Страница 65 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

279. Найдите координаты точки C, симметричной точке $A(2; -4)$ относительно точки $B(3; 5)$.

279. Найдите координаты точки $C$, симметричной точке $A(2; -4)$ относительно точки $B(3; 5)$.

Поскольку точка C симметрична точке A относительно точки B, это означает, что точка B является серединой отрезка AC.

Нам даны координаты точек $A(x_A; y_A) = (2; -4)$ и $B(x_B; y_B) = (3; 5)$. Обозначим координаты искомой точки C как $(x_C; y_C)$.

Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов. Таким образом, для координат точки B справедливы следующие формулы:

$x_B = \frac{x_A + x_C}{2}$

$y_B = \frac{y_A + y_C}{2}$

Теперь подставим известные значения и найдем неизвестные координаты точки C.

Для координаты x:

$3 = \frac{2 + x_C}{2}$

$3 \cdot 2 = 2 + x_C$

$6 = 2 + x_C$

$x_C = 6 - 2 = 4$

Для координаты y:

$5 = \frac{-4 + y_C}{2}$

$5 \cdot 2 = -4 + y_C$

$10 = -4 + y_C$

$y_C = 10 + 4 = 14$

Следовательно, координаты точки C равны (4; 14).

Ответ: C(4; 14).

280. Точки $A(5; y)$ и $B(x; -7)$ симметричны относительно точки $P(3; -8)$. Найдите $x$ и $y$.

280. Точки $A (5; y)$ и $B (x; -7)$ симметричны относительно
точки $P (3; -8)$. Найдите $x$ и $y$.

Поскольку точки A$(5; y)$ и B$(x; -7)$ симметричны относительно точки P$(3; -8)$, это означает, что точка P является серединой отрезка AB. Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое соответствующих координат его концов.

Формулы для координат $(x_P; y_P)$ середины отрезка с концами в точках A$(x_A; y_A)$ и B$(x_B; y_B)$ имеют вид:

$x_P = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_P = \frac{y_A + y_B}{2}$

Подставим известные значения в эти формулы, чтобы найти $x$ и $y$.

Для координаты x:
$3 = \frac{5 + x}{2}$
Умножим обе части уравнения на 2:
$6 = 5 + x$
$x = 6 - 5$
$x = 1$

Для координаты y:
$-8 = \frac{y + (-7)}{2}$
Умножим обе части уравнения на 2:
$-16 = y - 7$
$y = -16 + 7$
$y = -9$

Ответ: $x = 1, y = -9$.

281. Запишите уравнение окружности, симметричной окружности $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 7$ относительно:

1) начала координат;

2) точки $M (0; 3)$.

281. Запишите уравнение окружности, симметричной окруж-ности $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 7$ относительно:

1) начала координат;

2) точки $M (0; 3)$.

Исходное уравнение окружности: $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 7$.

Это уравнение окружности в каноническом виде $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ - координаты центра, а $R$ - радиус.

Следовательно, центр данной окружности — точка C с координатами $(2; -3)$, а квадрат ее радиуса $R^2 = 7$.

При симметричном отображении окружности относительно точки ее радиус не изменяется, изменяется только положение ее центра. Новый центр будет симметричен исходному центру относительно заданной точки. Таким образом, искомая окружность будет иметь тот же радиус, то есть $R^2 = 7$. Наша задача — найти координаты нового центра C' в каждом из случаев.

1) начала координат

Найдем координаты центра C' $(x'; y')$, симметричного центру C $(2; -3)$ относительно начала координат O $(0; 0)$. Точка O является серединой отрезка CC'. Воспользуемся формулами для нахождения координат середины отрезка:

$x_O = \frac{x_C + x'}{2}$ и $y_O = \frac{y_C + y'}{2}$

Подставим известные значения координат точек C и O:

$0 = \frac{2 + x'}{2} \Rightarrow 2 + x' = 0 \Rightarrow x' = -2$

$0 = \frac{-3 + y'}{2} \Rightarrow -3 + y' = 0 \Rightarrow y' = 3$

Таким образом, новый центр C' имеет координаты $(-2; 3)$.

