Страница 63 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

258. Начертите окружность радиусом 2 см и проведите прямую, не проходящую через её центр. Постройте окружность, симметричную данной относительно этой прямой.

258. Начертите окружность радиусом 2 см и проведите прямую, не проходящую через её центр. Постройте окружность, симметричную данной относительно этой прямой.

Для построения окружности, симметричной данной относительно прямой, необходимо использовать свойство осевой симметрии. Осевая симметрия является движением, то есть сохраняет расстояния между точками. Это означает, что образом окружности будет окружность с таким же радиусом, а центр новой окружности будет симметричен центру исходной окружности относительно оси симметрии.

Таким образом, задача сводится к последовательному выполнению следующих шагов:

1. Построение исходных фигур.

С помощью циркуля и линейки начертим окружность с центром в произвольной точке $O$ и радиусом $R = 2$ см. Затем проведем прямую $l$, не проходящую через центр $O$. Эта прямая будет осью симметрии.

2. Построение центра симметричной окружности.

Чтобы найти центр $O'$ симметричной окружности, нужно построить точку, симметричную точке $O$ относительно прямой $l$. Для этого:

• Из точки $O$ опустим перпендикуляр на прямую $l$. Для этого установим ножку циркуля в точку $O$ и проведем дугу, которая пересечет прямую $l$ в двух точках, назовем их $A$ и $B$.

• Из точек $A$ и $B$ проведем две дуги одинакового радиуса (большего, чем половина отрезка $AB$) с другой стороны от прямой $l$. Точку их пересечения обозначим $P$.

• Соединим точки $O$ и $P$ прямой. Эта прямая $OP$ будет перпендикулярна прямой $l$. Точку пересечения прямой $OP$ и прямой $l$ обозначим как $H$.

• На луче $OH$ отложим от точки $H$ отрезок $HO'$, равный отрезку $OH$. Это можно сделать с помощью циркуля, измерив расстояние $OH$ и отложив его от точки $H$ по прямой $OP$. Точка $O'$ является центром искомой окружности.

3. Построение симметричной окружности.

Радиус симметричной окружности равен радиусу исходной, то есть $2$ см. Установим ножку циркуля в построенную точку $O'$, зададим радиус $2$ см и начертим окружность.

Полученная окружность с центром в точке $O'$ и радиусом $2$ см является симметричной данной окружности относительно прямой $l$.

Ответ: Построенная окружность с центром $O'$ (где $O'$ — точка, симметричная центру $O$ исходной окружности относительно прямой $l$) и радиусом $2$ см является искомой.

259. Начертите равносторонний треугольник со стороной 2,5 см, проведите прямую, проходящую через одну из его вершин и не имеющую с треугольником других общих точек. Постройте треугольник, симметричный данному относительно этой прямой.

259. Начертите равносторонний треугольник со стороной 2,5 см, проведите прямую, проходящую через одну из его вершин и не имеющую с треугольником других общих точек. Постройте треугольник, симметричный данному относительно этой прямой.

Для решения данной задачи необходимо выполнить последовательные геометрические построения с помощью циркуля и линейки.

Начертите равносторонний треугольник со стороной 2,5 см

1. С помощью линейки начертим отрезок $AB$ длиной 2,5 см.
2. Установим раствор циркуля равным длине отрезка $AB$ (2,5 см). Проведем дугу окружности с центром в точке $A$.
3. Не меняя раствора циркуля, проведем дугу окружности с центром в точке $B$.
4. Точку пересечения двух дуг обозначим как $C$.
5. Соединим отрезками точки $A$ и $C$, а также $B$ и $C$.
Полученный треугольник $\triangle ABC$ является равносторонним, так как по построению все его стороны равны 2,5 см: $AB = AC = BC = 2.5$ см.

Проведите прямую, проходящую через одну из его вершин и не имеющую с треугольником других общих точек

Выберем одну из вершин, например, вершину $A$. Через точку $A$ необходимо провести прямую $l$ таким образом, чтобы она не имела с треугольником $\triangle ABC$ других общих точек, кроме самой точки $A$. Это означает, что прямая $l$ не должна пересекать сторону $BC$ и не должна совпадать со сторонами $AB$ или $AC$. Весь треугольник должен лежать по одну сторону от прямой $l$. Проведем такую прямую $l$ через точку $A$. Эта прямая будет служить осью симметрии.

