Страница 6 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

20. В четырёхугольнике $ABCD$ $AB=BC=10$ см, $CD=9$ см, $AD=21$ см. Найдите диагональ $BD$, если около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

20. В четырёхугольнике $ABCD$ $AB = BC = 10 \text{ см}$, $CD = 9 \text{ см}$, $AD = 21 \text{ см}$. Найдите диагональ $BD$, если около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

Поскольку около четырёхугольника ABCD можно описать окружность, он является вписанным. Основное свойство вписанного четырёхугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle A + \angle C = 180^\circ$. Из этого следует, что $\cos(\angle C) = \cos(180^\circ - \angle A) = -\cos(\angle A)$.

Рассмотрим диагональ BD. Она делит четырёхугольник на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$. Мы можем выразить квадрат длины этой диагонали, используя теорему косинусов для каждого из этих треугольников.

Применим теорему косинусов для треугольника $\triangle ABD$:
$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$
Подставим известные значения сторон $AB = 10$ см и $AD = 21$ см:
$BD^2 = 10^2 + 21^2 - 2 \cdot 10 \cdot 21 \cdot \cos(\angle A)$
$BD^2 = 100 + 441 - 420 \cos(\angle A)$
$BD^2 = 541 - 420 \cos(\angle A)$

Теперь применим теорему косинусов для треугольника $\triangle BCD$:
$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle C)$
Подставим известные значения сторон $BC = 10$ см и $CD = 9$ см:
$BD^2 = 10^2 + 9^2 - 2 \cdot 10 \cdot 9 \cdot \cos(\angle C)$
$BD^2 = 100 + 81 - 180 \cos(\angle C)$
$BD^2 = 181 - 180 \cos(\angle C)$

Используя свойство вписанного четырёхугольника $\cos(\angle C) = -\cos(\angle A)$, заменим $\cos(\angle C)$ в последнем выражении:
$BD^2 = 181 - 180(-\cos(\angle A))$
$BD^2 = 181 + 180 \cos(\angle A)$

Теперь у нас есть два выражения для $BD^2$. Приравняем их правые части, чтобы найти $\cos(\angle A)$:
$541 - 420 \cos(\angle A) = 181 + 180 \cos(\angle A)$
$541 - 181 = 180 \cos(\angle A) + 420 \cos(\angle A)$
$360 = 600 \cos(\angle A)$
$\cos(\angle A) = \frac{360}{600} = \frac{36}{60} = \frac{3}{5} = 0.6$

Подставим найденное значение $\cos(\angle A)$ в любое из выражений для $BD^2$. Воспользуемся вторым:
$BD^2 = 181 + 180 \cos(\angle A)$
$BD^2 = 181 + 180 \cdot 0.6$
$BD^2 = 181 + 108$
$BD^2 = 289$

Найдём длину диагонали $BD$, извлекая квадратный корень:
$BD = \sqrt{289} = 17$ см.

Ответ: 17 см.

21. В трапеции ABCD $(AD \parallel BC)$ $AB = 8$ см, $BC = 5$ см, $CD = 10$ см, $AD = 12$ см. Найдите косинус угла A трапеции.

21. В трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) $AB = 8$ см, $BC = 5$ см, $CD = 10$ см, $AD = 12$ см. Найдите косинус угла $A$ трапеции.

Для нахождения косинуса угла A в трапеции ABCD, воспользуемся методом проведения высот.

1. Проведем из вершин B и C высоты BH и CK на большее основание AD. Так как $AD \parallel BC$ и $BH \perp AD$, $CK \perp AD$, то четырехугольник BCKH является прямоугольником.

2. Из свойств прямоугольника следует, что $HK = BC = 5$ см.

3. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CDK$. Пусть длина отрезка $AH$ равна $x$. Тогда длина отрезка $KD$ будет равна разности длин оснований минус отрезок $AH$: $KD = (AD - BC) - AH$. Но поскольку трапеция не равнобедренная, мы выразим $KD$ через общую длину основания AD: $KD = AD - AH - HK = 12 - x - 5 = 7 - x$.

4. Высоты трапеции, проведенные из вершин одного основания, равны, т.е. $BH = CK$. Выразим квадраты высот по теореме Пифагора для каждого из треугольников $\triangle ABH$ и $\triangle CDK$.

- В $\triangle ABH$: $BH^2 = AB^2 - AH^2 = 8^2 - x^2 = 64 - x^2$.

