Страница 58 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

210. На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD отмечены такие точки E и F, что $AE = \frac{5}{6}AB$, $BF = \frac{2}{3}BC$ (рис. 45). Выразите векторы $\vec{DE}$ и $\vec{DF}$ через векторы $\vec{DA} = \vec{a}$ и $\vec{DC} = \vec{b}$.

210. На сторонах $AB$ и $BC$ параллелограмма $ABCD$ отмечены такие точки $E$ и $F$, что $AE = \frac{5}{6}AB, BF = \frac{2}{3}BC$ (рис. 45). Выразите векторы $\vec{DE}$ и $\vec{DF}$ через векторы $\vec{DA} = \vec{a}$ и $\vec{DC} = \vec{b}$.

Рис. 45

Для решения задачи воспользуемся свойствами векторов и определением параллелограмма. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны, поэтому справедливы следующие векторные равенства: $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{BC} = \vec{AD}$.

По условию задачи нам даны базовые векторы: $\vec{DA} = \vec{a}$ и $\vec{DC} = \vec{b}$.

Выразим векторы сторон параллелограмма, которые нам понадобятся, через базовые векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1. $\vec{AB} = \vec{DC} = \vec{b}$

2. $\vec{AD} = -\vec{DA} = -\vec{a}$. Так как $\vec{BC} = \vec{AD}$, то $\vec{BC} = -\vec{a}$.

Теперь мы можем выразить искомые векторы $\vec{DE}$ и $\vec{DF}$.

Выражение вектора $\vec{DE}$

Представим вектор $\vec{DE}$ как сумму векторов по правилу треугольника: $\vec{DE} = \vec{DA} + \vec{AE}$.

Вектор $\vec{DA}$ нам известен из условия: $\vec{DA} = \vec{a}$.

Вектор $\vec{AE}$ найдем из условия, что точка $E$ лежит на стороне $AB$ и $AE = \frac{5}{6}AB$. Поскольку векторы $\vec{AE}$ и $\vec{AB}$ сонаправлены (имеют одинаковое направление), то $\vec{AE} = \frac{5}{6}\vec{AB}$.

Заменим $\vec{AB}$ на $\vec{b}$: $\vec{AE} = \frac{5}{6}\vec{b}$.

Теперь подставим полученные выражения в формулу для $\vec{DE}$:

$\vec{DE} = \vec{DA} + \vec{AE} = \vec{a} + \frac{5}{6}\vec{b}$.

Ответ: $\vec{DE} = \vec{a} + \frac{5}{6}\vec{b}$.

Выражение вектора $\vec{DF}$

Представим вектор $\vec{DF}$ как сумму векторов, например, по правилу треугольника: $\vec{DF} = \vec{DC} + \vec{CF}$.

Вектор $\vec{DC}$ нам известен из условия: $\vec{DC} = \vec{b}$.

Найдем вектор $\vec{CF}$. По условию, точка $F$ лежит на стороне $BC$ и $BF = \frac{2}{3}BC$. Тогда длина отрезка $CF$ равна $CF = BC - BF = BC - \frac{2}{3}BC = \frac{1}{3}BC$.

Вектор $\vec{CF}$ направлен от точки $C$ к точке $F$, а вектор $\vec{BC}$ — от точки $B$ к точке $C$. Следовательно, эти векторы имеют противоположные направления. Поэтому их связь выражается как $\vec{CF} = -\frac{1}{3}\vec{BC}$.

Ранее мы нашли, что $\vec{BC} = -\vec{a}$. Подставим это в выражение для $\vec{CF}$:

$\vec{CF} = -\frac{1}{3}(-\vec{a}) = \frac{1}{3}\vec{a}$.

Теперь подставим найденные выражения для $\vec{DC}$ и $\vec{CF}$ в формулу для $\vec{DF}$:

$\vec{DF} = \vec{DC} + \vec{CF} = \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{a}$.

Для удобства поменяем слагаемые местами: $\vec{DF} = \frac{1}{3}\vec{a} + \vec{b}$.

Ответ: $\vec{DF} = \frac{1}{3}\vec{a} + \vec{b}$.

