Страница 50 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

142. Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, $A (4; -1)$, $B (-2; 7)$, $D (-3; -8)$. Найдите координаты вершины $C$.

142. Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, $A (4; -1)$, $B (-2; 7)$, $D (-3; -8)$. Найдите координаты вершины $C$.

Для нахождения координат вершины C параллелограмма ABCD воспользуемся свойством, что диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Пусть точка O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Это означает, что точка O является серединой как отрезка AC, так и отрезка BD.

Пусть координаты искомой вершины C равны $(x_C; y_C)$.

Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляются по формулам:
$x_{сер} = \frac{x_1 + x_2}{2}$
$y_{сер} = \frac{y_1 + y_2}{2}$

1. Найдем координаты середины диагонали BD.
Даны координаты точек B(-2; 7) и D(-3; -8). Пусть O$(x_O; y_O)$ — середина BD.
$x_O = \frac{-2 + (-3)}{2} = \frac{-5}{2} = -2.5$
$y_O = \frac{7 + (-8)}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5$
Таким образом, точка пересечения диагоналей O имеет координаты (-2.5; -0.5).

2. Найдем координаты вершины C.
Точка O(-2.5; -0.5) также является серединой диагонали AC. Даны координаты точки A(4; -1).
Используем формулы для середины отрезка AC:
$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} \Rightarrow -2.5 = \frac{4 + x_C}{2}$
$-5 = 4 + x_C$
$x_C = -5 - 4 = -9$

$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} \Rightarrow -0.5 = \frac{-1 + y_C}{2}$
$-1 = -1 + y_C$
$y_C = -1 + 1 = 0$
Следовательно, координаты вершины C равны (-9; 0).

Ответ: C(-9; 0)

143. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (-3; 7)$, $B (2; -4)$, $C (5; 1)$ и $D (0; 12)$ является параллелограммом.

143. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (-3; 7)$, $B (2; -4)$, $C (5; 1)$ и $D (0; 12)$ является параллелограммом.

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, можно воспользоваться одним из его свойств. Например, четырехугольник является параллелограммом, если две его противоположные стороны равны и параллельны. В векторной форме это означает, что векторы, соответствующие этим сторонам, должны быть равны. Проверим, выполняется ли равенство $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{AB}$, зная координаты его начальной точки $A(-3; 7)$ и конечной точки $B(2; -4)$. Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат конца и начала:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (2 - (-3); -4 - 7) = (5; -11)$

Теперь найдем координаты вектора $\vec{DC}$, зная координаты его начальной точки $D(0; 12)$ и конечной точки $C(5; 1)$:

$\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D) = (5 - 0; 1 - 12) = (5; -11)$

Сравним полученные координаты векторов: $\vec{AB} = (5; -11)$ и $\vec{DC} = (5; -11)$.

Так как соответствующие координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равны, то и сами векторы равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Равенство векторов означает, что они коллинеарны (следовательно, отрезки $AB$ и $DC$ параллельны) и их длины равны. Поскольку у четырехугольника $ABCD$ две противолежащие стороны ($AB$ и $DC$) параллельны и равны по длине, он является параллелограммом по признаку.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, что и требовалось доказать.

144. Найдите длину отрезка, концы которого лежат на осях координат, а серединой является точка $M(-6; 4)$.

144. Найдите длину отрезка, концы которого лежат на осях координат, а серединой является точка $M (-6; 4)$.

Пусть концы отрезка, назовем его AB, лежат на осях координат. Обозначим точку на оси абсцисс (Ox) как A, а точку на оси ординат (Oy) как B.Тогда их координаты имеют вид A($x_A$; 0) и B(0; $y_B$).

По условию, серединой отрезка AB является точка M с координатами (-6; 4). Координаты середины отрезка находятся как полусумма соответствующих координат его концов:$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$$y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$

Подставим известные значения в эти формулы, чтобы найти координаты точек A и B.Для координаты $x$:$-6 = \frac{x_A + 0}{2}$$x_A = -6 \cdot 2 = -12$

Для координаты $y$:$4 = \frac{0 + y_B}{2}$$y_B = 4 \cdot 2 = 8$

Таким образом, координаты концов отрезка: A(-12; 0) и B(0; 8).

