Страница 56 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

193. Может ли быть нулевым вектором сумма трёх векторов, модули которых равны:

1) 5; 4; 1;

2) 8; 6; 3;

3) 7; 8; 16?

193. Может ли быть нулевым вектором сумма трёх векторов, модули которых равны:

1) $5; 4; 1$;

2) $8; 6; 3$;

3) $7; 8; 16$?

Сумма трех векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ может быть равна нулевому вектору ($\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$) тогда и только тогда, когда из этих векторов можно составить замкнутую фигуру — треугольник (возможно, вырожденный). Для этого модули векторов должны удовлетворять неравенству треугольника: модуль любого вектора должен быть меньше или равен сумме модулей двух других. На практике достаточно проверить, что самый большой модуль не превышает сумму двух других.

1) Даны модули векторов: 5; 4; 1. Наибольший модуль равен 5. Сумма двух других модулей составляет $4 + 1 = 5$. Проверим выполнение неравенства треугольника для наибольшей стороны: $5 \le 4 + 1$. Так как $5 = 5$, неравенство выполняется. Это означает, что сумма векторов может быть нулевым вектором. Данный случай соответствует вырожденному треугольнику, где все векторы коллинеарны (лежат на одной прямой). Векторы с модулями 4 и 1 направлены в одну сторону, а вектор с модулем 5 — в противоположную.
Ответ: да, может.

2) Даны модули векторов: 8; 6; 3. Наибольший модуль равен 8. Сумма двух других модулей составляет $6 + 3 = 9$. Проверим выполнение неравенства треугольника для наибольшей стороны: $8 \le 6 + 3$. Так как $8 < 9$, неравенство выполняется. Следовательно, из этих векторов можно составить невырожденный треугольник, и их сумма может быть равна нулевому вектору.
Ответ: да, может.

3) Даны модули векторов: 7; 8; 16. Наибольший модуль равен 16. Сумма двух других модулей составляет $7 + 8 = 15$. Проверим выполнение неравенства треугольника для наибольшей стороны: $16 \le 7 + 8$. Так как $16 > 15$, неравенство не выполняется. Это означает, что из отрезков с такими длинами нельзя составить треугольник (даже вырожденный). Следовательно, сумма векторов с такими модулями не может быть равна нулевому вектору. Если предположить, что $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$, где $|\vec{a}|=7, |\vec{b}|=8, |\vec{c}|=16$, то $\vec{a} + \vec{b} = -\vec{c}$, и тогда $|\vec{a} + \vec{b}| = |-\vec{c}| = |\vec{c}| = 16$. По неравенству треугольника для векторов $|\vec{a}+\vec{b}| \le |\vec{a}|+|\vec{b}|$, откуда получаем $16 \le 7+8$, что является неверным ($16 \le 15$). Противоречие доказывает, что сумма не может быть нулевой.
Ответ: нет, не может.

194. Даны векторы $\vec{c}(-3; 1)$ и $\vec{d}(5; -6)$. Найдите:

1) $\vec{c}+\vec{d}$;

2) $\vec{c}-\vec{d}$;

3) $|\vec{c}+\vec{d}|$;

4) $|\vec{d}-\vec{c}|$.

194. Даны векторы $\vec{c}(-3; 1)$ и $\vec{d}(5; -6)$. Найдите:

1) $\vec{c} + \vec{d}$;

2) $\vec{c} - \vec{d}$;

3) $|\vec{c} + \vec{d}|$;

4) $|\vec{d} - \vec{c}|$.

Даны векторы $\vec{c}(-3; 1)$ и $\vec{d}(5; -6)$.

1) $\vec{c} + \vec{d}$;

Чтобы найти сумму векторов, нужно сложить их соответствующие координаты. Для векторов $\vec{c}(c_x; c_y)$ и $\vec{d}(d_x; d_y)$ их сумма равна $\vec{c} + \vec{d} = (c_x + d_x; c_y + d_y)$.