211. Коллинеарны ли векторы $ \vec{AB} $ и $ \vec{CD} $, если A (2; -5), B (1; -8), C (-4; -6), D (-2; 0)?

211. Коллинеарны ли векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$, если $A (2; -5)$, $B (1; -8)$, $C (-4; -6)$, $D (-2; 0)$?

Для того чтобы определить, коллинеарны ли векторы, необходимо найти их координаты и проверить, пропорциональны ли они. Два вектора $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ коллинеарны, если существует такое число $k$, что $x_2 = k \cdot x_1$ и $y_2 = k \cdot y_1$. Это равносильно условию пропорциональности координат: $\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1}$ (при условии, что $x_1 \neq 0$ и $y_1 \neq 0$).

1. Найдем координаты вектора $\overrightarrow{AB}$. Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала.

Для точек $A(2; -5)$ и $B(1; -8)$:

$\overrightarrow{AB} = (1 - 2; -8 - (-5)) = (-1; -8 + 5) = (-1; -3)$.

2. Найдем координаты вектора $\overrightarrow{CD}$.

Для точек $C(-4; -6)$ и $D(-2; 0)$:

$\overrightarrow{CD} = (-2 - (-4); 0 - (-6)) = (-2 + 4; 0 + 6) = (2; 6)$.

3. Проверим пропорциональность координат векторов $\overrightarrow{AB}(-1; -3)$ и $\overrightarrow{CD}(2; 6)$.

Составим отношения соответствующих координат:

$\frac{2}{-1} = -2$

$\frac{6}{-3} = -2$

Поскольку отношения координат равны, то есть $\frac{2}{-1} = \frac{6}{-3} = -2$, то векторы коллинеарны. Коэффициент пропорциональности $k = -2$, и выполняется равенство $\overrightarrow{CD} = -2 \cdot \overrightarrow{AB}$.

Ответ: да, векторы коллинеарны.

212. Среди векторов $ \vec{m}(4; -3) $, $ \vec{n}(-8; 6) $, $ \vec{p}(12; -9) $, $ \vec{k}(-0,8; 0,6) $ укажите пары:

1) сонаправленных векторов;

2) противоположно направленных векторов.

212. Среди векторов $\vec{m}(4; -3)$, $\vec{n}(-8; 6)$, $\vec{p}(12; -9)$, $\vec{k}(-0.8; 0.6)$ укажите пары:

1) сонаправленных векторов;

2) противоположно направленных векторов.

Два вектора $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ коллинеарны, если существует такое число $k$, что их координаты пропорциональны: $x_2 = k \cdot x_1$ и $y_2 = k \cdot y_1$, или, что то же самое, $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$.

Если коэффициент пропорциональности $k > 0$, то векторы сонаправлены (направлены в одну сторону).

Если коэффициент пропорциональности $k < 0$, то векторы противоположно направлены (направлены в противоположные стороны).

Рассмотрим данные векторы: $\vec{m}(4; -3)$, $\vec{n}(-8; 6)$, $\vec{p}(12; -9)$, $\vec{k}(-0,8; 0,6)$.

1) сонаправленных векторов

Найдём пары векторов, для которых коэффициент пропорциональности $k$ положителен.

Сравним векторы $\vec{m}(4; -3)$ и $\vec{p}(12; -9)$.
Проверим пропорциональность их координат: $\frac{12}{4} = 3$ и $\frac{-9}{-3} = 3$.
Коэффициент $k = 3$. Так как $k > 0$, векторы $\vec{m}$ и $\vec{p}$ сонаправлены.

Сравним векторы $\vec{n}(-8; 6)$ и $\vec{k}(-0,8; 0,6)$.
Проверим пропорциональность их координат: $\frac{-0,8}{-8} = 0,1$ и $\frac{0,6}{6} = 0,1$.
Коэффициент $k = 0,1$. Так как $k > 0$, векторы $\vec{n}$ и $\vec{k}$ сонаправлены.

Ответ: $\vec{m}$ и $\vec{p}$; $\vec{n}$ и $\vec{k}$.

2) противоположно направленных векторов

Найдём пары векторов, для которых коэффициент пропорциональности $k$ отрицателен.