Теперь найдем длину отрезка AB, используя формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Подставим координаты точек A(-12; 0) и B(0; 8) в формулу:$L_{AB} = \sqrt{(0 - (-12))^2 + (8 - 0)^2}$$L_{AB} = \sqrt{(12)^2 + (8)^2}$$L_{AB} = \sqrt{144 + 64}$$L_{AB} = \sqrt{208}$

Упростим полученное значение, разложив подкоренное выражение на множители:$208 = 16 \cdot 13$$L_{AB} = \sqrt{16 \cdot 13} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{13} = 4\sqrt{13}$

Ответ: $4\sqrt{13}$

145. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(-4; 1)$, $B(-2; 3)$, $C(3; -2)$ и $D(1; -4)$ является прямоугольником.

145. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (-4; 1)$, $B (-2; 3)$, $C (3; -2)$ и $D (1; -4)$ является прямоугольником.

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, можно использовать один из его признаков: если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Таким образом, доказательство будет состоять из двух шагов:

1. Доказать, что ABCD — параллелограмм (проверив равенство противоположных сторон).
2. Доказать, что диагонали AC и BD равны.

Координаты вершин: A(-4; 1), B(-2; 3), C(3; -2), D(1; -4).

Для вычисления длин отрезков будем использовать формулу расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

1. Найдем длины сторон четырехугольника

Вычислим длину каждой стороны:

• Длина стороны AB: $AB = \sqrt{(-2 - (-4))^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$.
• Длина стороны BC: $BC = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (-2 - 3)^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50}$.
• Длина стороны CD: $CD = \sqrt{(1 - 3)^2 + (-4 - (-2))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$.
• Длина стороны AD: $AD = \sqrt{(1 - (-4))^2 + (-4 - 1)^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50}$.

Так как противолежащие стороны попарно равны ($AB = CD = \sqrt{8}$ и $BC = AD = \sqrt{50}$), то по признаку параллелограмма, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

2. Найдем длины диагоналей

Теперь вычислим длины диагоналей AC и BD:

• Длина диагонали AC: $AC = \sqrt{(3 - (-4))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{7^2 + (-3)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$.
• Длина диагонали BD: $BD = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (-4 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}$.

Так как диагонали равны ($AC = BD = \sqrt{58}$), а четырехугольник является параллелограммом, то ABCD — прямоугольник, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырехугольник ABCD является прямоугольником.

146. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (-4; 2)$, $B (-3; 4)$, $C (-1; 3)$ и $D (-2; 1)$ является квадратом.

146. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(-4; 2)$, $B(-3; 4)$, $C(-1; 3)$ и $D(-2; 1)$ является квадратом.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является квадратом, необходимо установить, что все его стороны равны между собой, и его диагонали также равны между собой.

Найдём длины сторон и диагоналей четырёхугольника, используя формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Даны координаты вершин: A(-4; 2), B(-3; 4), C(-1; 3), D(-2; 1).

1. Вычислим длины сторон:
$AB = \sqrt{(-3 - (-4))^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$
$BC = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (3 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$
$CD = \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$
$DA = \sqrt{(-4 - (-2))^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

Все стороны равны: $AB = BC = CD = DA = \sqrt{5}$. Это означает, что четырёхугольник ABCD — ромб.

2. Вычислим длины диагоналей:
$AC = \sqrt{(-1 - (-4))^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$
$BD = \sqrt{(-2 - (-3))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

Диагонали равны: $AC = BD = \sqrt{10}$.

Поскольку четырёхугольник ABCD является ромбом (все стороны равны) и его диагонали равны, он является квадратом.

Ответ: Что и требовалось доказать.

