Страница 5 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

8. Найдите косинус большего угла треугольника, стороны которого равны 5 см, 8 см и 11 см.

8. Найдите косинус большего угла треугольника, стороны которого равны 5 см, 8 см и 11 см.

В любом треугольнике больший угол лежит напротив большей стороны. В данном случае стороны треугольника равны 5 см, 8 см и 11 см. Наибольшая сторона равна 11 см, следовательно, наибольший угол находится напротив этой стороны.

Для нахождения косинуса этого угла воспользуемся теоремой косинусов. Обозначим стороны треугольника как $a = 5$ см, $b = 8$ см, и $c = 11$ см. Угол, который нам нужно найти, обозначим как $\gamma$ — он лежит напротив стороны $c$.

Формула теоремы косинусов для стороны $c$ выглядит так:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Из этой формулы можно выразить косинус угла $\gamma$:

$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Теперь подставим числовые значения сторон в формулу:

$\cos(\gamma) = \frac{5^2 + 8^2 - 11^2}{2 \cdot 5 \cdot 8}$

Произведем вычисления:

$\cos(\gamma) = \frac{25 + 64 - 121}{80}$

$\cos(\gamma) = \frac{89 - 121}{80}$

$\cos(\gamma) = \frac{-32}{80}$

Сократим полученную дробь на 16:

$\cos(\gamma) = -\frac{2}{5}$

Ответ: $-\frac{2}{5}$

9. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник, стороны которого равны:

1) 3 см, 4 см и 6 см;

2) 5 см, 6 см и 7 см;

3) 16 см, 30 см и 34 см.

9. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник, стороны которого равны:

1) 3 см, 4 см и 6 см;

2) 5 см, 6 см и 7 см;

3) 16 см, 30 см и 34 см.

Для определения вида треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) по известным сторонам $a$, $b$ и $c$, где $c$ – наибольшая сторона, используется следствие из теоремы косинусов (обобщенная теорема Пифагора):

• Если $c^2 < a^2 + b^2$, то треугольник является остроугольным.
• Если $c^2 = a^2 + b^2$, то треугольник является прямоугольным.
• Если $c^2 > a^2 + b^2$, то треугольник является тупоугольным.

1) 3 см, 4 см и 6 см;

Пусть стороны треугольника равны $a = 3$, $b = 4$ и $c = 6$. Наибольшая сторона — $c = 6$.
Сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:
$c^2 = 6^2 = 36$
$a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
Поскольку $36 > 25$, то есть $c^2 > a^2 + b^2$, треугольник является тупоугольным.
Ответ: тупоугольный.

2) 5 см, 6 см и 7 см;

Пусть стороны треугольника равны $a = 5$, $b = 6$ и $c = 7$. Наибольшая сторона — $c = 7$.
Сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:
$c^2 = 7^2 = 49$
$a^2 + b^2 = 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$
Поскольку $49 < 61$, то есть $c^2 < a^2 + b^2$, треугольник является остроугольным.
Ответ: остроугольный.

3) 16 см, 30 см и 34 см.

Пусть стороны треугольника равны $a = 16$, $b = 30$ и $c = 34$. Наибольшая сторона — $c = 34$.
Сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:
$c^2 = 34^2 = 1156$
$a^2 + b^2 = 16^2 + 30^2 = 256 + 900 = 1156$
Поскольку $1156 = 1156$, то есть $c^2 = a^2 + b^2$, треугольник является прямоугольным.
Ответ: прямоугольный.

10. Стороны параллелограмма равны 8 см и 10 см, а один из углов равен $60^\circ$. Найдите диагонали параллелограмма.

10. Стороны параллелограмма равны 8 см и 10 см, а один из углов равен $60^\circ$. Найдите диагонали параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a = 8$ см и $b = 10$ см. По условию, один из углов равен $60°$. Так как сумма смежных углов параллелограмма составляет $180°$, второй угол равен $180° - 60° = 120°$.