Сравним векторы $\vec{m}(4; -3)$ и $\vec{n}(-8; 6)$.
Проверим пропорциональность их координат: $\frac{-8}{4} = -2$ и $\frac{6}{-3} = -2$.
Коэффициент $k = -2$. Так как $k < 0$, векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ противоположно направлены.

Сравним векторы $\vec{m}(4; -3)$ и $\vec{k}(-0,8; 0,6)$.
Проверим пропорциональность их координат: $\frac{-0,8}{4} = -0,2$ и $\frac{0,6}{-3} = -0,2$.
Коэффициент $k = -0,2$. Так как $k < 0$, векторы $\vec{m}$ и $\vec{k}$ противоположно направлены.

Сравним векторы $\vec{n}(-8; 6)$ и $\vec{p}(12; -9)$.
Проверим пропорциональность их координат: $\frac{12}{-8} = -1,5$ и $\frac{-9}{6} = -1,5$.
Коэффициент $k = -1,5$. Так как $k < 0$, векторы $\vec{n}$ и $\vec{p}$ противоположно направлены.

Сравним векторы $\vec{p}(12; -9)$ и $\vec{k}(-0,8; 0,6)$.
Проверим пропорциональность их координат: $\frac{-0,8}{12} = -\frac{8}{120} = -\frac{1}{15}$ и $\frac{0,6}{-9} = -\frac{6}{90} = -\frac{1}{15}$.
Коэффициент $k = -\frac{1}{15}$. Так как $k < 0$, векторы $\vec{p}$ и $\vec{k}$ противоположно направлены.

Ответ: $\vec{m}$ и $\vec{n}$; $\vec{m}$ и $\vec{k}$; $\vec{n}$ и $\vec{p}$; $\vec{p}$ и $\vec{k}$.

213. Даны вектор $ \vec{c}(3; -2) $ и точка $ M(-4; 5) $. Найдите координаты такой точки $ F $, чтобы векторы $ \vec{c} $ и $ \vec{FM} $ были противоположными.

213. Даны вектор $\vec{c}(3; -2)$ и точка $M(-4; 5)$. Найдите координаты такой точки $F$, чтобы векторы $\vec{c}$ и $\vec{FM}$ были противоположными.

По определению, два вектора являются противоположными, если их соответствующие координаты являются противоположными числами. То есть, если векторы $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ противоположны, то $x_1 = -x_2$ и $y_1 = -y_2$, что можно записать в виде равенства $\vec{a} = -\vec{b}$.

В нашем случае векторы $\vec{c}(3; -2)$ и $\vec{FM}$ противоположны, следовательно, $\vec{FM} = -\vec{c}$.

Найдем координаты вектора $-\vec{c}$:

$-\vec{c} = (-1 \cdot 3; -1 \cdot (-2)) = (-3; 2)$.

Пусть искомая точка $F$ имеет координаты $(x_F; y_F)$. Координаты точки $M$ даны: $M(-4; 5)$.

Координаты вектора $\vec{FM}$ находятся как разность соответствующих координат его конца (точки $M$) и начала (точки $F$):

$\vec{FM} = (x_M - x_F; y_M - y_F) = (-4 - x_F; 5 - y_F)$.

Так как $\vec{FM} = -\vec{c}$, мы можем приравнять их координаты:

$(-4 - x_F; 5 - y_F) = (-3; 2)$.

Это равенство справедливо, если равны соответствующие координаты векторов. Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} -4 - x_F = -3 \\ 5 - y_F = 2 \end{cases} $

Решим полученную систему уравнений:

Из первого уравнения находим $x_F$:

$-x_F = -3 + 4$

$-x_F = 1$

$x_F = -1$

Из второго уравнения находим $y_F$:

$-y_F = 2 - 5$

$-y_F = -3$

$y_F = 3$

Следовательно, координаты точки $F$ равны $(-1; 3)$.

Ответ: $F(-1; 3)$.

214. Найдите значение $n$, при котором векторы $\vec{a}(n; -8)$ и $\vec{b}(-4; -2)$ коллинеарны.

214. Найдите значение $n$, при котором векторы $\vec{a}(n; -8)$ и $\vec{b}(-4; -2)$ коллинеарны.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Условием коллинеарности для векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ является пропорциональность их соответствующих координат.