147. Найдите координаты вершины $B$ равностороннего треугольника $ABC$, если известны координаты вершин $A (0; -4)$ и $C (0; 2)$.

147. Найдите координаты вершины $B$ равностороннего треугольника $ABC$, если известны координаты вершин $A (0; -4)$ и $C (0; 2)$.

Пусть искомая вершина B имеет координаты $(x; y)$.

Поскольку треугольник ABC является равносторонним, все его стороны равны по длине: $AB = BC = AC$.

1. Сначала найдем длину стороны AC, используя координаты вершин $A (0; -4)$ и $C (0; 2)$. Формула для нахождения расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ выглядит так:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
Подставим координаты точек A и C:
$AC = \sqrt{(0 - 0)^2 + (2 - (-4))^2} = \sqrt{0^2 + (2 + 4)^2} = \sqrt{6^2} = 6$.

Так как треугольник равносторонний, то длины всех его сторон равны 6: $AB = BC = AC = 6$.

2. Теперь составим уравнения для длин сторон AB и BC, используя координаты точки $B(x; y)$.
Длина стороны AB: $AB = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - (-4))^2} = \sqrt{x^2 + (y + 4)^2}$.
Длина стороны BC: $BC = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 2)^2} = \sqrt{x^2 + (y - 2)^2}$.

3. Так как $AB = 6$ и $BC = 6$, мы можем возвести обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня, и получить систему уравнений:
$AB^2 = x^2 + (y + 4)^2 = 36$
$BC^2 = x^2 + (y - 2)^2 = 36$
Получаем систему:
$\begin{cases} x^2 + (y+4)^2 = 36 \\ x^2 + (y-2)^2 = 36 \end{cases}$

4. Решим эту систему. Поскольку правые части обоих уравнений равны, мы можем приравнять их левые части:
$x^2 + (y + 4)^2 = x^2 + (y - 2)^2$
$(y + 4)^2 = (y - 2)^2$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы и квадрата разности:
$y^2 + 8y + 16 = y^2 - 4y + 4$
Перенесем слагаемые с $y$ в одну сторону, а константы в другую:
$8y + 4y = 4 - 16$
$12y = -12$
$y = -1$

5. Теперь, зная координату $y$, найдем координату $x$, подставив $y = -1$ в любое из уравнений системы. Воспользуемся вторым уравнением:
$x^2 + (-1 - 2)^2 = 36$
$x^2 + (-3)^2 = 36$
$x^2 + 9 = 36$
$x^2 = 36 - 9$
$x^2 = 27$
$x = \pm\sqrt{27} = \pm\sqrt{9 \cdot 3} = \pm 3\sqrt{3}$

Таким образом, мы получили две возможные точки для вершины B, которые симметричны относительно оси OY (на которой лежат точки A и C).

Ответ: $(3\sqrt{3}; -1)$ или $(-3\sqrt{3}; -1)$.

148. Точки M $(5; -2)$, N $(3; 4)$ и P $(-3; -6)$ — середины сторон некоторого треугольника. Найдите координаты его вершин.

148. Точки M $(5; -2)$, N $(3; 4)$ и P $(-3; -6)$ — середины сторон некоторого треугольника. Найдите координаты его вершин.

Пусть вершины искомого треугольника имеют координаты A($x_A$, $y_A$), B($x_B$, $y_B$) и C($x_C$, $y_C$). Точки M(5; -2), N(3; 4) и P(-3; -6) являются серединами его сторон. Примем, что M – середина стороны AB, N – середина стороны BC, а P – середина стороны AC.

Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов по формулам: $x_{сер} = \frac{x_1 + x_2}{2}$ и $y_{сер} = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

Используя эти формулы, составим систему уравнений для каждой координаты.

