Страница 55 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

185. Модуль вектора $\vec{a}(x; -8)$ равен 10. Найдите $x$.

185. Модуль вектора $\vec{a}(x; -8)$ равен 10. Найдите $x.$

Модуль (или длина) вектора $\vec{a}$ с координатами $(a_x; a_y)$ вычисляется по формуле:
$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$

По условию задачи, нам дан вектор $\vec{a}(x; -8)$ и его модуль $|\vec{a}| = 10$. Подставим известные значения в формулу, чтобы составить уравнение:
$\sqrt{x^2 + (-8)^2} = 10$

Чтобы решить это уравнение, возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x^2 + (-8)^2})^2 = 10^2$
$x^2 + 64 = 100$

Теперь найдем $x^2$, перенеся 64 в правую часть уравнения:
$x^2 = 100 - 64$
$x^2 = 36$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных значения для $x$:
$x_1 = \sqrt{36} = 6$
$x_2 = -\sqrt{36} = -6$

Ответ: -6; 6.

186. Модуль вектора $\vec{a}$ равен 4, а его координаты равны.

Найдите координаты вектора $\vec{a}$.

186. Модуль вектора $\vec{a}$ равен 4, а его координаты равны.

Найдите координаты вектора $\vec{a}$.

Пусть искомый вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(x, y)$.

По условию задачи, его координаты равны, то есть $x = y$. Значит, вектор можно записать в виде $\vec{a} = (x, x)$.

Модуль (или длина) вектора $\vec{a}$ равен 4. Модуль вектора с координатами $(x, y)$ вычисляется по формуле:
$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Подставим в эту формулу наши данные: $y = x$ и $|\vec{a}| = 4$.
$\sqrt{x^2 + x^2} = 4$

Упростим выражение под корнем:
$\sqrt{2x^2} = 4$

Чтобы решить это уравнение, возведем обе его части в квадрат:
$(\sqrt{2x^2})^2 = 4^2$
$2x^2 = 16$

Теперь найдем $x^2$:
$x^2 = \frac{16}{2}$
$x^2 = 8$

Извлекая квадратный корень, находим возможные значения для $x$:
$x = \pm\sqrt{8}$

Упростим значение корня: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.
Следовательно, $x = \pm 2\sqrt{2}$.

Поскольку $y=x$, то существует два возможных набора координат для вектора $\vec{a}$, удовлетворяющих условиям задачи:
1. Если $x = 2\sqrt{2}$, то $y = 2\sqrt{2}$. Вектор имеет координаты $(2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$.
2. Если $x = -2\sqrt{2}$, то $y = -2\sqrt{2}$. Вектор имеет координаты $(-2\sqrt{2}; -2\sqrt{2})$.

Ответ: $(2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$ или $(-2\sqrt{2}; -2\sqrt{2})$.

187. Модуль вектора $\vec{n}(x; y)$ равен $\sqrt{10}$, а координата $x$ этого вектора меньше координаты $y$ на 2. Найдите координаты вектора $\vec{n}$.

187. Модуль вектора $\vec{n}(x; y)$ равен $\sqrt{10}$, а координата $x$ этого вектора меньше координаты $y$ на 2. Найдите координаты вектора $\vec{n}$.

Пусть искомый вектор имеет координаты $\vec{n}(x; y)$.

Модуль (длина) вектора с координатами $(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{n}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. По условию задачи, модуль вектора $\vec{n}$ равен $\sqrt{10}$. Составим первое уравнение на основе этой информации:

$\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{10}$

Чтобы избавиться от квадратных корней, возведем обе части уравнения в квадрат:

$x^2 + y^2 = 10$

Также в условии сказано, что координата $x$ этого вектора меньше координаты $y$ на 2. Это можно записать в виде второго уравнения:

$x = y - 2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, которую нужно решить:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ x = y - 2\end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:

$(y - 2)^2 + y^2 = 10$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:

$(y^2 - 4y + 4) + y^2 = 10$
$2y^2 - 4y + 4 - 10 = 0$
$2y^2 - 4y - 6 = 0$

Разделим все уравнение на 2, чтобы упростить его:

$y^2 - 2y - 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 2, а их произведение равно -3. Легко подобрать корни:

$y_1 = 3$ и $y_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного значения $y$, используя уравнение $x = y - 2$:

1. Если $y_1 = 3$, то $x_1 = 3 - 2 = 1$. Таким образом, первый возможный набор координат вектора — $(1; 3)$.

