.

Основываясь на этих свойствах, найдем искомые векторы.

1) $\vec{KP}$

Вектор $\vec{KP}$ направлен вдоль стороны KP. Противоположная сторона параллелограмма — ME. Поскольку стороны KP и ME параллельны, равны по длине и векторы $\vec{KP}$ и $\vec{ME}$ направлены в одну сторону, эти векторы равны.

$\vec{KP} = \vec{ME}$

Ответ: $\vec{ME}$.

2) $\vec{PK}$

Вектор $\vec{PK}$ противоположен вектору $\vec{KP}$. Так как $\vec{KP} = \vec{ME}$, то вектор, равный $\vec{PK}$, должен быть противоположен вектору $\vec{ME}$. Противоположным вектором для $\vec{ME}$ является вектор $\vec{EM}$.

$\vec{PK} = -\vec{KP} = -\vec{ME} = \vec{EM}$

Ответ: $\vec{EM}$.

3) $\vec{MO}$

Точка O — середина диагонали ME. Это значит, что отрезки MO и OE равны по длине. Векторы $\vec{MO}$ и $\vec{OE}$ лежат на одной прямой (коллинеарны), их длины равны, и они направлены в одну и ту же сторону (от точки M к точке E). Следовательно, эти векторы равны.

$\vec{MO} = \vec{OE}$

Ответ: $\vec{OE}$.

4) $\vec{PO}$

Точка O также является серединой диагонали KP, поэтому отрезки PO и OK равны по длине. Векторы $\vec{PO}$ и $\vec{OK}$ лежат на одной прямой, их длины равны, и они сонаправлены (оба направлены от точки P к точке K). Следовательно, векторы равны.

$\vec{PO} = \vec{OK}$

Ответ: $\vec{OK}$.

177. В ромбе $ABCD$ $AB = 10$ см, $AC = 12$ см, $O$ — точка пересечения диагоналей. Найдите:

1) $|\vec{BD}|$;

2) $|\vec{AO}|$;

3) $|\vec{DO}|$.

177. В ромбе $ABCD$ $AB = 10$ см, $AC = 12$ см, $O$ – точка пересечения диагоналей. Найдите:

1) $|\vec{BD}|$;

2) $|\vec{AO}|$;

3) $|\vec{DO}|$.

По условию задачи, $ABCD$ — ромб, его сторона $AB = 10$ см, а диагональ $AC = 12$ см. Диагонали ромба пересекаются в точке $O$.
Для решения задачи воспользуемся следующими свойствами ромба:

• Все стороны ромба равны.
• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
• Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам.

Из этих свойств следует, что треугольник $AOB$ является прямоугольным ($\angle AOB = 90^\circ$), где $AB$ — гипотенуза, а $AO$ и $BO$ — катеты.

Сначала найдем длины отрезков $AO$ и $BO$.
Так как диагонали делятся точкой пересечения пополам, отрезок $AO$ равен половине диагонали $AC$:
$AO = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.
Теперь в прямоугольном треугольнике $AOB$ нам известны гипотенуза $AB = 10$ см и катет $AO = 6$ см. По теореме Пифагора ($AB^2 = AO^2 + BO^2$) найдем второй катет $BO$:
$BO^2 = AB^2 - AO^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$
$BO = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь, зная длины $AO$ и $BO$, можем найти требуемые величины.

1) $|\vec{BD}|$
Длина вектора $|\vec{BD}|$ равна длине диагонали $BD$. Поскольку точка $O$ делит диагональ $BD$ пополам, то $BD = 2 \cdot BO$.
$|\vec{BD}| = 2 \cdot 8 = 16$ см.
Ответ: 16 см.

2) $|\vec{AO}|$
Длина вектора $|\vec{AO}|$ равна длине отрезка $AO$, которую мы уже вычислили.
$|\vec{AO}| = 6$ см.
Ответ: 6 см.

3) $|\vec{DO}|$
Длина вектора $|\vec{DO}|$ равна длине отрезка $DO$. Так как точка $O$ — середина диагонали $BD$, то $DO = BO$.
$|\vec{DO}| = 8$ см.
Ответ: 8 см.

178. Найдите координаты вектора $\overrightarrow{PK}$, если:

1) P (3; -4), K (-1; 5);

2) P (-4; 0), K (0; -4).

