Страница 69 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

8. Найдите косинус меньшего угла треугольника, стороны которого равны 9 см, 10 см и 15 см.

8. Найдите косинус меньшего угла треугольника, стороны которого равны 9 см, 10 см и 15 см.

Для нахождения косинуса угла треугольника, зная все три его стороны, используется теорема косинусов. Она гласит, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$, где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол, противолежащий стороне $c$.

В любом треугольнике наименьший угол лежит напротив наименьшей стороны. В нашем случае стороны равны 9 см, 10 см и 15 см. Наименьшая сторона — 9 см. Следовательно, нам нужно найти косинус угла, противолежащего этой стороне.

Обозначим стороны треугольника:

• $a = 10$ см
• $b = 15$ см
• $c = 9$ см (наименьшая сторона)

Нам нужно найти косинус угла $\gamma$, который лежит напротив стороны $c$. Выразим $\cos(\gamma)$ из формулы теоремы косинусов:

$2ab \cos(\gamma) = a^2 + b^2 - c^2$

$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Подставим значения длин сторон в полученную формулу:

$\cos(\gamma) = \frac{10^2 + 15^2 - 9^2}{2 \cdot 10 \cdot 15}$

Произведем вычисления:

$\cos(\gamma) = \frac{100 + 225 - 81}{300}$

$\cos(\gamma) = \frac{325 - 81}{300}$

$\cos(\gamma) = \frac{244}{300}$

Теперь сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 4:

$\cos(\gamma) = \frac{244 \div 4}{300 \div 4} = \frac{61}{75}$

Ответ: $\frac{61}{75}$

9. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник, стороны которого равны:

1) 5 см, 8 см и 10 см;

2) 9 см, 10 см и 12 см;

3) 25 см, 24 см и 7 см.

9. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник, стороны которого равны:

1) 5 см, 8 см и 10 см;

2) 9 см, 10 см и 12 см;

3) 25 см, 24 см и 7 см.

Чтобы определить вид треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) по известным длинам его сторон, нужно сравнить квадрат самой длинной стороны с суммой квадратов двух других сторон. Пусть $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, где $c$ — самая длинная сторона.

• Если $c^2 < a^2 + b^2$, то треугольник является остроугольным.
• Если $c^2 = a^2 + b^2$, то треугольник является прямоугольным (согласно теореме, обратной теореме Пифагора).
• Если $c^2 > a^2 + b^2$, то треугольник является тупоугольным.

Применим это правило к каждому из случаев.

1) Стороны треугольника равны 5 см, 8 см и 10 см.
Самая длинная сторона $c = 10$ см. Две другие стороны $a = 5$ см и $b = 8$ см.
Найдем квадрат самой длинной стороны: $c^2 = 10^2 = 100$.
Найдем сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89$.
Сравним полученные значения: $100 > 89$.
Поскольку $c^2 > a^2 + b^2$, треугольник является тупоугольным.
Ответ: тупоугольный.

2) Стороны треугольника равны 9 см, 10 см и 12 см.
Самая длинная сторона $c = 12$ см. Две другие стороны $a = 9$ см и $b = 10$ см.
Найдем квадрат самой длинной стороны: $c^2 = 12^2 = 144$.
Найдем сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 9^2 + 10^2 = 81 + 100 = 181$.
Сравним полученные значения: $144 < 181$.
Поскольку $c^2 < a^2 + b^2$, треугольник является остроугольным.
Ответ: остроугольный.

3) Стороны треугольника равны 25 см, 24 см и 7 см.
Самая длинная сторона $c = 25$ см. Две другие стороны $a = 24$ см и $b = 7$ см.
Найдем квадрат самой длинной стороны: $c^2 = 25^2 = 625$.
Найдем сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625$.
Сравним полученные значения: $625 = 625$.
Поскольку $c^2 = a^2 + b^2$, треугольник является прямоугольным.
Ответ: прямоугольный.

