Страница 59 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

221. Найдите скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, если:

1) $ |\vec{a}|=4 $, $ |\vec{b}|=2 $, $ \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^\circ $;

2) $ |\vec{a}|=7 $, $ |\vec{b}|=2 $, $ \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 120^\circ $;

3) $ |\vec{a}|=3 $, $ |\vec{b}|=12 $, $ \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 0^\circ $.

221. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если:

1) $\vert \vec{a} \vert = 4$, $\vert \vec{b} \vert = 2$, $\angle (\vec{a}, \vec{b}) = 30^{\circ}$;

2) $\vert \vec{a} \vert = 7$, $\vert \vec{b} \vert = 2$, $\angle (\vec{a}, \vec{b}) = 120^{\circ}$;

3) $\vert \vec{a} \vert = 3$, $\vert \vec{b} \vert = 12$, $\angle (\vec{a}, \vec{b}) = 0^{\circ}$.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$

где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины (модули) векторов, а $\angle(\vec{a}, \vec{b})$ — угол между ними.

222. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $150^\circ$, $|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=3$.

Найдите:

1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$;

2) $(3\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot \vec{b}$.

222. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $150^\circ$, $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$.

Найдите:

1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$;

2) $(3\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot \vec{b}$.

1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$;
Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Формула скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.
По условию задачи, $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$, а угол между векторами равен $150^\circ$.
Подставим эти значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos(150^\circ)$.
Найдем значение косинуса $150^\circ$:
$\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Теперь вычислим скалярное произведение:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -3\sqrt{3}$.
Ответ: $-3\sqrt{3}$

2) $(3\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot \vec{b}$.
Воспользуемся свойствами скалярного произведения, в частности, дистрибутивным законом (раскроем скобки):
$(3\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot \vec{b} = (3\vec{a}) \cdot \vec{b} - (2\vec{b}) \cdot \vec{b}$.
Далее вынесем скалярные множители за знак скалярного произведения:
$3(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2(\vec{b} \cdot \vec{b})$.
Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины (модуля): $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$.
Выражение принимает вид:
$3(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2|\vec{b}|^2$.
Из предыдущего пункта мы знаем, что $\vec{a} \cdot \vec{b} = -3\sqrt{3}$. По условию $|\vec{b}| = 3$, значит $|\vec{b}|^2 = 3^2 = 9$.
Подставим найденные значения:
$3(-3\sqrt{3}) - 2(9) = -9\sqrt{3} - 18$.
Ответ: $-9\sqrt{3} - 18$

223. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $120^{\circ}$, $\left|\vec{a}\right| = \left|\vec{b}\right| = 1$.

Найдите скалярное произведение $(3\vec{a} + \vec{b})(\vec{a} - \vec{b}).$

223. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $120^\circ$, $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$.

Найдите скалярное произведение $(3\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b})$.

Для нахождения скалярного произведения $(3\vec{a} + \vec{b})(\vec{a} - \vec{b})$ раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность):

$(3\vec{a} + \vec{b})(\vec{a} - \vec{b}) = 3\vec{a} \cdot \vec{a} - 3\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$

Скалярное произведение коммутативно, то есть $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$. Также скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины (модуля): $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$. Упростим выражение:

$3|\vec{a}|^2 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{b}|^2 = 3|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) - |\vec{b}|^2$

Теперь найдем скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$. По определению, оно равно произведению длин векторов на косинус угла между ними:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(120^\circ)$

Из условия задачи нам известно, что $|\vec{a}| = 1$ и $|\vec{b}| = 1$. Косинус 120 градусов равен -0.5:

$\cos(120^\circ) = -0.5$

Тогда:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 \cdot (-0.5) = -0.5$

Подставим все известные значения в наше упрощенное выражение:

$3|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) - |\vec{b}|^2 = 3 \cdot 1^2 - 2 \cdot (-0.5) - 1^2 = 3 \cdot 1 - (-1) - 1 = 3 + 1 - 1 = 3$

Ответ: 3

224. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если:

1) $\vec{a}(2; -1)$, $\vec{b}(4; 3);$

2) $\vec{a}(-3; 4)$, $\vec{b}(3; -2).$

224. Найдите скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, если:

1) $ \vec{a}(2; -1), \vec{b}(4; 3); $

2) $ \vec{a}(-3; 4), \vec{b}(3; -2). $

1) Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$, заданных своими координатами, вычисляется по формуле суммы произведений их соответствующих координат:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$
Для векторов $\vec{a}(2; -1)$ и $\vec{b}(4; 3)$ имеем:
$x_1 = 2$, $y_1 = -1$
$x_2 = 4$, $y_2 = 3$
Подставим эти значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 4 + (-1) \cdot 3 = 8 - 3 = 5$
Ответ: 5.