$\vec{c} + \vec{d} = (-3 + 5; 1 + (-6)) = (2; -5)$

Ответ: $(2; -5)$

2) $\vec{c} - \vec{d}$;

Чтобы найти разность векторов, нужно вычесть соответствующие координаты одного вектора из другого. Для векторов $\vec{c}(c_x; c_y)$ и $\vec{d}(d_x; d_y)$ их разность равна $\vec{c} - \vec{d} = (c_x - d_x; c_y - d_y)$.

$\vec{c} - \vec{d} = (-3 - 5; 1 - (-6)) = (-8; 1 + 6) = (-8; 7)$

Ответ: $(-8; 7)$

3) $|\vec{c} + \vec{d}|$;

Модуль (или длина) вектора $\vec{a}(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Сначала найдем координаты вектора $\vec{c} + \vec{d}$, как в пункте 1.

$\vec{c} + \vec{d} = (2; -5)$

Теперь найдем модуль этого вектора:

$|\vec{c} + \vec{d}| = \sqrt{2^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$

Ответ: $\sqrt{29}$

4) $|\vec{d} - \vec{c}|$.

Аналогично пункту 3, сначала найдем координаты вектора $\vec{d} - \vec{c}$.

$\vec{d} - \vec{c} = (5 - (-3); -6 - 1) = (5 + 3; -7) = (8; -7)$

Теперь найдем модуль полученного вектора:

$|\vec{d} - \vec{c}| = \sqrt{8^2 + (-7)^2} = \sqrt{64 + 49} = \sqrt{113}$

Ответ: $\sqrt{113}$

195. Даны точки $M(-4; 5)$ и $N(6; -7)$. Найдите координаты точки $K$ такой, что $\vec{MK} - \vec{KN} = \vec{0}$.

195. Даны точки $M(-4; 5)$ и $N(6; -7)$. Найдите координаты точки $K$ такой, что $\vec{MK} - \vec{KN} = \vec{0}$.

Пусть искомая точка K имеет координаты $(x; y)$. Даны точки $M(-4; 5)$ и $N(6; -7)$.

По условию задачи должно выполняться векторное равенство: $\vec{MK} - \vec{KN} = \vec{0}$

Из этого равенства следует, что: $\vec{MK} = \vec{KN}$

Равенство векторов означает, что их соответствующие координаты равны. Найдем координаты каждого вектора. Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала.

Для вектора $\vec{MK}$ с началом в точке $M(-4; 5)$ и концом в точке $K(x; y)$ координаты будут: $\vec{MK} = (x - (-4); y - 5) = (x + 4; y - 5)$

Для вектора $\vec{KN}$ с началом в точке $K(x; y)$ и концом в точке $N(6; -7)$ координаты будут: $\vec{KN} = (6 - x; -7 - y)$

Приравняем соответствующие координаты векторов $\vec{MK}$ и $\vec{KN}$, чтобы составить систему уравнений: $\begin{cases} x + 4 = 6 - x \\ y - 5 = -7 - y \end{cases}$

Решим первое уравнение относительно $x$: $x + x = 6 - 4$ $2x = 2$ $x = 1$

Решим второе уравнение относительно $y$: $y + y = -7 + 5$ $2y = -2$ $y = -1$

Следовательно, координаты точки К равны $(1; -1)$.

Замечание: Равенство $\vec{MK} = \vec{KN}$ означает, что точка K является серединой отрезка MN. Ее координаты можно было найти по формуле координат середины отрезка: $x_K = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$ $y_K = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{5 + (-7)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ Результат совпадает.

Ответ: $K(1; -1)$

196. Найдите координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если их сумма имеет координаты $(-4; 5)$, а разность — $(3; 7)$.

196. Найдите координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если их сумма имеет координаты $(-4; 5)$, а разность — $(3; 7)$.

Пусть искомые векторы имеют координаты $\vec{a} = (x_a; y_a)$ и $\vec{b} = (x_b; y_b)$.

Согласно условию, сумма векторов $\vec{a} + \vec{b}$ имеет координаты $(-4; 5)$, а разность $\vec{a} - \vec{b}$ имеет координаты $(3; 7)$. Это можно записать в виде системы уравнений для координат:

Для координат по оси X:

$x_a + x_b = -4$

$x_a - x_b = 3$

Для координат по оси Y:

$y_a + y_b = 5$

$y_a - y_b = 7$

Решим эти две системы уравнений.

