Страница 61 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

244. Дан ромб $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Существует ли параллельный перенос, при котором:

1) сторона $AB$ является образом стороны $BC$;

2) сторона $AB$ является образом стороны $CD$;

3) отрезок $AO$ является образом отрезка $CO$?

В случае утвердительного ответа укажите вектор, на который должен осуществляться параллельный перенос.

Рис. 46

244. Дан ромб $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Существует ли параллельный перенос, при котором:

1) сторона $AB$ является образом стороны $BC$;

2) сторона $AB$ является образом стороны $CD$;

3) отрезок $AO$ является образом отрезка $CO$? В случае утвердительного ответа укажите вектор, на который должен осуществляться параллельный перенос.

Рис. 46

1) Параллельный перенос — это преобразование, при котором отрезок переходит в равный ему и параллельный отрезок. В ромбе $ABCD$ стороны $AB$ и $BC$ являются смежными, они пересекаются в точке $B$. Следовательно, прямые, содержащие эти стороны, не параллельны. Поэтому не существует параллельного переноса, при котором сторона $BC$ переходит в сторону $AB$.
Ответ: нет, не существует.

2) В ромбе $ABCD$ противоположные стороны параллельны и равны по длине, то есть $AB \parallel CD$ и $|AB| = |CD|$. Это является необходимым и достаточным условием существования параллельного переноса, отображающего одну сторону на другую.
Найдем вектор этого переноса. Такой перенос должен отображать концы отрезка $CD$ на концы отрезка $AB$. Рассмотрим параллельный перенос на вектор $\vec{a} = \vec{CB}$. При этом переносе точка $C$ переходит в точку $B$. Проверим, перейдет ли точка $D$ в точку $A$. Это произойдет, если вектор переноса $\vec{CB}$ будет равен вектору $\vec{DA}$.
Поскольку $ABCD$ — ромб (а значит, и параллелограмм), то $\vec{AD} = \vec{BC}$. Умножив обе части векторного равенства на $-1$, получим $-\vec{AD} = -\vec{BC}$, что равносильно $\vec{DA} = \vec{CB}$.
Следовательно, параллельный перенос на вектор $\vec{CB}$ переводит точку $C$ в $B$ и точку $D$ в $A$. Значит, сторона $CD$ переходит в сторону $BA$, что является стороной $AB$.
Ответ: да, существует; вектор переноса равен $\vec{CB}$ (или равному ему вектору $\vec{DA}$).

3) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. Значит, точка $O$ — середина диагонали $AC$. Отсюда следует, что отрезки $AO$ и $CO$ лежат на одной прямой (а значит, параллельны) и их длины равны: $|AO| = |CO|$. Следовательно, существует параллельный перенос, переводящий отрезок $CO$ в отрезок $AO$.
Найдем вектор этого переноса. Рассмотрим перенос, который переводит точку $C$ в точку $O$. Вектор этого переноса — $\vec{CO}$. Теперь проверим, перейдет ли при этом переносе точка $O$ в точку $A$. Это произойдет, если вектор $\vec{OA}$ равен вектору переноса $\vec{CO}$.
Так как $O$ — середина $AC$, векторы $\vec{CO}$ и $\vec{OA}$ имеют одинаковое направление (вдоль прямой $AC$ от $C$ к $A$) и одинаковую длину. Таким образом, $\vec{CO} = \vec{OA}$.
Значит, параллельный перенос на вектор $\vec{CO}$ переводит точку $C$ в $O$ и точку $O$ в $A$, то есть отрезок $CO$ в отрезок $OA$ (отрезок $AO$).
Ответ: да, существует; вектор переноса равен $\vec{CO}$.

245. Постройте образ треугольника ABC при параллельном переносе на вектор $ \vec{a} $ (рис. 46).

Рис. 46

245. Постройте образ треугольника $ABC$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ (рис. 46).

Параллельный перенос — это преобразование плоскости, при котором каждая точка фигуры смещается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это смещение задается вектором. Для построения образа треугольника $ABC$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$, необходимо каждую вершину треугольника ($A$, $B$, $C$) перенести на данный вектор.

Выполним построение по шагам:

1. Определение компонент вектора переноса $\vec{a}$.