Теперь запишем уравнение окружности с центром в точке C' $(-2; 3)$ и квадратом радиуса $R^2 = 7$:

$(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 7$

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 7$

Ответ: $(x+2)^2 + (y-3)^2 = 7$

2) точки M (0; 3)

Найдем координаты центра C' $(x'; y')$, симметричного центру C $(2; -3)$ относительно точки M $(0; 3)$. Точка M является серединой отрезка CC'. Воспользуемся теми же формулами для координат середины отрезка:

$x_M = \frac{x_C + x'}{2}$ и $y_M = \frac{y_C + y'}{2}$

Подставим известные значения координат точек C и M:

$0 = \frac{2 + x'}{2} \Rightarrow 2 + x' = 0 \Rightarrow x' = -2$

$3 = \frac{-3 + y'}{2} \Rightarrow 6 = -3 + y' \Rightarrow y' = 9$

Таким образом, новый центр C' имеет координаты $(-2; 9)$.

Теперь запишем уравнение окружности с центром в точке C' $(-2; 9)$ и квадратом радиуса $R^2 = 7$:

$(x - (-2))^2 + (y - 9)^2 = 7$

$(x + 2)^2 + (y - 9)^2 = 7$

Ответ: $(x+2)^2 + (y-9)^2 = 7$

282. На рисунке 51 точки $A$ и $E$ симметричны относительно точки $F$, лежащей на стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$. Докажите, что точки $E$ и $D$ симметричны относительно точки $C$.

282. На рисунке 51 точки $A$ и $E$ симметричны относительно точки $F$, лежащей на стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$. Докажите, что точки $E$ и $D$ симметричны относительно точки $C$.

Доказательство:

Для того чтобы доказать, что точки $E$ и $D$ симметричны относительно точки $C$, нам необходимо показать, что точка $C$ является серединой отрезка $ED$.

Воспользуемся методом векторов. Условие, что точка $C$ является серединой отрезка $ED$, в векторной форме записывается как:

$\vec{c} = \frac{\vec{e} + \vec{d}}{2}$

где $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$, $\vec{e}$, $\vec{f}$ — радиус-векторы точек $A, B, C, D, E, F$ соответственно. Наша задача — доказать, что $2\vec{c} = \vec{e} + \vec{d}$.

Из условий задачи мы можем составить следующие векторные равенства:

1. $ABCD$ — параллелограмм. Одно из свойств параллелограмма заключается в том, что сумма радиус-векторов противоположных вершин равна. То есть, $\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$. Из этого равенства выразим вектор $\vec{d}$:

$\vec{d} = \vec{a} + \vec{c} - \vec{b}$

2. Точки $A$ и $E$ симметричны относительно точки $F$. Это означает, что $F$ — середина отрезка $AE$. В векторной форме:

$\vec{f} = \frac{\vec{a} + \vec{e}}{2}$, откуда $\vec{e} = 2\vec{f} - \vec{a}$.

3. Точка $F$ лежит на стороне $BC$. Это означает, что вектор $\vec{BF}$ коллинеарен вектору $\vec{BC}$. То есть существует такое число $k \in [0, 1]$, что $\vec{BF} = k \cdot \vec{BC}$. В радиус-векторах:

$\vec{f} - \vec{b} = k(\vec{c} - \vec{b})$, откуда $\vec{f} = \vec{b} + k(\vec{c} - \vec{b}) = (1-k)\vec{b} + k\vec{c}$.

Теперь подставим выражения для $\vec{e}$ и $\vec{d}$ в равенство, которое мы хотим доказать ($2\vec{c} = \vec{e} + \vec{d}$):

$ \vec{e} + \vec{d} = (2\vec{f} - \vec{a}) + (\vec{a} + \vec{c} - \vec{b}) = 2\vec{f} + \vec{c} - \vec{b} $

Теперь подставим в это выражение радиус-вектор точки $F$ из пункта 3:

$ \vec{e} + \vec{d} = 2((1-k)\vec{b} + k\vec{c}) + \vec{c} - \vec{b} $

$ \vec{e} + \vec{d} = (2-2k)\vec{b} + 2k\vec{c} + \vec{c} - \vec{b} $

$ \vec{e} + \vec{d} = (2-2k-1)\vec{b} + (2k+1)\vec{c} $

$ \vec{e} + \vec{d} = (1-2k)\vec{b} + (1+2k)\vec{c} $

Мы хотели доказать, что $\vec{e} + \vec{d} = 2\vec{c}$. Сравним полученное выражение с целевым:

$ (1-2k)\vec{b} + (1+2k)\vec{c} = 2\vec{c} $

$ (1-2k)\vec{b} + (1+2k-2)\vec{c} = \vec{0} $

$ (1-2k)\vec{b} + (2k-1)\vec{c} = \vec{0} $

$ (1-2k)\vec{b} - (1-2k)\vec{c} = \vec{0} $

$ (1-2k)(\vec{b} - \vec{c}) = \vec{0} $

$ (1-2k)\vec{CB} = \vec{0} $

Так как $ABCD$ — параллелограмм, вектор $\vec{CB}$ не является нулевым вектором. Следовательно, для выполнения этого равенства необходимо, чтобы числовой коэффициент был равен нулю:

$1-2k=0 \implies k = \frac{1}{2}$

Значение $k = \frac{1}{2}$ означает, что $\vec{BF} = \frac{1}{2}\vec{BC}$, то есть $F$ является серединой стороны $BC$.

Таким образом, утверждение задачи справедливо только в том случае, если точка $F$ является серединой стороны $BC$. Вероятно, это условие подразумевается в задаче или опущено в её формулировке. Принимая это условие, доказательство становится верным.

Ответ: Утверждение доказано при условии, что $F$ — середина стороны $BC$.

283. Запишите уравнение прямой, симметричной прямой $3x - 4y = 9$ относительно:

1) начала координат;

2) точки $M (-1; -2)$.

283. Запишите уравнение прямой, симметричной прямой $3x - 4y = 9$ относительно:

1) начала координат;

2) точки M $(-1; -2)$.

Чтобы найти уравнение прямой, симметричной данной прямой относительно точки, можно воспользоваться тем фактом, что искомая прямая будет параллельна исходной. Исходная прямая $L_1$ задана уравнением $3x - 4y = 9$. Любая прямая, параллельная ей, будет иметь уравнение вида $3x - 4y = C$, где $C$ — некоторая константа. Наша задача — найти значение $C$ для каждого случая.

1) начала координат

Найдем уравнение прямой $L_2$, симметричной прямой $L_1$ относительно начала координат $O(0; 0)$.

1. Выберем произвольную точку на исходной прямой $L_1$. Пусть $x = 3$. Подставим это значение в уравнение:

$3(3) - 4y = 9$

$9 - 4y = 9$

$-4y = 0$, следовательно, $y = 0$.

Таким образом, точка $P_1(3; 0)$ лежит на прямой $L_1$.

2. Найдем точку $P_2(x_2, y_2)$, симметричную точке $P_1(3; 0)$ относительно начала координат. Координаты точки, симметричной относительно начала координат, имеют противоположные знаки:

$x_2 = -x_1 = -3$

$y_2 = -y_1 = -0 = 0$

Следовательно, симметричная точка — $P_2(-3; 0)$.

3. Эта точка $P_2(-3; 0)$ должна принадлежать искомой прямой $L_2$. Подставим ее координаты в уравнение $3x - 4y = C$:

$3(-3) - 4(0) = C$

$-9 - 0 = C$

$C = -9$

Итак, уравнение прямой, симметричной данной относительно начала координат, есть $3x - 4y = -9$.

Ответ: $3x - 4y = -9$

2) точки M (–1; –2)

Найдем уравнение прямой $L_3$, симметричной прямой $L_1$ относительно точки $M(-1; -2)$. Уравнение искомой прямой также будет иметь вид $3x - 4y = D$.

1. Используем ту же точку $P_1(3; 0)$, лежащую на исходной прямой $L_1$.

2. Найдем точку $P_3(x_3, y_3)$, симметричную точке $P_1(3; 0)$ относительно точки $M(-1; -2)$. Точка $M$ является серединой отрезка $P_1P_3$. Используем формулы координат середины отрезка:

$x_M = \frac{x_1 + x_3}{2} \implies -1 = \frac{3 + x_3}{2}$

$-2 = 3 + x_3 \implies x_3 = -5$

$y_M = \frac{y_1 + y_3}{2} \implies -2 = \frac{0 + y_3}{2}$

$-4 = 0 + y_3 \implies y_3 = -4$

Следовательно, симметричная точка — $P_3(-5; -4)$.