Сначала найдем x-координаты. Сложим два уравнения для $x$:

$(x_a + x_b) + (x_a - x_b) = -4 + 3$

$2x_a = -1$

$x_a = -0,5$

Подставим найденное значение $x_a$ в первое уравнение:

$-0,5 + x_b = -4$

$x_b = -4 + 0,5 = -3,5$

Теперь найдем y-координаты. Сложим два уравнения для $y$:

$(y_a + y_b) + (y_a - y_b) = 5 + 7$

$2y_a = 12$

$y_a = 6$

Подставим найденное значение $y_a$ в первое уравнение:

$6 + y_b = 5$

$y_b = 5 - 6 = -1$

Таким образом, координаты векторов: $\vec{a} = (-0,5; 6)$ и $\vec{b} = (-3,5; -1)$.

Альтернативный способ (через векторные уравнения):

Запишем условия в виде системы векторных уравнений:

$\begin{cases} \vec{a} + \vec{b} = (-4; 5) \\ \vec{a} - \vec{b} = (3; 7) \end{cases}$

Сложим два уравнения:

$(\vec{a} + \vec{b}) + (\vec{a} - \vec{b}) = (-4; 5) + (3; 7)$

$2\vec{a} = (-1; 12)$, откуда $\vec{a} = (-0,5; 6)$.

Вычтем из первого уравнения второе:

$(\vec{a} + \vec{b}) - (\vec{a} - \vec{b}) = (-4; 5) - (3; 7)$

$2\vec{b} = (-7; -2)$, откуда $\vec{b} = (-3,5; -1)$.

Ответ: $\vec{a} = (-0,5; 6)$, $\vec{b} = (-3,5; -1)$.

197. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$ (рис. 41). Выразите векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ через векторы $\vec{AO} = \vec{m}$ и $\vec{OD} = \vec{n}$.

Рис. 41

197. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O (рис. 41). Выразите векторы $\overline{AB}$ и $\overline{BC}$ через векторы $\overline{AO} = \overline{m}$ и $\overline{OD} = \overline{n}$.

Рис. 41

Поскольку четырёхугольник ABCD является параллелограммом, его диагонали AC и BD пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. Это основное свойство параллелограмма, которое мы будем использовать для решения задачи.

Из того, что точка O — середина диагоналей, следуют следующие векторные равенства:
$\vec{AO} = \vec{OC}$
$\vec{BO} = \vec{OD}$

В условии задачи дано, что $\vec{AO} = \vec{m}$ и $\vec{OD} = \vec{n}$. Используя эти данные и свойства диагоналей, найдём векторы, составляющие стороны треугольников AOB и BOC:
$\vec{OC} = \vec{AO} = \vec{m}$
$\vec{BO} = \vec{OD} = \vec{n}$
Вектор $\vec{OB}$ направлен в противоположную сторону по отношению к вектору $\vec{BO}$, поэтому $\vec{OB} = -\vec{BO} = -\vec{n}$.

Теперь, когда все необходимые векторы выражены через $\vec{m}$ и $\vec{n}$, мы можем найти векторы сторон параллелограмма $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$, используя правило сложения векторов (правило треугольника).

Выражение вектора $\vec{AB}$
Рассмотрим треугольник AOB. По правилу треугольника, вектор $\vec{AB}$ является суммой векторов $\vec{AO}$ и $\vec{OB}$:
$\vec{AB} = \vec{AO} + \vec{OB}$
Подставим в это равенство известные нам выражения для векторов $\vec{AO}$ и $\vec{OB}$:
$\vec{AB} = \vec{m} + (-\vec{n})$
$\vec{AB} = \vec{m} - \vec{n}$
Ответ: $\vec{AB} = \vec{m} - \vec{n}$

Выражение вектора $\vec{BC}$
Рассмотрим треугольник BOC. По правилу треугольника, вектор $\vec{BC}$ является суммой векторов $\vec{BO}$ и $\vec{OC}$:
$\vec{BC} = \vec{BO} + \vec{OC}$
Подставим в это равенство известные нам выражения для векторов $\vec{BO}$ и $\vec{OC}$:
$\vec{BC} = \vec{n} + \vec{m}$
Или, поменяв слагаемые местами:
$\vec{BC} = \vec{m} + \vec{n}$
Ответ: $\vec{BC} = \vec{m} + \vec{n}$

198. Даны векторы $\vec{m}(-2; 4)$, $\vec{n}(3; 1)$, $\vec{k}(x; -1)$. Найдите наименьшее значение модуля вектора $\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}$.