Для нахождения диагоналей параллелограмма воспользуемся теоремой косинусов. Каждая диагональ образует треугольник с двумя смежными сторонами параллелограмма. Меньшая диагональ лежит напротив острого угла ($60°$), а большая — напротив тупого ($120°$).

1. Вычислим длину меньшей диагонали ($d_1$), которая лежит напротив угла в $60°$. По теореме косинусов:
$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(60°)$
$d_1^2 = 8^2 + 10^2 - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2}$
$d_1^2 = 64 + 100 - 80$
$d_1^2 = 84$
$d_1 = \sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$ см.

2. Вычислим длину большей диагонали ($d_2$), которая лежит напротив угла в $120°$. По теореме косинусов:
$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(120°)$
Поскольку $\cos(120°) = -\frac{1}{2}$, то:
$d_2^2 = 8^2 + 10^2 - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot (-\frac{1}{2})$
$d_2^2 = 64 + 100 + 80$
$d_2^2 = 244$
$d_2 = \sqrt{244} = \sqrt{4 \cdot 61} = 2\sqrt{61}$ см.

Ответ: диагонали параллелограмма равны $2\sqrt{21}$ см и $2\sqrt{61}$ см.

11. Две стороны треугольника равны 6 см и 9 см, а синус угла между ними равен $ \frac{2\sqrt{2}}{3} $. Найдите третью сторону треугольника.

11. Две стороны треугольника равны 6 см и 9 см, а синус угла между ними равен $2\frac{\sqrt{2}}{3}$. Найдите третью сторону треугольника.

Для нахождения третьей стороны треугольника воспользуемся теоремой косинусов. Пусть $a=6$ см и $b=9$ см — известные стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними. Тогда квадрат искомой третьей стороны $c$ вычисляется по формуле:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Нам известен синус угла $\gamma$: $\sin(\gamma) = \frac{2\sqrt{2}}{3}$. Чтобы применить теорему косинусов, нам нужно найти $\cos(\gamma)$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma) = 1$.
$\cos^2(\gamma) = 1 - \sin^2(\gamma)$
$\cos^2(\gamma) = 1 - \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$

Из этого следует, что $\cos(\gamma)$ может принимать два значения: $\cos(\gamma) = \frac{1}{3}$ (если угол $\gamma$ острый) или $\cos(\gamma) = -\frac{1}{3}$ (если угол $\gamma$ тупой). Поскольку условие задачи не уточняет, является ли угол острым или тупым, мы должны рассмотреть оба варианта.

Вариант 1: $\cos(\gamma) = \frac{1}{3}$
Подставляем это значение в теорему косинусов:
$c^2 = 6^2 + 9^2 - 2 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \frac{1}{3} = 36 + 81 - 36 = 81$
$c = \sqrt{81} = 9$ см.

Вариант 2: $\cos(\gamma) = -\frac{1}{3}$
Подставляем это значение в теорему косинусов:
$c^2 = 6^2 + 9^2 - 2 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 36 + 81 + 36 = 153$
$c = \sqrt{153} = \sqrt{9 \cdot 17} = 3\sqrt{17}$ см.

Таким образом, задача имеет два возможных решения, так как угол между заданными сторонами может быть как острым, так и тупым.
Ответ: 9 см или $3\sqrt{17}$ см.

12. Центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, удалён на 2 см и на 5 см от вершин $B$ и $C$ соответственно. Найдите сторону $BC$, если $\angle A = 60^{\circ}$.

12. Центр окружности, вписанной в треугольник ABC, удалён на 2 см и на 5 см от вершин B и C соответственно. Найдите сторону BC, если $\angle A = 60^\circ$.

Пусть $I$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$ (инцентр). Согласно условию задачи, расстояние от инцентра до вершин $B$ и $C$ составляет $2$ см и $5$ см соответственно. Таким образом, мы имеем длины отрезков $IB = 2$ см и $IC = 5$ см. Также известно, что $\angle A = 60^\circ$.

