Страница 14 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

107. В полукруг вписан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого совпадает с диаметром полукруга, а катеты равны 8 см и $8\sqrt{3}$ см. Найдите площадь части полукруга, расположенной вне треугольника.

107. В полукруг вписан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого совпадает с диаметром полукруга, а катеты равны 8 см и $8\sqrt{3}$ см. Найдите площадь части полукруга, расположенной вне треугольника.

Искомая площадь равна разности площади полукруга и площади вписанного в него прямоугольного треугольника.

1. Вычисление площади прямоугольного треугольника.
Площадь прямоугольного треугольника ($S_{тр}$) равна половине произведения его катетов. По условию, катеты равны $a = 8$ см и $b = 8\sqrt{3}$ см.
$S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8\sqrt{3} = 4 \cdot 8\sqrt{3} = 32\sqrt{3}$ см².

2. Вычисление площади полукруга.
Гипотенуза прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, является ее диаметром. В данном случае гипотенуза ($c$) совпадает с диаметром ($d$) полукруга. Найдем гипотенузу по теореме Пифагора:
$c^2 = a^2 + b^2$
$c^2 = 8^2 + (8\sqrt{3})^2 = 64 + 64 \cdot 3 = 64 + 192 = 256$
$c = \sqrt{256} = 16$ см.
Таким образом, диаметр полукруга $d = 16$ см, а его радиус $R = \frac{d}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.
Площадь полукруга ($S_{пк}$) вычисляется по формуле $S_{пк} = \frac{1}{2}\pi R^2$.
$S_{пк} = \frac{1}{2}\pi \cdot 8^2 = \frac{1}{2}\pi \cdot 64 = 32\pi$ см².

3. Вычисление площади искомой части полукруга.
Площадь части полукруга, расположенной вне треугольника, равна разности площади полукруга и площади треугольника:
$S = S_{пк} - S_{тр} = 32\pi - 32\sqrt{3}$ см².
Вынесем общий множитель за скобки для более компактной записи:
$S = 32(\pi - \sqrt{3})$ см².

Ответ: $32(\pi - \sqrt{3})$ см².

108. Два круга имеют общую хорду. Найдите отношение площадей этих кругов, если из центра первого круга эта хорда видна под углом $60^\circ$, а из центра второго — под углом $120^\circ$.

108. Два круга имеют общую хорду. Найдите отношение площадей этих кругов, если из центра первого круга эта хорда видна под углом $60^\circ$, а из центра второго — под углом $120^\circ$.

Пусть $L$ - длина общей хорды, $R_1$ и $S_1$ - радиус и площадь первого круга, а $R_2$ и $S_2$ - радиус и площадь второго круга. Требуется найти отношение площадей $\frac{S_1}{S_2}$.

Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$. Следовательно, искомое отношение площадей равно отношению квадратов их радиусов:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi R_1^2}{\pi R_2^2} = (\frac{R_1}{R_2})^2$

Для нахождения отношения радиусов выразим длину хорды $L$ через радиус каждого круга.

Для первого круга:

В первом круге хорда $L$ видна из центра под углом $60^\circ$. Рассмотрим треугольник, образованный двумя радиусами $R_1$ и хордой $L$. Этот треугольник является равнобедренным, а угол при вершине (в центре круга) равен $60^\circ$. Углы при основании такого треугольника равны $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$. Таким образом, этот треугольник является равносторонним, и все его стороны равны.

Отсюда следует, что длина хорды равна радиусу первого круга:

$L = R_1$

Для второго круга:

Во втором круге хорда $L$ видна из центра под углом $120^\circ$. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами $R_2$ и хордой $L$. Длину хорды можно найти по теореме косинусов:

$L^2 = R_2^2 + R_2^2 - 2 \cdot R_2 \cdot R_2 \cdot \cos(120^\circ)$

Зная, что $\cos(120^\circ) = -1/2$, подставим значение в формулу:

$L^2 = 2R_2^2 - 2R_2^2 \cdot (-\frac{1}{2})$

$L^2 = 2R_2^2 + R_2^2 = 3R_2^2$

Следовательно, $L = \sqrt{3R_2^2} = R_2\sqrt{3}$.

