Страница 60 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

231. Найдите координаты вектора, перпендикулярного вектору $ \vec{c}(3; -1) $, модуль которого в 2 раза больше модуля вектора $ \vec{c} $.

231. Найдите координаты вектора, перпендикулярного вектору $\vec{c}(3; -1)$, модуль которого в 2 раза больше модуля вектора $\vec{c}$.

Пусть искомый вектор имеет координаты $\vec{d}(x; y)$.

Согласно условию задачи, вектор $\vec{d}$ должен быть перпендикулярен вектору $\vec{c}(3; -1)$. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Выразим это условие в координатах:

$\vec{c} \cdot \vec{d} = 0$

$3 \cdot x + (-1) \cdot y = 0$

$3x - y = 0$

Из этого уравнения следует, что $y = 3x$. Таким образом, любой вектор, перпендикулярный $\vec{c}$, будет иметь координаты вида $(x; 3x)$.

Далее, по условию, модуль (длина) вектора $\vec{d}$ в 2 раза больше модуля вектора $\vec{c}$. Запишем это в виде формулы:

$|\vec{d}| = 2 \cdot |\vec{c}|$

Сначала найдем модуль вектора $\vec{c}$:

$|\vec{c}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

Теперь мы можем найти требуемый модуль вектора $\vec{d}$:

$|\vec{d}| = 2 \cdot \sqrt{10} = 2\sqrt{10}$

С другой стороны, модуль вектора $\vec{d}(x; 3x)$ можно выразить через его координату $x$:

$|\vec{d}| = \sqrt{x^2 + (3x)^2} = \sqrt{x^2 + 9x^2} = \sqrt{10x^2} = |x|\sqrt{10}$

Теперь приравняем два полученных выражения для модуля вектора $\vec{d}$:

$|x|\sqrt{10} = 2\sqrt{10}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{10}$:

$|x| = 2$

Это уравнение имеет два возможных решения для $x$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Найдем соответствующие координаты вектора $\vec{d}$ для каждого значения $x$:

1. Если $x = 2$, то $y = 3 \cdot 2 = 6$. Координаты первого возможного вектора: $(2; 6)$.

2. Если $x = -2$, то $y = 3 \cdot (-2) = -6$. Координаты второго возможного вектора: $(-2; -6)$.

Оба вектора удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: $(2; 6)$ или $(-2; -6)$.

232. Даны векторы $\vec{c}(1; -2)$ и $\vec{d}(3; 1)$. Найдите значение $n$, при котором векторы $n\vec{c} + \vec{d}$ и $\vec{c}$ перпендикулярны.

232. Даны векторы $\vec{c}(1; -2)$ и $\vec{d}(3; 1)$. Найдите значение $n$, при котором векторы $n\vec{c} + \vec{d}$ и $\vec{c}$ перпендикулярны.

Даны векторы $\vec{c}(1; -2)$ и $\vec{d}(3; 1)$. Два ненулевых вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Векторы $n\vec{c} + \vec{d}$ и $\vec{c}$ будут перпендикулярны, если выполняется условие: $(n\vec{c} + \vec{d}) \cdot \vec{c} = 0$.

Сначала найдем координаты вектора $n\vec{c} + \vec{d}$. 1. Найдем координаты вектора $n\vec{c}$: $n\vec{c} = n(1; -2) = (n \cdot 1; n \cdot (-2)) = (n; -2n)$. 2. Теперь найдем координаты суммы векторов $n\vec{c}$ и $\vec{d}$: $n\vec{c} + \vec{d} = (n; -2n) + (3; 1) = (n+3; -2n+1)$.

Теперь вычислим скалярное произведение векторов $n\vec{c} + \vec{d}$ и $\vec{c}$. Координаты вектора $\vec{c}$ равны $(1; -2)$, а координаты вектора $n\vec{c} + \vec{d}$ равны $(n+3; -2n+1)$. Скалярное произведение векторов с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $x_1x_2 + y_1y_2$. $(n\vec{c} + \vec{d}) \cdot \vec{c} = (n+3) \cdot 1 + (-2n+1) \cdot (-2) = 0$.