198. Даны векторы $\vec{m}(-2; 4)$, $\vec{n}(3; 1)$, $\vec{k}(x; -1)$. Найдите наименьшее значение модуля вектора $\left|\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}\right|$.

Для того чтобы найти наименьшее значение модуля вектора $\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}$, сначала найдем координаты этого результирующего вектора. Обозначим его как $\vec{a}$.

$\vec{a} = \vec{m} - \vec{n} - \vec{k}$

Координаты вектора $\vec{a}$ вычисляются как разность соответствующих координат данных векторов:

$\vec{a} = ((-2) - 3 - x; 4 - 1 - (-1))$

$\vec{a} = (-5 - x; 4 - 1 + 1)$

$\vec{a} = (-5 - x; 4)$

Теперь найдем модуль (длину) вектора $\vec{a}$. Модуль вектора с координатами $(a_x; a_y)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$.

$|\vec{a}| = |\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}| = \sqrt{(-5 - x)^2 + 4^2}$

$|\vec{a}| = \sqrt{((-1)(5+x))^2 + 16}$

$|\vec{a}| = \sqrt{(5+x)^2 + 16}$

Чтобы найти наименьшее значение модуля, необходимо найти наименьшее значение подкоренного выражения $(5+x)^2 + 16$.

Выражение $(5+x)^2$ представляет собой квадрат числа, и его наименьшее значение равно 0. Это значение достигается, когда выражение в скобках равно нулю:

$5 + x = 0$

$x = -5$

При $x = -5$ подкоренное выражение принимает свое минимальное значение:

$(5 + (-5))^2 + 16 = 0^2 + 16 = 16$

Следовательно, наименьшее значение модуля вектора равно корню из этого значения:

$|\vec{a}|_{min} = \sqrt{16} = 4$

Ответ: 4

199. Найдите геометрическое место точек $M (x; y)$ координатной плоскости таких, что для точек $C (5; -6)$ и $D (-1; 2)$ выполняется равенство $\left| \vec{DC} \right| = \left| \vec{MC} \right|$.

199. Найдите геометрическое место точек M $(x; y)$ координатной плоскости таких, что для точек C $(5; -6)$ и D $(-1; 2)$ выполняется равенство $|\vec{DC}| = |\vec{MC}|$.

Пусть точка $M$ имеет координаты $(x; y)$, точка $C$ — $(5; -6)$, и точка $D$ — $(-1; 2)$. Условие задачи задается равенством $|\vec{DC}| = |\vec{MC}|$. Геометрически это означает, что расстояние от точки $M$ до точки $C$ постоянно и равно расстоянию между точками $D$ и $C$. Множество всех таких точек $M$ образует окружность с центром в точке $C$ и радиусом, равным длине отрезка $DC$.

Найдем координаты вектора $\vec{DC}$ как разность координат конца и начала вектора: $\vec{DC} = (5 - (-1); -6 - 2) = (6; -8)$.

Теперь найдем длину (модуль) вектора $\vec{DC}$ по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$: $|\vec{DC}| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Далее найдем координаты вектора $\vec{MC}$: $\vec{MC} = (5 - x; -6 - y)$.

Его длина (модуль) равна: $|\vec{MC}| = \sqrt{(5 - x)^2 + (-6 - y)^2} = \sqrt{(x-5)^2 + (y+6)^2}$.

Согласно условию задачи, приравняем длины векторов: $|\vec{MC}| = |\vec{DC}|$ $\sqrt{(x-5)^2 + (y+6)^2} = 10$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня: $(x-5)^2 + (y+6)^2 = 10^2$ $(x-5)^2 + (y+6)^2 = 100$.