Это означает, что существует такое число k, что $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$, то есть $x_1 = k \cdot x_2$ и $y_1 = k \cdot y_2$.

Если координаты векторов не равны нулю, условие коллинеарности можно записать в виде равенства отношений соответствующих координат: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$

В нашем случае даны векторы $\vec{a}(n; -8)$ и $\vec{b}(-4; -2)$.

Подставим координаты этих векторов в условие коллинеарности: $\frac{n}{-4} = \frac{-8}{-2}$

Сначала вычислим значение дроби в правой части уравнения: $\frac{-8}{-2} = 4$

Теперь наше уравнение принимает вид: $\frac{n}{-4} = 4$

Чтобы найти n, умножим обе части уравнения на -4: $n = 4 \cdot (-4)$ $n = -16$

Следовательно, при $n = -16$ векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ будут коллинеарны.

Ответ: -16

215. Найдите координаты вектора, модуль которого равен 1 и который сонаправлен с вектором:

1) $ \vec{a}(-6; 8); $

2) $ \vec{c}(p; -k). $

215. Найдите координаты вектора, модуль которого равен 1 и который сонаправлен с вектором:

1) $\vec{a}(-6; 8);$

2) $\vec{c}(p; -k).$

Чтобы найти координаты вектора, модуль которого равен 1 и который сонаправлен с данным вектором, необходимо найти единичный вектор (орт) этого вектора. Для этого нужно разделить каждую координату данного вектора на его модуль (длину).

Общая формула для нахождения единичного вектора $\vec{e}$, сонаправленного с вектором $\vec{v}(x, y)$, выглядит так:

$\vec{e} = (\frac{x}{|\vec{v}|}; \frac{y}{|\vec{v}|})$, где $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ - модуль вектора $\vec{v}$.

1) $\vec{a}(-6; 8);$

Сначала найдем модуль вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}| = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Теперь найдем координаты искомого вектора, разделив координаты вектора $\vec{a}$ на его модуль:

$(\frac{-6}{10}; \frac{8}{10}) = (-0.6; 0.8)$.

Проверим, что модуль полученного вектора равен 1:

$\sqrt{(-0.6)^2 + (0.8)^2} = \sqrt{0.36 + 0.64} = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: $(-0.6; 0.8)$.

2) $\vec{c}(p; -k).$

Найдем модуль вектора $\vec{c}$. Предполагается, что вектор $\vec{c}$ не является нулевым, то есть $p$ и $k$ одновременно не равны нулю, чтобы его направление было определено.

$|\vec{c}| = \sqrt{p^2 + (-k)^2} = \sqrt{p^2 + k^2}$.

Разделим каждую координату вектора $\vec{c}$ на его модуль, чтобы найти координаты искомого единичного вектора:

$(\frac{p}{\sqrt{p^2 + k^2}}; \frac{-k}{\sqrt{p^2 + k^2}})$.

Ответ: $(\frac{p}{\sqrt{p^2 + k^2}}; \frac{-k}{\sqrt{p^2 + k^2}})$.

216. Найдите координаты вектора $\vec{c}$, коллинеарного вектору $\vec{p}(12; -5)$, если $|\vec{c}| = 26$.

1) $a(6, 8)$,

2) $c(p, n).$

216. Найдите координаты вектора $c$, коллинеарного вектору $\vec{p}(12; -5)$, если $|\vec{c}| = 26$.

По условию, вектор $\vec{c}$ коллинеарен вектору $\vec{p}(12; -5)$.

Условие коллинеарности двух векторов означает, что один вектор можно получить из другого умножением на некоторое число $k$. То есть, существует такое число $k \neq 0$, что выполняется равенство:

$\vec{c} = k \cdot \vec{p}$

Пусть координаты вектора $\vec{c}$ равны $(x_c; y_c)$. Тогда, используя координаты вектора $\vec{p}$, мы можем выразить координаты вектора $\vec{c}$ через $k$:

$(x_c; y_c) = k \cdot (12; -5) = (12k; -5k)$

В задаче также дано, что длина (модуль) вектора $\vec{c}$ равна 26, то есть $|\vec{c}| = 26$.