Решим полученное уравнение относительно $n$: $n + 3 - 2(-2n) - 2(1) = 0$ $n + 3 + 4n - 2 = 0$ $5n + 1 = 0$ $5n = -1$ $n = -\frac{1}{5}$ $n = -0.2$

Таким образом, при $n = -0.2$ векторы $n\vec{c} + \vec{d}$ и $\vec{c}$ перпендикулярны.

Ответ: $n = -0.2$.

233. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 5$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^\circ$. Найдите:

1) $|\vec{a} - \vec{b}|$;

2) $|\vec{a} + 3\vec{b}|$.

233. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $|\vec{a}|=4$, $|\vec{b}|=5$, $\angle(\vec{a}, \vec{b})=30^{\circ}$. Найдите:

1) $|\vec{a}-\vec{b}|;$

2) $|\vec{a}+3\vec{b}|.$

Для решения задачи воспользуемся свойством скалярного произведения векторов: квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату, то есть $|\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c}$. Зная это, мы можем найти квадрат искомого модуля, а затем извлечь из него квадратный корень.

Для вычислений нам понадобится скалярное произведение исходных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Найдем его по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.

Подставим данные из условия: $|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 5$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^\circ$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 5 \cdot \cos(30^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$.

1) Найдем $|\vec{a} - \vec{b}|$.

Возведем модуль в квадрат и раскроем скобки, используя дистрибутивность скалярного произведения:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b}$.

Учитывая, что скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$) и $\vec{c} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2$, получим:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$.

Подставим известные значения:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 4^2 - 2(10\sqrt{3}) + 5^2 = 16 - 20\sqrt{3} + 25 = 41 - 20\sqrt{3}$.

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти модуль вектора:

$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{41 - 20\sqrt{3}}$.

Ответ: $\sqrt{41 - 20\sqrt{3}}$.

2) Найдем $|\vec{a} + 3\vec{b}|$.

Действуем аналогично первому пункту. Возведем модуль в квадрат:

$|\vec{a} + 3\vec{b}|^2 = (\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 3\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot (3\vec{b}) + (3\vec{b}) \cdot \vec{a} + (3\vec{b}) \cdot (3\vec{b})$.

Используя свойства скалярного произведения, упростим выражение:

$|\vec{a} + 3\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 3(\vec{b} \cdot \vec{a}) + 9(\vec{b} \cdot \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{b}|^2$.

Подставим известные значения:

$|\vec{a} + 3\vec{b}|^2 = 4^2 + 6(10\sqrt{3}) + 9 \cdot 5^2 = 16 + 60\sqrt{3} + 9 \cdot 25 = 16 + 60\sqrt{3} + 225 = 241 + 60\sqrt{3}$.

Извлечем квадратный корень:

$|\vec{a} + 3\vec{b}| = \sqrt{241 + 60\sqrt{3}}$.

Ответ: $\sqrt{241 + 60\sqrt{3}}$.

234. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = 3\vec{k} + \vec{p}$ и $\vec{b} = \vec{k} - 2\vec{p}$, если $|\vec{k}| = |\vec{p}| = 1$ и $\vec{k} \perp \vec{p}$.

1) $\left| \vec{a} - \vec{b} \right|$,

2) $\left| \vec{a} + 3\vec{b} \right|$.

234. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = 3\vec{k} + \vec{p}$ и $\vec{b} = \vec{k} - 2\vec{p}$, если $\left| \vec{k} \right| = \left| \vec{p} \right| = 1$ и $\vec{k} \perp \vec{p}$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле скалярного произведения:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

Нам даны векторы $\vec{a} = 3\vec{k} + \vec{p}$ и $\vec{b} = \vec{k} - 2\vec{p}$.

Также известны следующие условия: $|\vec{k}| = |\vec{p}| = 1$ и $\vec{k} \perp \vec{p}$.

Условие перпендикулярности векторов $\vec{k}$ и $\vec{p}$ означает, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{k} \cdot \vec{p} = 0$.

Для нахождения косинуса угла нам нужно вычислить скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и их модули (длины).