Для точки M(5; -2) как середины AB получаем:
$\frac{x_A + x_B}{2} = 5 \implies x_A + x_B = 10$ (1)
$\frac{y_A + y_B}{2} = -2 \implies y_A + y_B = -4$ (2)

Для точки N(3; 4) как середины BC:
$\frac{x_B + x_C}{2} = 3 \implies x_B + x_C = 6$ (3)
$\frac{y_B + y_C}{2} = 4 \implies y_B + y_C = 8$ (4)

Для точки P(-3; -6) как середины AC:
$\frac{x_A + x_C}{2} = -3 \implies x_A + x_C = -6$ (5)
$\frac{y_A + y_C}{2} = -6 \implies y_A + y_C = -12$ (6)

В результате мы получили две независимые системы уравнений: одну для абсцисс (координат x) и одну для ординат (координат y). Решим их по отдельности.

Решение для абсцисс
Система уравнений:
$\begin{cases} x_A + x_B = 10 \\ x_B + x_C = 6 \\ x_A + x_C = -6 \end{cases}$
Сложим все три уравнения: $(x_A + x_B) + (x_B + x_C) + (x_A + x_C) = 10 + 6 - 6$.
$2x_A + 2x_B + 2x_C = 10$
Разделим обе части на 2: $x_A + x_B + x_C = 5$.
Теперь найдем каждую координату, вычитая из полученного уравнения поочередно уравнения (1), (3) и (5):
$x_C = (x_A + x_B + x_C) - (x_A + x_B) = 5 - 10 = -5$
$x_A = (x_A + x_B + x_C) - (x_B + x_C) = 5 - 6 = -1$
$x_B = (x_A + x_B + x_C) - (x_A + x_C) = 5 - (-6) = 11$

Решение для ординат
Система уравнений:
$\begin{cases} y_A + y_B = -4 \\ y_B + y_C = 8 \\ y_A + y_C = -12 \end{cases}$
Сложим все три уравнения: $(y_A + y_B) + (y_B + y_C) + (y_A + y_C) = -4 + 8 - 12$.
$2y_A + 2y_B + 2y_C = -8$
Разделим обе части на 2: $y_A + y_B + y_C = -4$.
Аналогично находим координаты y:
$y_C = (y_A + y_B + y_C) - (y_A + y_B) = -4 - (-4) = 0$
$y_A = (y_A + y_B + y_C) - (y_B + y_C) = -4 - 8 = -12$
$y_B = (y_A + y_B + y_C) - (y_A + y_C) = -4 - (-12) = 8$

Таким образом, мы нашли координаты вершин треугольника: A(-1; -12), B(11; 8), C(-5; 0).

Ответ: Координаты вершин треугольника: (-1; -12), (11; 8), (-5; 0).

149. Определите по уравнению окружности координаты её центра и радиус:

1) $(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25;$

2) $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 49;$

3) $x^2 + (y - 4)^2 = 16;$

4) $(x + 3)^2 + y^2 = 12.$

149. Определите по уравнению окружности координаты её центра и радиус:

1) $(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25;$

2) $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 49;$

3) $x^2 + (y - 4)^2 = 16;$

4) $(x + 3)^2 + y^2 = 12.$

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. Сравнивая каждое данное уравнение с этим общим видом, мы можем определить координаты центра и радиус.

1) В уравнении $(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25$ сравниваем с общей формулой. Координаты центра $(x_0, y_0)$ равны $(3, 5)$. Квадрат радиуса $R^2 = 25$, следовательно, радиус $R = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: Центр (3; 5), радиус 5.

2) Уравнение $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 49$ можно переписать в стандартном виде как $(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = 49$. Отсюда координаты центра $(x_0, y_0)$ равны $(-2, 1)$. Квадрат радиуса $R^2 = 49$, значит, радиус $R = \sqrt{49} = 7$.
Ответ: Центр (-2; 1), радиус 7.

3) Уравнение $x^2 + (y - 4)^2 = 16$ можно переписать в стандартном виде как $(x - 0)^2 + (y - 4)^2 = 16$. Отсюда координаты центра $(x_0, y_0)$ равны $(0, 4)$. Квадрат радиуса $R^2 = 16$, значит, радиус $R = \sqrt{16} = 4$.
Ответ: Центр (0; 4), радиус 4.