Нахождение отношения площадей:

Мы получили два выражения для длины одной и той же хорды $L$: $L = R_1$ и $L = R_2\sqrt{3}$. Приравняем их:

$R_1 = R_2\sqrt{3}$

Теперь найдем отношение радиусов:

$\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{3}$

Наконец, найдем искомое отношение площадей:

$\frac{S_1}{S_2} = (\frac{R_1}{R_2})^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$

Таким образом, отношение площади первого круга к площади второго круга равно 3.

Ответ: 3.

109. Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. В треугольник вписан полукруг, центр которого лежит на средней по длине стороне треугольника. Найдите площадь полукруга.

109. Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. В треугольник вписан полукруг, центр которого лежит на средней по длине стороне треугольника. Найдите площадь полукруга.

Пусть дан треугольник со сторонами 13 см, 20 см и 21 см. Средней по длине является сторона 20 см. Обозначим вершины треугольника как A, B, C, так что сторона, на которой лежит центр полукруга, — это AC = 20 см. Тогда две другие стороны, например, $AB = 13$ см и $BC = 21$ см.

По условию, в треугольник вписан полукруг, центр которого O лежит на стороне AC. Это означает, что диаметр полукруга лежит на стороне AC, а дуга полукруга касается двух других сторон, AB и BC.

Поскольку полукруг касается сторон AB и BC, то его центр O равноудален от этих сторон. Расстояние от центра O до касательных (сторон AB и BC) равно радиусу полукруга $r$. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, является биссектрисой угла между ними. Следовательно, центр полукруга O должен лежать на биссектрисе угла B.

Таким образом, точка O является точкой пересечения биссектрисы угла B со стороной AC. Радиус полукруга $r$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки O на стороны AB и BC.

Для нахождения радиуса $r$ воспользуемся методом площадей. Площадь всего треугольника ABC можно найти по формуле Герона. Сначала найдем полупериметр $p$:
$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 21 + 20}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $S_{ABC}$:
$S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}$
$S_{ABC} = \sqrt{27(27-13)(27-21)(27-20)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 7}$
$S_{ABC} = \sqrt{(3^3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7} = \sqrt{3^4 \cdot 2^2 \cdot 7^2} = 3^2 \cdot 2 \cdot 7 = 9 \cdot 14 = 126$ см².

Площадь треугольника ABC также можно представить как сумму площадей треугольников ABO и CBO (поскольку точка O лежит на стороне AC). Высоты этих треугольников, опущенные из вершины O на стороны AB и BC соответственно, равны радиусу полукруга $r$.
$S_{ABC} = S_{ABO} + S_{CBO}$
$S_{ABO} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot r$
$S_{CBO} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot r$

Подставим эти выражения и найденное значение площади в формулу:
$126 = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot r + \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot r$
$126 = \frac{1}{2}r(13 + 21)$
$126 = \frac{1}{2}r \cdot 34$
$126 = 17r$
Отсюда находим радиус $r$:
$r = \frac{126}{17}$ см.

Теперь, зная радиус, мы можем найти площадь полукруга $S_{полукруга}$ по формуле:
$S_{полукруга} = \frac{1}{2}\pi r^2$
$S_{полукруга} = \frac{1}{2}\pi \left(\frac{126}{17}\right)^2 = \frac{1}{2}\pi \frac{126^2}{17^2} = \frac{1}{2}\pi \frac{15876}{289} = \frac{7938\pi}{289}$ см².

Ответ: $\frac{7938\pi}{289}$ см².

110. Груз поднимают с помощью блока (рис. 5). На сколько метров поднимется груз за 6 оборотов блока, если радиус блока равен 6 см? Ответ округлите до десятых.

Рис. 5

110. Груз поднимают с помощью блока (рис. 5). На сколько метров поднимется груз за 6 оборотов блока, если радиус блока равен 6 см? Ответ округлите до десятых.