10. Стороны параллелограмма равны 7 см и $6\sqrt{2}$ см, а один из углов равен $45^\circ$. Найдите диагонали параллелограмма.

2) 9 см, 10 см и 12 см;

10. Стороны параллелограмма равны 7 см и $6\sqrt{2}$ см, а один из углов равен $45^\circ$. Найдите диагонали параллелограмма.

Для нахождения диагоналей параллелограмма воспользуемся теоремой косинусов. Пусть стороны параллелограмма равны $a = 7$ см и $b = 6\sqrt{2}$ см. Один из углов равен 45°. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, следовательно, второй угол равен $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. Каждая диагональ является третьей стороной в треугольнике, образованном двумя сторонами параллелограмма.

Найдем меньшую диагональ ($d_1$), лежащую напротив угла 45°
По теореме косинусов: $d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(45^\circ)$.
Подставим известные значения:
$d_1^2 = 7^2 + (6\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 7 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ)$
Так как $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$d_1^2 = 49 + (36 \cdot 2) - 84\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$d_1^2 = 49 + 72 - \frac{84 \cdot 2}{2}$
$d_1^2 = 121 - 84 = 37$
$d_1 = \sqrt{37}$ см.
Ответ: $\sqrt{37}$ см.

Найдем большую диагональ ($d_2$), лежащую напротив угла 135°
Применим теорему косинусов для второго треугольника: $d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(135^\circ)$.
Так как $\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$d_2^2 = 7^2 + (6\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 7 \cdot 6\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$
$d_2^2 = 49 + 72 + \frac{84 \cdot 2}{2}$
$d_2^2 = 121 + 84 = 205$
$d_2 = \sqrt{205}$ см.
Ответ: $\sqrt{205}$ см.

11. Две стороны треугольника равны 5 см и 13 см, а синус угла между ними равен $\frac{2\sqrt{6}}{5}$. Найдите третью сторону треугольника.

11. Две стороны треугольника равны 5 см и 13 см, а синус угла между ними равен $ \frac{2\sqrt{6}}{5} $. Найдите третью сторону треугольника.

Для нахождения третьей стороны треугольника воспользуемся теоремой косинусов. Пусть известные стороны равны $a = 5$ см и $b = 13$ см, а угол между ними — $\gamma$. Третья сторона, которую нужно найти, — $c$.

Теорема косинусов записывается в виде формулы:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

По условию задачи известен синус угла $\gamma$: $\sin(\gamma) = \frac{2\sqrt{6}}{5}$. Чтобы применить теорему косинусов, нам необходимо найти $\cos(\gamma)$. Сделаем это с помощью основного тригонометрического тождества: $\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma) = 1$.

Выразим и вычислим квадрат косинуса:

$\cos^2(\gamma) = 1 - \sin^2(\gamma) = 1 - \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4 \cdot 6}{25} = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}$

Из этого следует, что косинус угла может принимать два значения, так как угол в треугольнике может быть как острым ($\cos(\gamma) > 0$), так и тупым ($\cos(\gamma) < 0$):

$\cos(\gamma) = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$ или $\cos(\gamma) = -\sqrt{\frac{1}{25}} = -\frac{1}{5}$

Так как в условии нет уточнений о виде угла, необходимо рассмотреть оба варианта.

Случай 1: Угол $\gamma$ острый ($\cos(\gamma) = \frac{1}{5}$)

Подставим значения в теорему косинусов:

$c^2 = 5^2 + 13^2 - 2 \cdot 5 \cdot 13 \cdot \frac{1}{5}$

$c^2 = 25 + 169 - 2 \cdot 13 = 194 - 26 = 168$

$c = \sqrt{168} = \sqrt{4 \cdot 42} = 2\sqrt{42}$ см.