Это каноническое уравнение окружности вида $(x-h)^2 + (y-k)^2 = R^2$, где $(h; k)$ — координаты центра, а $R$ — радиус. В нашем случае центр окружности находится в точке $(5; -6)$, что совпадает с координатами точки $C$, а радиус $R = 10$.

Таким образом, искомое геометрическое место точек — это окружность с центром в точке $C(5; -6)$ и радиусом 10.

Ответ: Окружность, заданная уравнением $(x-5)^2 + (y+6)^2 = 100$.

200. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (рис. 42). Постройте вектор:

1) $\frac{4}{5}\vec{a}$;

2) $-3\vec{b}$;

3) $\vec{b} - \frac{3}{5}\vec{a}$.

Рис. 42

200. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (рис. 42). Постройте вектор:

1) $\frac{4}{5}\vec{a}$;
2) $-3\vec{b}$;
3) $\vec{b}-\frac{3}{5}\vec{a}$.

Рис. 42

Для решения задачи сначала определим координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, приняв сторону одной клетки координатной сетки за единицу.

Вектор $\vec{a}$ смещается на 5 клеток вправо и на 4 клетки вверх. Следовательно, его координаты: $\vec{a} = \{5; 4\}$.

Вектор $\vec{b}$ смещается на 3 клетки вправо и на 2 клетки вниз. Следовательно, его координаты: $\vec{b} = \{3; -2\}$.

1) $\frac{4}{5}\vec{a}$

Чтобы умножить вектор на число, нужно каждую его координату умножить на это число.

$\frac{4}{5}\vec{a} = \frac{4}{5} \cdot \{5; 4\} = \{\frac{4}{5} \cdot 5; \frac{4}{5} \cdot 4\} = \{4; \frac{16}{5}\} = \{4; 3,2\}$.

Для построения этого вектора нужно из произвольной точки отложить 4 единицы вправо по горизонтали и 3,2 единицы вверх по вертикали. Полученный вектор будет сонаправлен вектору $\vec{a}$, а его длина составит $\frac{4}{5}$ длины вектора $\vec{a}$.

Ответ: Вектор с координатами $\{4; 3,2\}$.

2) $-3\vec{b}$

Аналогично первому пункту, умножаем координаты вектора $\vec{b}$ на число -3.

$-3\vec{b} = -3 \cdot \{3; -2\} = \{-3 \cdot 3; -3 \cdot (-2)\} = \{-9; 6\}$.

Для построения этого вектора нужно из произвольной точки отложить 9 единиц влево по горизонтали и 6 единиц вверх по вертикали. Полученный вектор будет направлен в противоположную сторону вектору $\vec{b}$, а его длина будет в 3 раза больше длины вектора $\vec{b}$.

Ответ: Вектор с координатами $\{-9; 6\}$.

3) $\vec{b} - \frac{3}{5}\vec{a}$

Для нахождения разности векторов нужно из координат первого вектора вычесть соответствующие координаты второго. Сначала найдем координаты вектора $\frac{3}{5}\vec{a}$.

$\frac{3}{5}\vec{a} = \frac{3}{5} \cdot \{5; 4\} = \{\frac{3}{5} \cdot 5; \frac{3}{5} \cdot 4\} = \{3; \frac{12}{5}\} = \{3; 2,4\}$.

Теперь выполним вычитание:

$\vec{b} - \frac{3}{5}\vec{a} = \{3; -2\} - \{3; 2,4\} = \{3 - 3; -2 - 2,4\} = \{0; -4,4\}$.

Для построения можно использовать правило треугольника. Сначала строим вектор $\vec{b}$. Затем из его конца строим вектор $-\frac{3}{5}\vec{a}$, который имеет координаты $\{-3; -2,4\}$. Результирующий вектор соединит начало вектора $\vec{b}$ и конец вектора $-\frac{3}{5}\vec{a}$. Полученный вектор будет направлен вертикально вниз и иметь длину 4,4 единицы.

Ответ: Вектор с координатами $\{0; -4,4\}$.