Постройте треугольник, симметричный данному относительно этой прямой

Построим треугольник $\triangle A'B'C'$, симметричный треугольнику $\triangle ABC$ относительно прямой $l$.
1. Для этого найдем точки $A'$, $B'$, $C'$, симметричные вершинам $A, B, C$ соответственно.
2. Поскольку вершина $A$ лежит на оси симметрии $l$, она отображается сама в себя, то есть $A' = A$.
3. Для построения точки $B'$, симметричной точке $B$, опустим из точки $B$ перпендикуляр на прямую $l$. Обозначим точку их пересечения (основание перпендикуляра) как $H_B$. На продолжении отрезка $BH_B$ за точку $H_B$ отложим отрезок $H_B B'$, равный по длине отрезку $BH_B$. Точка $B'$ и будет симметрична точке $B$.
4. Аналогично построим точку $C'$, симметричную точке $C$. Опустим перпендикуляр из $C$ на прямую $l$, получив точку $H_C$, и на его продолжении отложим отрезок $H_C C' = CH_C$.
5. Соединим точки $A'$, $B'$ и $C'$ (то есть $A$, $B'$ и $C'$) отрезками.
Полученный треугольник $\triangle AB'C'$ — искомый.

Ответ: В результате построений получен треугольник $\triangle AB'C'$, симметричный исходному треугольнику $\triangle ABC$ относительно прямой $l$. Так как осевая симметрия является движением и сохраняет расстояния между точками, треугольник $\triangle AB'C'$ также является равносторонним со стороной 2,5 см. Оба треугольника имеют общую вершину $A$, которая лежит на оси симметрии.

260. Начертите равносторонний треугольник $ABC$ со стороной 3 см и проведите прямую $n$, пересекающую стороны $AC$ и $BC$. Постройте треугольник, симметричный треугольнику $ABC$ относительно прямой $n$.

260. Начертите равносторонний треугольник $ABC$ со стороной 3 см и проведите прямую $n$, пересекающую стороны $AC$ и $BC$. Постройте треугольник, симметричный треугольнику $ABC$ относительно прямой $n$.

Для решения данной задачи необходимо выполнить последовательность геометрических построений, используя циркуль и линейку.

1. Построение равностороннего треугольника ABC

С помощью линейки начертим отрезок $AB$ длиной 3 см. Затем, установив раствор циркуля равным 3 см, проведём две дуги: одну с центром в точке $A$, другую с центром в точке $B$. Точку пересечения этих дуг обозначим буквой $C$. Соединив точки $A$, $B$ и $C$ отрезками, получим равносторонний треугольник $ABC$, так как по построению все его стороны равны 3 см: $AB = AC = BC = 3$ см.

2. Проведение прямой n

Далее проведём произвольную прямую $n$ таким образом, чтобы она пересекала две стороны треугольника, как указано в условии, например, стороны $AC$ и $BC$.

3. Построение треугольника A'B'C', симметричного треугольнику ABC относительно прямой n

Чтобы построить треугольник, симметричный $ABC$ относительно прямой $n$, необходимо найти образы его вершин $A, B, C$ при данной симметрии. Обозначим их $A', B', C'$. Построение для каждой вершины выполняется по следующему алгоритму:
1. Из вершины (например, из точки $A$) опускаем перпендикуляр на прямую $n$. Точку пересечения (основание перпендикуляра) обозначаем $H_A$.
2. На продолжении перпендикуляра за точку $H_A$ откладываем отрезок $H_A A'$, равный по длине отрезку $AH_A$.
Полученная точка $A'$ является симметричным образом точки $A$.

Аналогичные действия выполняем для вершин $B$ и $C$, чтобы найти симметричные им точки $B'$ и $C'$.

На последнем шаге соединяем полученные точки $A'$, $B'$ и $C'$ отрезками. Построенный треугольник $A'B'C'$ является искомым. Так как осевая симметрия является движением, она сохраняет расстояния между точками, поэтому треугольник $A'B'C'$ также будет равносторонним со стороной 3 см.

Ответ: Треугольник $A'B'C'$, построенный путём нахождения симметричных образов вершин $A$, $B$, $C$ относительно прямой $n$ и их последующего соединения, является искомым.

261. В каком случае прямая $m$ является осью симметрии прямой $AB$?