4) Уравнение $(x + 3)^2 + y^2 = 12$ можно переписать в стандартном виде как $(x - (-3))^2 + (y - 0)^2 = 12$. Отсюда координаты центра $(x_0, y_0)$ равны $(-3, 0)$. Квадрат радиуса $R^2 = 12$, значит, радиус $R = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
Ответ: Центр (-3; 0), радиус $2\sqrt{3}$.

150. Составьте уравнение окружности, если известны координаты её центра $P$ и радиус $R$:

1) $P(-3; 1)$, $R=3$;

2) $P(0; 2)$, $R=2$;

3) $P(-4; 0)$, $R=\sqrt{5}$.

150. Составьте уравнение окружности, если известны координаты её центра $P$ и радиус $R$:

1) $P(-3; 1)$, $R = 3$;

2) $P(0; 2)$, $R = 2$;

3) $P(-4; 0)$, $R = \sqrt{5}$.

Общее уравнение окружности с центром в точке с координатами $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

Для составления уравнения окружности в каждом случае подставим заданные координаты центра $P(x_0; y_0)$ и значение радиуса $R$ в эту формулу.

1)

Координаты центра окружности $P(-3; 1)$, следовательно, $x_0 = -3$ и $y_0 = 1$.

Радиус $R = 3$.

Подставляем эти значения в общую формулу уравнения окружности:

$(x - (-3))^2 + (y - 1)^2 = 3^2$

Упрощаем выражение:

$(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 9$

Ответ: $(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 9$

2)

Координаты центра окружности $P(0; 2)$, следовательно, $x_0 = 0$ и $y_0 = 2$.

Радиус $R = 2$.

Подставляем значения в формулу:

$(x - 0)^2 + (y - 2)^2 = 2^2$

Упрощаем выражение:

$x^2 + (y - 2)^2 = 4$

Ответ: $x^2 + (y - 2)^2 = 4$

3)

Координаты центра окружности $P(-4; 0)$, следовательно, $x_0 = -4$ и $y_0 = 0$.

Радиус $R = \sqrt{5}$.

Подставляем значения в формулу:

$(x - (-4))^2 + (y - 0)^2 = (\sqrt{5})^2$

Упрощаем выражение:

$(x + 4)^2 + y^2 = 5$

Ответ: $(x + 4)^2 + y^2 = 5$

151. Составьте уравнение окружности с центром в точке $T(-1; 2)$, проходящей через точку $A(3; -5)$.

151. Составьте уравнение окружности с центром в точке $T(-1; 2)$, проходящей через точку $A(3; -5)$.

Каноническое уравнение окружности с центром в точке $(h; k)$ и радиусом $r$ имеет вид:

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

Согласно условию, центр окружности находится в точке $T(-1; 2)$. Это означает, что $h = -1$ и $k = 2$. Подставим координаты центра в уравнение окружности:

$(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = r^2$

$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = r^2$

Так как окружность проходит через точку $A(3; -5)$, то радиус $r$ равен расстоянию между центром $T(-1; 2)$ и точкой $A(3; -5)$. Для нахождения радиуса используем формулу расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Вычислим квадрат радиуса $r^2$:

$r^2 = (3 - (-1))^2 + (-5 - 2)^2 = (3 + 1)^2 + (-7)^2 = 4^2 + (-7)^2 = 16 + 49 = 65$

Теперь подставим найденное значение $r^2$ в уравнение окружности:

$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 65$

Ответ: $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 65$

152. Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок $AB$, если $A(-3; 9)$, $B(5; -7)$.

152. Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок $AB$, если $A (-3; 9)$, $B (5; -7)$.