- В $\triangle CDK$: $CK^2 = CD^2 - KD^2 = 10^2 - (7 - x)^2 = 100 - (49 - 14x + x^2) = 51 + 14x - x^2$.

5. Приравняем полученные выражения для квадратов высот:

$64 - x^2 = 51 + 14x - x^2$

6. Решим уравнение относительно $x$:

$64 = 51 + 14x$

$14x = 64 - 51$

$14x = 13$

$x = \frac{13}{14}$

Мы нашли длину отрезка $AH$, то есть $AH = \frac{13}{14}$ см.

7. Косинус угла A трапеции (он же угол $\angle BAH$ в прямоугольном треугольнике $\triangle ABH$) равен отношению прилежащего катета ($AH$) к гипотенузе ($AB$).

$\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB} = \frac{13/14}{8} = \frac{13}{14 \cdot 8} = \frac{13}{112}$.

Ответ: $\frac{13}{112}$

22. Стороны треугольника равны 9 см, 15 см и 16 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины его наибольшего угла.

22. Стороны треугольника равны 9 см, 15 см и 16 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины его наибольшего угла.

Пусть дан треугольник со сторонами $a = 9$ см, $b = 15$ см и $c = 16$ см.

Наибольший угол в треугольнике лежит против наибольшей стороны. В данном случае наибольшая сторона равна 16 см. Следовательно, нам нужно найти биссектрису, проведенную из вершины угла, противолежащего этой стороне.

Обозначим стороны, прилежащие к этому углу, как $a = 9$ см и $b = 15$ см, а сторону, к которой проведена биссектриса, как $c = 16$ см. Пусть $l_c$ — искомая биссектриса.

Согласно свойству биссектрисы, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Обозначим эти отрезки как $c_1$ и $c_2$. Тогда:

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{a}{b} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$

Также мы знаем, что сумма этих отрезков равна длине всей стороны:

$c_1 + c_2 = c = 16$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} c_1 = \frac{3}{5}c_2 \\ c_1 + c_2 = 16 \end{cases}$

Подставим первое уравнение во второе:

$\frac{3}{5}c_2 + c_2 = 16$

$\frac{8}{5}c_2 = 16$

$c_2 = 16 \cdot \frac{5}{8} = 2 \cdot 5 = 10$ см

Теперь найдем $c_1$:

$c_1 = 16 - c_2 = 16 - 10 = 6$ см

Итак, биссектриса делит сторону длиной 16 см на отрезки 6 см и 10 см.

Длина биссектрисы треугольника ($l_c$), проведенной к стороне $c$, вычисляется по формуле:

$l_c^2 = a \cdot b - c_1 \cdot c_2$

Подставим известные значения в формулу:

$l_c^2 = 9 \cdot 15 - 6 \cdot 10$

$l_c^2 = 135 - 60 = 75$

$l_c = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ см

Ответ: $5\sqrt{3}$ см.

23. Стороны треугольника равны 5 см, 9 см и 10 см. Найдите медиану треугольника, проведённую к его средней по длине стороне.

23. Стороны треугольника равны 5 см, 9 см и 10 см. Найдите медиану треугольника, проведённую к его средней по длине стороне.

Пусть стороны треугольника равны $a=5$ см, $b=9$ см и $c=10$ см.

Средней по длине стороной является сторона $b=9$ см. Необходимо найти длину медианы, проведенной к этой стороне. Обозначим искомую медиану как $m_b$.

Для вычисления длины медианы треугольника, проведенной к стороне $b$, используется формула:

$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2}$

Подставим известные значения длин сторон в формулу:

$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 5^2 + 2 \cdot 10^2 - 9^2}$

Выполним последовательные вычисления:

$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 25 + 2 \cdot 100 - 81}$

$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{50 + 200 - 81}$

$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{250 - 81}$

$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{169}$

Так как $\sqrt{169} = 13$, получаем:

$m_b = \frac{1}{2} \cdot 13 = 6,5$ см.

Ответ: 6,5 см.

24. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 8 см, а медиана, проведённая к ней, — 6 см. Найдите основание треугольника.

24. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 8 см, а медиана, проведённая к ней, – 6 см. Найдите основание треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC = 8$ см, а $AC$ — основание. Пусть $AM$ — медиана, проведённая из вершины $A$ к боковой стороне $BC$. По условию, длина медианы $AM = 6$ см.