Случай 2: Угол $\gamma$ тупой ($\cos(\gamma) = -\frac{1}{5}$)

Подставим значения в теорему косинусов:

$c^2 = 5^2 + 13^2 - 2 \cdot 5 \cdot 13 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)$

$c^2 = 25 + 169 + 2 \cdot 13 = 194 + 26 = 220$

$c = \sqrt{220} = \sqrt{4 \cdot 55} = 2\sqrt{55}$ см.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $2\sqrt{42}$ см или $2\sqrt{55}$ см.

12. Центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, удалён на 2 см и на $3\sqrt{3}$ см от вершин $A$ и $B$ соответственно. Найдите сторону $AB$, если $\angle C = 120^\circ$.

12. Центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, удалён на 2 см и на $3\sqrt{3}$ см от вершин $A$ и $B$ соответственно. Найдите сторону $AB$, если $\angle C=120^{\circ}$.

Пусть $I$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. По определению, центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, отрезки $AI$ и $BI$ являются биссектрисами углов $A$ и $B$ соответственно.

Из условия задачи нам даны расстояния от центра $I$ до вершин $A$ и $B$:
$IA = 2$ см
$IB = 3\sqrt{3}$ см

Также нам известен угол $C$: $\angle C = 120^{\circ}$.

Сумма углов в треугольнике $ABC$ составляет $180^{\circ}$. Найдем сумму углов $A$ и $B$:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$
$\angle A + \angle B + 120^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle A + \angle B = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$

Рассмотрим треугольник $AIB$. Так как $AI$ и $BI$ — биссектрисы, то углы этого треугольника при вершинах $A$ и $B$ равны половинам соответствующих углов треугольника $ABC$:
$\angle IAB = \frac{\angle A}{2}$
$\angle IBA = \frac{\angle B}{2}$

Сумма углов в треугольнике $AIB$ также равна $180^{\circ}$. Найдем угол $\angle AIB$:
$\angle AIB = 180^{\circ} - (\angle IAB + \angle IBA) = 180^{\circ} - \left(\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2}\right) = 180^{\circ} - \frac{\angle A + \angle B}{2}$

Подставим найденное значение суммы углов $\angle A + \angle B = 60^{\circ}$:
$\angle AIB = 180^{\circ} - \frac{60^{\circ}}{2} = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$

Теперь в треугольнике $AIB$ известны две стороны $IA=2$, $IB=3\sqrt{3}$ и угол между ними $\angle AIB = 150^{\circ}$. Для нахождения длины третьей стороны $AB$ воспользуемся теоремой косинусов:
$AB^2 = IA^2 + IB^2 - 2 \cdot IA \cdot IB \cdot \cos(\angle AIB)$

Подставим известные значения в формулу:
$AB^2 = 2^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos(150^{\circ})$
$AB^2 = 4 + 9 \cdot 3 - 12\sqrt{3} \cdot \cos(150^{\circ})$
$AB^2 = 4 + 27 - 12\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$AB^2 = 31 + \frac{12\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}$
$AB^2 = 31 + \frac{12 \cdot 3}{2}$
$AB^2 = 31 + 18$
$AB^2 = 49$

Извлекая квадратный корень, находим длину стороны $AB$:
$AB = \sqrt{49} = 7$ см.

Ответ: 7 см.

13. На сторонах $AB$ и $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) отмечены соответственно такие точки $M$ и $K$, что $AM = 4$ см, $KC = 3$ см. Найдите отрезок $KM$, если $AC = 6$ см, $BC = 2\sqrt{55}$ см.

13. На сторонах AB и AC прямоугольного треугольника ABC ($\angle C = 90^\circ$) отмечены соответственно такие точки M и K, что $AM = 4$ см, $KC = 3$ см. Найдите отрезок KM, если $AC = 6$ см, $BC = 2\sqrt{55}$ см.