2. Если $y_2 = -1$, то $x_2 = -1 - 2 = -3$. Таким образом, второй возможный набор координат вектора — $(-3; -1)$.

Оба найденных решения удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: $(1; 3)$ или $(-3; -1)$.

188. С помощью правила треугольника постройте сумму векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, изображённых на рисунке 40.

Рис. 40

а

б

в

г

188. С помощью правила треугольника постройте сумму векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, изображённых на рисунке 40.

Рис. 40

а

$ \vec{a} $

$ \vec{b} $

б

$ \vec{a} $

$ \vec{b} $

в

$ \vec{a} $

$ \vec{b} $

г

$ \vec{a} $

$ \vec{b} $

а. Для сложения векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по правилу треугольника необходимо выполнить параллельный перенос одного из векторов так, чтобы его начало совпало с концом другого. Перенесём вектор $\vec{b}$ так, чтобы его начало совпало с концом вектора $\vec{a}$. Вектор суммы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ будет начинаться в начальной точке вектора $\vec{a}$ и заканчиваться в конечной точке перенесенного вектора $\vec{b}$. Вектор $\vec{a}$ имеет координаты по клеткам $(-2, 3)$, а вектор $\vec{b}$ — $(0, 2)$. Суммарный вектор будет иметь координаты $(-2+0, 3+2) = (-2, 5)$.
Ответ: Вектор, идущий из начала вектора $\vec{a}$ на 2 клетки влево и на 5 клеток вверх.

б. Применим правило треугольника: отложим от конца вектора $\vec{a}$ вектор, равный вектору $\vec{b}$. Для этого перенесём $\vec{b}$ так, чтобы его начало оказалось в конце вектора $\vec{a}$. Сумма $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ — это вектор, соединяющий начало вектора $\vec{a}$ с концом перенесённого вектора $\vec{b}$. Координаты вектора $\vec{a}$ равны $(-2, 2)$, а вектора $\vec{b}$ — $(2, 2)$. Координаты результирующего вектора: $(-2+2, 2+2) = (0, 4)$.
Ответ: Вектор, направленный вертикально вверх из начальной точки вектора $\vec{a}$ и имеющий длину 4 клетки.

в. Чтобы построить сумму векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, совмещаем начало вектора $\vec{b}$ с концом вектора $\vec{a}$ путем параллельного переноса. Результирующий вектор $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ соединяет начало первого вектора ($\vec{a}$) с концом второго ($\vec{b}$). Вектор $\vec{a}$ смещается на 3 клетки влево и 1 вверх, его координаты $(-3, 1)$. Вектор $\vec{b}$ смещается на 2 клетки вправо, его координаты $(2, 0)$. Координаты их суммы: $(-3+2, 1+0) = (-1, 1)$.
Ответ: Вектор, идущий из начала вектора $\vec{a}$ на 1 клетку влево и 1 клетку вверх.

г. Построим сумму векторов по правилу треугольника. От конца вектора $\vec{a}$ отложим вектор, равный вектору $\vec{b}$. Вектор суммы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ будет направлен из начала вектора $\vec{a}$ в конец отложенного вектора $\vec{b}$. Координаты вектора $\vec{a}$: $(-4, 2)$. Координаты вектора $\vec{b}$: $(-2, -1)$. Координаты суммарного вектора: $(-4+(-2), 2+(-1)) = (-6, 1)$.
Ответ: Вектор, идущий из начала вектора $\vec{a}$ на 6 клеток влево и 1 клетку вверх.

189. С помощью правила параллелограмма постройте сумму векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, изображённых на рисунке 40.

189. С помощью правила параллелограмма постройте сумму векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, изображённых на рисунке 40.

Для построения суммы векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с помощью правила параллелограмма необходимо выполнить следующие действия. Поскольку рисунок 40 не предоставлен, в решении будет показан общий случай для двух произвольных неколлинеарных векторов.

Правило параллелограмма

Чтобы сложить два неколлинеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, их откладывают от одной общей точки (приводят к общему началу). Затем на этих векторах как на сторонах строят параллелограмм. Диагональ этого параллелограмма, выходящая из общего начала векторов, и будет являться вектором суммы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$.