1. Найдем скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3\vec{k} + \vec{p}) \cdot (\vec{k} - 2\vec{p})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3\vec{k} \cdot \vec{k} - 3\vec{k} \cdot (2\vec{p}) + \vec{p} \cdot \vec{k} - \vec{p} \cdot (2\vec{p}) = 3(\vec{k} \cdot \vec{k}) - 6(\vec{k} \cdot \vec{p}) + (\vec{p} \cdot \vec{k}) - 2(\vec{p} \cdot \vec{p})$

Используем то, что $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$ и $\vec{k} \cdot \vec{p} = 0$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3|\vec{k}|^2 - 6(0) + 0 - 2|\vec{p}|^2$

Подставим значения модулей $|\vec{k}|=1$ и $|\vec{p}|=1$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1^2 = 3 - 2 = 1$

2. Найдем модули векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$

Модуль вектора находится по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v}^2} = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}}$.

Для вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = (3\vec{k} + \vec{p}) \cdot (3\vec{k} + \vec{p}) = 9(\vec{k} \cdot \vec{k}) + 6(\vec{k} \cdot \vec{p}) + (\vec{p} \cdot \vec{p})$

$|\vec{a}|^2 = 9|\vec{k}|^2 + 6(0) + |\vec{p}|^2 = 9 \cdot 1^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$

Следовательно, $|\vec{a}| = \sqrt{10}$.

Для вектора $\vec{b}$:

$|\vec{b}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} = (\vec{k} - 2\vec{p}) \cdot (\vec{k} - 2\vec{p}) = (\vec{k} \cdot \vec{k}) - 4(\vec{k} \cdot \vec{p}) + 4(\vec{p} \cdot \vec{p})$

$|\vec{b}|^2 = |\vec{k}|^2 - 4(0) + 4|\vec{p}|^2 = 1^2 + 4 \cdot 1^2 = 1 + 4 = 5$

Следовательно, $|\vec{b}| = \sqrt{5}$.

3. Вычислим косинус угла

Подставим все найденные значения в исходную формулу:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{50}}$

Упростим полученное выражение:

$\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{25 \cdot 2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\cos(\alpha) = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{10}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{10}$

235. Найдите косинусы углов, которые образует вектор $\overrightarrow{CD}$, если $C (2; -5)$, $D (-3; 7)$, с отрицательными направлениями координатных осей.

235. Найдите косинусы углов, которые образует вектор $\vec{CD}$, если $C (2; -5)$, $D (-3; 7)$, с отрицательными направлениями координатных осей.

Для того чтобы найти косинусы углов, которые образует вектор $\overrightarrow{CD}$ с отрицательными направлениями координатных осей, необходимо сначала определить координаты самого вектора, а затем его модуль (длину).

Координаты вектора $\overrightarrow{CD}$ вычисляются как разность соответствующих координат его конечной точки $D(-3; 7)$ и начальной точки $C(2; -5)$:

$\overrightarrow{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C) = (-3 - 2; 7 - (-5)) = (-5; 12)$.

Далее найдем модуль вектора $\overrightarrow{CD}$ по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$:

$|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле, использующей скалярное произведение:

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.

Отрицательное направление оси Ox задается единичным вектором $\vec{i'} = (-1; 0)$, а отрицательное направление оси Oy — единичным вектором $\vec{j'} = (0; -1)$.

Косинус угла с отрицательным направлением оси Ox

Найдем косинус угла $\alpha'$ между вектором $\overrightarrow{CD}=(-5; 12)$ и вектором, задающим отрицательное направление оси Ox, $\vec{i'}=(-1; 0)$.

Скалярное произведение векторов:

$\overrightarrow{CD} \cdot \vec{i'} = (-5) \cdot (-1) + 12 \cdot 0 = 5$.

Модуль вектора $\vec{i'}$ равен $|\vec{i'}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = 1$.

Теперь вычислим косинус угла:

$\cos \alpha' = \frac{\overrightarrow{CD} \cdot \vec{i'}}{|\overrightarrow{CD}| \cdot |\vec{i'}|} = \frac{5}{13 \cdot 1} = \frac{5}{13}$.

Ответ: $\frac{5}{13}$

Косинус угла с отрицательным направлением оси Oy

Найдем косинус угла $\beta'$ между вектором $\overrightarrow{CD}=(-5; 12)$ и вектором, задающим отрицательное направление оси Oy, $\vec{j'}=(0; -1)$.

Скалярное произведение векторов:

$\overrightarrow{CD} \cdot \vec{j'} = (-5) \cdot 0 + 12 \cdot (-1) = -12$.

Модуль вектора $\vec{j'}$ равен $|\vec{j'}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = 1$.