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $AMK$. Согласно этой теореме, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов для стороны $KM$ в треугольнике $AMK$ выглядит так:$KM^2 = AM^2 + AK^2 - 2 \cdot AM \cdot AK \cdot \cos(\angle A)$

Нам известны следующие величины из условия задачи:

• $AM = 4$ см
• $AC = 6$ см
• $KC = 3$ см
• $BC = 2\sqrt{55}$ см
• $\triangle ABC$ — прямоугольный с $\angle C = 90^\circ$

1. Найдем длину отрезка AK.
Точка K лежит на стороне AC. Следовательно, длина всей стороны AC равна сумме длин ее частей AK и KC: $AC = AK + KC$.Отсюда выразим AK:$AK = AC - KC = 6 - 3 = 3$ см.

2. Найдем косинус угла A.
Угол A является острым углом в прямоугольном треугольнике ABC. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: $\cos(A) = \frac{AC}{AB}$.Длина катета AC нам известна ($AC = 6$ см), а длину гипотенузы AB мы можем найти по теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$.Подставим известные значения:$AB^2 = 6^2 + (2\sqrt{55})^2 = 36 + 4 \cdot 55 = 36 + 220 = 256$.$AB = \sqrt{256} = 16$ см.Теперь найдем косинус угла A:$\cos(A) = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.

3. Найдем длину отрезка KM.
Теперь у нас есть все необходимые данные для применения теоремы косинусов к треугольнику $AMK$:$AM = 4$ см, $AK = 3$ см, $\cos(A) = \frac{3}{8}$.Подставим эти значения в формулу:$KM^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac{3}{8}$$KM^2 = 16 + 9 - 24 \cdot \frac{3}{8}$$KM^2 = 25 - 3 \cdot 3$$KM^2 = 25 - 9$$KM^2 = 16$$KM = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

14. На продолжении стороны $AC$ треугольника $ABC$ за точку $A$ отметили точку $M$, а на продолжении стороны $BC$ за точку $B$ — точку $N$. Найдите отрезок $MN$, если $AM = 1$ см, $CN = 10$ см, $AB = 7$ см, $BC = 5$ см, $AC = 6$ см.

14. На продолжении стороны $AC$ треугольника $ABC$ за точку $A$ отметили точку $M$, а на продолжении стороны $BC$ за точку $B$ — точку $N$. Найдите отрезок $MN$, если $AM = 1$ см, $CN = 10$ см, $AB = 7$ см, $BC = 5$ см, $AC = 6$ см.

Для нахождения длины отрезка $MN$ рассмотрим треугольник $MCN$. Мы можем найти длину стороны $MN$ с помощью теоремы косинусов:

$MN^2 = MC^2 + CN^2 - 2 \cdot MC \cdot CN \cdot \cos(\angle MCN)$

Для этого нам необходимо найти длины сторон $MC$, $CN$ и косинус угла между ними, $\angle MCN$.

1. Найдем длину стороны $MC$. По условию, точка $M$ лежит на продолжении стороны $AC$ за точку $A$. Это значит, что точки $C$, $A$ и $M$ лежат на одной прямой, причем точка $A$ находится между $C$ и $M$. Следовательно, длина отрезка $MC$ равна сумме длин отрезков $AC$ и $AM$.
$MC = AC + AM = 6 \text{ см} + 1 \text{ см} = 7 \text{ см}$.

2. Длина стороны $CN$ дана в условии задачи: $CN = 10 \text{ см}$.

3. Найдем косинус угла $\angle MCN$. Угол $\angle MCN$ является тем же углом, что и угол $\angle ACB$ в треугольнике $ABC$. Мы можем найти косинус этого угла, применив теорему косинусов к треугольнику $ABC$.
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)$
Подставим известные значения длин сторон треугольника $ABC$: $AB = 7$ см, $AC = 6$ см, $BC = 5$ см.
$7^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos(\angle ACB)$
$49 = 36 + 25 - 60 \cdot \cos(\angle ACB)$
$49 = 61 - 60 \cdot \cos(\angle ACB)$
$60 \cdot \cos(\angle ACB) = 61 - 49$
$60 \cdot \cos(\angle ACB) = 12$
$\cos(\angle ACB) = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$.