Длина вектора с координатами $(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Применим эту формулу для вектора $\vec{c}$:

$|\vec{c}| = \sqrt{(x_c)^2 + (y_c)^2} = \sqrt{(12k)^2 + (-5k)^2}$

Теперь составим уравнение, подставив известное значение длины вектора $\vec{c}$:

$26 = \sqrt{(12k)^2 + (-5k)^2}$

Чтобы решить это уравнение, возведем обе его части в квадрат:

$26^2 = (\sqrt{(12k)^2 + (-5k)^2})^2$

$676 = (12k)^2 + (-5k)^2$

$676 = 144k^2 + 25k^2$

$676 = 169k^2$

Найдем $k^2$:

$k^2 = \frac{676}{169}$

$k^2 = 4$

Из этого уравнения следуют два возможных значения для $k$:

$k_1 = \sqrt{4} = 2$

$k_2 = -\sqrt{4} = -2$

Это означает, что существуют два вектора, которые удовлетворяют условиям задачи: один сонаправленный с вектором $\vec{p}$ (при $k > 0$), и другой, направленный противоположно вектору $\vec{p}$ (при $k < 0$).

Найдем координаты вектора $\vec{c}$ для каждого из найденных значений $k$:

1. Если $k = 2$:

$\vec{c}_1 = (12 \cdot 2; -5 \cdot 2) = (24; -10)$

2. Если $k = -2$:

$\vec{c}_2 = (12 \cdot (-2); -5 \cdot (-2)) = (-24; 10)$

Таким образом, мы нашли две пары координат, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: $(24; -10)$ или $(-24; 10)$.

217. Докажите, что четырёхугольник $MPFK$ с вершинами в точках $M(-2; 3)$, $P(4; 6)$, $F(4; 1)$ и $K(-4; -3)$ является трапецией.

217. Докажите, что четырёхугольник $MPFK$ с вершинами в точках $M (-2; 3)$, $P (4; 6)$, $F (4; 1)$ и $K (-4; -3)$ является трапецией.

Трапеция — это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие — не параллельны. Чтобы доказать, что четырехугольник MPFK является трапецией, необходимо проверить параллельность его противоположных сторон. Две прямые на плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент $k$ прямой, проходящей через точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, вычисляется по формуле:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Найдем угловые коэффициенты для каждой из сторон четырехугольника MPFK с вершинами в точках M(-2; 3), P(4; 6), F(4; 1) и K(-4; -3).

1. Для стороны MP, проходящей через точки M(-2; 3) и P(4; 6):
$k_{MP} = \frac{6 - 3}{4 - (-2)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

2. Для стороны FK, проходящей через точки F(4; 1) и K(-4; -3):
$k_{FK} = \frac{-3 - 1}{-4 - 4} = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2}$

Поскольку угловые коэффициенты сторон MP и FK равны ($k_{MP} = k_{FK} = 1/2$), эти стороны параллельны ($MP \parallel FK$).

Теперь проверим две другие противоположные стороны, PF и KM.

3. Для стороны PF, проходящей через точки P(4; 6) и F(4; 1):
$k_{PF} = \frac{1 - 6}{4 - 4} = \frac{-5}{0}$.
Деление на ноль означает, что угловой коэффициент не определен. Прямая PF является вертикальной, так как абсциссы точек P и F одинаковы ($x=4$).

4. Для стороны KM, проходящей через точки K(-4; -3) и M(-2; 3):
$k_{KM} = \frac{3 - (-3)}{-2 - (-4)} = \frac{3 + 3}{-2 + 4} = \frac{6}{2} = 3$

Угловой коэффициент стороны KM равен 3, а сторона PF является вертикальной. Следовательно, стороны PF и KM не параллельны.

Таким образом, в четырехугольнике MPFK есть ровно одна пара параллельных сторон (MP и FK). По определению, такой четырехугольник является трапецией.

Ответ: что и требовалось доказать.

218. Лежат ли точки $D (4; -2)$, $E (5; 1)$ и $F (7; 7)$ на одной прямой?

218. Лежат ли точки $D(4; -2)$, $E(5; 1)$ и $F(7; 7)$ на одной прямой?

