Страница 44 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

77. Пусть $a_4$ — сторона квадрата, $R$ и $r$ — соответственно радиусы описанной около него и вписанной в него окружностей. Заполните таблицу (размеры даны в сантиметрах).

77. Пусть $a_4$ — сторона квадрата, $R$ и $r$ — соответственно радиусы описанной около него и вписанной в него окружностей. Заполните таблицу (размеры даны в сантиметрах).

Для решения задачи воспользуемся формулами, связывающими сторону квадрата $a_4$ с радиусами вписанной ($r$) и описанной ($R$) окружностей. Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата, а радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата.

Основные формулы:

• Связь радиуса вписанной окружности и стороны квадрата: $r = \frac{a_4}{2}$
• Связь радиуса описанной окружности и стороны квадрата: $R = \frac{a_4\sqrt{2}}{2}$

Из этих формул можно вывести и другие соотношения:

• $a_4 = 2r$
• $a_4 = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$
• $R = r\sqrt{2}$

Теперь заполним таблицу, используя эти формулы.

Для первой строки таблицы

Дано: сторона квадрата $a_4 = 6$ см.
Находим радиус вписанной окружности $r$:
$r = \frac{a_4}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.
Находим радиус описанной окружности $R$:
$R = \frac{a_4\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.
Ответ: $R = 3\sqrt{2}$, $r = 3$.

Для второй строки таблицы

Дано: радиус описанной окружности $R = 8$ см.
Находим сторону квадрата $a_4$ из формулы $R = \frac{a_4\sqrt{2}}{2}$:
$a_4 = \frac{2R}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot 8}{\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$ см.
Находим радиус вписанной окружности $r$:
$r = \frac{a_4}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.
Ответ: $a_4 = 8\sqrt{2}$, $r = 4\sqrt{2}$.

Для третьей строки таблицы

Дано: радиус вписанной окружности $r = 2\sqrt{2}$ см.
Находим сторону квадрата $a_4$ из формулы $r = \frac{a_4}{2}$:
$a_4 = 2r = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.
Находим радиус описанной окружности $R$:
$R = \frac{a_4\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{4 \cdot 2}{2} = 4$ см.
Ответ: $a_4 = 4\sqrt{2}$, $R = 4$.

Итоговая заполненная таблица:

78. Найдите радиусы описанной около правильного треугольника и вписанной в него окружностей, если их разность равна 7 см.

78. Найдите радиусы описанной около правильного треугольника и вписанной в него окружностей, если их разность равна 7 см.

Обозначим радиус описанной около правильного треугольника окружности как $R$, а радиус вписанной в него окружности как $r$.

Из условия задачи известно, что разность этих радиусов равна 7 см. Поскольку радиус описанной окружности всегда больше радиуса вписанной ($R > r$), можно составить уравнение:
$R - r = 7$

В правильном (равностороннем) треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Эта точка является точкой пересечения медиан, которые делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус описанной окружности $R$ равен 2/3 длины медианы, а радиус вписанной окружности $r$ равен 1/3 длины медианы. Отсюда следует важное соотношение:
$R = 2r$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:
1) $R - r = 7$
2) $R = 2r$

Подставим выражение для $R$ из второго уравнения в первое:
$2r - r = 7$
$r = 7$ см

Мы нашли радиус вписанной окружности. Теперь, используя второе уравнение, найдем радиус описанной окружности:
$R = 2 \cdot r = 2 \cdot 7 = 14$ см

Проверка: $R - r = 14 - 7 = 7$ см, что соответствует условию задачи.

Ответ: радиус вписанной окружности равен 7 см, а радиус описанной окружности — 14 см.

79. Найдите отношение площадей правильных треугольника и шестиугольника, стороны которых равны.

79. Найдите отношение площадей правильных треугольника и шестиугольника, стороны которых равны.

Для решения задачи найдем площади правильного треугольника и правильного шестиугольника со стороной $a$, а затем вычислим их отношение.

1. Площадь правильного треугольника

Площадь правильного (равностороннего) треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{треуг} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

2. Площадь правильного шестиугольника

Правильный шестиугольник со стороной $a$ можно разбить на шесть правильных (равносторонних) треугольников, сторона каждого из которых также равна $a$.

Следовательно, площадь шестиугольника равна шести площадям такого треугольника:

$S_{шест} = 6 \cdot S_{треуг} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$

3. Отношение площадей

Найдем отношение площади правильного треугольника к площади правильного шестиугольника:

$\frac{S_{треуг}}{S_{шест}} = \frac{\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}}{\frac{6a^2 \sqrt{3}}{4}}$

Сократим одинаковый множитель $\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{S_{треуг}}{S_{шест}} = \frac{1}{6}$

Таким образом, отношение площадей составляет 1 к 6.

Ответ: $1:6$.