3. Эта точка $P_3(-5; -4)$ должна принадлежать искомой прямой $L_3$. Подставим ее координаты в уравнение $3x - 4y = D$:

$3(-5) - 4(-4) = D$

$-15 + 16 = D$

$D = 1$

Итак, уравнение прямой, симметричной данной относительно точки $M(-1; -2)$, есть $3x - 4y = 1$.

Ответ: $3x - 4y = 1$

284. Отметьте точки $M$ и $O$. Постройте образ точки $M$ при повороте вокруг центра $O$:

1) на угол $70^{\circ}$ против часовой стрелки;

2) на угол $110^{\circ}$ по часовой стрелке.

284. Отметьте точки $M$ и $O$. Постройте образ точки $M$ при повороте вокруг центра $O$:

1) на угол $70^\circ$ против часовой стрелки;

2) на угол $110^\circ$ по часовой стрелке.

Для выполнения построений сначала отметим на плоскости две произвольные точки: точку $M$ и центр поворота $O$.

Построение образа точки $M$, который мы назовём $M_1$, выполняется следующим образом:

1. Проведём луч $OM$.
2. С помощью транспортира отложим от луча $OM$ угол в $70^{\circ}$ в направлении против часовой стрелки. Построим второй луч, выходящий из точки $O$, который образует с лучом $OM$ указанный угол.
3. С помощью циркуля измерим длину отрезка $OM$.
4. На построенном во втором шаге луче отложим от точки $O$ отрезок, равный по длине отрезку $OM$. Конец этого отрезка и будет искомой точкой $M_1$.

В результате построения получена точка $M_1$ такая, что отрезок $OM_1$ равен отрезку $OM$ ($OM_1 = OM$), а угол $\angle MOM_1 = 70^{\circ}$ (поворот от луча $OM$ к лучу $OM_1$ выполнен против часовой стрелки).

Ответ: Построенная точка $M_1$ является образом точки $M$ при повороте вокруг центра $O$ на угол $70^{\circ}$ против часовой стрелки.

Построение образа точки $M$, который мы назовём $M_2$, выполняется аналогично:

1. Проведём луч $OM$.
2. С помощью транспортира отложим от луча $OM$ угол в $110^{\circ}$ в направлении по часовой стрелке. Построим второй луч, выходящий из точки $O$.
3. С помощью циркуля измерим длину отрезка $OM$.
4. На втором луче отложим от точки $O$ отрезок, равный по длине отрезку $OM$. Конец этого отрезка обозначим как точку $M_2$.

В результате построения получена точка $M_2$ такая, что отрезок $OM_2$ равен отрезку $OM$ ($OM_2 = OM$), а угол $\angle MOM_2 = 110^{\circ}$ (поворот от луча $OM$ к лучу $OM_2$ выполнен по часовой стрелке).

Ответ: Построенная точка $M_2$ является образом точки $M$ при повороте вокруг центра $O$ на угол $110^{\circ}$ по часовой стрелке.

285. Даны отрезок $AB$ и точка $O$ (рис. 52). Постройте образ отрезка $AB$ при повороте на угол $60^\circ$ вокруг центра $O$ против часовой стрелки.

Рис. 52

285. Даны отрезок $AB$ и точка $O$ (рис. 52). Постройте образ отрезка $AB$ при повороте на угол $60^\circ$ вокруг центра $O$ против часовой стрелки.

Рис. 52

Для того чтобы построить образ отрезка AB при повороте на 60° против часовой стрелки вокруг центра O, необходимо выполнить поворот его конечных точек, A и B, а затем соединить полученные образы A' и B'. Решение состоит из двух частей: геометрического построения и аналитического расчета для нахождения точных координат.

Этот метод описывает последовательность действий с использованием циркуля, линейки и транспортира для построения искомого отрезка.

1. Построение точки A' (образа точки A)

   Соедините центр вращения O с точкой A отрезком OA. От луча OA отложите с помощью транспортира угол, равный 60°, в направлении против часовой стрелки. На полученном новом луче отложите с помощью циркуля отрезок OA', равный по длине отрезку OA. Полученная точка A' является образом точки A.

2. Построение точки B' (образа точки B)

   Выполните аналогичные действия для точки B. Соедините O и B. От луча OB отложите угол 60° против часовой стрелки. На новом луче отложите отрезок OB', равный по длине отрезку OB. Точка B' — это образ точки B.

3. Построение отрезка A'B'

   Соедините точки A' и B' прямой линией. Отрезок A'B' является искомым образом отрезка AB при заданном повороте.