Чтобы определить, лежат ли три точки на одной прямой, можно составить уравнение прямой, проходящей через две из этих точек, а затем проверить, удовлетворяют ли координаты третьей точки этому уравнению.

1. Нахождение уравнения прямой, проходящей через точки D и E.

Возьмем точки $D(4; -2)$ и $E(5; 1)$. Уравнение прямой в общем виде выглядит как $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член.

Подставим координаты точек $D$ и $E$ в уравнение прямой, чтобы составить систему уравнений:

Для точки $D(4; -2)$: $-2 = k \cdot 4 + b$

Для точки $E(5; 1)$: $1 = k \cdot 5 + b$

Получаем систему:

$\begin{cases} 4k + b = -2 \\ 5k + b = 1 \end{cases}$

Решим эту систему. Вычтем первое уравнение из второго:

$(5k + b) - (4k + b) = 1 - (-2)$

$5k + b - 4k - b = 3$

$k = 3$

Теперь подставим найденное значение $k=3$ в первое уравнение, чтобы найти $b$:

$4 \cdot 3 + b = -2$

$12 + b = -2$

$b = -2 - 12$

$b = -14$

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки $D$ и $E$, имеет вид: $y = 3x - 14$.

2. Проверка принадлежности точки F полученной прямой.

Теперь проверим, принадлежит ли точка $F(7; 7)$ этой прямой. Для этого подставим ее координаты ($x=7$, $y=7$) в полученное уравнение:

$7 = 3 \cdot 7 - 14$

$7 = 21 - 14$

$7 = 7$

Равенство верное, следовательно, точка $F$ лежит на прямой, проходящей через точки $D$ и $E$.

Поскольку все три точки принадлежат одной и той же прямой $y = 3x - 14$, они лежат на одной прямой.

Ответ: Да, точки D, E и F лежат на одной прямой.

219. В трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) $BC = 4$, $AD = 9$, $M$ — точка пересечения продолжений боковых сторон. Найдите такое число $x$, что:

1) $\overrightarrow{BM} = x \cdot \overrightarrow{AB}$; 2) $\overrightarrow{MC} = x \cdot \overrightarrow{DM}$.

219. В трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) $BC = 4, AD = 9, M$ — точка пересечения продолжений боковых сторон. Найдите такое число $x$, что:

1) $\overrightarrow{BM} = x \cdot \overrightarrow{AB}$;

2) $\overrightarrow{MC} = x \cdot \overrightarrow{DM}$.

Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой основания $BC \parallel AD$. Точка $M$ является точкой пересечения продолжений боковых сторон $AB$ и $CD$. Так как прямые $BC$ и $AD$ параллельны, а $AM$ и $DM$ — секущие, то образуются равные соответственные углы: $\angle MBC = \angle MAD$ и $\angle MCB = \angle MDA$. Угол при вершине $M$ ($\angle BMC$) является общим для треугольников $\triangle MBC$ и $\triangle MAD$. Следовательно, треугольник $\triangle MBC$ подобен треугольнику $\triangle MAD$ по двум (и, соответственно, трём) углам.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия $k$: $ k = \frac{MB}{MA} = \frac{MC}{MD} = \frac{BC}{AD} $ Подставив данные из условия задачи $BC = 4$ и $AD = 9$, получаем: $ k = \frac{4}{9} $ Таким образом, мы имеем следующие соотношения: $ \frac{MB}{MA} = \frac{4}{9} $ и $ \frac{MC}{MD} = \frac{4}{9} $