261. В каком случае прямая $m$ является осью симметрии прямой $AB$?

Прямая $m$ является осью симметрии для прямой $AB$, если при симметричном отражении относительно прямой $m$ прямая $AB$ переходит сама в себя. Это означает, что для любой точки $P$, принадлежащей прямой $AB$, ее симметричная точка $P'$ относительно прямой $m$ также должна принадлежать прямой $AB$.

Рассмотрим два случая, которые удовлетворяют этому условию.

Первый случай: прямая $m$ совпадает с прямой $AB$. В этом случае каждая точка прямой $AB$ при симметрии относительно самой себя остается на месте. Следовательно, вся прямая $AB$ отображается на саму себя, и $m$ является осью симметрии.

Второй случай: прямая $m$ перпендикулярна прямой $AB$ ($m \perp AB$). Пусть прямые пересекаются. Возьмем любую точку $P$ на прямой $AB$. Точка $P'$, симметричная точке $P$ относительно прямой $m$, лежит на перпендикуляре к $m$, проведенном из точки $P$. Поскольку прямая $AB$ по условию сама перпендикулярна прямой $m$, то точка $P'$ также будет лежать на прямой $AB$. Так как это верно для любой точки прямой $AB$, вся прямая при отражении переходит в себя. Следовательно, любая прямая, перпендикулярная $AB$, является ее осью симметрии.

Если же прямая $m$ пересекает прямую $AB$ под углом, отличным от прямого, или параллельна ей (не совпадая с ней), то при отражении прямая $AB$ перейдет в другую прямую, не совпадающую с исходной.

Ответ: Прямая $m$ является осью симметрии прямой $AB$ в том случае, если прямая $m$ совпадает с прямой $AB$ или если прямая $m$ перпендикулярна прямой $AB$.

262. На рисунке 49 $AB = AD$, $BC = CD$. Докажите, что точки $B$ и $D$ симметричны относительно прямой $AC$.

Рис. 49

262. На рисунке 49 $AB = AD$, $BC = CD$. Докажите, что точки $B$ и $D$ симметричны относительно прямой $AC$.

Рис. 49

Для доказательства того, что точки $B$ и $D$ симметричны относительно прямой $AC$, необходимо показать, что прямая $AC$ является серединным перпендикуляром к отрезку $BD$.

Рассмотрим точку $A$. По условию задачи, $AB = AD$. Это означает, что точка $A$ равноудалена от концов отрезка $BD$. Согласно свойству серединного перпендикуляра, любая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Следовательно, точка $A$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$.

Рассмотрим точку $C$. По условию задачи, $BC = CD$. Это означает, что точка $C$ также равноудалена от концов отрезка $BD$. Следовательно, точка $C$ также лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$.

Поскольку обе точки $A$ и $C$ лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$, то прямая, проходящая через эти две точки (прямая $AC$), и является серединным перпендикуляром к отрезку $BD$.

По определению осевой симметрии, если прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, то концы этого отрезка (точки $B$ и $D$) симметричны относительно этой прямой ($AC$).
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что точки $B$ и $D$ симметричны относительно прямой $AC$.

263. Докажите, что если прямая, проходящая через середины противоположных сторон параллелограмма, является его осью симметрии, то этот параллелограмм — прямоугольник.

263. Докажите, что если прямая, проходящая через середины противоположных сторон параллелограмма, является его осью симметрии, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. Пусть прямая $l$, проходящая через середины противоположных сторон, является его осью симметрии. Для определенности, предположим, что прямая $l$ проходит через середины сторон $AB$ и $CD$. Обозначим эти середины как точки $M$ и $N$ соответственно. Таким образом, прямая $MN$ — ось симметрии параллелограмма $ABCD$.

По определению осевой симметрии, отражение относительно прямой $MN$ переводит фигуру в себя. Рассмотрим, куда переходят вершины параллелограмма при этой симметрии. Поскольку точка $M$ лежит на оси симметрии и является серединой отрезка $AB$, то вершина $A$ симметрична вершине $B$ относительно прямой $MN$. Аналогично, так как точка $N$ лежит на оси симметрии и является серединой отрезка $CD$, вершина $D$ симметрична вершине $C$.