Чтобы найти точное положение точек A' и B', введем декартову систему координат.

• Примем точку O за начало координат $(0, 0)$, а сторону одной клетки сетки за единицу длины. Исходя из рисунка, определим координаты точек A и B:
  • $A(-2, 2)$
  • $B(-3, -1)$
• Воспользуемся формулами поворота точки $(x, y)$ на угол $\alpha$ против часовой стрелки вокруг начала координат:

  $x' = x \cos(\alpha) - y \sin(\alpha)$
  $y' = x \sin(\alpha) + y \cos(\alpha)$

• Для угла поворота $\alpha = 60°$ значения синуса и косинуса равны:

  $\cos(60°) = \frac{1}{2}$
  $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

• Вычислим координаты точки A':

  $x_{A'} = (-2) \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -1 - \sqrt{3}$
  $y_{A'} = (-2) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 - \sqrt{3}$

  Таким образом, координаты точки $A'$ равны $(-1 - \sqrt{3}; 1 - \sqrt{3})$.

• Вычислим координаты точки B':

  $x_{B'} = (-3) \cdot \frac{1}{2} - (-1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{-3+\sqrt{3}}{2}$
  $y_{B'} = (-3) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + (-1) \cdot \frac{1}{2} = \frac{-3\sqrt{3}-1}{2}$

  Таким образом, координаты точки $B'$ равны $(\frac{\sqrt{3}-3}{2}; -\frac{3\sqrt{3}+1}{2})$.

Ответ: Искомый образ — это отрезок A'B', соединяющий точки $A'(-1 - \sqrt{3}; 1 - \sqrt{3})$ и $B'(\frac{\sqrt{3}-3}{2}; -\frac{3\sqrt{3}+1}{2})$.

286. Точка $O$ — центр правильного треугольника $\triangle ABC$ (рис. 53). Укажите образы точек $A$, $M$, $O$, стороны $AC$, отрезка $OK$ при повороте вокруг точки $O$ по часовой стрелке на угол $120^\circ$.

Рис. 53

286. Точка $O$ — центр правильного треугольника $ABC$ (рис. 53). Укажите образы точек $A$, $M$, $O$, стороны $AC$, отрезка $OK$ при повороте вокруг точки $O$ по часовой стрелке на угол $120^\circ$.

Рис. 53

Поскольку треугольник $ABC$ является правильным (равносторонним), его центр $O$ — это точка пересечения медиан, биссектрис и высот. Эта точка также является центром вписанной и описанной окружностей. Следовательно, расстояния от центра до вершин равны: $OA = OB = OC$. Углы между отрезками, соединяющими центр с вершинами, также равны: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COA = 360^\circ / 3 = 120^\circ$. Поворот по часовой стрелке вокруг центра $O$ на $120^\circ$ будет отображать вершины следующим образом: $A \to C$, $C \to B$, $B \to A$. Точки $K, M, D$ являются серединами сторон $AB, BC, AC$ соответственно.

При повороте точки $A$ вокруг центра $O$ на угол $120^\circ$ по часовой стрелке она перейдет в такую точку $A'$, что $OA' = OA$ и угол между векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OA'}$ составляет $120^\circ$ по часовой стрелке. В треугольнике $ABC$ этим условиям удовлетворяет точка $C$, так как $OC = OA$ и $\angle AOC = 120^\circ$.

Ответ: точка $C$.

Точка $M$ является серединой стороны $BC$. Чтобы найти образ точки $M$, найдем образы конечных точек отрезка $BC$ при заданном повороте. Вершина $B$ переходит в вершину $A$, а вершина $C$ переходит в вершину $B$. Следовательно, сторона $BC$ переходит в сторону $AB$. Поскольку поворот является движением (изометрией), он сохраняет середины отрезков. Это означает, что середина стороны $BC$ (точка $M$) перейдет в середину стороны $AB$. Серединой стороны $AB$ является точка $K$.

Ответ: точка $K$.

Точка $O$ является центром поворота. По определению, центр поворота является неподвижной точкой, то есть при повороте она отображается сама на себя.

Ответ: точка $O$.

Образ отрезка определяется образами его концов. При повороте на $120^\circ$ по часовой стрелке вокруг точки $O$ точка $A$ переходит в точку $C$, а точка $C$ переходит в точку $B$. Таким образом, сторона $AC$ переходит в сторону $CB$.