По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$. Следовательно, $BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Рассмотрим треугольник $ABM$. В нём известны длины всех трёх сторон: $AB = 8$ см, $BM = 4$ см, и $AM = 6$ см. Мы можем применить теорему косинусов для этого треугольника, чтобы найти косинус угла $B$. Угол $B$ является углом при вершине равнобедренного треугольника $ABC$.

Согласно теореме косинусов для стороны $AM$ в треугольнике $ABM$:

$AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos(\angle B)$

Подставим известные значения в формулу:

$6^2 = 8^2 + 4^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot \cos(\angle B)$

$36 = 64 + 16 - 64 \cdot \cos(\angle B)$

$36 = 80 - 64 \cdot \cos(\angle B)$

Выразим $64 \cdot \cos(\angle B)$:

$64 \cdot \cos(\angle B) = 80 - 36$

$64 \cdot \cos(\angle B) = 44$

Отсюда находим косинус угла $B$:

$\cos(\angle B) = \frac{44}{64} = \frac{11}{16}$

Теперь рассмотрим исходный равнобедренный треугольник $ABC$. Мы знаем длины двух его сторон ($AB = 8$ см, $BC = 8$ см) и косинус угла между ними ($\cos(\angle B) = \frac{11}{16}$). Чтобы найти длину основания $AC$, снова применим теорему косинусов, на этот раз к треугольнику $ABC$.

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

Подставим значения:

$AC^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \frac{11}{16}$

$AC^2 = 64 + 64 - 128 \cdot \frac{11}{16}$

$AC^2 = 128 - 8 \cdot 11$

$AC^2 = 128 - 88$

$AC^2 = 40$

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти длину $AC$:

$AC = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$ см.

Ответ: $2\sqrt{10}$ см.

25. Стороны треугольника равны $4\sqrt{2}$ см и 3 см, а угол между ними — $135^{\circ}$. Найдите медиану треугольника, проведённую к его третьей стороне.

25. Стороны треугольника равны $4\sqrt{2}$ см и 3 см, а угол между ними — $135^{\circ}$. Найдите медиану треугольника, проведённую к его третьей стороне.

Пусть дан треугольник, в котором две стороны равны $4\sqrt{2}$ см и $3$ см, а угол между ними составляет $135^\circ$. Обозначим этот треугольник как $ABC$, где $AB = 4\sqrt{2}$ см, $AC = 3$ см и $\angle BAC = 135^\circ$. Пусть $AM$ — медиана, проведённая к третьей стороне $BC$. Необходимо найти длину медианы $AM$.

Для решения этой задачи удобно использовать метод достроения треугольника до параллелограмма. Продлим медиану $AM$ за точку $M$ на её длину до точки $D$, так что $AM = MD$. Соединим точку $D$ с вершинами $B$ и $C$.

Рассмотрим получившийся четырёхугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$. По определению медианы, $M$ является серединой стороны $BC$. По построению, $M$ также является серединой отрезка $AD$. Так как диагонали четырёхугольника $ABDC$ в точке пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, для углов $\angle BAC$ и $\angle ABD$ выполняется равенство:$\angle ABD + \angle BAC = 180^\circ$Отсюда мы можем найти величину угла $\angle ABD$:$\angle ABD = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$

Также из свойств параллелограмма следует, что его противолежащие стороны равны. Таким образом, $BD = AC = 3$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. В нём нам известны длины двух сторон ($AB = 4\sqrt{2}$ см и $BD = 3$ см) и угол между ними ($\angle ABD = 45^\circ$). Мы можем найти длину третьей стороны $AD$, используя теорему косинусов:$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos(\angle ABD)$

Подставим известные значения в эту формулу:$AD^2 = (4\sqrt{2})^2 + 3^2 - 2 \cdot (4\sqrt{2}) \cdot 3 \cdot \cos(45^\circ)$$AD^2 = (16 \cdot 2) + 9 - 24\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$AD^2 = 32 + 9 - \frac{24 \cdot 2}{2}$$AD^2 = 41 - 24$$AD^2 = 17$Длина отрезка $AD$ равна $AD = \sqrt{17}$ см.

По нашему построению, длина отрезка $AD$ вдвое больше длины медианы $AM$ ($AD = 2 \cdot AM$). Следовательно, искомая длина медианы $AM$ равна:$AM = \frac{AD}{2} = \frac{\sqrt{17}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{17}}{2}$ см.