Осевая симметрия является движением, то есть преобразованием, сохраняющим расстояния и углы. При симметрии относительно прямой $MN$ вершина $D$ переходит в $C$, вершина $A$ — в $B$, а вершина $B$ — в $A$. Следовательно, угол $\angle DAB$ отображается на угол $\angle CBA$. Равенство фигур (углов) при движении означает равенство их мер. Таким образом, мы получаем равенство величин этих углов: $\angle DAB = \angle CBA$.

В то же время, в параллелограмме $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны, а $AB$ является секущей. Углы $\angle DAB$ и $\angle CBA$ являются внутренними односторонними углами, и их сумма равна $180^\circ$: $\angle DAB + \angle CBA = 180^\circ$.

Из этих двух равенств следует, что: $\angle DAB + \angle DAB = 180^\circ$, откуда $2 \cdot \angle DAB = 180^\circ$, и $\angle DAB = 90^\circ$.

Параллелограмм, у которого один из углов прямой, является прямоугольником. Следовательно, $ABCD$ — прямоугольник.

Если бы ось симметрии проходила через середины сторон $BC$ и $AD$, доказательство было бы аналогичным и привело бы к выводу, что $\angle ABC = 90^\circ$, что также означает, что параллелограмм является прямоугольником.

Ответ: Что и требовалось доказать.

264. Найдите координаты точки, симметричной точке $M(-2; 5)$ относительно:

1) оси абсцисс;

2) оси ординат.

264. Найдите координаты точки, симметричной точке $M (-2; 5)$ относительно:

1) оси абсцисс;

2) оси ординат.

1) оси абсцисс
Симметрия относительно оси абсцисс (оси $Ox$) означает, что для любой точки $M(x; y)$ симметричная ей точка $M_1(x_1; y_1)$ будет иметь ту же абсциссу, но противоположную по знаку ординату. Правило преобразования координат выглядит следующим образом: $x_1 = x$, $y_1 = -y$.
Дана точка $M(-2; 5)$. Найдем координаты симметричной ей точки $M_1$ относительно оси абсцисс:
$x_1 = -2$
$y_1 = -5$
Следовательно, искомая точка имеет координаты $(-2; -5)$.
Ответ: $(-2; -5)$

2) оси ординат
Симметрия относительно оси ординат (оси $Oy$) означает, что для любой точки $M(x; y)$ симметричная ей точка $M_2(x_2; y_2)$ будет иметь ту же ординату, но противоположную по знаку абсциссу. Правило преобразования координат выглядит следующим образом: $x_2 = -x$, $y_2 = y$.
Дана точка $M(-2; 5)$. Найдем координаты симметричной ей точки $M_2$ относительно оси ординат:
$x_2 = -(-2) = 2$
$y_2 = 5$
Следовательно, искомая точка имеет координаты $(2; 5)$.
Ответ: $(2; 5)$

265. Точки $A (3; y)$ и $B (x; -4)$ симметричны относительно:

1) оси абсцисс;

2) оси ординат. Найдите $x$ и $y$.

265. Точки $A (3; y)$ и $B (x; -4)$ симметричны относительно:

1) оси абсцисс;

2) оси ординат. Найдите $x$ и $y$.

1) оси абсцисс
Если точки симметричны относительно оси абсцисс (оси Ox), то их абсциссы (координаты $x$) равны, а ординаты (координаты $y$) являются противоположными числами.
Даны точки $A(3; y)$ и $B(x; -4)$.
Приравниваем их абсциссы: $x = 3$.
Ординаты должны быть противоположными: $y = -(-4)$.
Таким образом, $y = 4$.
Ответ: $x = 3$, $y = 4$.

2) оси ординат
Если точки симметричны относительно оси ординат (оси Oy), то их ординаты (координаты $y$) равны, а абсциссы (координаты $x$) являются противоположными числами.
Даны точки $A(3; y)$ и $B(x; -4)$.
Абсциссы должны быть противоположными: $x = -3$.
Приравниваем их ординаты: $y = -4$.
Ответ: $x = -3$, $y = -4$.

266. Осями симметрии ромба являются прямые $x = 3$ и $y = -4$. Двумя его соседними вершинами являются точки $B (3; -1)$ и $C (5; -4)$. Найдите координаты остальных вершин ромба.

266. Осями симметрии ромба являются прямые $x = 3$ и $y = -4$. Двумя его соседними вершинами являются точки $B (3; -1)$ и $C (5; -4)$. Найдите координаты остальных вершин ромба.

