Страница 41 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

49. Меньшая сторона треугольника равна 8 см, а вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как $2 : 5 : 8$. Найдите неизвестные стороны треугольника.

49. Меньшая сторона треугольника равна 8 см, а вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как $2 : 5 : 8$. Найдите неизвестные стороны треугольника.

Пусть градусные меры трёх дуг, на которые вершины треугольника делят описанную окружность, относятся как $2:5:8$. Обозначим их как $2x$, $5x$ и $8x$.

1. Найдём градусные меры дуг.

Сумма градусных мер всех трёх дуг составляет полную окружность, то есть $360^\circ$. Составим и решим уравнение:

$2x + 5x + 8x = 360^\circ$

$15x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{15} = 24^\circ$

Теперь можем найти градусные меры каждой дуги:

• Меньшая дуга: $2x = 2 \cdot 24^\circ = 48^\circ$
• Средняя дуга: $5x = 5 \cdot 24^\circ = 120^\circ$
• Большая дуга: $8x = 8 \cdot 24^\circ = 192^\circ$

2. Найдём углы треугольника.

Величина вписанного в окружность угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Таким образом, углы треугольника равны половинам градусных мер найденных дуг:

Первый угол: $\alpha = \frac{48^\circ}{2} = 24^\circ$

Второй угол: $\beta = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$

Третий угол: $\gamma = \frac{192^\circ}{2} = 96^\circ$

Проверим правильность вычислений, сложив углы: $24^\circ + 60^\circ + 96^\circ = 180^\circ$. Сумма углов верна.

3. Найдём неизвестные стороны треугольника.

В любом треугольнике напротив меньшего угла лежит меньшая сторона. В нашем случае наименьший угол равен $24^\circ$. По условию задачи, меньшая сторона треугольника равна 8 см. Это означает, что сторона, противолежащая углу в $24^\circ$, имеет длину 8 см.

Для нахождения длин двух других сторон воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла постоянно для всех сторон треугольника:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$

Пусть $a_1$ — сторона, противолежащая углу $24^\circ$, $a_2$ — углу $60^\circ$, а $a_3$ — углу $96^\circ$. Нам известно, что $a_1 = 8$ см. Тогда:

$\frac{8}{\sin 24^\circ} = \frac{a_2}{\sin 60^\circ} = \frac{a_3}{\sin 96^\circ}$

Из этой пропорции найдём неизвестные стороны $a_2$ и $a_3$.

Найдём сторону $a_2$:

$a_2 = \frac{8 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 24^\circ}$

Зная, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$a_2 = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin 24^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{\sin 24^\circ}$ см.

Найдём сторону $a_3$:

$a_3 = \frac{8 \cdot \sin 96^\circ}{\sin 24^\circ}$ см.

Таким образом, мы нашли выражения для длин двух неизвестных сторон.

Ответ: Две неизвестные стороны треугольника равны $\frac{4\sqrt{3}}{\sin 24^\circ}$ см и $\frac{8 \sin 96^\circ}{\sin 24^\circ}$ см.

50. Большая сторона треугольника равна 5 см. В треугольник вписана окружность, которая делится точками касания со сторонами на дуги, градусные меры которых относятся как $2 : 3 : 4$. Найдите неизвестные стороны треугольника.

50. Большая сторона треугольника равна 5 см. В треугольник вписана окружность, которая делится точками касания со сторонами на дуги, градусные меры которых относятся как $2 : 3 : 4$. Найдите неизвестные стороны треугольника.

Пусть градусные меры дуг, на которые вписанная окружность делится точками касания, равны $2x$, $3x$ и $4x$. Сумма градусных мер всех дуг окружности равна $360^\circ$.