2) Используем ту же формулу для нахождения скалярного произведения векторов $\vec{a}(-3; 4)$ и $\vec{b}(3; -2)$.
Координаты векторов:
$x_1 = -3$, $y_1 = 4$
$x_2 = 3$, $y_2 = -2$
Выполним вычисление по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-3) \cdot 3 + 4 \cdot (-2) = -9 - 8 = -17$
Ответ: -17.

225. Даны векторы $ \vec{m}(5; -y) $ и $ \vec{b}(4; 6) $. При каком значении $ y $ выполняется равенство $ \vec{m} \cdot \vec{b} = -18 $?

225. Даны векторы $ \vec{m}(5; -y) $ и $ \vec{b}(4; 6) $. При каком значении $y$ выполняется равенство $ \vec{m} \cdot \vec{b} = -18 $?

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$.

В нашем случае даны векторы $\vec{m}(5; -y)$ и $\vec{b}(4; 6)$. Найдем их скалярное произведение, подставив их координаты в формулу:

$\vec{m} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 4 + (-y) \cdot 6 = 20 - 6y$.

По условию задачи, это скалярное произведение равно $-18$. Составим уравнение:

$20 - 6y = -18$.

Теперь решим это уравнение относительно $y$:

$-6y = -18 - 20$

$-6y = -38$

$y = \frac{-38}{-6}$

$y = \frac{38}{6} = \frac{19}{3}$.

Ответ: $y = \frac{19}{3}$.

226. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a}(4; -1)$ и $\vec{b}(-6; -8)$.

226. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a}(4; -1)$ и $\vec{b}(-6; -8)$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле, которая связывает скалярное произведение векторов и их длины (модули):

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Сначала найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}(4; -1)$ и $\vec{b}(-6; -8)$. Оно равно сумме произведений соответствующих координат:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot (-6) + (-1) \cdot (-8) = -24 + 8 = -16$.

Далее найдем длины каждого вектора. Длина вектора вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его координат.

Длина вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$.

Длина вектора $\vec{b}$:

$|\vec{b}| = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Теперь подставим найденные значения скалярного произведения и длин векторов в формулу для косинуса угла:

$\cos(\alpha) = \frac{-16}{\sqrt{17} \cdot 10} = -\frac{16}{10\sqrt{17}} = -\frac{8}{5\sqrt{17}}$.

Для представления ответа в стандартном виде избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{17}$:

$-\frac{8}{5\sqrt{17}} = -\frac{8 \cdot \sqrt{17}}{5\sqrt{17} \cdot \sqrt{17}} = -\frac{8\sqrt{17}}{5 \cdot 17} = -\frac{8\sqrt{17}}{85}$.

Ответ: $-\frac{8\sqrt{17}}{85}$.

227. Медианы $AM$ и $CE$ правильного треугольника $ABC$ со стороной 6 см пересекаются в точке $O$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$;

2) $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$;

3) $\vec{AM}$ и $\vec{BC}$;

4) $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$;

5) $\vec{OA}$ и $\vec{EC}$;

6) $\vec{OE}$ и $\vec{CO}$.

227. Медианы $AM$ и $CE$ правильного треугольника $ABC$ со стороной 6 см пересекаются в точке $O$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $ \vec{BA} $ и $ \vec{BC} $;

2) $ \vec{BC} $ и $ \vec{AC} $;

3) $ \vec{AM} $ и $ \vec{BC} $;

4) $ \vec{AO} $ и $ \vec{OC} $;

5) $ \vec{OA} $ и $ \vec{EC} $;

6) $ \vec{OE} $ и $ \vec{CO} $.

В правильном треугольнике ABC со стороной $a=6$ см все углы равны $60^\circ$. Медианы AM и CE также являются высотами и биссектрисами. Точка пересечения медиан O (центроид) делит их в отношении 2:1, считая от вершины.

Длина медианы в правильном треугольнике вычисляется по формуле $m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.При $a=6$, длина медиан $AM$ и $CE$ равна: $|\vec{AM}| = |\vec{CE}| = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$.

Точка O делит медианы на отрезки:

• $|\vec{AO}| = |\vec{CO}| = \frac{2}{3}m = \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$
• $|\vec{OM}| = |\vec{OE}| = \frac{1}{3}m = \frac{1}{3}(3\sqrt{3}) = \sqrt{3}$

Скалярное произведение двух векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ равно $|\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\alpha)$, где $\alpha$ - угол между векторами.