26. В треугольнике $ABC$ $AB = 7$ см, $BC = 9$ см. Найдите сторону $AC$ и медиану $BM$, если $BM : AC = 2 : 7$.

26. В треугольнике $ABC$ $AB = 7$ см, $BC = 9$ см. Найдите сторону $AC$ и медиану $BM$, если $BM : AC = 2 : 7$.

Для решения задачи воспользуемся формулой для вычисления длины медианы треугольника. Длина медианы $m_b$, проведенной к стороне $b$ (в нашем случае это сторона $AC$), связана со сторонами треугольника $a$ ($BC$), $c$ ($AB$) и $b$ ($AC$) следующим соотношением:

$m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}$

В нашей задаче $a = BC = 9$ см, $c = AB = 7$ см, медиана $m_b = BM$, а сторона $b = AC$. Подставим эти значения в формулу:

$BM^2 = \frac{2 \cdot BC^2 + 2 \cdot AB^2 - AC^2}{4}$
$BM^2 = \frac{2 \cdot 9^2 + 2 \cdot 7^2 - AC^2}{4}$

По условию задачи дано отношение $BM : AC = 2 : 7$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины медианы и стороны можно выразить как:

$BM = 2x$
$AC = 7x$

Теперь подставим эти выражения в формулу для медианы:

$(2x)^2 = \frac{2 \cdot 9^2 + 2 \cdot 7^2 - (7x)^2}{4}$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$4x^2 = \frac{2 \cdot 81 + 2 \cdot 49 - 49x^2}{4}$
$4x^2 = \frac{162 + 98 - 49x^2}{4}$
$4x^2 = \frac{260 - 49x^2}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$16x^2 = 260 - 49x^2$

Перенесем все члены с $x^2$ в левую часть уравнения:

$16x^2 + 49x^2 = 260$
$65x^2 = 260$

Теперь найдем $x^2$:

$x^2 = \frac{260}{65} = 4$

Поскольку $x$ представляет собой коэффициент для длин отрезков, он должен быть положительным:

$x = \sqrt{4} = 2$

Зная значение $x$, мы можем найти искомые длины стороны $AC$ и медианы $BM$:

$AC = 7x = 7 \cdot 2 = 14$ см
$BM = 2x = 2 \cdot 2 = 4$ см

Ответ: $AC = 14$ см, $BM = 4$ см.

27. Сторона треугольника равна 42 см, а медианы, проведённые к двум другим сторонам, — 30 см и 60 см. Найдите третью медиану треугольника.

27. Сторона треугольника равна 42 см, а медианы, проведённые к двум другим сторонам, — 30 см и 60 см. Найдите третью медиану треугольника.

Пусть стороны треугольника равны $a, b, c$, а медианы, проведенные к этим сторонам, равны $m_a, m_b, m_c$ соответственно.

По условию задачи дано: сторона $a = 42$ см; медиана к стороне $b$, $m_b = 30$ см; медиана к стороне $c$, $m_c = 60$ см. Необходимо найти медиану $m_a$.

Воспользуемся свойством медиан треугольника: все три медианы пересекаются в одной точке (центроиде), которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Пусть $O$ — точка пересечения медиан. Тогда она делит медианы $m_b$ и $m_c$ на отрезки. Больший отрезок медианы $m_b$ (от вершины до точки $O$) равен $\frac{2}{3} m_b = \frac{2}{3} \cdot 30 = 20$ см. Больший отрезок медианы $m_c$ (от вершины до точки $O$) равен $\frac{2}{3} m_c = \frac{2}{3} \cdot 60 = 40$ см.

Рассмотрим треугольник, образованный двумя вершинами исходного треугольника (концами стороны $a$) и точкой пересечения медиан $O$. Сторонами этого треугольника являются сторона $a=42$ см и два найденных отрезка медиан: 20 см и 40 см.

Пусть $D$ — середина стороны $a$. Тогда отрезок $OD$, соединяющий точку $O$ с серединой стороны $a$, является медианой в этом новом треугольнике, проведенной к стороне длиной 42 см. Длина отрезка $OD$ составляет одну треть от искомой медианы $m_a$, то есть $OD = \frac{1}{3} m_a$.

Для нахождения длины медианы треугольника воспользуемся формулой для квадрата ее длины: $m_x^2 = \frac{2y^2 + 2z^2 - x^2}{4}$, где $m_x$ — медиана к стороне $x$, а $y$ и $z$ — две другие стороны.