178. Найдите координаты вектора $\vec{PK}$, если:

1) $P (3; -4), K (-1; 5);$

2) $P (-4; 0), K (0; -4).$

Чтобы найти координаты вектора, зная координаты его начальной и конечной точек, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки. Если точка $P$ имеет координаты $(x_p; y_p)$, а точка $K$ имеет координаты $(x_k; y_k)$, то координаты вектора $\overrightarrow{PK}$ находятся по формуле:

$\overrightarrow{PK} = (x_k - x_p; y_k - y_p)$

1) P(3; -4), K(-1; 5)

Найдем координаты вектора $\overrightarrow{PK}$, подставив в формулу координаты точек P и K.

Координата по оси абсцисс (x): $x_k - x_p = -1 - 3 = -4$.

Координата по оси ординат (y): $y_k - y_p = 5 - (-4) = 5 + 4 = 9$.

Следовательно, координаты вектора $\overrightarrow{PK}$ равны $(-4; 9)$.

Ответ: $\overrightarrow{PK}(-4; 9)$.

2) P(-4; 0), K(0; -4)

Найдем координаты вектора $\overrightarrow{PK}$, подставив в формулу координаты точек P и K.

Координата по оси абсцисс (x): $x_k - x_p = 0 - (-4) = 0 + 4 = 4$.

Координата по оси ординат (y): $y_k - y_p = -4 - 0 = -4$.

Следовательно, координаты вектора $\overrightarrow{PK}$ равны $(4; -4)$.

Ответ: $\overrightarrow{PK}(4; -4)$.

179. Даны точки D (5; -4), E (-3; -5), F (x; 7), K (2; y). Найдите x и y, если $\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{FK}$.

179. Даны точки D (5; -4), E (-3; -5), F (x; 7), K (2; y). Найдите x и y, если $\vec{DE} = \vec{FK}$.

По условию задачи векторы $\vec{DE}$ и $\vec{FK}$ равны. Равенство векторов означает, что их соответствующие координаты равны.

Найдем координаты каждого вектора. Координаты вектора, заданного начальной точкой $A(x_1; y_1)$ и конечной точкой $B(x_2; y_2)$, вычисляются по формуле $\vec{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.

1. Вычислим координаты вектора $\vec{DE}$, используя точки $D(5; -4)$ и $E(-3; -5)$.

Абсцисса вектора: $x_{DE} = -3 - 5 = -8$.

Ордината вектора: $y_{DE} = -5 - (-4) = -5 + 4 = -1$.

Таким образом, $\vec{DE} = (-8; -1)$.

2. Выразим координаты вектора $\vec{FK}$ через переменные $x$ и $y$, используя точки $F(x; 7)$ и $K(2; y)$.

Абсцисса вектора: $x_{FK} = 2 - x$.

Ордината вектора: $y_{FK} = y - 7$.

Таким образом, $\vec{FK} = (2 - x; y - 7)$.

3. Приравняем соответствующие координаты векторов $\vec{DE}$ и $\vec{FK}$, так как $\vec{DE} = \vec{FK}$.

Приравниваем абсциссы:

$-8 = 2 - x$

Приравниваем ординаты:

$-1 = y - 7$

4. Решим полученные уравнения.

Из первого уравнения найдем $x$:

$-8 = 2 - x$

$x = 2 - (-8)$

$x = 2 + 8$

$x = 10$

Из второго уравнения найдем $y$:

$-1 = y - 7$

$y = -1 + 7$

$y = 6$

Ответ: $x = 10$, $y = 6$.

180. Найдите координаты вектора $\vec{AD}$ (рис. 39).

Рис. 38

Рис. 39

180. Найдите координаты вектора $ \vec{AD} $ (рис. 39).

Рис. 39

Для того чтобы найти координаты вектора $\vec{AD}$, необходимо сначала найти координаты его начальной точки A и конечной точки D.

1. Определим координаты точек A, B и C по данным рисунка. Начало координат находится в точке O(0, 0). Точка A лежит на оси ординат (y) на расстоянии 8 единиц от начала координат, следовательно, ее координаты $A(0; 8)$. Точка C лежит на оси абсцисс (x) на расстоянии 10 единиц от начала координат в отрицательном направлении, следовательно, ее координаты $C(-10; 0)$. Фигура OABC является прямоугольником, поэтому абсцисса точки B равна абсциссе точки C, а ордината точки B равна ординате точки A. Таким образом, координаты точки B: $B(-10; 8)$.