Составим и решим уравнение:
$2x + 3x + 4x = 360^\circ$
$9x = 360^\circ$
$x = 40^\circ$

Следовательно, градусные меры дуг равны:

• $2 \cdot 40^\circ = 80^\circ$
• $3 \cdot 40^\circ = 120^\circ$
• $4 \cdot 40^\circ = 160^\circ$

Углы треугольника ($A$, $B$, $C$) связаны с градусными мерами дуг вписанной окружности ($\text{дуга}_A$, $\text{дуга}_B$, $\text{дуга}_C$), заключенных между точками касания на сторонах, образующих эти углы, по формуле: $A = 180^\circ - \text{дуга}_A$.

Найдем углы треугольника:

• $A = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$
• $B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$
• $C = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$

Проверим сумму углов: $100^\circ + 60^\circ + 20^\circ = 180^\circ$.

В треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол. По условию, большая сторона треугольника равна 5 см. Следовательно, она лежит напротив наибольшего угла, равного $100^\circ$.

Пусть $a, b, c$ — стороны треугольника, противолежащие углам $A, B, C$ соответственно. Тогда $a=5$ см. Для нахождения двух других сторон, $b$ и $c$, применим теорему синусов:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Подставим известные значения:
$\frac{5}{\sin 100^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{c}{\sin 20^\circ}$

Выразим неизвестные стороны $b$ и $c$:
$b = 5 \cdot \frac{\sin 60^\circ}{\sin 100^\circ}$
$c = 5 \cdot \frac{\sin 20^\circ}{\sin 100^\circ}$

Ответ: неизвестные стороны треугольника равны $\frac{5 \sin 60^\circ}{\sin 100^\circ}$ см и $\frac{5 \sin 20^\circ}{\sin 100^\circ}$ см.

51. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 9 см и 4 см, а угол между ними равен:

1) $45^\circ$;

2) $150^\circ$.

51. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 9 см и 4 см, а угол между ними равен:

1) $45^\circ$;

2) $150^\circ$.

Площадь треугольника можно найти по формуле, использующей две стороны и синус угла между ними:

$S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$

где $a$ и $b$ — длины двух сторон треугольника, а $\gamma$ — угол между этими сторонами.

По условию задачи, у нас есть две стороны $a = 9$ см и $b = 4$ см.

1)

Угол между сторонами равен $45^\circ$. Подставим известные значения в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 4 \cdot \sin(45^\circ)$

Мы знаем, что значение синуса $45^\circ$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Выполним вычисления:

$S = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 18 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2}$ см².

Ответ: $9\sqrt{2}$ см².

2)

Угол между сторонами равен $150^\circ$. Подставим известные значения в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 4 \cdot \sin(150^\circ)$

Мы знаем, что значение синуса $150^\circ$ равно $\sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Выполним вычисления:

$S = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{1}{2} = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ см².

Ответ: $9$ см².

52. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 9 см и 12 см, а угол между ними — $60^\circ$.

52. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 9 см и 12 см, а угол между ними — $60^\circ$.

Для вычисления площади параллелограмма, у которого известны длины двух смежных сторон и угол между ними, используется формула:

$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

где $a$ и $b$ — это длины смежных сторон, а $\alpha$ — угол между этими сторонами.

В соответствии с условиями задачи, мы имеем следующие данные:
$a = 9$ см
$b = 12$ см
$\alpha = 60^\circ$

Теперь подставим эти значения в формулу площади. Значение синуса для угла 60° является известной величиной:

$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Выполним расчет:

$S = 9 \cdot 12 \cdot \sin(60^\circ) = 9 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = 108 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 54\sqrt{3}$

Таким образом, площадь параллелограмма равна $54\sqrt{3}$ см².

Ответ: $54\sqrt{3}$ см²

53. Стороны параллелограмма равны 7 см и 9 см. Может ли его площадь быть равной 64 см$^2$?

53. Стороны параллелограмма равны 7 см и 9 см. Может ли его площадь быть равной 64 $\text{см}^2$?

Площадь параллелограмма можно найти по формуле произведения двух его смежных сторон на синус угла между ними: $S = a \cdot b \cdot \sin \alpha$, где $a$ и $b$ — смежные стороны параллелограмма, а $\alpha$ — угол между ними.