Осями симметрии ромба являются его диагонали. Таким образом, диагонали данного ромба лежат на прямых $x = 3$ и $y = -4$. Эти прямые взаимно перпендикулярны, что соответствует свойству диагоналей ромба. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии ромба. Найдем координаты этой точки, решив систему уравнений:

$\begin{cases} x = 3 \\ y = -4 \end{cases}$

Следовательно, центр ромба — это точка $O(3; -4)$.

Пусть вершины ромба обозначаются A, B, C и D. Нам даны две соседние вершины: $B(3; -1)$ и $C(5; -4)$. Найдем координаты двух других вершин, A и D.

Рассмотрим расположение данных вершин относительно осей симметрии:

Точка $B(3; -1)$ имеет абсциссу $x=3$, следовательно, она лежит на оси симметрии (диагонали) $x=3$. Пусть эта диагональ будет BD.

Точка $C(5; -4)$ имеет ординату $y=-4$, следовательно, она лежит на оси симметрии (диагонали) $y=-4$. Пусть эта диагональ будет AC.

Вершины ромба, лежащие на одной диагонали, симметричны относительно другой диагонали. Также можно использовать тот факт, что центр ромба $O$ является серединой каждой диагонали.

Найдем координаты вершины A, которая является противоположной вершине C. Точка O — середина диагонали AC. Пусть координаты вершины A — $(x_A; y_A)$. Тогда:

$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} \implies 3 = \frac{x_A + 5}{2} \implies 6 = x_A + 5 \implies x_A = 1$

$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} \implies -4 = \frac{y_A + (-4)}{2} \implies -8 = y_A - 4 \implies y_A = -4$

Таким образом, координаты вершины A равны $(1; -4)$.

Теперь найдем координаты вершины D, которая является противоположной вершине B. Точка O — середина диагонали BD. Пусть координаты вершины D — $(x_D; y_D)$. Тогда:

$x_O = \frac{x_B + x_D}{2} \implies 3 = \frac{3 + x_D}{2} \implies 6 = 3 + x_D \implies x_D = 3$

$y_O = \frac{y_B + y_D}{2} \implies -4 = \frac{-1 + y_D}{2} \implies -8 = -1 + y_D \implies y_D = -7$

Таким образом, координаты вершины D равны $(3; -7)$.

Итак, остальные вершины ромба — это $A(1; -4)$ и $D(3; -7)$.

Ответ: $(1; -4)$ и $(3; -7)$.

267. Найдите координаты точек, симметричных точкам $C (1; -2)$ и $D (0; -1)$ относительно прямой $y = -x$.

267. Найдите координаты точек, симметричных точкам $C(1; -2)$ и $D(0; -1)$ относительно прямой $y = -x$.

Для нахождения координат точки $A'(x', y')$, симметричной точке $A(x_0, y_0)$ относительно некоторой прямой, необходимо, чтобы выполнялись два условия:
1. Отрезок $AA'$ должен быть перпендикулярен этой прямой.
2. Середина отрезка $AA'$ должна лежать на этой прямой.

В данной задаче осью симметрии является прямая $l$, заданная уравнением $y = -x$.
Выведем общие формулы для преобразования координат.

1. Условие перпендикулярности. Угловой коэффициент прямой $y=-x$ равен $k_l = -1$. Прямая, перпендикулярная ей (в данном случае прямая $AA'$), будет иметь угловой коэффициент $k_{AA'} = \frac{-1}{k_l} = \frac{-1}{-1} = 1$.
Уравнение прямой $AA'$, проходящей через точку $A(x_0, y_0)$ с угловым коэффициентом 1, имеет вид: $y - y_0 = 1 \cdot (x - x_0)$, или $y - x = y_0 - x_0$. Так как точка $A'(x', y')$ лежит на этой прямой, ее координаты должны удовлетворять соотношению: $y' - x' = y_0 - x_0$.

2. Условие середины отрезка. Середина отрезка $AA'$, точка $M$, имеет координаты $M\left(\frac{x_0+x'}{2}; \frac{y_0+y'}{2}\right)$. Эта точка должна лежать на прямой $y=-x$. Подставим ее координаты в уравнение прямой:
$\frac{y_0+y'}{2} = -\frac{x_0+x'}{2}$
$y_0+y' = -x_0-x'$
$x' + y' = -x_0 - y_0$.