   На клетчатой плоскости определим, на сколько клеток и в каком направлении нужно выполнить сдвиг. Для этого посмотрим на начало и конец вектора $\vec{a}$ (указан стрелкой). Видно, что вектор $\vec{a}$ соответствует смещению на 2 клетки вправо и на 3 клетки вниз. Таким образом, вектор переноса имеет координаты $(2, -3)$.

2. Перенос вершин треугольника.

   Теперь необходимо выполнить сдвиг каждой вершины треугольника $ABC$ на 2 клетки вправо и 3 клетки вниз, чтобы получить новые вершины $A'$, $B'$, $C'$.

   • Точка $A$ переходит в точку $A'$. Для этого от точки $A$ отсчитываем 2 клетки вправо и 3 клетки вниз и ставим точку $A'$.
   • Точка $B$ переходит в точку $B'$. От точки $B$ отсчитываем 2 клетки вправо и 3 клетки вниз и ставим точку $B'$.
   • Точка $C$ переходит в точку $C'$. От точки $C$ отсчитываем 2 клетки вправо и 3 клетки вниз и ставим точку $C'$.
3. Построение образа треугольника $A'B'C'$.

   Соединяем полученные точки $A'$, $B'$ и $C'$ отрезками. Треугольник $A'B'C'$ является образом треугольника $ABC$ при заданном параллельном переносе.

Важно отметить, что параллельный перенос является движением, то есть сохраняет расстояния между точками. Следовательно, полученный треугольник $A'B'C'$ будет равен исходному треугольнику $ABC$ ($ \triangle ABC = \triangle A'B'C' $).

Ответ: Для построения образа треугольника $ABC$ необходимо каждую его вершину ($A$, $B$ и $C$) сместить на 2 клетки вправо и 3 клетки вниз, а затем соединить полученные точки $A'$, $B'$ и $C'$ отрезками. В результате получится треугольник $A'B'C'$, равный треугольнику $ABC$.

246. Постройте образы точек $D (-4; 2)$, $E (0; 3)$ и $F (-2; 0)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{b} (-3; 0)$. Запишите координаты построенных точек.

(рис. 19).

246. Постройте образы точек D $(-4; 2)$, E $(0; 3)$ и F $(-2; 0)$

при параллельном переносе на вектор $\vec{b}(-3; 0)$. Запишите координаты построенных точек.

При параллельном переносе точки с координатами $(x; y)$ на вектор $\vec{a}(m; n)$, ее образ, точка с координатами $(x'; y')$, находится по формулам:

$x' = x + m$
$y' = y + n$

В данной задаче нужно выполнить параллельный перенос на вектор $\vec{b}(-3; 0)$. Это значит, что для каждой точки $m = -3$ и $n = 0$.

D(-4; 2)

Пусть D' - образ точки D. Найдем ее координаты $(x'; y')$:

$x' = -4 + (-3) = -4 - 3 = -7$

$y' = 2 + 0 = 2$

Таким образом, координаты образа точки D равны $(-7; 2)$.

Ответ: $D'(-7; 2)$

E(0; 3)

Пусть E' - образ точки E. Найдем ее координаты $(x'; y')$:

$x' = 0 + (-3) = -3$

$y' = 3 + 0 = 3$

Таким образом, координаты образа точки E равны $(-3; 3)$.

Ответ: $E'(-3; 3)$

F(-2; 0)

Пусть F' - образ точки F. Найдем ее координаты $(x'; y')$:

$x' = -2 + (-3) = -2 - 3 = -5$

$y' = 0 + 0 = 0$

Таким образом, координаты образа точки F равны $(-5; 0)$.

Ответ: $F'(-5; 0)$

Построение образов точек

Для построения образов точек в системе координат необходимо:
1. Отметить на координатной плоскости исходные точки $D(-4; 2)$, $E(0; 3)$ и $F(-2; 0)$.
2. Поскольку вектор переноса $\vec{b}(-3; 0)$, каждая точка смещается на 3 единицы влево параллельно оси абсцисс (оси Ox), при этом ее ордината (координата по оси Oy) не изменяется.
3. Конечные точки после смещения и будут искомыми образами: $D'(-7; 2)$, $E'(-3; 3)$ и $F'(-5; 0)$.