Ответ: сторона $CB$.

Чтобы найти образ отрезка $OK$, найдем образы его конечных точек $O$ и $K$. Образом точки $O$ является сама точка $O$. Точка $K$ является серединой стороны $AB$. Найдем образ стороны $AB$. Образом точки $A$ является точка $C$, а образом точки $B$ является точка $A$. Следовательно, сторона $AB$ переходит в сторону $CA$. Так как поворот сохраняет середины отрезков, середина $AB$ (точка $K$) переходит в середину $CA$. Серединой стороны $AC$ (или $CA$) является точка $D$. Таким образом, точка $K$ переходит в точку $D$, а отрезок $OK$ переходит в отрезок $OD$.

Ответ: отрезок $OD$.

287. Проведите луч $OB$. Постройте образ этого луча при повороте на угол $50^\circ$ по часовой стрелке вокруг:
1) точки $K$, принадлежащей лучу;
2) точки $F$, не принадлежащей лучу.

287. Проведите луч OB. Постройте образ этого луча при повороте на угол $50^\circ$ по часовой стрелке вокруг:

1) точки K, принадлежащей лучу;

2) точки F, не принадлежащей лучу.

Для решения задачи сначала необходимо начертить произвольный луч $OB$. Построение его образа при повороте будет рассмотрено для двух случаев.

1) точки K, принадлежащей лучу

Для построения образа луча $OB$ при повороте на $50^\circ$ по часовой стрелке вокруг точки $K$, принадлежащей этому лучу, выполним следующие шаги:

1. На луче $OB$ отметим произвольную точку $K$, которая будет центром поворота. Для удобства построения выберем $K$ так, чтобы она не совпадала с точкой $O$.
2. Найдем образ $O'$ начальной точки луча $O$. Для этого:
   • Проведем отрезок $KO$.
   • С помощью транспортира построим угол $\angle OKO'$, равный $50^\circ$, откладывая его от луча $KO$ по часовой стрелке.
   • На луче $KO'$ отложим отрезок $KO'$, равный по длине отрезку $KO$. Точка $O'$ является образом точки $O$.
3. Поскольку точка $K$ является центром поворота и принадлежит лучу $OB$, ее образ совпадает с ней самой ($K' = K$). Образ точки $K$ должен принадлежать образу луча.
4. Образом луча $OB$ является луч, который начинается в точке $O'$ и проходит через точку $K$. Проведем луч $O'K$.

Ответ: Искомый образ луча $OB$ – это луч $O'K$, где точка $O'$ получена поворотом точки $O$ вокруг точки $K$ на $50^\circ$ по часовой стрелке.

2) точки F, не принадлежащей лучу

Для построения образа луча $OB$ при повороте на $50^\circ$ по часовой стрелке вокруг точки $F$, не принадлежащей этому лучу, выполним следующие шаги:

1. Вне луча $OB$ отметим произвольную точку $F$, которая будет центром поворота.
2. Чтобы построить образ луча, достаточно построить образы двух любых его точек. Возьмем начальную точку $O$ и любую другую точку $B$ на луче.
3. Построим образ $O'$ точки $O$:
   • Соединим центр поворота $F$ с точкой $O$ отрезком $FO$.
   • От луча $FO$ по часовой стрелке отложим с помощью транспортира угол $\angle OFO'$, равный $50^\circ$.
   • На новой стороне угла (луче $FO'$) отложим отрезок $FO'$, равный по длине отрезку $FO$. Точка $O'$ – образ точки $O$.
4. Аналогично построим образ $B'$ точки $B$:
   • Соединим центр поворота $F$ с точкой $B$ отрезком $FB$.
   • От луча $FB$ по часовой стрелке отложим угол $\angle BFB'$, равный $50^\circ$.
   • На новой стороне угла (луче $FB'$) отложим отрезок $FB'$, равный по длине отрезку $FB$. Точка $B'$ – образ точки $B$.
5. Проведем луч с началом в точке $O'$ через точку $B'$. Этот луч $O'B'$ и будет искомым образом луча $OB$.

Ответ: Искомый образ луча $OB$ – это луч $O'B'$, где точки $O'$ и $B'$ являются образами точек $O$ и $B$ соответственно при повороте на $50^\circ$ по часовой стрелке вокруг точки $F$.