Пошаговое построение

1. Выбрать на плоскости произвольную точку $O$, которая будет служить общим началом для векторов.
2. От точки $O$ отложить вектор $\vec{OA}$, равный вектору $\vec{a}$. Это означает, что вектор $\vec{OA}$ должен быть сонаправлен вектору $\vec{a}$ и иметь такую же длину ($|\vec{OA}| = |\vec{a}|$).
3. От той же точки $O$ отложить вектор $\vec{OB}$, равный вектору $\vec{b}$ ($|\vec{OB}| = |\vec{b}|$ и векторы сонаправлены).
4. Через конец вектора $\vec{OA}$ (точку $A$) провести прямую, параллельную вектору $\vec{OB}$.
5. Через конец вектора $\vec{OB}$ (точку $B$) провести прямую, параллельную вектору $\vec{OA}$.
6. Точку пересечения этих двух прямых обозначить буквой $C$. Полученная фигура $OACB$ является параллелограммом.
7. Вектор $\vec{OC}$, исходящий из общего начала $O$ в противоположную вершину параллелограмма $C$, является искомой суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Математически это записывается так: $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = \vec{OC}$.

Ответ: Искомая сумма векторов $\vec{a} + \vec{b}$ представляет собой вектор $\vec{c}$, который является диагональю $\vec{OC}$ параллелограмма $OACB$, построенного на векторах $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$, отложенных от общего начала $O$, как показано на иллюстрации выше.

190. Для векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, изображённых на рисунке 40, постройте вектор $\vec{a} - \vec{b}$.

190. Для векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, изображённых на рисунке 40, постройте вектор $\vec{a}-\vec{b}$.

Поскольку рисунок 40 с изображением векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ отсутствует, в данном решении будет показан общий алгоритм построения вектора разности $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$ на произвольном примере. Существует два основных графических способа для нахождения разности векторов.

Способ 1: Сведение вычитания к сложению

Разность векторов $\vec{a} - \vec{b}$ можно рассматривать как сумму вектора $\vec{a}$ и вектора $(-\vec{b})$, который противоположен вектору $\vec{b}$. Построение выполняется в несколько шагов:

1. Сначала строится вектор $-\vec{b}$. Этот вектор равен по длине (модулю) вектору $\vec{b}$, но направлен в противоположную сторону.
2. Затем выполняется сложение векторов $\vec{a}$ и $(-\vec{b})$ по правилу треугольника. Для этого начало вектора $(-\vec{b})$ совмещается с концом вектора $\vec{a}$.
3. Результирующий вектор разности $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$ проводится из начала вектора $\vec{a}$ в конец вектора $(-\vec{b})$.

Способ 2: Правило треугольника для разности векторов

Этот способ позволяет построить вектор разности более непосредственно:

1. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ откладываются из одной общей точки (начала).
2. Вектор разности $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$ соединяет конец "вычитаемого" вектора $\vec{b}$ с концом "уменьшаемого" вектора $\vec{a}$. То есть, вектор разности направлен от конца вектора $\vec{b}$ к концу вектора $\vec{a}$.

Это правило легко запомнить, проверив равенство по правилу сложения: $\vec{b} + (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a}$.

Ответ:

Для построения вектора $\vec{a} - \vec{b}$ необходимо применить один из вышеописанных методов к векторам, изображенным на рисунке 40. Поскольку сам рисунок не был предоставлен, в решении дан общий алгоритм и пример построения.

191. Четырёхугольник $ABCD$ — квадрат, $O$ — точка пересечения его диагоналей. Среди данных пар векторов укажите пары противоположных векторов:

1) $ \vec{AB} $ и $ \vec{CB} $;

2) $ \vec{BA} $ и $ \vec{CD} $;

3) $ \vec{BC} $ и $ \vec{AD} $;

4) $ \vec{OA} $ и $ \vec{OC} $;

5) $ \vec{OB} $ и $ \vec{OC} $;

6) $ \vec{BD} $ и $ \vec{DB} $.