247. Найдите точки, являющиеся образами точек M $(4; -2)$ и N $(-2; 0)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(-4; 2)$. Образами каких точек при таком параллельном переносе являются точки D $(-6; -9)$ и E $(0; -4)$?

247. Найдите точки, являющиеся образами точек $M (4; -2)$ и $N (-2; 0)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(-4; 2)$. Образами каких точек при таком параллельном переносе являются точки $D (-6; -9)$ и $E (0; -4)$?

Найдите точки, являющиеся образами точек M(4; –2) и N(–2; 0) при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$(–4; 2)

При параллельном переносе точки с координатами $(x; y)$ на вектор с координатами $(a_x; a_y)$, координаты ее образа $(x'; y')$ вычисляются по формулам:

$x' = x + a_x$

$y' = y + a_y$

В данном случае вектор переноса $\vec{a}$(–4; 2), следовательно, $a_x = -4$ и $a_y = 2$.

1. Найдем образ точки $M(4; –2)$. Обозначим его $M'(x_M'; y_M')$:

$x_M' = 4 + (–4) = 0$

$y_M' = –2 + 2 = 0$

Таким образом, образом точки $M$ является точка $M'(0; 0)$.

2. Найдем образ точки $N(–2; 0)$. Обозначим его $N'(x_N'; y_N')$:

$x_N' = –2 + (–4) = –6$

$y_N' = 0 + 2 = 2$

Таким образом, образом точки $N$ является точка $N'(–6; 2)$.

Ответ: $M'(0; 0)$ и $N'(–6; 2)$.

Образами каких точек при таком параллельном переносе являются точки D(–6; –9) и E(0; –4)?

Чтобы найти исходную точку (прообраз) $(x; y)$ по известному образу $(x'; y')$ и вектору переноса $(a_x; a_y)$, необходимо использовать обратные формулы:

$x = x' - a_x$

$y = y' - a_y$

Вектор переноса тот же: $\vec{a}$(–4; 2).

1. Найдем прообраз для точки $D(–6; –9)$:

$x = –6 - (–4) = –6 + 4 = –2$

$y = –9 - 2 = –11$

Следовательно, точка $D$ является образом точки с координатами $(–2; –11)$.

2. Найдем прообраз для точки $E(0; –4)$:

$x = 0 - (–4) = 0 + 4 = 4$

$y = –4 - 2 = –6$

Следовательно, точка $E$ является образом точки с координатами $(4; –6)$.

Ответ: $(–2; –11)$ и $(4; –6)$.

248. Найдите вектор, при параллельном переносе на который образом точки $F (-6; 4)$ будет точка $K (3; -2)$, и вектор, при параллельном переносе на который образом точки $K$ будет точка $F$.

248. Найдите вектор, при параллельном переносе на который образом точки $F(-6; 4)$ будет точка $K(3; -2)$, и вектор, при параллельном переносе на который образом точки $K$ будет точка $F$.

Задача состоит из двух частей. Решим каждую из них.

Найдем вектор, при параллельном переносе на который образом точки F(-6; 4) будет точка K(3; -2)

Параллельный перенос, отображающий точку $A(x_1; y_1)$ на точку $B(x_2; y_2)$, задается вектором $\vec{v}$, координаты которого равны разности соответствующих координат конечной и начальной точек. То есть, $\vec{v} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.

В данном случае начальная точка — это $F(-6; 4)$, а ее образ — точка $K(3; -2)$. Найдем координаты вектора переноса $\vec{a} = (a_x; a_y)$, который равен вектору $\vec{FK}$:

$a_x = 3 - (-6) = 3 + 6 = 9$
$a_y = -2 - 4 = -6$

Таким образом, искомый вектор переноса имеет координаты $(9; -6)$.
Ответ: $(9; -6)$.

Найдем вектор, при параллельном переносе на который образом точки K(3; -2) будет точка F(-6; 4)

В этой части задачи начальной точкой является $K(3; -2)$, а ее образом — точка $F(-6; 4)$. Найдем координаты вектора переноса $\vec{b} = (b_x; b_y)$, который равен вектору $\vec{KF}$:

$b_x = -6 - 3 = -9$
$b_y = 4 - (-2) = 4 + 2 = 6$

Таким образом, искомый вектор переноса имеет координаты $(-9; 6)$.
Ответ: $(-9; 6)$.