Теперь у нас есть все данные для вычисления длины $MN$. Подставим найденные значения в формулу теоремы косинусов для треугольника $MCN$: $MC = 7$ см, $CN = 10$ см и $\cos(\angle MCN) = \frac{1}{5}$.
$MN^2 = 7^2 + 10^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{1}{5}$
$MN^2 = 49 + 100 - \frac{140}{5}$
$MN^2 = 149 - 28$
$MN^2 = 121$
$MN = \sqrt{121} = 11$ см.

Ответ: 11 см.

15. Две стороны треугольника относятся как $7 : 8$, а угол между ними равен $120^\circ$. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен $84 \text{ см}$.

15. Две стороны треугольника относятся как 7 : 8, а угол между ними равен 120°. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 84 см.

Пусть две стороны треугольника, отношение которых известно, равны $a$ и $b$, а третья сторона равна $c$. Угол между сторонами $a$ и $b$ равен $\gamma = 120^\circ$.

Согласно условию, $a : b = 7 : 8$. Мы можем выразить эти стороны через коэффициент пропорциональности $x$:
$a = 7x$
$b = 8x$

Для нахождения третьей стороны $c$ воспользуемся теоремой косинусов:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$
Подставим известные значения. Учитывая, что $\cos(120^\circ) = -0.5$ или $-\frac{1}{2}$, получим:
$c^2 = (7x)^2 + (8x)^2 - 2 \cdot (7x) \cdot (8x) \cdot (-\frac{1}{2})$
$c^2 = 49x^2 + 64x^2 + (7x)(8x)$
$c^2 = 49x^2 + 64x^2 + 56x^2$
$c^2 = 169x^2$
$c = \sqrt{169x^2} = 13x$ (длина стороны является положительной величиной).

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон:
$P = a + b + c$
По условию задачи, периметр равен 84 см. Подставим выражения для сторон через $x$ в формулу периметра:
$7x + 8x + 13x = 84$
$28x = 84$
$x = \frac{84}{28}$
$x = 3$

Теперь, зная значение $x$, мы можем найти длины сторон треугольника:
Первая сторона: $a = 7x = 7 \cdot 3 = 21$ см.
Вторая сторона: $b = 8x = 8 \cdot 3 = 24$ см.
Третья сторона: $c = 13x = 13 \cdot 3 = 39$ см.

Ответ: стороны треугольника равны 21 см, 24 см и 39 см.

16. Две стороны треугольника равны 6 см и 14 см, а угол, противолежащий большей из них, — $120^\circ$. Найдите третью сторону треугольника.

16. Две стороны треугольника равны 6 см и 14 см, а угол, противолежащий большей из них, — 120°. Найдите третью сторону треугольника.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. По условию задачи нам даны две стороны и угол, противолежащий большей из них.

Обозначим известные стороны:

• $a = 14$ см (большая сторона)
• $b = 6$ см

Угол, противолежащий большей стороне $a$, равен $\alpha = 120^{\circ}$.Требуется найти длину третьей стороны $c$.

Для нахождения неизвестной стороны воспользуемся теоремой косинусов. Согласно этой теореме, квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Запишем теорему косинусов для стороны $a$:$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)$

Подставим в эту формулу известные нам значения:$14^2 = 6^2 + c^2 - 2 \cdot 6 \cdot c \cdot \cos(120^{\circ})$

Выполним вычисления. Значение косинуса $120^{\circ}$ равно:$\cos(120^{\circ}) = \cos(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\cos(60^{\circ}) = -\frac{1}{2}$

Теперь подставим все числовые значения в уравнение:$196 = 36 + c^2 - 2 \cdot 6 \cdot c \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$$196 = 36 + c^2 + 6c$

Мы получили квадратное уравнение относительно неизвестной стороны $c$. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы привести уравнение к стандартному виду $Ax^2 + Bx + C = 0$:$c^2 + 6c + 36 - 196 = 0$$c^2 + 6c - 160 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-160) = 36 + 640 = 676$

Теперь найдем корни уравнения:$c = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 26}{2}$

Получаем два возможных значения для $c$:$c_1 = \frac{-6 + 26}{2} = \frac{20}{2} = 10$$c_2 = \frac{-6 - 26}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Поскольку длина стороны треугольника не может быть отрицательным числом, корень $c_2 = -16$ не подходит по смыслу задачи. Таким образом, единственное возможное значение для третьей стороны — это 10.