Рис. 5

За один полный оборот блока груз поднимается на расстояние, равное длине окружности этого блока. Сначала найдем длину окружности блока ($C$) по формуле:

$C = 2 \pi r$

где $r$ - радиус блока. По условию, $r = 6$ см. Подставим это значение в формулу:

$C = 2 \cdot \pi \cdot 6 = 12\pi$ см.

Теперь найдем общую высоту ($H$), на которую поднимется груз за 6 оборотов. Для этого умножим длину окружности на количество оборотов ($n=6$):

$H = C \cdot n = 12\pi \cdot 6 = 72\pi$ см.

Для дальнейших расчетов используем приближенное значение $\pi \approx 3,14159$:

$H \approx 72 \cdot 3,14159 \approx 226,19448$ см.

В задаче требуется указать ответ в метрах. Переведем сантиметры в метры, зная, что 1 м = 100 см:

$H \approx \frac{226,19448}{100} \text{ м} \approx 2,2619448$ м.

Округлим полученный результат до десятых. Вторая цифра после запятой — 6, она больше или равна 5, поэтому первую цифру после запятой увеличиваем на единицу:

$H \approx 2,3$ м.

Ответ: 2,3 м.

111. На катушку, радиус которой равен 1,5 см, намотано 40 см нитки.

Сколько сделано полных витков?

111. На катушку, радиус которой равен 1,5 см, намотано 40 см нитки.

Сколько сделано полных витков?

Для того чтобы определить, сколько полных витков было сделано, необходимо сначала вычислить длину одного витка, которая равна длине окружности катушки. Затем следует разделить общую длину нитки на длину одного витка.

1. Вычисление длины одного витка
Длина окружности катушки $C$ находится по формуле:
$C = 2 \pi r$
где $r$ – радиус катушки. По условию, $r = 1,5$ см.
Подставим значение радиуса в формулу:
$C = 2 \cdot \pi \cdot 1,5 = 3\pi$ см.
Для расчета возьмем приближенное значение $\pi \approx 3,14$:
$C \approx 3 \cdot 3,14 = 9,42$ см.

2. Вычисление количества полных витков
Общая длина намотанной нитки $L = 40$ см. Чтобы найти общее количество витков $N$, разделим общую длину нитки на длину одного витка:
$N = \frac{L}{C} \approx \frac{40}{9,42} \approx 4,246$
В задаче спрашивается о количестве полных витков, поэтому необходимо взять целую часть от полученного числа. Целая часть от 4,246 равна 4.

Ответ: 4

112. Диаметр колеса электровоза равен 2 м. Найдите скорость электровоза в километрах в час, если колесо за одну минуту делает 100 оборотов. Ответ округлите до единиц.

112. Диаметр колеса электровоза равен 2 м. Найдите скорость электровоза в километрах в час, если колесо за одну минуту делает 100 оборотов. Ответ округлите до единиц.

Для решения задачи необходимо найти расстояние, которое электровоз проходит за один час, и это будет его скорость в км/ч.

1. Найдем длину окружности колеса.
Длина окружности (то есть расстояние, которое колесо проходит за один полный оборот) вычисляется по формуле $C = \pi d$, где $d$ — диаметр колеса.
По условию, $d = 2$ м.
$C = \pi \times 2 = 2\pi$ м.

2. Найдем расстояние, проходимое за одну минуту.
За одну минуту колесо делает 100 оборотов. Чтобы найти расстояние, пройденное за минуту, умножим количество оборотов на длину окружности колеса:
$S_{мин} = 100 \times C = 100 \times 2\pi = 200\pi$ м/мин.

3. Найдем скорость в метрах в час.
В одном часе 60 минут. Чтобы найти расстояние, пройденное за час, умножим расстояние за минуту на 60:
$S_{час} = S_{мин} \times 60 = 200\pi \times 60 = 12000\pi$ м/ч.

4. Переведем скорость в километры в час.
В одном километре 1000 метров. Чтобы перевести метры в километры, разделим полученное значение на 1000:
Скорость = $\frac{12000\pi}{1000} = 12\pi$ км/ч.