В нашем случае для треугольника со сторонами 42, 20 и 40, квадрат медианы $OD$ к стороне 42 будет равен: $OD^2 = \frac{2 \cdot 20^2 + 2 \cdot 40^2 - 42^2}{4} = \frac{2 \cdot 400 + 2 \cdot 1600 - 1764}{4} = \frac{800 + 3200 - 1764}{4} = \frac{4000 - 1764}{4} = \frac{2236}{4} = 559$.

Так как $OD = \frac{1}{3} m_a$, то $m_a = 3 \cdot OD$. Возведем обе части в квадрат: $m_a^2 = (3 \cdot OD)^2 = 9 \cdot OD^2$.

Подставим найденное значение $OD^2$: $m_a^2 = 9 \cdot 559 = 5031$.

Следовательно, длина третьей медианы $m_a = \sqrt{5031}$ см.

Ответ: $\sqrt{5031}$ см.

28. В треугольнике $ABC$ $BC = 5\sqrt{3}$ см, $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 45^\circ$. Найдите сторону $AC$.

28. В треугольнике $ABC$ $BC = 5\sqrt{3}$ см, $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 45^\circ$. Найдите сторону $AC$.

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему синусов. Теорема синусов гласит, что для любого треугольника отношение длины стороны к синусу противолежащего угла является величиной постоянной. Для треугольника $ABC$ это записывается так:

$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$

Нам даны сторона $BC = 5\sqrt{3}$ см, угол $\angle A = 60^{\circ}$, который лежит напротив стороны $BC$, и угол $\angle B = 45^{\circ}$, который лежит напротив искомой стороны $AC$.

Воспользуемся частью равенства, связывающей известные и искомую величины:

$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)}$

Подставим в него известные значения:

$\frac{AC}{\sin(45^{\circ})} = \frac{5\sqrt{3}}{\sin(60^{\circ})}$

Теперь выразим сторону $AC$:

$AC = \frac{5\sqrt{3} \cdot \sin(45^{\circ})}{\sin(60^{\circ})}$

Значения синусов для углов $45^{\circ}$ и $60^{\circ}$ являются табличными:

$\sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим эти значения в нашу формулу:

$AC = \frac{5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Упростим полученное выражение, сократив $\frac{1}{2}$ в числителе и знаменателе:

$AC = \frac{5\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Теперь сократим $\sqrt{3}$:

$AC = 5\sqrt{2}$

Таким образом, длина стороны $AC$ равна $5\sqrt{2}$ см.

Ответ: $5\sqrt{2}$ см.

29. В треугольнике $ABC AB = 3\sqrt{2}$ см, $\angle A = 15^\circ$, $\angle C = 135^\circ$. Найдите сторону $AC$.

29. В треугольнике ABC $AB = 3\sqrt{2}$ см, $\angle A = 15^\circ$, $\angle C = 135^\circ$. Найдите сторону $AC$.

Для нахождения стороны $AC$ треугольника $ABC$ воспользуемся теоремой синусов. Но сначала нам нужно найти угол $B$, противолежащий искомой стороне.

1. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Используя это свойство, найдем угол $B$:

$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C)$

Подставим известные значения углов $\angle A = 15^\circ$ и $\angle C = 135^\circ$:

$\angle B = 180^\circ - (15^\circ + 135^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

2. Теперь применим теорему синусов, которая гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$

Выразим из этой формулы искомую сторону $AC$:

$AC = \frac{AB \cdot \sin(\angle B)}{\sin(\angle C)}$

3. Подставим известные значения в полученную формулу: $AB = 3\sqrt{2}$ см, $\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 135^\circ$.

$AC = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sin(30^\circ)}{\sin(135^\circ)}$

Для вычисления нам понадобятся значения синусов:

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

$\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

4. Подставим числовые значения синусов в формулу и вычислим $AC$:

$AC = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3$ см.

Ответ: 3 см.

30. Найдите угол C треугольника ABC, если:

1) $AC = 6 \text{ см}$, $AB = 3\sqrt{2} \text{ см}$, $\angle B = 45^\circ$;

2) $AB = 4\sqrt{6} \text{ см}$, $BC = 8 \text{ см}$, $\angle A = 45^\circ$.

Сколько решений в каждом случае имеет задача?

30. Найдите угол $C$ треугольника $ABC$, если:

1) $AC = 6$ см, $AB = 3\sqrt{2}$ см, $\angle B = 45^\circ$;

2) $AB = 4\sqrt{6}$ см, $BC = 8$ см, $\angle A = 45^\circ$.