Таким образом, для нахождения $x'$ и $y'$ мы получили систему из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} y' - x' = y_0 - x_0 \\ y' + x' = -y_0 - x_0 \end{cases}$
Сложив два уравнения, получим: $2y' = -2x_0 \implies y' = -x_0$.
Вычтем первое уравнение из второго: $2x' = -2y_0 \implies x' = -y_0$.
Итак, мы получили общие формулы для нахождения координат точки, симметричной точке $(x_0, y_0)$ относительно прямой $y=-x$:
$x' = -y_0$
$y' = -x_0$
То есть, для получения координат симметричной точки нужно поменять исходные координаты местами и взять их с противоположными знаками.

Теперь применим эти формулы к заданным точкам.

Для точки C(1; -2)

Пусть $C'(x', y')$ — точка, симметричная точке $C(1; -2)$.
В данном случае $x_0 = 1, y_0 = -2$.
Используем выведенные формулы:
$x' = -y_0 = -(-2) = 2$
$y' = -x_0 = -(1) = -1$
Следовательно, координаты симметричной точки $C'$ равны $(2; -1)$.
Ответ: $(2; -1)$

Для точки D(0; -1)

Пусть $D'(x', y')$ — точка, симметричная точке $D(0; -1)$.
В данном случае $x_0 = 0, y_0 = -1$.
Используем выведенные формулы:
$x' = -y_0 = -(-1) = 1$
$y' = -x_0 = -(0) = 0$
Следовательно, координаты симметричной точки $D'$ равны $(1; 0)$.
Ответ: $(1; 0)$

268. Осями симметрии прямоугольника являются прямые $y = -2$ и $x = 1$. Одна из его вершин имеет координаты (4; -3). Найдите координаты остальных вершин прямоугольника.

268. Осями симметрии прямоугольника являются прямые $y = -2$ и $x = 1$. Одна из его вершин имеет координаты $(4; -3)$. Найдите координаты остальных вершин прямоугольника.

Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его противоположных сторон и пересекаются в его центре. По условию, оси симметрии заданы уравнениями $y = -2$ и $x = 1$. Следовательно, центр симметрии прямоугольника — это точка $O(1; -2)$, в которой пересекаются эти прямые.

Пусть данная вершина прямоугольника — это точка $A(4; -3)$. Остальные три вершины можно найти, используя свойство симметрии относительно осей и центра.

1. Найдем вершину, симметричную вершине $A$ относительно оси симметрии $x = 1$. Обозначим ее $B$. При симметрии относительно вертикальной прямой $x = c$ координата $y$ точки не меняется, а новая координата $x'$ вычисляется по формуле $x' = 2c - x$.
Для точки $A(4; -3)$ и оси $x = 1$ получаем:$x_B = 2 \cdot 1 - 4 = -2$
$y_B = -3$
Таким образом, координаты вершины $B$ равны $(-2; -3)$.

2. Найдем вершину, симметричную вершине $A$ относительно оси симметрии $y = -2$. Обозначим ее $D$. При симметрии относительно горизонтальной прямой $y = d$ координата $x$ точки не меняется, а новая координата $y'$ вычисляется по формуле $y' = 2d - y$.
Для точки $A(4; -3)$ и оси $y = -2$ получаем:$x_D = 4$
$y_D = 2 \cdot (-2) - (-3) = -4 + 3 = -1$
Таким образом, координаты вершины $D$ равны $(4; -1)$.

3. Четвертая вершина $C$ является противоположной вершине $A$, и она симметрична ей относительно центра $O(1; -2)$. Координаты точки $(x', y')$, симметричной точке $(x, y)$ относительно центра $(x_O, y_O)$, вычисляются по формулам $x' = 2x_O - x$ и $y' = 2y_O - y$.
Для точки $A(4; -3)$ и центра $O(1; -2)$ получаем:$x_C = 2 \cdot 1 - 4 = -2$
$y_C = 2 \cdot (-2) - (-3) = -4 + 3 = -1$
Таким образом, координаты вершины $C$ равны $(-2; -1)$.

Итак, мы нашли координаты трех остальных вершин прямоугольника: $(-2; -3)$, $(4; -1)$ и $(-2; -1)$.

Ответ: $(-2; -3)$, $(4; -1)$, $(-2; -1)$.