Вычислим косинус угла:

$\cos \beta' = \frac{\overrightarrow{CD} \cdot \vec{j'}}{|\overrightarrow{CD}| \cdot |\vec{j'}|} = \frac{-12}{13 \cdot 1} = -\frac{12}{13}$.

Ответ: $-\frac{12}{13}$

236. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (-2; 3)$, $B (-1; 6)$, $C (5; 4)$ и $D (4; 1)$ является прямо-угольником.

236. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (-2; 3)$, $B (-1; 6)$, $C (5; 4)$ и $D (4; 1)$ является прямоугольником.

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, можно показать, что это параллелограмм, у которого есть прямой угол. Воспользуемся для этого векторным методом.

Заданы координаты вершин четырехугольника: $A(-2; 3)$, $B(-1; 6)$, $C(5; 4)$ и $D(4; 1)$.

1. Докажем, что ABCD — параллелограмм.

Четырехугольник является параллелограммом, если векторы его противолежащих сторон равны. Найдем и сравним векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$. Координаты вектора с началом в точке $(x_1, y_1)$ и концом в точке $(x_2, y_2)$ вычисляются по формуле $(x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (-1 - (-2); 6 - 3) = (1; 3)$.

Найдем координаты вектора $\vec{DC}$ (обратите внимание на порядок вершин: от D к C):

$\vec{DC} = (5 - 4; 4 - 1) = (1; 3)$.

Поскольку векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ имеют одинаковые координаты, они равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$. Это доказывает, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

2. Докажем, что у параллелограмма ABCD есть прямой угол.

Угол между двумя сторонами будет прямым, если соответствующие им векторы перпендикулярны. Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Проверим это для смежных сторон AB и AD.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$.

Вектор $\vec{AB}$ уже найден: $\vec{AB} = (1; 3)$.

Найдем координаты вектора $\vec{AD}$:

$\vec{AD} = (4 - (-2); 1 - 3) = (6; -2)$.

Теперь вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 1 \cdot 6 + 3 \cdot (-2) = 6 - 6 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ перпендикулярны, а значит, угол между сторонами AB и AD ($\angle DAB$) является прямым.

Вывод:

Мы доказали, что ABCD — это параллелограмм, у которого есть прямой угол ($\angle DAB = 90^\circ$). По определению, такой параллелограмм является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

237. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (1; 6)$, $B (5; 10)$, $C (9; 6)$ и $D (5; 2)$ является квадратом.

237. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (1; 6)$, $B (5; 10)$, $C (9; 6)$ и $D (5; 2)$ является квадратом.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является квадратом, нужно показать, что все его стороны равны между собой, а также равны его диагонали.

1. Найдём длины сторон четырёхугольника

Для вычисления расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ используется формула: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Координаты вершин четырёхугольника: A(1; 6), B(5; 10), C(9; 6) и D(5; 2).

Длина стороны AB:

$AB = \sqrt{(5 - 1)^2 + (10 - 6)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$.

Длина стороны BC:

$BC = \sqrt{(9 - 5)^2 + (6 - 10)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$.

Длина стороны CD:

$CD = \sqrt{(5 - 9)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$.

Длина стороны DA:

$DA = \sqrt{(1 - 5)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$.

Так как $AB = BC = CD = DA = \sqrt{32}$, все стороны четырёхугольника равны. Это означает, что ABCD является ромбом.

2. Найдём длины диагоналей

Теперь вычислим длины диагоналей AC и BD.

Длина диагонали AC:

$AC = \sqrt{(9 - 1)^2 + (6 - 6)^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8$.

Длина диагонали BD:

$BD = \sqrt{(5 - 5)^2 + (2 - 10)^2} = \sqrt{0^2 + (-8)^2} = \sqrt{64} = 8$.

Так как $AC = BD = 8$, диагонали четырёхугольника равны.

Заключение

Мы установили, что четырёхугольник ABCD является ромбом (все стороны равны) и его диагонали равны. Ромб, у которого диагонали равны, является квадратом. Следовательно, четырёхугольник ABCD — квадрат. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырёхугольник ABCD является квадратом, так как длины всех его сторон равны $\sqrt{32}$, а длины его диагоналей равны $8$.