80. Найдите площадь правильного восьмиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6 см.

80. Найдите площадь правильного восьмиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6 см.

Правильный восьмиугольник, вписанный в окружность, можно представить как совокупность 8 равных равнобедренных треугольников, вершины которых сходятся в центре окружности. Боковые стороны каждого такого треугольника равны радиусу описанной окружности.

Дано:

• Количество сторон многоугольника: $n = 8$
• Радиус описанной окружности: $R = 6$ см

1. Найдем центральный угол $\alpha$, который является углом при вершине каждого из 8 равнобедренных треугольников.

$\alpha = \frac{360^\circ}{n} = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$

2. Вычислим площадь одного такого треугольника ($S_{тр}$) по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними. В нашем случае две стороны — это радиусы $R$.

$S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2}R^2\sin(\alpha)$

Подставим наши значения:

$S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \sin(45^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 18 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2}$ см².

3. Площадь всего восьмиугольника ($S_8$) равна произведению площади одного треугольника на их количество (т.е. на 8).

$S_8 = 8 \cdot S_{тр} = 8 \cdot 9\sqrt{2} = 72\sqrt{2}$ см².

Ответ: $72\sqrt{2}$ см².

81. Отрезки $AB$, $BC$ и $CD$ — три последовательные стороны правильного многоугольника. Продолжения сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$, $\angle BKC = 160^\circ$. Найдите количество сторон многоугольника.

81. Отрезки $AB, BC$ и $CD$ — три последовательные стороны правильного многоугольника. Продолжения сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$, $\angle BKC = 160^\circ$. Найдите количество сторон многоугольника.

Пусть $n$ — количество сторон правильного многоугольника.Все внутренние углы правильного n-угольника равны, и все внешние углы также равны.Обозначим величину внешнего угла многоугольника через $\beta$. Величина внешнего угла связана с количеством сторон $n$ формулой:$\beta = \frac{360^\circ}{n}$

Рассмотрим треугольник $KBC$, образованный пересечением продолжений сторон $AB$ и $CD$.Вершины многоугольника $A$, $B$, $C$, $D$ идут последовательно.Угол $\angle KBC$ является внешним углом многоугольника при вершине $B$. Следовательно, $\angle KBC = \beta$.Аналогично, угол $\angle KCB$ является внешним углом многоугольника при вершине $C$. Следовательно, $\angle KCB = \beta$.Таким образом, треугольник $KBC$ является равнобедренным, так как углы при его основании $BC$ равны: $\angle KBC = \angle KCB$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $KBC$ имеем:$\angle BKC + \angle KBC + \angle KCB = 180^\circ$

По условию задачи $\angle BKC = 160^\circ$. Подставим известные значения в уравнение:$160^\circ + \beta + \beta = 180^\circ$$160^\circ + 2\beta = 180^\circ$$2\beta = 180^\circ - 160^\circ$$2\beta = 20^\circ$$\beta = 10^\circ$

Теперь, зная величину внешнего угла, мы можем найти количество сторон многоугольника $n$:$n = \frac{360^\circ}{\beta} = \frac{360^\circ}{10^\circ} = 36$

Следовательно, у многоугольника 36 сторон.
Ответ: 36

82. Диагональ квадрата равна $6\sqrt{2}$ см. Чему равен радиус:

1) описанной около него окружности;

2) вписанной в него окружности?

82. Диагональ квадрата равна $6\sqrt{2}$ см. Чему равен радиус:

1) описанной около него окружности;

2) вписанной в него окружности?

Пусть $a$ — сторона квадрата, а $d$ — его диагональ. По условию задачи, $d = 6\sqrt{2}$ см.
Сторону квадрата можно найти, используя теорему Пифагора, так как диагональ делит квадрат на два равных прямоугольных треугольника, где стороны квадрата являются катетами, а диагональ — гипотенузой:
$a^2 + a^2 = d^2$
$2a^2 = (6\sqrt{2})^2$
$2a^2 = 36 \cdot 2$
$2a^2 = 72$
$a^2 = 36$
$a = 6$ см.
Теперь, зная сторону и диагональ квадрата, мы можем найти радиусы описанной и вписанной окружностей.

1) описанной около него окружности
Диаметр описанной около квадрата окружности равен диагонали этого квадрата. Следовательно, радиус $R$ описанной окружности равен половине диагонали.
$R = \frac{d}{2}$
$R = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.
Ответ: $3\sqrt{2}$ см.

2) вписанной в него окружности
Диаметр вписанной в квадрат окружности равен стороне этого квадрата. Следовательно, радиус $r$ вписанной окружности равен половине стороны.
$r = \frac{a}{2}$
$r = \frac{6}{2} = 3$ см.
Ответ: 3 см.

83. В правильный треугольник со стороной $2\sqrt{3}$ см вписана окружность. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность.

