Страница 53 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

173. Среди данных прямых укажите пары параллельных прямых:

1) $x - 3y = -5;$

2) $3x - 2y = -15;$

3) $2x + 6y = -17;$

4) $8x - y = -19;$

5) $9x + 6y = 1.$

173. Среди данных прямых укажите пары параллельных прямых:

1) $x - 3y = -5;$

2) $3x - 2y = -15;$

3) $2x + 6y = -17;$

4) $8x - y = -19;$

5) $9x + 6y = 1.$

Для того чтобы определить, являются ли две прямые параллельными, необходимо сравнить их угловые коэффициенты. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны. Уравнение прямой вида $Ax + By = C$ можно преобразовать к виду $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент.

Найдем угловые коэффициенты для каждой из данных прямых.

1) $x - 3y = -5$
Выразим $y$ из уравнения:
$-3y = -x - 5$
$y = \frac{-x}{-3} + \frac{-5}{-3}$
$y = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3}$
Угловой коэффициент: $k_1 = \frac{1}{3}$.

2) $3x - 2y = -15$
Выразим $y$ из уравнения:
$-2y = -3x - 15$
$y = \frac{-3x}{-2} + \frac{-15}{-2}$
$y = \frac{3}{2}x + \frac{15}{2}$
Угловой коэффициент: $k_2 = \frac{3}{2}$.

3) $2x + 6y = -17$
Выразим $y$ из уравнения:
$6y = -2x - 17$
$y = -\frac{2}{6}x - \frac{17}{6}$
$y = -\frac{1}{3}x - \frac{17}{6}$
Угловой коэффициент: $k_3 = -\frac{1}{3}$.

4) $8x - y = -19$
Выразим $y$ из уравнения:
$-y = -8x - 19$
$y = 8x + 19$
Угловой коэффициент: $k_4 = 8$.

5) $9x + 6y = 1$
Выразим $y$ из уравнения:
$6y = -9x + 1$
$y = -\frac{9}{6}x + \frac{1}{6}$
$y = -\frac{3}{2}x + \frac{1}{6}$
Угловой коэффициент: $k_5 = -\frac{3}{2}$.

Теперь сравним все найденные угловые коэффициенты:
$k_1 = \frac{1}{3}$
$k_2 = \frac{3}{2}$
$k_3 = -\frac{1}{3}$
$k_4 = 8$
$k_5 = -\frac{3}{2}$
Среди полученных значений угловых коэффициентов нет равных. Это означает, что ни одна пара прямых не имеет одинаковый наклон.

Ответ: Среди данных прямых нет пар параллельных прямых.

174. На рисунке 36 изображён вектор $\overrightarrow{DK}$. Укажите начало и конец этого вектора. Отложите от точки F вектор, равный вектору $\overrightarrow{DK}$, и вектор, противоположно направленный вектору $\overrightarrow{DK}$, модуль которого равен модулю вектора $\overrightarrow{DK}$.

Рис. 36

174. На рисунке 36 изображён вектор $\vec{DK}$. Укажите начало и конец этого вектора. Отложите от точки $F$ вектор, равный вектору $\vec{DK}$, и вектор, противоположно направленный вектору $\vec{DK}$, модуль которого равен модулю вектора $\vec{DK}$.

Рис. 36

Укажите начало и конец этого вектора.

Вектор обозначается двумя заглавными буквами с чертой над ними. Первая буква в обозначении вектора $\overline{DK}$ указывает на его начало (точку приложения), а вторая — на его конец.

Ответ: Начало вектора — точка D, конец вектора — точка K.

Отложите от точки F вектор, равный вектору $\overline{DK}$

Два вектора называются равными, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины (модули) равны. Чтобы отложить от точки F вектор, равный вектору $\overline{DK}$, нужно построить такой вектор $\overline{FM}$, что $\overline{FM} = \overline{DK}$.

Для этого сначала определим, как направлен вектор $\overline{DK}$ на координатной сетке. Чтобы переместиться из начальной точки D в конечную точку K, необходимо сдвинуться на 1 клетку влево и на 3 клетки вниз.

Чтобы построить равный ему вектор с началом в точке F, нужно от точки F выполнить такое же смещение: на 1 клетку влево и на 3 клетки вниз. Полученная точка будет концом искомого вектора.

Ответ: От точки F отложить направленный отрезок, конец которого смещен относительно начала на 1 клетку влево и 3 клетки вниз.

... и вектор, противоположно направленный вектору $\overline{DK}$, модуль которого равен модулю вектора $\overline{DK}$.

Вектор, который направлен в противоположную сторону и имеет ту же длину (модуль), что и данный вектор, называется противоположным вектором. Вектор, противоположный вектору $\overline{DK}$, это вектор $-\overline{DK}$, который также можно обозначить как $\overline{KD}$.

Чтобы построить вектор $\overline{KD}$, определим смещение из точки K в точку D. Для этого необходимо сдвинуться на 1 клетку вправо и на 3 клетки вверх.

Следовательно, чтобы отложить искомый вектор от точки F, нужно от точки F сместиться на 1 клетку вправо и на 3 клетки вверх. Полученная точка будет концом искомого вектора.

Ответ: От точки F отложить направленный отрезок, конец которого смещен относительно начала на 1 клетку вправо и 3 клетки вверх.

175. Какие из векторов, изображённых на рисунке 37:

1) равны;

2) сонаправлены;

3) противоположно направлены;

4) коллинеарны;

5) имеют равные модули?