1) $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$

Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ исходят из одной вершины B. Угол между ними равен углу треугольника $\angle ABC = 60^\circ$. Длины векторов равны стороне треугольника: $|\vec{BA}| = |\vec{BC}| = 6$.

$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(\angle ABC) = 6 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ) = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18$.

Ответ: 18

2) $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$

Чтобы найти угол между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$, приведем их к общему началу. Заменим их на противоположные векторы с общим началом в точке C: $\vec{CB} = -\vec{BC}$ и $\vec{CA} = -\vec{AC}$.

$\vec{BC} \cdot \vec{AC} = (-\vec{CB}) \cdot (-\vec{CA}) = \vec{CB} \cdot \vec{CA}$.

Угол между векторами $\vec{CB}$ и $\vec{CA}$ равен $\angle BCA = 60^\circ$.

$\vec{CB} \cdot \vec{CA} = |\vec{CB}| \cdot |\vec{CA}| \cdot \cos(\angle BCA) = 6 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ) = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18$.

Ответ: 18

3) $\vec{AM}$ и $\vec{BC}$

В правильном треугольнике медиана $AM$ является также высотой, проведенной к стороне $BC$. Следовательно, прямые $AM$ и $BC$ перпендикулярны.

Угол между векторами $\vec{AM}$ и $\vec{BC}$ равен $90^\circ$.

Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю: $\vec{AM} \cdot \vec{BC} = |\vec{AM}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(90^\circ) = 0$.

Ответ: 0

4) $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$

Рассмотрим векторное равенство $\vec{AC} = \vec{AO} + \vec{OC}$. Возведем его в скалярный квадрат:

$|\vec{AC}|^2 = (\vec{AO} + \vec{OC}) \cdot (\vec{AO} + \vec{OC}) = |\vec{AO}|^2 + 2(\vec{AO} \cdot \vec{OC}) + |\vec{OC}|^2$.

Подставим известные значения: $|\vec{AC}|=6$, $|\vec{AO}|=2\sqrt{3}$, $|\vec{OC}|=2\sqrt{3}$.

$6^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2(\vec{AO} \cdot \vec{OC}) + (2\sqrt{3})^2$.

$36 = 12 + 2(\vec{AO} \cdot \vec{OC}) + 12$.

$36 = 24 + 2(\vec{AO} \cdot \vec{OC})$.

$12 = 2(\vec{AO} \cdot \vec{OC})$.

$\vec{AO} \cdot \vec{OC} = 6$.

Ответ: 6

5) $\vec{OA}$ и $\vec{EC}$

Найдем угол между векторами $\vec{OA}$ и $\vec{EC}$. Вектор $\vec{OA}$ направлен вдоль медианы AM от точки O к A. Вектор $\vec{EC}$ направлен вдоль медианы CE от точки E к C. Векторы $\vec{EC}$ и $\vec{OC}$ сонаправлены. Значит, угол между $\vec{OA}$ и $\vec{EC}$ равен углу между $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$, то есть $\angle AOC$.

В треугольнике AOC стороны $AO=OC=2\sqrt{3}$. Медианы являются и биссектрисами, поэтому $\angle OAC = \angle OCA = 60^\circ/2 = 30^\circ$. Тогда $\angle AOC = 180^\circ - (30^\circ+30^\circ) = 120^\circ$.

$\vec{OA} \cdot \vec{EC} = |\vec{OA}| \cdot |\vec{EC}| \cdot \cos(\angle AOC) = (2\sqrt{3}) \cdot (3\sqrt{3}) \cdot \cos(120^\circ) = (18) \cdot (-\frac{1}{2}) = -9$.

Ответ: -9

6) $\vec{OE}$ и $\vec{CO}$

Векторы $\vec{OE}$ и $\vec{CO}$ лежат на одной прямой (медиане CE). Вектор $\vec{OE}$ направлен от O к E. Вектор $\vec{CO}$ направлен от C к O. Они сонаправлены.

Угол между векторами $\vec{OE}$ и $\vec{CO}$ равен $0^\circ$.

$\vec{OE} \cdot \vec{CO} = |\vec{OE}| \cdot |\vec{CO}| \cdot \cos(0^\circ) = (\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{3}) \cdot 1 = 6$.

Ответ: 6

228. Даны векторы $\vec{c}(x; 6)$ и $\vec{d}(3; -2)$. При каком значении $x$ векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ перпендикулярны?

228. Даны векторы $\vec{c}(x; 6)$ и $\vec{d}(3; -2)$. При каком значении x векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ перпендикулярны?