238. Каким треугольником: остроугольным, тупоугольным или прямоугольным — является треугольник ABC, если A (-1; 2), B (3; 7), C (2; -1)?

238. Каким треугольником: остроугольным, тупоугольным или прямоугольным — является треугольник $ABC$, если $A (-1; 2)$, $B (3; 7)$, $C (2; -1)$?

Для того чтобы определить вид треугольника по координатам его вершин, найдем квадраты длин его сторон. Пусть даны точки $A(-1; 2)$, $B(3; 7)$, $C(2; -1)$.

Квадрат расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Найдем квадрат длины стороны AB:
$AB^2 = (3 - (-1))^2 + (7 - 2)^2 = (3 + 1)^2 + 5^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$.

Найдем квадрат длины стороны BC:
$BC^2 = (2 - 3)^2 + (-1 - 7)^2 = (-1)^2 + (-8)^2 = 1 + 64 = 65$.

Найдем квадрат длины стороны AC:
$AC^2 = (2 - (-1))^2 + (-1 - 2)^2 = (2 + 1)^2 + (-3)^2 = 3^2 + 9 = 9 + 9 = 18$.

Теперь сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон. Наибольшая сторона — это BC, так как $BC^2 = 65$ является наибольшим значением.

Сумма квадратов двух других сторон:

$AB^2 + AC^2 = 41 + 18 = 59$.

Сравним $BC^2$ и $AB^2 + AC^2$:

$65 > 59$

Так как квадрат большей стороны треугольника больше суммы квадратов двух других сторон, то этот треугольник является тупоугольным (согласно следствию из теоремы косинусов). Угол, противолежащий стороне BC (угол A), — тупой.

Ответ: тупоугольный.

239. Найдите косинус угла между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, если $ |\vec{a}|=|\vec{b}|=1 $, а векторы $ 3\vec{a}-\vec{b} $ и $ \vec{a}-4\vec{b} $ перпендикулярны.

239. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$, а векторы $3\vec{a}-\vec{b}$ и $\vec{a}-4\vec{b}$ перпендикулярны.

Пусть $\theta$ — это угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Косинус этого угла определяется через скалярное произведение по формуле:

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

где $\vec{a} \cdot \vec{b}$ — скалярное произведение векторов, а $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — их модули.

Из условия задачи нам известно:

• $|\vec{a}| = 1$
• $|\vec{b}| = 1$
• Векторы $(3\vec{a} - \vec{b})$ и $(\vec{a} - 4\vec{b})$ перпендикулярны.

Условие перпендикулярности двух ненулевых векторов означает, что их скалярное произведение равно нулю. Запишем это условие для заданных векторов:

$(3\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 4\vec{b}) = 0$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность):

$3\vec{a} \cdot \vec{a} - 3\vec{a} \cdot (4\vec{b}) - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot (4\vec{b}) = 0$

Упростим выражение, учитывая, что скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$) и что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля ($\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$):

$3|\vec{a}|^2 - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2 = 0$

$3|\vec{a}|^2 - 13(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2 = 0$

Теперь подставим известные значения модулей $|\vec{a}| = 1$ и $|\vec{b}| = 1$ в полученное уравнение:

$3(1)^2 - 13(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(1)^2 = 0$

$3 - 13(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4 = 0$

$7 - 13(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$

Отсюда найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$13(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 7$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{7}{13}$

Наконец, вычислим косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, подставив найденное значение скалярного произведения и известные модули в исходную формулу:

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{\frac{7}{13}}{1 \cdot 1} = \frac{7}{13}$

Ответ: $\frac{7}{13}$.

240. Найдите геометрическое место точек M (x; y) координатной плоскости таких, что для точек A (1; 3) и B (3; −5) выполняется равенство:

1) $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$;

2) $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 2$.

240. Найдите геометрическое место точек M (x; y) координатной плоскости таких, что для точек A (1; 3) и B (3; −5) выполняется равенство:

1) $\vec{MA} \cdot \vec{AB} = 0;$

2) $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 2.$

Пусть искомая точка $M$ имеет координаты $(x; y)$. Даны точки $A(1; 3)$ и $B(3; -5)$.

1) $\vec{MA} \cdot \vec{AB} = 0$

Для решения задачи найдем координаты векторов $\vec{MA}$ и $\vec{AB}$.