5. Вычислим и округлим результат.
Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3.14159...$
Скорость $\approx 12 \times 3.14159 \approx 37.699$ км/ч.
Согласно условию, ответ нужно округлить до единиц. Так как первая цифра после запятой (6) больше или равна 5, округляем в большую сторону.
Скорость $\approx 38$ км/ч.

Ответ: 38.

113. Радиус окружности равен 6 см. Найдите длину дуги окружности, градусная мера которой равна:

1) $25^\circ$;

2) $330^\circ$.

113. Радиус окружности равен 6 см. Найдите длину дуги окружности, градусная мера которой равна:

1) $25^\circ$;

2) $330^\circ$.

Для нахождения длины дуги окружности используется формула:

$L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$

где $L$ — это длина дуги, $R$ — это радиус окружности, а $\alpha$ — это градусная мера дуги.

Из условия задачи нам известно, что радиус окружности $R = 6$ см.

1) 25°

Подставим значения в формулу, где $\alpha = 25^\circ$:

$L = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 25}{180} = \frac{150\pi}{180} = \frac{15\pi}{18} = \frac{5\pi}{6}$ (см).

Ответ: $\frac{5\pi}{6}$ см.

2) 330°

Подставим значения в формулу, где $\alpha = 330^\circ$:

$L = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 330}{180} = \frac{1980\pi}{180} = \frac{198\pi}{18} = 11\pi$ (см).

Ответ: $11\pi$ см.

114. Длина дуги окружности равна $15\pi$ см, а её градусная мера — $18^\circ$. Найдите радиус окружности.

114. Длина дуги окружности равна $15\pi$ см, а её градусная мера — $18^\circ$. Найдите радиус окружности.

Для решения задачи используется формула длины дуги окружности, которая связывает длину дуги ($L$), радиус окружности ($R$) и градусную меру центрального угла, соответствующего этой дуге ($\alpha$).

Формула имеет вид:

$L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$

В условии задачи даны следующие значения:

Длина дуги $L = 15\pi$ см.

Градусная мера дуги $\alpha = 18^\circ$.

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти неизвестный радиус $R$:

$15\pi = \frac{\pi \cdot R \cdot 18}{180}$

Для решения этого уравнения сначала разделим обе его части на $\pi$:

$15 = \frac{18 \cdot R}{180}$

Теперь можно сократить дробь $\frac{18}{180}$ на 18:

$\frac{18}{180} = \frac{1}{10}$

Уравнение принимает более простой вид:

$15 = \frac{R}{10}$

Чтобы найти $R$, умножим обе части уравнения на 10:

$R = 15 \cdot 10$

$R = 150$

Таким образом, радиус окружности составляет 150 см.

Ответ: 150 см.

115. Длина дуги окружности равна $2\pi \text{ см}.$ Найдите градусную меру этой дуги, если радиус окружности равен $30 \text{ см}.$

115. Длина дуги окружности равна $2\pi$ см. Найдите градусную меру этой дуги, если радиус окружности равен 30 см.

Для нахождения градусной меры дуги воспользуемся формулой длины дуги окружности:

$L = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2\pi R$

где $L$ – длина дуги, $R$ – радиус окружности, а $\alpha$ – градусная мера искомой дуги.

По условию задачи нам даны следующие значения:
Длина дуги $L = 2\pi$ см.
Радиус окружности $R = 30$ см.

Подставим известные значения в формулу:

$2\pi = \frac{\alpha}{360} \cdot 2\pi \cdot 30$

Теперь решим полученное уравнение относительно $\alpha$. Для начала, разделим обе части уравнения на $2\pi$:

$1 = \frac{\alpha}{360} \cdot 30$

Упростим правую часть уравнения:

$1 = \frac{30\alpha}{360}$

Сократим дробь $\frac{30}{360}$ на 30:

$1 = \frac{\alpha}{12}$

Чтобы найти $\alpha$, умножим обе части уравнения на 12:

$\alpha = 1 \cdot 12$
$\alpha = 12^{\circ}$

Следовательно, градусная мера дуги составляет 12 градусов.