191. Четырёхугольник ABCD — квадрат, O — точка пересечения его диагоналей. Среди данных пар векторов укажите пары противоположных векторов:

1) $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$;

2) $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$;

3) $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$;

4) $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$;

5) $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$;

6) $\vec{BD}$ и $\vec{DB}$.

Противоположными называются два ненулевых вектора, которые имеют одинаковые длины (модули) и противоположные направления. Это означает, что они коллинеарны (лежат на одной прямой или на параллельных прямых) и направлены в разные стороны. Математически это условие выражается как $\vec{a} = -\vec{b}$.

Рассмотрим каждую пару векторов, исходя из свойств квадрата ABCD, где O — точка пересечения его диагоналей:

• Все стороны равны: $AB = BC = CD = DA$.
• Противоположные стороны параллельны: $AB \parallel DC$ и $BC \parallel AD$.
• Диагонали равны, перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам: $AO = OC = BO = OD$.

192. Четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Найдите:

1) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DB} - \overrightarrow{CD}$;

2) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CA}$;

3) $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{DB}$.

192. Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм. Найдите:

1) $\vec{AB} - \vec{DB} - \vec{CD};$

2) $\vec{AB} - \vec{CB} + \vec{CA};$

3) $\vec{CB} + \vec{CD} - \vec{BA} - \vec{DB}.$

Для решения данных задач будем использовать правила действий с векторами (правило треугольника, правило параллелограмма) и свойства векторов в параллелограмме.

Основные свойства, которые нам понадобятся:

• Правило замены вычитания: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$.
• Противоположный вектор: $-\vec{PQ} = \vec{QP}$.
• Правило треугольника (сложение векторов): $\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR}$.
• Для параллелограмма $ABCD$: $\vec{AB} = \vec{DC}$, $\vec{BC} = \vec{AD}$, $\vec{BA} = \vec{CD}$, $\vec{CB} = \vec{DA}$.
• Сумма векторов, образующих замкнутый контур, равна нулевому вектору: $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}$.

1) $\vec{AB} - \vec{DB} - \vec{CD}$

Преобразуем выражение, заменив вычитание на сложение с противоположными векторами:

$\vec{AB} - \vec{DB} - \vec{CD} = \vec{AB} + \vec{BD} + \vec{DC}$

Теперь последовательно применим правило треугольника для сложения векторов:

Сначала сложим первые два вектора: $\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$.

Полученное выражение: $(\vec{AB} + \vec{BD}) + \vec{DC} = \vec{AD} + \vec{DC}$.

Снова применяем правило треугольника: $\vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC}$.

Ответ: $\vec{AC}$

2) $\vec{AB} - \vec{CB} + \vec{CA}$

Заменим вычитание на сложение с противоположным вектором:

$\vec{AB} - \vec{CB} + \vec{CA} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA}$

Это выражение представляет собой сумму векторов, образующих замкнутый треугольник $ABC$. По правилу сложения векторов:

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Подставим это в выражение:

$(\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CA} = \vec{AC} + \vec{CA}$.

Сумма противоположных векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CA}$ равна нулевому вектору:

$\vec{AC} + \vec{CA} = \vec{AC} - \vec{AC} = \vec{0}$.

Ответ: $\vec{0}$

3) $\vec{CB} + \vec{CD} - \vec{BA} - \vec{DB}$

Заменим вычитание векторов на сложение с противоположными:

$\vec{CB} + \vec{CD} - \vec{BA} - \vec{DB} = \vec{CB} + \vec{CD} + \vec{AB} + \vec{BD}$

Перегруппируем слагаемые для удобного применения правила треугольника:

$(\vec{AB} + \vec{BD}) + \vec{CB} + \vec{CD}$

Выполним сложение в скобках: $\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$.

Выражение примет вид: $\vec{AD} + \vec{CB} + \vec{CD}$.

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то векторы его противоположных сторон равны: $\vec{CB} = \vec{DA}$. Заменим $\vec{CB}$ на $\vec{DA}$ в выражении:

$\vec{AD} + \vec{DA} + \vec{CD}$

Сумма противоположных векторов $\vec{AD}$ и $\vec{DA}$ равна нулевому вектору: $\vec{AD} + \vec{DA} = \vec{0}$.

Таким образом, получаем:

$\vec{0} + \vec{CD} = \vec{CD}$.

Ответ: $\vec{CD}$