Координаты вектора $\vec{MA}$ находятся как разность координат его конца (точка A) и начала (точка M):
$\vec{MA} = (1 - x; 3 - y)$.

Координаты вектора $\vec{AB}$ находятся как разность координат его конца (точка B) и начала (точка A):
$\vec{AB} = (3 - 1; -5 - 3) = (2; -8)$.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ равно $x_1x_2 + y_1y_2$. По условию, скалярное произведение векторов $\vec{MA}$ и $\vec{AB}$ равно нулю:
$\vec{MA} \cdot \vec{AB} = (1 - x) \cdot 2 + (3 - y) \cdot (-8) = 0$.

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:
$2 - 2x - 24 + 8y = 0$
$-2x + 8y - 22 = 0$

Разделим обе части уравнения на $-2$:
$x - 4y + 11 = 0$.

Полученное уравнение является уравнением прямой. Условие равенства нулю скалярного произведения векторов означает, что эти векторы перпендикулярны. Таким образом, геометрическое место точек $M$ — это прямая, проходящая через точку A перпендикулярно прямой AB.

Ответ: $x - 4y + 11 = 0$ (прямая).

2) $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 2$

Найдем координаты векторов $\vec{MA}$ и $\vec{MB}$.

Координаты вектора $\vec{MA}$:
$\vec{MA} = (1 - x; 3 - y)$.

Координаты вектора $\vec{MB}$:
$\vec{MB} = (3 - x; -5 - y)$.

Согласно условию, скалярное произведение этих векторов равно 2:
$(1 - x)(3 - x) + (3 - y)(-5 - y) = 2$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$(3 - x - 3x + x^2) + (-15 - 3y + 5y + y^2) = 2$
$x^2 - 4x + 3 + y^2 + 2y - 15 = 2$
$x^2 - 4x + y^2 + 2y - 12 = 2$
$x^2 - 4x + y^2 + 2y - 14 = 0$.

Это уравнение задает окружность. Для нахождения ее центра и радиуса выделим полные квадраты для переменных $x$ и $y$:
$(x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) = 14$
$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - 2^2 + (y^2 + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2) - 1^2 = 14$
$(x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 = 14$
$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 14 + 4 + 1$
$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 19$.

Это каноническое уравнение окружности с центром в точке с координатами $(2; -1)$ и радиусом $R = \sqrt{19}$.

Ответ: $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 19$ (окружность с центром в точке $(2; -1)$ и радиусом $\sqrt{19}$).

241. Составьте уравнение прямой, которая касается окружности с центром O (2; 1) в точке A (5; -3).

241. Составьте уравнение прямой, которая касается окружности с центром $O(2; 1)$ в точке $A(5; -3)$.

Для нахождения уравнения касательной к окружности воспользуемся свойством, согласно которому касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. В данном случае касательная в точке $A(5; -3)$ будет перпендикулярна радиусу $OA$, где $O(2; 1)$ — центр окружности.

1. Сначала найдем вектор, соответствующий радиусу $OA$. Этот вектор будет являться вектором нормали для искомой касательной прямой. Координаты вектора $\vec{OA}$ вычисляются как разность координат точки конца и точки начала:

$\vec{OA} = (x_A - x_O; y_A - y_O) = (5 - 2; -3 - 1) = (3; -4)$.

Таким образом, вектор нормали к касательной прямой $\vec{n} = (3; -4)$.

2. Уравнение прямой, которая проходит через точку $(x_0; y_0)$ и имеет вектор нормали $\vec{n} = (A; B)$, записывается в виде:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$.

В нашем случае прямая проходит через точку касания $A(5; -3)$, поэтому $x_0 = 5$ и $y_0 = -3$. Компоненты вектора нормали $A = 3$ и $B = -4$. Подставим эти значения в уравнение:

$3(x - 5) + (-4)(y - (-3)) = 0$

Упростим полученное выражение:

$3(x - 5) - 4(y + 3) = 0$

$3x - 15 - 4y - 12 = 0$

$3x - 4y - 27 = 0$

Это и есть искомое уравнение касательной.

Ответ: $3x - 4y - 27 = 0$.

242. Составьте уравнение прямой, содержащей высоту $BD$ треугольника $ABC$, если $A(-3; -1)$, $B(2; 4)$, $C(3; -2)$.

