Страница 52 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

163. Точки $A (-3; 5)$, $B (2; 4)$ и $C (1; 3)$ — вершины треугольника $ABC$. Составьте уравнение прямой, содержащей медиану $BM$ треугольника $ABC$.

163. Точки $A (-3; 5)$, $B (2; 4)$ и $C (1; 3)$ — вершины треугольника $ABC$. Составьте уравнение прямой, содержащей медиану $BM$ треугольника $ABC$.

Медиана BM треугольника ABC соединяет вершину B с серединой M стороны AC. Чтобы найти уравнение прямой, содержащей медиану BM, необходимо сначала найти координаты точки M, а затем составить уравнение прямой, проходящей через точки B и M.

1. Нахождение координат точки M.

Точка M является серединой отрезка AC. Её координаты можно найти по формулам середины отрезка:

$x_M = \frac{x_A + x_C}{2}$

$y_M = \frac{y_A + y_C}{2}$

Подставим координаты точек A(-3; 5) и C(1; 3):

$x_M = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_M = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Таким образом, координаты точки M равны (-1; 4).

2. Составление уравнения прямой BM.

Теперь у нас есть две точки, принадлежащие искомой прямой: B(2; 4) и M(-1; 4).

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек B и M:

$\frac{x - 2}{-1 - 2} = \frac{y - 4}{4 - 4}$

$\frac{x - 2}{-3} = \frac{y - 4}{0}$

Поскольку y-координаты обеих точек B и M одинаковы и равны 4, прямая, проходящая через них, является горизонтальной линией. Уравнение такой линии имеет вид $y = c$, где $c$ - это постоянная y-координата.

В нашем случае уравнение прямой будет $y = 4$.

Альтернативно, из канонического уравнения можно получить общее уравнение прямой, умножив обе части на знаменатели:

$(y - 4) \cdot (-3) = (x - 2) \cdot 0$

$-3(y - 4) = 0$

$y - 4 = 0$

$y = 4$

Ответ: $y = 4$.

164. При каком значении $a$ точки $A (2; -3)$, $B (4; 1)$ и $C(a; -2)$ лежат на одной прямой?

164. При каком значении $a$ точки $A(2; -3)$, $B(4; 1)$ и $C(a; -2)$ лежат на одной прямой?

Для того чтобы три точки лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы угловые коэффициенты прямых, проходящих через любые две пары этих точек, были равны. Воспользуемся этим свойством для точек $A(2; -3)$, $B(4; 1)$ и $C(a; -2)$. Угловой коэффициент прямой AB должен быть равен угловому коэффициенту прямой AC (или BC).

1. Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через точки A и B.

Формула для нахождения углового коэффициента $k$ прямой, проходящей через точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, выглядит следующим образом:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Для точек $A(2; -3)$ и $B(4; 1)$ угловой коэффициент $k_{AB}$ будет равен:

$k_{AB} = \frac{1 - (-3)}{4 - 2} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

2. Выразим угловой коэффициент прямой, проходящей через точки B и C.

Для точек $B(4; 1)$ и $C(a; -2)$ угловой коэффициент $k_{BC}$ будет равен:

$k_{BC} = \frac{-2 - 1}{a - 4} = \frac{-3}{a - 4}$

3. Приравняем угловые коэффициенты и найдем значение a.

Так как все три точки должны лежать на одной прямой, то $k_{AB} = k_{BC}$.

$2 = \frac{-3}{a - 4}$

Решим это уравнение относительно $a$. Предполагая, что $a \neq 4$ (иначе знаменатель равен нулю, что соответствует вертикальной прямой, а прямая AB не является вертикальной), умножим обе части на $(a - 4)$:

$2(a - 4) = -3$

$2a - 8 = -3$

$2a = 8 - 3$

$2a = 5$

$a = \frac{5}{2} = 2.5$

Таким образом, при $a = 2.5$ точки A, B и C будут лежать на одной прямой.

Ответ: $a = 2.5$

165. Докажите, что окружность $(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 13$ и прямая $x - y = -4$ пересекаются, и найдите координаты точек их пересечения.

165. Докажите, что окружность $(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 13$ и прямая $x - y = -4$ пересекаются, и найдите координаты точек их пересечения.

Для решения задачи разделим ее на две части: сначала докажем, что окружность и прямая пересекаются, а затем найдем координаты точек их пересечения.

Чтобы доказать, что окружность и прямая пересекаются, необходимо найти расстояние от центра окружности до прямой и сравнить его с радиусом окружности. Если расстояние меньше радиуса, то прямая и окружность пересекаются в двух точках.

Уравнение окружности: $(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 13$.

Это уравнение вида $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра, а $r$ — радиус.