По условию задачи, стороны параллелограмма равны $a = 7$ см и $b = 9$ см.

Значение синуса любого угла не может превышать 1, то есть $\sin \alpha \le 1$. Максимальное значение $\sin \alpha = 1$ достигается при угле $\alpha = 90^\circ$. В этом случае параллелограмм является прямоугольником.

Найдем максимально возможную площадь данного параллелограмма, подставив в формулу максимальное значение синуса: $S_{max} = a \cdot b \cdot 1 = 7 \text{ см} \cdot 9 \text{ см} = 63 \text{ см}^2$

Таким образом, площадь параллелограмма со сторонами 7 см и 9 см не может быть больше 63 см².

В вопросе указана площадь 64 см². Сравним это значение с максимально возможной площадью: $64 \text{ см}^2 > 63 \text{ см}^2$

Так как 64 см² больше, чем максимально возможная площадь для данного параллелограмма, его площадь не может быть равной 64 см².

Ответ: нет, не может.

54. Найдите площадь ромба, сторона которого равна $9\sqrt{2}$ см, а один из углов — $45^\circ$.

54. Найдите площадь ромба, сторона которого равна $9\sqrt{2}$ см, а один из углов $-$ $45^{\circ}$.

Площадь ромба можно вычислить по формуле площади параллелограмма, зная две смежные стороны и угол между ними. Поскольку у ромба все стороны равны, формула выглядит следующим образом:

$S = a^2 \cdot \sin(\alpha)$

где $a$ — сторона ромба, а $\alpha$ — угол между сторонами.

В данной задаче нам известны:

• Сторона ромба $a = 9\sqrt{2}$ см.
• Один из углов $\alpha = 45^\circ$.

Подставим эти значения в формулу:

$S = (9\sqrt{2})^2 \cdot \sin(45^\circ)$

Сначала возведем в квадрат длину стороны:

$(9\sqrt{2})^2 = 9^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 81 \cdot 2 = 162$

Теперь найдем значение синуса угла 45°:

$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Перемножим полученные значения, чтобы найти площадь:

$S = 162 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 81\sqrt{2}$

Таким образом, площадь ромба равна $81\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $81\sqrt{2}$ см$^2$.

55. Две стороны треугольника равны 7 см и 6 см. Может ли его площадь быть равной:

1) $23 \text{ см}^2$;

2) $17 \text{ см}^2$?

55. Две стороны треугольника равны 7 см и 6 см. Может ли его площадь быть равной:

1) 23 $cm^2$;

2) 17 $cm^2$?

Площадь треугольника можно найти по формуле, использующей две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — длины сторон, а $\gamma$ — угол между ними.

В нашем случае $a = 7$ см и $b = 6$ см. Формула для площади выглядит так: $S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 6 \cdot \sin\gamma = 21\sin\gamma$.

Значение синуса любого угла в треугольнике (от 0° до 180°) находится в пределах $0 < \sin\gamma \le 1$.

Следовательно, площадь такого треугольника может принимать значения от 0 (не включая) до максимального значения, которое достигается при $\sin\gamma = 1$ (когда угол $\gamma = 90°$).

Максимально возможная площадь треугольника с такими сторонами равна: $S_{max} = 21 \cdot 1 = 21 \text{ см}^2$.

Теперь сравним заданные значения площади с максимально возможной.

1)

Предположим, что площадь равна 23 см². Это значение больше максимально возможной площади (21 см²): $23 \text{ см}^2 > 21 \text{ см}^2$. Чтобы получить такую площадь, потребовалось бы, чтобы $\sin\gamma = \frac{23}{21}$, что больше 1. Это невозможно. Следовательно, площадь треугольника не может быть равной 23 см².

Ответ: не может.

2)

Предположим, что площадь равна 17 см². Это значение меньше максимально возможной площади (21 см²): $17 \text{ см}^2 < 21 \text{ см}^2$. Для этого требуется, чтобы $17 = 21\sin\gamma$, то есть $\sin\gamma = \frac{17}{21}$. Так как $0 < \frac{17}{21} < 1$, то существует такой угол $\gamma$, для которого это равенство выполняется. Следовательно, площадь треугольника может быть равной 17 см².