Сколько решений в каждом случае имеет задача?

1) Для нахождения угла $C$ в треугольнике $ABC$ воспользуемся теоремой синусов:

$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$

Подставим известные значения: $AC = 6$ см, $AB = 3\sqrt{2}$ см, $\angle B = 45^\circ$.

$\frac{6}{\sin(45^\circ)} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin(\angle C)}$

Отсюда выразим $\sin(\angle C)$:

$\sin(\angle C) = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ)}{6}$

Зная, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставляем это значение в формулу:

$\sin(\angle C) = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{6} = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Уравнение $\sin(\angle C) = \frac{1}{2}$ в интервале $(0^\circ, 180^\circ)$ имеет два корня: $\angle C_1 = 30^\circ$ и $\angle C_2 = 150^\circ$.

Проверим, возможно ли существование треугольника для каждого из этих значений. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.

Случай 1: Если $\angle C = 30^\circ$.

Тогда угол $\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$.

Так как все углы положительны, такой треугольник существует.

Случай 2: Если $\angle C = 150^\circ$.

Тогда угол $\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 150^\circ = -15^\circ$.

Угол треугольника не может быть отрицательным, следовательно, такой треугольник не существует.

Таким образом, задача имеет только одно решение.

Ответ: $\angle C = 30^\circ$. Задача имеет одно решение.

2) Аналогично первому пункту, воспользуемся теоремой синусов:

$\frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$

Подставим известные значения: $AB = 4\sqrt{6}$ см, $BC = 8$ см, $\angle A = 45^\circ$.

$\frac{8}{\sin(45^\circ)} = \frac{4\sqrt{6}}{\sin(\angle C)}$

Выразим $\sin(\angle C)$:

$\sin(\angle C) = \frac{4\sqrt{6} \cdot \sin(45^\circ)}{8}$

Подставляем значение $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\sin(\angle C) = \frac{4\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{8} = \frac{2\sqrt{12}}{8} = \frac{2 \cdot 2\sqrt{3}}{8} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Уравнение $\sin(\angle C) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ в интервале $(0^\circ, 180^\circ)$ имеет два корня: $\angle C_1 = 60^\circ$ и $\angle C_2 = 120^\circ$.

Проверим оба случая.

Случай 1: Если $\angle C = 60^\circ$.

Тогда угол $\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ$.

Все углы положительны, такой треугольник существует.

Случай 2: Если $\angle C = 120^\circ$.

Тогда угол $\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 120^\circ = 15^\circ$.

Все углы положительны, такой треугольник также существует.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: $\angle C = 60^\circ$ или $\angle C = 120^\circ$. Задача имеет два решения.

31. В треугольнике $ABC$ $AB = 13$ см, $BC = 8$ см. Может ли $\sin A$ быть равным $\frac{2}{3}$?

31. В треугольнике $ABC$ $AB = 13$ см, $BC = 8$ см. Может ли $\sin A$ быть равным $\frac{2}{3}$?

Для того чтобы определить, возможно ли такое значение синуса угла A в заданном треугольнике, воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов для треугольника $ABC$ утверждает, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны:

$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$

В нашем случае, сторона $a = BC = 8$ см, а сторона $c = AB = 13$ см. Угол $A$ лежит напротив стороны $BC$, а угол $C$ — напротив стороны $AB$. Применим теорему синусов к этим сторонам и углам:

$$ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} $$

Предположим, что $\sin A = \frac{2}{3}$. Подставим известные значения в формулу:

$$ \frac{8}{\frac{2}{3}} = \frac{13}{\sin C} $$

Теперь выразим из этого уравнения $\sin C$:

$$ \sin C = \frac{13 \cdot \frac{2}{3}}{8} $$

$$ \sin C = \frac{\frac{26}{3}}{8} = \frac{26}{3 \cdot 8} = \frac{26}{24} $$

Мы получили, что $\sin C$ должен быть равен $\frac{26}{24}$. Однако, мы знаем, что значение синуса любого угла в треугольнике (угол от 0° до 180°) не может быть больше 1. Так как $\frac{26}{24} > 1$, то такое значение для $\sin C$ невозможно.

Это означает, что наше первоначальное предположение о том, что $\sin A$ может быть равен $\frac{2}{3}$, неверно, так как оно приводит к противоречию.

Ответ: нет, не может.