Таким образом, центр окружности находится в точке $O(-4, 1)$, а ее радиус $r = \sqrt{13}$.

Уравнение прямой: $x - y = -4$. Приведем его к общему виду $Ax + By + C = 0$:

$x - y + 4 = 0$

Здесь коэффициенты $A = 1$, $B = -1$, $C = 4$.

Расстояние $d$ от центра окружности $O(x_0, y_0)$ до прямой вычисляется по формуле:

Подставляем значения:

$d = \frac{|1 \cdot (-4) + (-1) \cdot 1 + 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-4 - 1 + 4|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{|-1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Теперь сравним расстояние $d$ с радиусом $r = \sqrt{13}$. Для удобства сравним их квадраты:

$d^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}$

$r^2 = (\sqrt{13})^2 = 13$

Поскольку $d^2 < r^2$ ($\frac{1}{2} < 13$), то и $d < r$.

Так как расстояние от центра окружности до прямой меньше ее радиуса, прямая пересекает окружность. Доказательство завершено.

Ответ: Прямая и окружность пересекаются, так как расстояние от центра окружности до прямой ($d = \frac{1}{\sqrt{2}}$) меньше радиуса окружности ($r = \sqrt{13}$).

Чтобы найти координаты точек пересечения, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнения окружности и уравнения прямой:

Из второго уравнения выразим $y$:

$y = x + 4$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(x + 4)^2 + ((x + 4) - 1)^2 = 13$

$(x + 4)^2 + (x + 3)^2 = 13$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(x^2 + 8x + 16) + (x^2 + 6x + 9) = 13$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 14x + 25 = 13$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 + 14x + 12 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 + 7x + 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-7$, а произведение равно $6$. Легко подобрать корни:

$x_1 = -1$

$x_2 = -6$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня, используя уравнение $y = x + 4$.

При $x_1 = -1$:

$y_1 = -1 + 4 = 3$

Таким образом, первая точка пересечения — $(-1, 3)$.

При $x_2 = -6$:

$y_2 = -6 + 4 = -2$

Таким образом, вторая точка пересечения — $(-6, -2)$.

Ответ: Координаты точек пересечения: $(-1, 3)$ и $(-6, -2)$.

166. Найдите расстояние от начала координат до прямой $x + 3y = -6$.

166. Найдите расстояние от начала координат до прямой $x+3y=-6$.

Для нахождения расстояния от точки до прямой используется специальная формула. Сначала необходимо привести уравнение прямой к общему виду $Ax + By + C = 0$.

Исходное уравнение прямой: $x + 3y = -6$.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить общий вид:
$x + 3y + 6 = 0$.
Отсюда мы можем определить коэффициенты: $A=1$, $B=3$, $C=6$.

Точка, от которой мы ищем расстояние, — это начало координат, то есть точка $M(x_0, y_0)$ с координатами $(0, 0)$.

Формула для вычисления расстояния $d$ от точки $(x_0, y_0)$ до прямой, заданной уравнением $Ax + By + C = 0$, выглядит следующим образом:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Теперь подставим известные значения в эту формулу:
$x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $A=1$, $B=3$, $C=6$.
$d = \frac{|1 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 6|}{\sqrt{1^2 + 3^2}}$

Произведем вычисления:
В числителе: $|1 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 6| = |0 + 0 + 6| = |6| = 6$.
В знаменателе: $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.

Таким образом, расстояние равно:
$d = \frac{6}{\sqrt{10}}$

Для упрощения ответа избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{10}$:
$d = \frac{6 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{6\sqrt{10}}{10}$

Сократим полученную дробь на 2:
$d = \frac{3\sqrt{10}}{5}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{10}}{5}$.

167. Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки A (-5; -9) и B (1; 3).

167. Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки $A(-5; -9)$ и $B(1; 3)$.

Геометрическое место центров окружностей, проходящих через две заданные точки A и B, есть множество всех точек плоскости, равноудаленных от точек A и B. Такое геометрическое место точек является серединным перпендикуляром к отрезку AB.

Пусть C(x, y) – произвольная точка, принадлежащая искомому геометрическому месту (центр окружности). Тогда расстояние от C до A должно быть равно расстоянию от C до B:

$CA = CB$

Для удобства вычислений возведем обе части равенства в квадрат, так как расстояния являются положительными величинами:

$CA^2 = CB^2$

Координаты заданных точек: A(−5; −9) и B(1; 3).