2. Определим координаты точки D. На рисунке показано (штрихами на отрезках BD и DC), что точка D является серединой отрезка BC. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов. Координаты точки D $(x_D; y_D)$ находятся по формулам: $x_D = \frac{x_B + x_C}{2}$ и $y_D = \frac{y_B + y_C}{2}$.

Подставим известные значения координат точек B и C: $x_D = \frac{-10 + (-10)}{2} = \frac{-20}{2} = -10$ $y_D = \frac{8 + 0}{2} = \frac{8}{2} = 4$ Следовательно, координаты точки D: $D(-10; 4)$.

3. Найдем координаты вектора $\vec{AD}$. Координаты вектора, идущего из точки $A(x_A; y_A)$ в точку $D(x_D; y_D)$, вычисляются по формуле: $\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A)$.

Подставим координаты точек A и D: $\vec{AD} = (-10 - 0; 4 - 8) = (-10; -4)$.

Ответ: $(-10; -4)$

181. Точка K $(-8; 3)$ — конец вектора $\vec{a}(6; -9)$. Найдите координаты начала вектора $\vec{a}$.

181. Точка K $(-8; 3)$ — конец вектора $\vec{a}(6; -9)$. Найдите координаты начала вектора $\vec{a}$.

Пусть искомая точка, являющаяся началом вектора $\vec{a}$, имеет координаты $(x; y)$. Координаты вектора находятся путем вычитания координат его начала из соответствующих координат его конца.

Даны:

• Координаты конца вектора, точка $K(-8; 3)$.
• Координаты самого вектора $\vec{a}(6; -9)$.

Обозначим координаты начала вектора как $N(x_N; y_N)$, а координаты конца — $K(x_K; y_K)$. Координаты вектора $\vec{a}(a_x; a_y)$ вычисляются по формулам:

$a_x = x_K - x_N$
$a_y = y_K - y_N$

Подставим известные значения в эти формулы:

$6 = -8 - x_N$
$-9 = 3 - y_N$

Теперь выразим неизвестные координаты $x_N$ и $y_N$:

$x_N = -8 - 6 = -14$
$y_N = 3 - (-9) = 3 + 9 = 12$

Таким образом, координаты начала вектора $\vec{a}$ равны $(-14; 12)$.

Ответ: $(-14; 12)$

182. Докажите, что четырёхугольник $MNKP$ с вершинами в точках $M (-3; 2)$, $N (-1; 6)$, $K (6; 7)$, $P (4; 3)$ является параллелограммом.

182. Докажите, что четырёхугольник $MNKP$ с вершинами в точках $M (-3; 2)$, $N (-1; 6)$, $K (6; 7)$, $P (4; 3)$ является параллелограммом.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP является параллелограммом, достаточно показать, что его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. В координатной плоскости это означает, что середины его диагоналей должны совпадать.

Заданные координаты вершин четырёхугольника: M(–3; 2), N(–1; 6), K(6; 7), P(4; 3).

Диагоналями данного четырёхугольника являются отрезки MK и NP.

Найдём координаты середины диагонали MK, обозначив её точкой O. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам: $x_O = \frac{x_M + x_K}{2}$ и $y_O = \frac{y_M + y_K}{2}$.

Подставим координаты точек M(–3; 2) и K(6; 7):

$x_O = \frac{-3 + 6}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$

$y_O = \frac{2 + 7}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$

Координаты середины диагонали MK: $O(1.5; 4.5)$.

Теперь найдём координаты середины диагонали NP, обозначив её точкой O'.

Подставим координаты точек N(–1; 6) и P(4; 3):

$x_{O'} = \frac{-1 + 4}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$

$y_{O'} = \frac{6 + 3}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$

Координаты середины диагонали NP: $O'(1.5; 4.5)$.

Поскольку координаты середин диагоналей MK и NP совпадают ($O = O'$), диагонали четырёхугольника MNKP пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Согласно признаку параллелограмма, это доказывает, что четырёхугольник MNKP является параллелограммом.

Ответ: Что и требовалось доказать.