242. Составьте уравнение прямой, содержащей высоту $BD$ треугольника $ABC$, если $A(-3; -1)$, $B(2; 4)$, $C(3; -2)$.

Высота BD треугольника ABC, проведенная из вершины B, по определению перпендикулярна стороне AC. Чтобы составить уравнение прямой, содержащей высоту BD, нам нужно знать две вещи:
1. Координаты любой точки на этой прямой. У нас есть точка B(2; 4).
2. Угловой коэффициент (наклон) этой прямой. Мы можем найти его, используя свойство перпендикулярности прямых BD и AC.

1. Найдем угловой коэффициент прямой AC.
Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки A($x_A; y_A$) и C($x_C; y_C$), вычисляется по формуле:
$k_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A}$
Подставим координаты точек A(-3; -1) и C(3; -2):
$k_{AC} = \frac{-2 - (-1)}{3 - (-3)} = \frac{-2 + 1}{3 + 3} = -\frac{1}{6}$

2. Найдем угловой коэффициент высоты BD.
Прямые BD и AC перпендикулярны. Условие перпендикулярности двух прямых (не параллельных осям координат) заключается в том, что произведение их угловых коэффициентов равно -1:
$k_{BD} \cdot k_{AC} = -1$
Отсюда мы можем найти угловой коэффициент прямой BD:
$k_{BD} = -\frac{1}{k_{AC}} = -\frac{1}{-\frac{1}{6}} = 6$

3. Составим уравнение прямой, содержащей высоту BD.
Теперь у нас есть угловой коэффициент прямой BD ($k_{BD} = 6$) и координаты точки B(2; 4), через которую она проходит. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом:
$y - y_0 = k(x - x_0)$
Подставляем наши значения ($k=6, x_0=2, y_0=4$):
$y - 4 = 6(x - 2)$
Теперь приведем уравнение к общему виду $Ax + By + C = 0$:
$y - 4 = 6x - 12$
$6x - y - 12 + 4 = 0$
$6x - y - 8 = 0$

Ответ: $6x - y - 8 = 0$

243. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $CD$ квадрата $ABCD$ соответственно. Найдите косинус угла между прямыми $AN$ и $DM$.

243. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $CD$ квадрата $ABCD$ соответственно. Найдите косинус угла между прямыми $AN$ и $DM$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$, направив ось $Ox$ вдоль стороны $AB$ и ось $Oy$ вдоль стороны $AD$.

Пусть сторона квадрата равна $2a$. Тогда координаты вершин квадрата будут:

$A(0; 0)$, $B(2a; 0)$, $C(2a; 2a)$, $D(0; 2a)$.

Точка $M$ является серединой стороны $AB$. Найдем ее координаты:

$M = (\frac{0+2a}{2}; \frac{0+0}{2}) = (a; 0)$.

Точка $N$ является серединой стороны $CD$. Найдем ее координаты:

$N = (\frac{2a+0}{2}; \frac{2a+2a}{2}) = (a; 2a)$.

Угол между прямыми $AN$ и $DM$ равен углу между их направляющими векторами $\vec{AN}$ и $\vec{DM}$. Найдем координаты этих векторов:

$\vec{AN} = (x_N - x_A; y_N - y_A) = (a - 0; 2a - 0) = (a; 2a)$.

$\vec{DM} = (x_M - x_D; y_M - y_D) = (a - 0; 0 - 2a) = (a; -2a)$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами находится по формуле скалярного произведения:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{AN} \cdot \vec{DM}}{|\vec{AN}| \cdot |\vec{DM}|}$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{AN} \cdot \vec{DM} = a \cdot a + 2a \cdot (-2a) = a^2 - 4a^2 = -3a^2$.

Вычислим модули (длины) векторов:

$|\vec{AN}| = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$.

$|\vec{DM}| = \sqrt{a^2 + (-2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$.

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла между векторами:

$\cos(\alpha) = \frac{-3a^2}{a\sqrt{5} \cdot a\sqrt{5}} = \frac{-3a^2}{5a^2} = -\frac{3}{5}$.

Так как угол между прямыми по определению считается острым (не более $90^\circ$), его косинус должен быть неотрицательным. Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами.

$\cos(\phi) = |\cos(\alpha)| = |-\frac{3}{5}| = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$