Ответ: может.

56. Угол при основании равнобедренного треугольника равен $30^\circ$, а его площадь — $72\sqrt{3}\text{ см}^2$. Найдите боковую сторону треугольника.

56. Угол при основании равнобедренного треугольника равен $30^\circ$, а его площадь — $72\sqrt{3}$ см$^2$. Найдите боковую сторону треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник, в котором боковые стороны равны $a$, а основание — $b$. Углы при основании по условию равны $30^\circ$.

Поскольку треугольник равнобедренный, углы при его основании равны. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Следовательно, угол при вершине, противолежащий основанию, равен:
$180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле, использующей длины двух сторон и синус угла между ними:
$S = \frac{1}{2} \cdot a_1 \cdot a_2 \cdot \sin(\gamma)$
В нашем случае в качестве двух сторон мы можем взять боковые стороны $a$, а угол между ними — это найденный угол при вершине, равный $120^\circ$.
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2}a^2\sin(120^\circ)$.

Известно, что $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

По условию задачи площадь треугольника $S = 72\sqrt{3}$ см². Подставим все известные значения в формулу площади и решим уравнение относительно $a$:
$72\sqrt{3} = \frac{1}{2}a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$72\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:
$72 = \frac{a^2}{4}$

Теперь найдем $a^2$:
$a^2 = 72 \cdot 4$
$a^2 = 288$

Чтобы найти длину боковой стороны $a$, извлечем квадратный корень из 288:
$a = \sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = \sqrt{144} \cdot \sqrt{2} = 12\sqrt{2}$

Таким образом, длина боковой стороны треугольника составляет $12\sqrt{2}$ см.

Ответ: $12\sqrt{2}$ см.

57. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ (рис. 29), $AO = 9$ см, $OB = 4$ см, $CO = 5$ см, $OD = 6$ см. Найдите отношение площадей треугольников $AOD$ и $COB$.

57. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ (рис. 29), $AO = 9$ см, $OB = 4$ см, $CO = 5$ см, $OD = 6$ см. Найдите отношение площадей треугольников $AOD$ и $COB$.

Рис. 29

Для нахождения отношения площадей треугольников AOD и COB воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$.

Площадь треугольника AOD ($S_{AOD}$) и площадь треугольника COB ($S_{COB}$) можно выразить следующим образом:
$S_{AOD} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot OD \cdot \sin(\angle AOD)$
$S_{COB} = \frac{1}{2} \cdot CO \cdot OB \cdot \sin(\angle COB)$

Углы $\angle AOD$ и $\angle COB$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением отрезков AB и CD. Вертикальные углы равны, следовательно, равны и их синусы:
$\angle AOD = \angle COB$, и $\sin(\angle AOD) = \sin(\angle COB)$.

Теперь найдем отношение площадей, разделив площадь одного треугольника на площадь другого:
$\frac{S_{AOD}}{S_{COB}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AO \cdot OD \cdot \sin(\angle AOD)}{\frac{1}{2} \cdot CO \cdot OB \cdot \sin(\angle COB)}$

Поскольку $\sin(\angle AOD) = \sin(\angle COB)$, мы можем сократить $\frac{1}{2}$ и синусы в числителе и знаменателе. Отношение площадей будет равно отношению произведений сторон, образующих эти углы:
$\frac{S_{AOD}}{S_{COB}} = \frac{AO \cdot OD}{CO \cdot OB}$

Подставим известные значения длин отрезков из условия: $AO = 9$ см, $OD = 6$ см, $CO = 5$ см и $OB = 4$ см.
$\frac{S_{AOD}}{S_{COB}} = \frac{9 \cdot 6}{5 \cdot 4} = \frac{54}{20}$

Сократим полученную дробь:
$\frac{54}{20} = \frac{27}{10} = 2,7$

Ответ: 2,7.