183. Даны координаты трёх вершин параллелограмма $ABCD$: $A (4; -5)$, $B (2; 3)$, $D (-3; -4)$. Найдите координаты вершины $C$.

183. Даны координаты трёх вершин параллелограмма $ABCD$:

$A (4; -5)$, $B (2; 3)$, $D (-3; -4)$. Найдите координаты вершины $C$.

Для нахождения координат четвертой вершины параллелограмма $ABCD$ воспользуемся одним из его основных свойств: диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что середины диагоналей $AC$ и $BD$ совпадают.

Пусть искомые координаты вершины $C$ будут $(x_C; y_C)$.
Даны координаты вершин: $A(4; -5)$, $B(2; 3)$, $D(-3; -4)$.

Обозначим точку пересечения диагоналей как $O(x_O; y_O)$. Найдем ее координаты, используя формулу для координат середины отрезка. Так как $O$ — середина диагонали $BD$, ее координаты равны:

$x_O = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{2 + (-3)}{2} = \frac{-1}{2}$

$y_O = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{3 + (-4)}{2} = \frac{-1}{2}$

Таким образом, точка пересечения диагоналей $O$ имеет координаты $(-0.5; -0.5)$.

Точка $O$ также является серединой диагонали $AC$. Запишем уравнения для координат середины отрезка $AC$, используя координаты точек $A(4; -5)$ и $O(-0.5; -0.5)$:

$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} \implies -0.5 = \frac{4 + x_C}{2}$

$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} \implies -0.5 = \frac{-5 + y_C}{2}$

Теперь решим полученные уравнения, чтобы найти $x_C$ и $y_C$.

Из первого уравнения находим $x_C$:

$-0.5 \cdot 2 = 4 + x_C$

$-1 = 4 + x_C$

$x_C = -1 - 4 = -5$

Из второго уравнения находим $y_C$:

$-0.5 \cdot 2 = -5 + y_C$

$-1 = -5 + y_C$

$y_C = -1 + 5 = 4$

Следовательно, координаты вершины $C$ равны $(-5; 4)$.

Ответ: $C(-5; 4)$.

184. Среди векторов $\vec{a}(5; -3)$, $\vec{b}(-6; 8)$, $\vec{c}(4; -3)$, $\vec{d}(-3; -5)$, $\vec{e}(-\sqrt{21}; 2)$, $\vec{f}(7; -\sqrt{51})$ найдите те, которые имеют равные модули.

184. Среди векторов $\vec{a}(5; -3)$, $\vec{b}(-6; 8)$, $\vec{c}(4; -3)$, $\vec{d}(-3; -5)$, $\vec{e}(-\sqrt{21}; 2)$, $\vec{f}(7; -\sqrt{51})$ найдите те, которые имеют равные модули.

Для нахождения векторов с равными модулями необходимо вычислить модуль (длину) каждого из заданных векторов. Модуль вектора $\vec{v}(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

$\vec{a}(5; -3)$

Вычислим модуль вектора $\vec{a}$: $|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$.

$\vec{b}(-6; 8)$

Вычислим модуль вектора $\vec{b}$: $|\vec{b}| = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

$\vec{c}(4; -3)$

Вычислим модуль вектора $\vec{c}$: $|\vec{c}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

$\vec{d}(-3; -5)$

Вычислим модуль вектора $\vec{d}$: $|\vec{d}| = \sqrt{(-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$.

$\vec{e}(-\sqrt{21}; 2)$

Вычислим модуль вектора $\vec{e}$: $|\vec{e}| = \sqrt{(-\sqrt{21})^2 + 2^2} = \sqrt{21 + 4} = \sqrt{25} = 5$.

$\vec{f}(7; -\sqrt{51})$

Вычислим модуль вектора $\vec{f}$: $|\vec{f}| = \sqrt{7^2 + (-\sqrt{51})^2} = \sqrt{49 + 51} = \sqrt{100} = 10$.

Сравнив полученные значения модулей, находим следующие пары векторов с равными модулями:

• $|\vec{a}| = |\vec{d}| = \sqrt{34}$
• $|\vec{c}| = |\vec{e}| = 5$
• $|\vec{b}| = |\vec{f}| = 10$

Ответ: равные модули имеют векторы: $\vec{a}$ и $\vec{d}$; $\vec{c}$ и $\vec{e}$; $\vec{b}$ и $\vec{f}$.