249. При параллельном переносе образом точки $M (-8; 6)$ является точка $T (3; -7).$ Какая точка является образом точки $P (-1; -9)$ при этом параллельном переносе?

249. При параллельном переносе образом точки $M(-8; 6)$ является точка $T(3; -7)$. Какая точка является образом точки $P(-1; -9)$ при этом параллельном переносе?

Параллельный перенос на плоскости задается формулами $x' = x + a$ и $y' = y + b$, где $(x; y)$ — это координаты исходной точки, $(x'; y')$ — координаты ее образа, а $(a; b)$ — это вектор параллельного переноса.

Сначала найдем вектор переноса $(a; b)$, используя данные для точки $M(-8; 6)$ и ее образа $T(3; -7)$.

Для координаты $x$ имеем:
$x_T = x_M + a$
$3 = -8 + a$
$a = 3 - (-8) = 3 + 8 = 11$

Для координаты $y$ имеем:
$y_T = y_M + b$
$-7 = 6 + b$
$b = -7 - 6 = -13$

Таким образом, вектор параллельного переноса равен $(11; -13)$.

Теперь, зная вектор переноса, найдем образ точки $P(-1; -9)$. Обозначим искомую точку как $P'(x'; y')$.

Вычисляем новые координаты:
$x' = x_P + a = -1 + 11 = 10$
$y' = y_P + b = -9 + (-13) = -9 - 13 = -22$

Следовательно, образом точки $P(-1; -9)$ является точка с координатами $(10; -22)$.

Ответ: $(10; -22)$

250. Вершинами треугольника $ABC$ являются точки $A(3; -2)$, $B(0; 1)$ и $C(-3; 4)$. Выполнили параллельный перенос треугольника $ABC$, при котором образом точки $A$ является точка $B$. Каковы координаты вершин полученного треугольника? Сделайте чертёж.

250. Вершинами треугольника $ABC$ являются точки $A (3; -2)$, $B (0; 1)$ и $C (-3; 4)$. Выполнили параллельный перенос треугольника $ABC$, при котором образом точки $A$ является точка $B$. Каковы координаты вершин полученного треугольника? Сделайте чертёж.

Каковы координаты вершин полученного треугольника?

Параллельный перенос точки с координатами $(x; y)$ на вектор с координатами $(a; b)$ приводит к новой точке с координатами $(x'; y')$, которые вычисляются по формулам:
$x' = x + a$
$y' = y + b$

В условии сказано, что при параллельном переносе треугольника $ABC$ образом точки $A(3; -2)$ является точка $B(0; 1)$. Обозначим образ точки $A$ как $A'$. Таким образом, $A'$ имеет координаты $(0; 1)$. Используем это для нахождения вектора переноса $(a; b)$.

Подставим координаты точек $A$ и $A'$ в формулы переноса:
Для координаты $x$: $0 = 3 + a \Rightarrow a = 0 - 3 = -3$
Для координаты $y$: $1 = -2 + b \Rightarrow b = 1 - (-2) = 3$

Следовательно, параллельный перенос осуществляется на вектор $(-3; 3)$. Теперь, зная вектор переноса, мы можем найти координаты образов вершин $B$ и $C$. Обозначим их $B'$ и $C'$.

Для вершины $B(0; 1)$:
$x_{B'} = x_B + a = 0 + (-3) = -3$
$y_{B'} = y_B + b = 1 + 3 = 4$
Координаты вершины $B'$ равны $(-3; 4)$.

Для вершины $C(-3; 4)$:
$x_{C'} = x_C + a = -3 + (-3) = -6$
$y_{C'} = y_C + b = 4 + 3 = 7$
Координаты вершины $C'$ равны $(-6; 7)$.

Таким образом, вершинами полученного треугольника $A'B'C'$ являются точки $A'(0; 1)$, $B'(-3; 4)$ и $C'(-6; 7)$.

Ответ: Координаты вершин полученного треугольника: $(0; 1)$, $(-3; 4)$, $(-6; 7)$.

Сделайте чертёж.

На чертеже синим цветом показан исходный треугольник $ABC$, а красным — полученный в результате переноса треугольник $A'B'C'$. Зелёные пунктирные стрелки показывают вектор переноса $(-3; 3)$, примененный к каждой вершине.

Ответ: Чертёж представлен выше.