Уравнение окружности в общем виде записывается как $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

1. Нахождение координат центра окружности

Поскольку отрезок $AB$ является диаметром окружности, её центр $O(x_0, y_0)$ находится в середине этого отрезка. Для нахождения координат центра воспользуемся формулой координат середины отрезка:

$x_0 = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_0 = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{9 + (-7)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Следовательно, центр окружности — точка $O(1; 1)$.

2. Нахождение радиуса окружности

Радиус окружности $R$ — это расстояние от центра до любой точки на окружности, например, до точки $A$. Для уравнения нам понадобится квадрат радиуса $R^2$. Вычислим его, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками $O(1; 1)$ и $A(-3; 9)$:

$R^2 = (x_A - x_0)^2 + (y_A - y_0)^2$

$R^2 = (-3 - 1)^2 + (9 - 1)^2 = (-4)^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80$

3. Составление уравнения окружности

Теперь подставим найденные координаты центра $(x_0; y_0) = (1; 1)$ и значение квадрата радиуса $R^2 = 80$ в общее уравнение окружности:

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 80$

Ответ: $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 80$

153. Составьте уравнение окружности, радиусом которой является отрезок DE, если D $(4; -5)$, E $(-2; -7)$.

153. Составьте уравнение окружности, радиусом которой является отрезок $DE$, если $D (4; -5)$, $E (-2; -7)$.

Стандартное уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

По условию, радиусом является отрезок $DE$. Это значит, что длина радиуса $R$ равна длине отрезка $DE$, а центром окружности является одна из точек на концах этого отрезка — либо $D$, либо $E$.

Для начала, найдем квадрат радиуса $R^2$, вычислив квадрат длины отрезка $DE$ с концами в точках $D(4; -5)$ и $E(-2; -7)$.

Используем формулу квадрата расстояния между двумя точками:

$R^2 = |DE|^2 = (x_E - x_D)^2 + (y_E - y_D)^2$

$R^2 = (-2 - 4)^2 + (-7 - (-5))^2 = (-6)^2 + (-2)^2 = 36 + 4 = 40$.

Теперь рассмотрим два возможных случая для центра окружности.

Случай 1: Центр окружности находится в точке D(4; -5).

Если центр — это точка $D(4; -5)$, то $x_0 = 4$ и $y_0 = -5$. Учитывая, что $R^2 = 40$, уравнение окружности будет:

$(x - 4)^2 + (y - (-5))^2 = 40$

$(x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 40$

Случай 2: Центр окружности находится в точке E(-2; -7).

Если центр — это точка $E(-2; -7)$, то $x_0 = -2$ и $y_0 = -7$. Учитывая, что $R^2 = 40$, уравнение окружности будет:

$(x - (-2))^2 + (y - (-7))^2 = 40$

$(x + 2)^2 + (y + 7)^2 = 40$

Поскольку условие не уточняет, какая из точек является центром, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $(x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 40$ или $(x + 2)^2 + (y + 7)^2 = 40$.

154. Составьте уравнение окружности с центром в точке $A (2; -3)$, которая касается оси абсцисс.

154. Составьте уравнение окружности с центром в точке $A (2; -3)$, которая касается оси абсцисс.

Общее уравнение окружности с центром в точке с координатами $(a; b)$ и радиусом $r$ имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$.

По условию задачи, центр окружности находится в точке $A(2; -3)$. Следовательно, координаты центра $a = 2$ и $b = -3$.

Окружность касается оси абсцисс (оси $Ox$). Это означает, что расстояние от центра окружности до оси $Ox$ равно радиусу окружности. Расстояние от любой точки до оси абсцисс равно абсолютному значению ее ординаты (координаты $y$).

Ордината центра окружности $A(2; -3)$ равна -3. Таким образом, радиус окружности $r$ равен абсолютному значению ординаты центра:

$r = |-3| = 3$.

Теперь, зная координаты центра $(a=2, b=-3)$ и радиус $(r=3)$, мы можем подставить эти значения в общее уравнение окружности:

$(x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 3^2$

Упростив выражение, получаем искомое уравнение:

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9$

Ответ: $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9$.