Рис. 37

175. Какие из векторов, изображённых на рисунке 37:

1) равны;

2) сонаправлены;

3) противоположно направлены;

4) коллинеарны;

5) имеют равные модули?

Рис. 37

Для решения задачи определим координаты каждого вектора, считая, что сторона одной клетки координатной сетки равна 1. Координаты вектора определяются как разность координат его конца и начала $(\Delta x; \Delta y)$.

• $\vec{a} = (0; 2)$
• $\vec{b} = (0; -2)$
• $\vec{c} = (-2; -2)$
• $\vec{d} = (3; -2)$
• $\vec{k} = (4; -2)$
• $\vec{m} = (-2; -1)$
• $\vec{n} = (2; -1)$
• $\vec{p} = (0; 3)$
• $\vec{q} = (1; -1)$
• $\vec{s} = (0; 2)$
• $\vec{x} = (2; -1)$
• $\vec{y} = (0; 1)$

1) равны

Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. Это равносильно тому, что их соответствующие координаты равны. Сравнивая координаты векторов, находим:

• $\vec{a} = (0; 2)$ и $\vec{s} = (0; 2)$, следовательно $\vec{a} = \vec{s}$.
• $\vec{n} = (2; -1)$ и $\vec{x} = (2; -1)$, следовательно $\vec{n} = \vec{x}$.

Ответ: $\vec{a}$ и $\vec{s}$; $\vec{n}$ и $\vec{x}$.

2) сонаправлены

Векторы сонаправлены, если они коллинеарны и направлены в одну сторону. Это означает, что координаты одного вектора можно получить из координат другого умножением на положительное число. Например, $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$, где $k > 0$.

• Равные векторы всегда сонаправлены: ($\vec{a}$ и $\vec{s}$), ($\vec{n}$ и $\vec{x}$).
• Вертикальные векторы, направленные вверх: $\vec{a}(0; 2)$, $\vec{p}(0; 3)$, $\vec{s}(0; 2)$, $\vec{y}(0; 1)$. Все они сонаправлены, так как их первые координаты равны нулю, а вторые положительны. Например, $\vec{a} = 2\vec{y}$.
• Векторы $\vec{k}(4; -2)$, $\vec{n}(2; -1)$ и $\vec{x}(2; -1)$ также сонаправлены. Например, $\vec{k} = 2 \cdot \vec{n}$, где коэффициент $k=2$ является положительным.

Ответ: Любая пара векторов из группы $\{\vec{a}, \vec{p}, \vec{s}, \vec{y}\}$ сонаправлена. Любая пара векторов из группы $\{\vec{k}, \vec{n}, \vec{x}\}$ сонаправлена.

3) противоположно направлены

Векторы противоположно направлены, если они коллинеарны и направлены в разные стороны. Это означает, что координаты одного вектора можно получить из координат другого умножением на отрицательное число. Например, $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$, где $k < 0$.

• Рассмотрим вертикальные векторы. Векторы $\vec{a}, \vec{p}, \vec{s}, \vec{y}$ направлены вверх (вторая координата положительна), а вектор $\vec{b}$ направлен вниз (вторая координата отрицательна).
• Сравним $\vec{b}(0; -2)$ с вектором $\vec{a}(0; 2)$: $\vec{b} = -1 \cdot \vec{a}$. Коэффициент $k = -1$ отрицателен, значит, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены.
• Аналогично, вектор $\vec{b}$ будет противоположно направлен каждому из векторов $\vec{p}, \vec{s}, \vec{y}$.

Ответ: Вектор $\vec{b}$ противоположен каждому из векторов $\vec{a}, \vec{p}, \vec{s}, \vec{y}$ (например, $\vec{a}$ и $\vec{b}$).

4) коллинеарны

Векторы коллинеарны, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Это означает, что их координаты пропорциональны. Коллинеарные векторы могут быть как сонаправленными, так и противоположно направленными.

• Все вертикальные векторы ($\vec{a}, \vec{b}, \vec{p}, \vec{s}, \vec{y}$) коллинеарны друг другу, так как их первые координаты равны нулю.
• Векторы $\vec{k}(4; -2)$, $\vec{n}(2; -1)$ и $\vec{x}(2; -1)$ коллинеарны, так как их координаты пропорциональны (отношение координат $y/x$ для них постоянно и равно $-1/2$).

Ответ: Любая пара векторов из группы $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{p}, \vec{s}, \vec{y}\}$ коллинеарна. Любая пара векторов из группы $\{\vec{k}, \vec{n}, \vec{x}\}$ коллинеарна.

5) имеют равные модули

Модуль (длина) вектора с координатами $(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Вычислим модули всех векторов:

• $|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$
• $|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = 2$
• $|\vec{c}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
• $|\vec{d}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{13}$
• $|\vec{k}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
• $|\vec{m}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$
• $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$
• $|\vec{p}| = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3$
• $|\vec{q}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$
• $|\vec{s}| = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$
• $|\vec{x}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$
• $|\vec{y}| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$

Группируем векторы с равными модулями:

• Модуль равен 2: $\vec{a}, \vec{b}, \vec{s}$.
• Модуль равен $\sqrt{5}$: $\vec{m}, \vec{n}, \vec{x}$.

Ответ: $\vec{a}, \vec{b}, \vec{s}$ (модуль равен 2); $\vec{m}, \vec{n}, \vec{x}$ (модуль равен $\sqrt{5}$).