Ответ: 10 см.

17. Для сторон $a, b$ и $c$ треугольника выполняется равенство $b^2 = a^2 + c^2 + ac\sqrt{2}$. Докажите, что угол, противолежащий стороне $b$, равен 135°.

17. Для сторон $a$, $b$ и $c$ треугольника выполняется равенство $b^2 = a^2 + c^2 + ac\sqrt{2}$. Докажите, что угол, противолежащий стороне $b$, равен $135^{\circ}$.

Для доказательства воспользуемся теоремой косинусов. Обозначим угол, противолежащий стороне $b$, как $\beta$.

Теорема косинусов для стороны $b$ треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и углом $\beta$ между сторонами $a$ и $c$ гласит:

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\beta)$

В условии задачи дано следующее равенство:

$b^2 = a^2 + c^2 + ac\sqrt{2}$

Поскольку левые части обоих равенств одинаковы (равны $b^2$), мы можем приравнять их правые части:

$a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\beta) = a^2 + c^2 + ac\sqrt{2}$

Теперь упростим полученное уравнение. Вычтем из обеих частей $a^2 + c^2$:

$-2ac \cdot \cos(\beta) = ac\sqrt{2}$

Поскольку $a$ и $c$ — это длины сторон треугольника, они являются положительными числами ($a>0$, $c>0$), поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $-2ac$:

$\cos(\beta) = \frac{ac\sqrt{2}}{-2ac} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Нам нужно найти угол $\beta$, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Угол треугольника должен находиться в интервале $(0°, 180°)$. Единственный угол в этом диапазоне, удовлетворяющий данному условию, это:

$\beta = \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 135°$

Таким образом, мы доказали, что угол, противолежащий стороне $b$, равен $135°$, что и требовалось доказать.

Ответ: Угол, противолежащий стороне b, равен $135°$.

18. Стороны параллелограмма равны 15 см и 30 см, а его диагонали относятся как $9 : 13$. Найдите диагонали параллелограмма.

18. Стороны параллелограмма равны 15 см и 30 см, а его диагонали относятся как $9 : 13$. Найдите диагонали параллелограмма.

Для решения задачи воспользуемся свойством параллелограмма, согласно которому сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон (или удвоенной сумме квадратов двух его смежных сторон).

Пусть $a$ и $b$ — стороны параллелограмма, а $d_1$ и $d_2$ — его диагонали.

Формула имеет вид: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$.

По условию задачи:
$a = 15$ см
$b = 30$ см
Диагонали относятся как $9 : 13$.

Пусть $x$ — коэффициент пропорциональности, тогда длины диагоналей можно выразить как:
$d_1 = 9x$
$d_2 = 13x$

Подставим все известные значения в формулу:
$(9x)^2 + (13x)^2 = 2(15^2 + 30^2)$

Решим полученное уравнение:
$81x^2 + 169x^2 = 2(225 + 900)$
$250x^2 = 2 \cdot 1125$
$250x^2 = 2250$
$x^2 = \frac{2250}{250}$
$x^2 = 9$
$x = \sqrt{9} = 3$ (так как длина не может быть отрицательной).

Теперь найдем длины диагоналей, подставив значение $x$:
$d_1 = 9x = 9 \cdot 3 = 27$ см
$d_2 = 13x = 13 \cdot 3 = 39$ см

Ответ: 27 см и 39 см.