1) $\vec{BM} = x \cdot \vec{AB}$

Точки $A$, $B$ и $M$ лежат на одной прямой, причем точка $B$ находится между $A$ и $M$. Следовательно, векторы $\vec{AB}$ (направленный от $A$ к $B$) и $\vec{BM}$ (направленный от $B$ к $M$) сонаправлены, а значит, искомое число $x$ будет положительным. Из соотношения $ \frac{MB}{MA} = \frac{4}{9} $ выразим длину отрезка $MB$. Длина отрезка $MA$ равна сумме длин отрезков $MB$ и $AB$, то есть $MA = MB + AB$. Подставим это в пропорцию: $ \frac{MB}{MB + AB} = \frac{4}{9} $ $ 9 \cdot MB = 4 \cdot (MB + AB) $ $ 9 \cdot MB = 4 \cdot MB + 4 \cdot AB $ $ 5 \cdot MB = 4 \cdot AB $ $ MB = \frac{4}{5} AB $ Поскольку векторы $\vec{BM}$ и $\vec{AB}$ сонаправлены, их длины относятся так же, как и сами векторы: $ \vec{BM} = \frac{4}{5} \vec{AB} $ Сравнивая это выражение с исходным $\vec{BM} = x \cdot \vec{AB}$, находим значение $x$.
Ответ: $x = \frac{4}{5}$.

2) $\vec{MC} = x \cdot \vec{DM}$

Точки $M$, $C$ и $D$ лежат на одной прямой. Рассмотрим векторы $\vec{MC}$ и $\vec{DM}$. Вектор $\vec{MC}$ направлен от точки $M$ к точке $C$. Вектор $\vec{DM}$ направлен от точки $D$ к точке $M$. Так как точка $C$ лежит между $M$ и $D$, эти векторы направлены в противоположные стороны. Следовательно, искомое число $x$ будет отрицательным. Из подобия треугольников мы знаем, что $ \frac{MC}{MD} = \frac{4}{9} $. Это означает, что длина вектора $\vec{MC}$ составляет $\frac{4}{9}$ от длины вектора $\vec{MD}$. $ |\vec{MC}| = \frac{4}{9} |\vec{MD}| $ Так как $\vec{MD}$ и $\vec{DM}$ — это один и тот же отрезок, их длины равны: $|\vec{MD}| = |\vec{DM}|$. $ |\vec{MC}| = \frac{4}{9} |\vec{DM}| $ Учитывая, что векторы $\vec{MC}$ и $\vec{DM}$ противоположно направлены, векторное равенство будет выглядеть так: $ \vec{MC} = -\frac{4}{9} \vec{DM} $ Сравнивая это выражение с исходным $\vec{MC} = x \cdot \vec{DM}$, находим значение $x$.
Ответ: $x = -\frac{4}{9}$.

220. Даны векторы $\vec{a}(2; -4)$, $\vec{b}(3; -5)$ и $\vec{k}(5; -7)$. Найдите такие числа x и y, что $\vec{k} = x\vec{a} + y\vec{b}$.

220. Даны векторы $\vec{a}(2; -4)$, $\vec{b}(3; -5)$ и $\vec{k}(5; -7)$. Найдите такие числа $x$ и $y$, что $\vec{k} = x\vec{a} + y\vec{b}$.

По условию задачи нам нужно найти такие числа $x$ и $y$, для которых выполняется векторное равенство $\vec{k} = x\vec{a} + y\vec{b}$.

Подставим координаты данных векторов $\vec{a}(2; -4)$, $\vec{b}(3; -5)$ и $\vec{k}(5; -7)$ в это равенство.

Сначала вычислим правую часть уравнения в координатах:
$x\vec{a} + y\vec{b} = x(2; -4) + y(3; -5) = (2x; -4x) + (3y; -5y) = (2x + 3y; -4x - 5y)$

Теперь приравняем координаты вектора $\vec{k}$ и полученного вектора:
$(5; -7) = (2x + 3y; -4x - 5y)$

Равенство векторов означает равенство их соответствующих координат. Это приводит нас к системе двух линейных уравнений с двумя переменными $x$ и $y$:
$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ -4x - 5y = -7 \end{cases}$

Для решения этой системы воспользуемся методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными числами:
$2 \cdot (2x + 3y) = 2 \cdot 5$
$4x + 6y = 10$

Теперь сложим это новое уравнение со вторым уравнением системы:
$(4x + 6y) + (-4x - 5y) = 10 + (-7)$
$4x - 4x + 6y - 5y = 3$
$y = 3$

Подставим найденное значение $y=3$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $x$:
$2x + 3(3) = 5$
$2x + 9 = 5$
$2x = 5 - 9$
$2x = -4$
$x = -2$

Таким образом, искомые числа равны $x = -2$ и $y = 3$.

Ответ: $x = -2, y = 3$.