Ответ: $12^{\circ}$

116. Начертите окружность радиусом 6 см. Отметьте на ней точки $A$ и $B$ так, чтобы длина дуги $AB$ была равной $4\pi$ см.

116. Начертите окружность радиусом 6 см. Отметьте на ней точки $A$ и $B$ так, чтобы длина дуги $AB$ была равной $4\pi$ см.

Для того чтобы начертить окружность и отметить на ней точки $A$ и $B$ согласно условию, необходимо сначала найти величину центрального угла $\angle AOB$, который опирается на дугу $AB$ длиной $4\pi$ см.

Длина дуги окружности ($L$) вычисляется по формуле: $L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$, где $R$ — радиус окружности, а $\alpha$ — соответствующий центральный угол в градусах.

По условию задачи, радиус окружности $R = 6$ см, а длина дуги $L = 4\pi$ см. Подставим эти значения в формулу и найдем угол $\alpha$:

$4\pi = \frac{\pi \cdot 6 \cdot \alpha}{180^\circ}$

Сократим $\pi$ в обеих частях уравнения:

$4 = \frac{6 \cdot \alpha}{180}$

Упростим дробь в правой части, разделив 180 на 6:

$4 = \frac{\alpha}{30}$

Отсюда находим $\alpha$:

$\alpha = 4 \cdot 30 = 120^\circ$

Таким образом, центральный угол, соответствующий дуге $AB$, равен $120^\circ$.

Алгоритм построения следующий:
1. С помощью циркуля начертите окружность с центром в точке $O$ и радиусом 6 см.
2. Выберите на окружности произвольную точку и обозначьте ее буквой $A$.
3. Соедините отрезком центр $O$ и точку $A$, получив радиус $OA$.
4. С помощью транспортира отложите от радиуса $OA$ угол, равный $120^\circ$, с вершиной в центре окружности $O$.
5. Проведите второй радиус $OB$ под этим углом. Точка $B$ на пересечении второй стороны угла с окружностью и будет искомой точкой.
Точки $A$ и $B$, построенные таким образом, образуют дугу, длина которой равна $4\pi$ см.

Ответ: Чтобы отметить точки $A$ и $B$, нужно построить центральный угол $\angle AOB$, равный $120^\circ$.

117. Длина первой окружности, радиус которой 10 см, равна длине дуги второй окружности, градусная мера которой $150^\circ$. Найдите радиус второй окружности.

117. Длина первой окружности, радиус которой 10 см, равна длине дуги второй окружности, градусная мера которой $150^\circ$. Найдите радиус второй окружности.

1. Найдем длину первой окружности.
Длина окружности (C) вычисляется по формуле $C = 2\pi r$, где $r$ - радиус окружности. Радиус первой окружности $r_1 = 10$ см. Тогда ее длина $C_1 = 2\pi \cdot 10 = 20\pi$ см.

2. Используем условие задачи.
По условию, длина первой окружности равна длине дуги второй окружности. Обозначим длину дуги второй окружности как $L_2$. Следовательно, $L_2 = C_1 = 20\pi$ см.

3. Найдем радиус второй окружности.
Длина дуги окружности ($L$) вычисляется по формуле $L = \frac{\pi r \alpha}{180^\circ}$, где $r$ - радиус окружности, а $\alpha$ - градусная мера дуги. Нам известны длина дуги $L_2 = 20\pi$ см и ее градусная мера $\alpha = 150^\circ$. Обозначим искомый радиус второй окружности как $r_2$. Подставим известные значения в формулу:
$20\pi = \frac{\pi r_2 \cdot 150^\circ}{180^\circ}$
Разделим обе части уравнения на $\pi$:
$20 = \frac{150}{180} r_2$
Сократим дробь $\frac{150}{180}$:
$\frac{150}{180} = \frac{15}{18} = \frac{5}{6}$
Получим уравнение:
$20 = \frac{5}{6} r_2$
Теперь выразим $r_2$:
$r_2 = 20 \div \frac{5}{6} = 20 \cdot \frac{6}{5}$
$r_2 = \frac{20 \cdot 6}{5} = 4 \cdot 6 = 24$ см.

Ответ: 24 см.