Используем формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Квадрат расстояния от точки C(x, y) до точки A(−5; −9):

$CA^2 = (x - (-5))^2 + (y - (-9))^2 = (x + 5)^2 + (y + 9)^2$

Квадрат расстояния от точки C(x, y) до точки B(1; 3):

$CB^2 = (x - 1)^2 + (y - 3)^2$

Приравняем полученные выражения, так как $CA^2 = CB^2$:

$(x + 5)^2 + (y + 9)^2 = (x - 1)^2 + (y - 3)^2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$x^2 + 10x + 25 + y^2 + 18y + 81 = x^2 - 2x + 1 + y^2 - 6y + 9$

Сократим члены $x^2$ и $y^2$, так как они присутствуют в обеих частях уравнения:

$10x + 25 + 18y + 81 = -2x + 1 - 6y + 9$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$10x + 18y + 106 = -2x - 6y + 10$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение в общем виде:

$(10x + 2x) + (18y + 6y) + (106 - 10) = 0$

$12x + 24y + 96 = 0$

Разделим все члены уравнения на их наибольший общий делитель, который равен 12, для упрощения:

$\frac{12x}{12} + \frac{24y}{12} + \frac{96}{12} = 0$

$x + 2y + 8 = 0$

Полученное линейное уравнение является уравнением прямой, которая и есть искомое геометрическое место центров окружностей.

Ответ: $x + 2y + 8 = 0$

168. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку $M (1; -4)$, угловой коэффициент которой равен:

1) 4;

2) 0.

168. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку $M(1;-4)$, угловой коэффициент которой равен:

1) $4$;

2) $0$.

Уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0)$ с угловым коэффициентом $k$, можно найти, используя уравнение прямой с угловым коэффициентом в виде $y - y_0 = k(x - x_0)$.

1)

Дана точка $M(1; -4)$ и угловой коэффициент $k = 4$.

Подставим координаты точки $x_0 = 1$, $y_0 = -4$ и значение углового коэффициента $k = 4$ в формулу:

$y - (-4) = 4(x - 1)$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение, чтобы привести его к стандартному виду $y = kx + b$:

$y + 4 = 4x - 4$

$y = 4x - 4 - 4$

$y = 4x - 8$

Ответ: $y = 4x - 8$

2)

Дана точка $M(1; -4)$ и угловой коэффициент $k = 0$.

Подставим эти значения в ту же формулу:

$y - (-4) = 0 \cdot (x - 1)$

Упростим выражение:

$y + 4 = 0$

$y = -4$

Это уравнение прямой, параллельной оси абсцисс (горизонтальной прямой), проходящей через точку с ординатой -4.

Ответ: $y = -4$

169. Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки:

1) $A (5; -2)$ и $B (-3; 1)$;

2) $A (4; 3)$ и $B (-3; 3)$.

169. Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки:

1) $A (5; -2)$ и $B (-3; 1);$

2) $A (4; 3)$ и $B (-3; 3).$

Угловой коэффициент прямой (тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс) для прямой, проходящей через две точки с координатами A$(x_1; y_1)$ и B$(x_2; y_2)$, вычисляется по формуле:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

1) A (5; -2) и B (-3; 1)

Для нахождения углового коэффициента подставим координаты данных точек в формулу. Примем координаты точки A как $(x_1; y_1)$, а точки B как $(x_2; y_2)$.

$x_1 = 5; y_1 = -2$

$x_2 = -3; y_2 = 1$

Теперь выполним вычисления:

$k = \frac{1 - (-2)}{-3 - 5} = \frac{1 + 2}{-8} = \frac{3}{-8} = -\frac{3}{8}$

Ответ: $-\frac{3}{8}$.

2) A (4; 3) и B (-3; 3)

Аналогично подставим координаты точек A и B в формулу углового коэффициента.

$x_1 = 4; y_1 = 3$

$x_2 = -3; y_2 = 3$

Выполняем вычисления:

$k = \frac{3 - 3}{-3 - 4} = \frac{0}{-7} = 0$

Угловой коэффициент равен нулю. Это означает, что прямая является горизонтальной, то есть параллельной оси абсцисс (оси Ox), так как ординаты (координаты y) обеих точек одинаковы.

Ответ: $0$.

170. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку K (2; -3) и параллельна прямой $y = -3x + 1$.

170. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку $K (2; -3)$ и параллельна прямой $y = -3x + 1$.

Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент (наклон прямой), а $b$ — свободный член (точка пересечения с осью $y$).

По условию, искомая прямая параллельна прямой $y = -3x + 1$. Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент данной прямой $y = -3x + 1$ равен $k = -3$.

Следовательно, угловой коэффициент искомой прямой также равен -3. Таким образом, ее уравнение будет иметь вид:

$y = -3x + b$

Чтобы найти значение $b$, мы используем второе условие: прямая проходит через точку $K(2; -3)$. Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой. Подставим значения $x = 2$ и $y = -3$ в полученное уравнение:

$-3 = -3 \cdot 2 + b$

Теперь решим это уравнение относительно $b$:

$-3 = -6 + b$

$b = -3 + 6$

$b = 3$

Теперь, зная угловой коэффициент $k = -3$ и свободный член $b = 3$, мы можем записать итоговое уравнение прямой:

$y = -3x + 3$

Ответ: $y = -3x + 3$

171. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку $E (-4; 3)$ и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол:

1) $30^\circ$;

2) $120^\circ$.

171. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку $E (-4; 3)$ и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол:

1) $30^\circ$;

2) $120^\circ$.

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через заданную точку $E(x_0; y_0)$ и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол $\alpha$, используется уравнение прямой с угловым коэффициентом:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

Здесь $k$ — угловой коэффициент, который равен тангенсу угла наклона прямой: $k = \tan(\alpha)$.

По условию задачи, прямая проходит через точку $E(-4; 3)$, следовательно, $x_0 = -4$ и $y_0 = 3$.

1) Угол $\alpha = 30^\circ$.

Найдем угловой коэффициент $k$:

$k = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Подставим координаты точки $E(-4; 3)$ и найденный угловой коэффициент в уравнение прямой:

$y - 3 = \frac{\sqrt{3}}{3}(x - (-4))$

$y - 3 = \frac{\sqrt{3}}{3}(x + 4)$

Чтобы привести уравнение к более удобному виду, умножим обе части на 3:

$3(y - 3) = \sqrt{3}(x + 4)$

$3y - 9 = \sqrt{3}x + 4\sqrt{3}$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить общее уравнение прямой:

$\sqrt{3}x - 3y + 9 + 4\sqrt{3} = 0$

Ответ: $\sqrt{3}x - 3y + 9 + 4\sqrt{3} = 0$.

2) Угол $\alpha = 120^\circ$.

Найдем угловой коэффициент $k$:

$k = \tan(120^\circ) = \tan(180^\circ - 60^\circ) = -\tan(60^\circ) = -\sqrt{3}$

Подставим координаты точки $E(-4; 3)$ и найденный угловой коэффициент в уравнение прямой:

$y - 3 = -\sqrt{3}(x - (-4))$

$y - 3 = -\sqrt{3}(x + 4)$

Раскроем скобки:

$y - 3 = -\sqrt{3}x - 4\sqrt{3}$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить общее уравнение прямой:

$\sqrt{3}x + y - 3 + 4\sqrt{3} = 0$

Ответ: $\sqrt{3}x + y - 3 + 4\sqrt{3} = 0$.

172. Запишите уравнение прямой, изображённой на рисунке 35.

Рис. 35

a

$y = x$

б

$y = -\sqrt{3}x + 3\sqrt{3}$

B

$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - 2$

172. Запишите уравнение прямой, изображённой на рисунке 35.

Рис. 35

a

Оси: $x$, $y$. Отметка: $0$. Угол: $45^\circ$.

б

Оси: $x$, $y$. Отметки: $0$, $3$. Угол: $120^\circ$.

B

Оси: $x$, $y$. Отметки: $0$, $-2$. Угол: $30^\circ$.

a
Общее уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью $y$.
Угловой коэффициент $k$ равен тангенсу угла $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси $x$.
Из рисунка видно, что прямая проходит через начало координат (0, 0), поэтому $b = 0$.
Угол наклона прямой к оси $x$ составляет $45°$. Следовательно, угловой коэффициент $k = \tan(45°) = 1$.
Подставив значения $k=1$ и $b=0$ в общее уравнение прямой, получаем $y = 1 \cdot x + 0$.
Таким образом, уравнение прямой: $y = x$.
Ответ: $y = x$.

б
Из рисунка видно, что угол наклона прямой к положительному направлению оси $x$ равен $120°$.
Найдем угловой коэффициент $k$:
$k = \tan(120°) = \tan(180° - 60°) = -\tan(60°) = -\sqrt{3}$.
Прямая пересекает ось $x$ в точке с координатами (3, 0). Подставим значения $x=3$, $y=0$ и $k=-\sqrt{3}$ в уравнение $y = kx + b$, чтобы найти $b$:
$0 = -\sqrt{3} \cdot 3 + b$
$b = 3\sqrt{3}$
Таким образом, уравнение прямой имеет вид $y = -\sqrt{3}x + 3\sqrt{3}$.
Ответ: $y = -\sqrt{3}x + 3\sqrt{3}$.

в
Из рисунка видно, что прямая пересекает ось $y$ в точке (0, -2). Следовательно, $b = -2$.
Угол наклона прямой к положительному направлению оси $x$ равен $30°$.
Найдем угловой коэффициент $k$:
$k = \tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Подставим найденные значения $k$ и $b$ в общее уравнение прямой $y = kx + b$.
Получаем уравнение $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - 2$.
Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - 2$.