83. В правильный треугольник со стороной $2\sqrt{3}$ см вписана окружность. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность.

Решение задачи можно разделить на два этапа. Сначала мы найдем радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, а затем, зная радиус, найдем сторону квадрата, вписанного в эту окружность.

1. Нахождение радиуса вписанной окружности

Радиус $r$ окружности, вписанной в правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$, находится по формуле:

$r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$ или $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

По условию задачи, сторона правильного треугольника $a = 2\sqrt{3}$ см. Подставим это значение в формулу:

$r = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1$ см.

2. Нахождение стороны квадрата, вписанного в окружность

Теперь у нас есть окружность с радиусом $r = 1$ см. В эту окружность вписан квадрат. Диагональ $d$ квадрата, вписанного в окружность, равна ее диаметру $D$.

$D = 2r = 2 \times 1 = 2$ см.

Следовательно, диагональ квадрата $d = 2$ см.

Сторона квадрата $b$ связана с его диагональю $d$ соотношением (по теореме Пифагора):

$d = b\sqrt{2}$

Выразим сторону $b$:

$b = \frac{d}{\sqrt{2}}$

Подставим значение диагонали $d=2$ см:

$b = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ см.

Ответ: $\sqrt{2}$ см.

84. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 6 см, а радиус окружности, вписанной в него, — $3\sqrt{2}$ см. Найдите сторону многоугольника и количество его сторон.

84. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 6 см, а радиус окружности, вписанной в него, — $3\sqrt{2}$ см. Найдите сторону многоугольника и количество его сторон.

Для решения задачи воспользуемся формулами, связывающими радиус описанной окружности ($R$), радиус вписанной окружности ($r$), сторону ($a_n$) и число сторон ($n$) правильного многоугольника.

Основные соотношения в прямоугольном треугольнике, образованном радиусами $R$ (гипотенуза), $r$ (катет) и половиной стороны $a_n/2$ (второй катет):

$r = R \cos(\frac{180^\circ}{n})$

$ \frac{a_n}{2} = R \sin(\frac{180^\circ}{n}) \implies a_n = 2R \sin(\frac{180^\circ}{n})$

Дано: $R = 6$ см, $r = 3\sqrt{2}$ см.

Сначала найдем количество сторон многоугольника $n$. Для этого используем формулу, связывающую $R$ и $r$:

$r = R \cos(\frac{180^\circ}{n})$

Подставим известные значения:

$3\sqrt{2} = 6 \cdot \cos(\frac{180^\circ}{n})$

Отсюда найдем значение косинуса:

$\cos(\frac{180^\circ}{n}) = \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, составляет $45^\circ$. Следовательно:

$\frac{180^\circ}{n} = 45^\circ$

Теперь найдем $n$:

$n = \frac{180^\circ}{45^\circ} = 4$

Таким образом, данный многоугольник является правильным четырехугольником (квадратом).

Ответ: количество сторон многоугольника равно 4.

Теперь, зная количество сторон $n=4$, мы можем найти длину стороны $a_n$ (в данном случае $a_4$). Воспользуемся формулой:

$a_n = 2R \sin(\frac{180^\circ}{n})$

Подставим значения $R = 6$ и $n = 4$:

$a_4 = 2 \cdot 6 \cdot \sin(\frac{180^\circ}{4}) = 12 \cdot \sin(45^\circ)$

Зная, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$a_4 = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см

Ответ: сторона многоугольника равна $6\sqrt{2}$ см.

85. В окружность радиуса 12 см вписан квадрат. В этот квадрат вписана окружность, а в окружность — правильный шестиугольник. Найдите сторону шестиугольника.

85. В окружность радиуса 12 см вписан квадрат. В этот квадрат вписана окружность, а в окружность — правильный шестиугольник. Найдите сторону шестиугольника.

Пусть $R_1$ - радиус первой (самой большой) окружности. По условию, $R_1 = 12$ см.

В эту окружность вписан квадрат. Диагональ $d_{кв}$ квадрата, вписанного в окружность, равна диаметру этой окружности. $d_{кв} = 2R_1 = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Зная диагональ квадрата, можно найти его сторону $a_{кв}$ по формуле $d_{кв} = a_{кв}\sqrt{2}$. $a_{кв} = \frac{d_{кв}}{\sqrt{2}} = \frac{24}{\sqrt{2}} = \frac{24\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2}$ см.

Далее, в этот квадрат вписана вторая окружность. Радиус $R_2$ окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны. $R_2 = \frac{a_{кв}}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Наконец, в эту вторую окружность вписан правильный шестиугольник. Сторона $a_{шест}$ правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности. Следовательно, сторона шестиугольника равна $R_2$. $a_{шест} = R_2 = 6\sqrt{2}$ см.

Ответ: $6\sqrt{2}$ см.