Два ненулевых вектора называются перпендикулярными (или ортогональными), если угол между ними равен $90^\circ$. Условием перпендикулярности двух векторов является равенство их скалярного произведения нулю.

Даны векторы с координатами $\vec{c}(x; 6)$ и $\vec{d}(3; -2)$.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(a_1; a_2)$ и $\vec{b}(b_1; b_2)$ вычисляется по формуле:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{c}$ и $\vec{d}$:
$\vec{c} \cdot \vec{d} = x \cdot 3 + 6 \cdot (-2) = 3x - 12$

Так как векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ должны быть перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю:
$\vec{c} \cdot \vec{d} = 0$
$3x - 12 = 0$

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:
$3x = 12$
$x = \frac{12}{3}$
$x = 4$

Таким образом, при $x = 4$ векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ будут перпендикулярны.
Ответ: $4$.

229. Даны векторы $\vec{a}(8; y)$ и $\vec{c}(-6; 3)$. При каких значениях $y$ угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{c}$:

1) острый;

2) прямой;

3) тупой?

229. Даны векторы $\vec{a}(8; y)$ и $\vec{c}(-6; 3)$. При каких значениях $y$ угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{c}$:

1) острый;

2) прямой;

3) тупой?

Тип угла между двумя ненулевыми векторами (острый, прямой или тупой) определяется знаком их скалярного произведения. Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{c}$ связан со скалярным произведением формулой $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}| |\vec{c}| \cos(\alpha)$. Так как длины ненулевых векторов всегда положительны, знак $\cos(\alpha)$ совпадает со знаком скалярного произведения.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{c}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{c} = x_1 x_2 + y_1 y_2$.

Для данных векторов $\vec{a}(8; y)$ и $\vec{c}(-6; 3)$ найдем их скалярное произведение:

$\vec{a} \cdot \vec{c} = 8 \cdot (-6) + y \cdot 3 = -48 + 3y$

Теперь рассмотрим условия для каждого типа угла.

1) острый

Угол между векторами является острым, если их скалярное произведение положительно, то есть $\vec{a} \cdot \vec{c} > 0$.

$-48 + 3y > 0$

Решим это неравенство:

$3y > 48$

$y > \frac{48}{3}$

$y > 16$

Ответ: угол острый при $y > 16$.

2) прямой

Угол между векторами является прямым, если их скалярное произведение равно нулю, то есть $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$. В этом случае векторы перпендикулярны.

$-48 + 3y = 0$

Решим это уравнение:

$3y = 48$

$y = \frac{48}{3}$

$y = 16$

Ответ: угол прямой при $y = 16$.

3) тупой

Угол между векторами является тупым, если их скалярное произведение отрицательно, то есть $\vec{a} \cdot \vec{c} < 0$.

$-48 + 3y < 0$

Решим это неравенство:

$3y < 48$

$y < \frac{48}{3}$

$y < 16$

Ответ: угол тупой при $y < 16$.

230. Найдите координаты вектора $\vec{b}$, коллинеарного вектору $\vec{a}(2; -3)$, если $\vec{a} \cdot \vec{b} = -26$.

230. Найдите координаты вектора $\vec{b}$, коллинеарного вектору $\vec{a}(2; -3)$, если $\vec{a} \cdot \vec{b} = -26.$

По определению коллинеарных векторов, если вектор $\vec{b}$ коллинеарен вектору $\vec{a}$, то существует такое действительное число $k$, что $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$.

Пусть вектор $\vec{b}$ имеет координаты $(x; y)$. Вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(2; -3)$. Тогда координаты вектора $\vec{b}$ можно выразить через $k$: $\vec{b} = (x; y) = k \cdot (2; -3) = (2k; -3k)$.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y$.

По условию задачи, скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = -26$. Подставим известные координаты в формулу: $2 \cdot x + (-3) \cdot y = -26$.

Теперь подставим в это уравнение выражения для координат вектора $\vec{b}$ через $k$: $2 \cdot (2k) + (-3) \cdot (-3k) = -26$.

Решим полученное уравнение относительно $k$: $4k + 9k = -26$ $13k = -26$ $k = \frac{-26}{13}$ $k = -2$.

Зная коэффициент $k$, мы можем найти координаты вектора $\vec{b}$: $x = 2k = 2 \cdot (-2) = -4$ $y = -3k = -3 \cdot (-2) = 6$.

Таким образом, вектор $\vec{b}$ имеет координаты $(-4; 6)$.

Ответ: $(-4; 6)$.