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, отрезки $BI$ и $CI$ являются биссектрисами углов $\angle B$ и $\angle C$ соответственно. Это означает, что $\angle IBC = \frac{1}{2}\angle B$ и $\angle ICB = \frac{1}{2}\angle C$.

Рассмотрим треугольник $IBC$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:$\angle BIC + \angle IBC + \angle ICB = 180^\circ$Подставив выражения для углов $\angle IBC$ и $\angle ICB$, получим:$\angle BIC + \frac{1}{2}\angle B + \frac{1}{2}\angle C = 180^\circ$Отсюда можно выразить угол $\angle BIC$:$\angle BIC = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle B + \angle C)$

Сумма углов в исходном треугольнике $ABC$ также равна $180^\circ$:$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$Из этого соотношения выразим сумму углов $\angle B + \angle C$:$\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A$

Теперь подставим это выражение в формулу для угла $\angle BIC$:$\angle BIC = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ - \angle A) = 180^\circ - 90^\circ + \frac{1}{2}\angle A = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle A$

Поскольку по условию $\angle A = 60^\circ$, мы можем вычислить точное значение угла $\angle BIC$:$\angle BIC = 90^\circ + \frac{60^\circ}{2} = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$

Теперь у нас есть треугольник $IBC$, в котором известны две стороны ($IB=2$ и $IC=5$) и угол между ними ($\angle BIC=120^\circ$). Мы можем найти длину третьей стороны $BC$, используя теорему косинусов:$BC^2 = IB^2 + IC^2 - 2 \cdot IB \cdot IC \cdot \cos(\angle BIC)$

Подставим известные значения в формулу:$BC^2 = 2^2 + 5^2 - 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ)$Зная, что $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, продолжаем вычисления:$BC^2 = 4 + 25 - 20 \cdot (-\frac{1}{2})$$BC^2 = 29 + 10$$BC^2 = 39$

Извлекая квадратный корень, находим длину стороны $BC$:$BC = \sqrt{39}$ см.

Ответ: $\sqrt{39}$ см.

13. На сторонах $AB$ и $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) отмечены соответственно такие точки $D$ и $E$, что $BD = 2$ см, $CE = 1$ см. Найдите отрезок $DE$, если $AC = 4$ см, $BC = 2\sqrt{5}$ см.

13. На сторонах $AB$ и $AC$ прямоугольного треугольника $ABC (\angle C = 90^\circ)$ отмечены соответственно такие точки $D$ и $E$, что $BD = 2$ см, $CE = 1$ см. Найдите отрезок $DE$, если $AC = 4$ см, $BC = 2\sqrt{5}$ см.

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов. Сначала найдем все необходимые для этого элементы.

1. В прямоугольном треугольнике ABC ($\angle C = 90^\circ$) известны катеты $AC = 4$ см и $BC = 2\sqrt{5}$ см. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы AB:
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
$AB^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2 = 16 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36$
$AB = \sqrt{36} = 6$ см.

2. Точка D лежит на стороне AB, и по условию $BD = 2$ см. Найдем длину отрезка AD:
$AD = AB - BD = 6 - 2 = 4$ см.

3. Точка E лежит на стороне AC, и по условию $CE = 1$ см. Найдем длину отрезка AE:
$AE = AC - CE = 4 - 1 = 3$ см.

4. Теперь у нас есть треугольник ADE, в котором известны две стороны AD = 4 см и AE = 3 см. Чтобы найти третью сторону DE по теореме косинусов, нам нужно найти косинус угла между известными сторонами, то есть $\cos(\angle A)$.
В прямоугольном треугольнике ABC косинус угла A определяется как отношение прилежащего катета AC к гипотенузе AB:
$\cos(\angle A) = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

5. Применим теорему косинусов к треугольнику ADE:
$DE^2 = AD^2 + AE^2 - 2 \cdot AD \cdot AE \cdot \cos(\angle A)$
Подставим найденные значения:
$DE^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac{2}{3}$
$DE^2 = 16 + 9 - 2 \cdot 4 \cdot 2$
$DE^2 = 25 - 16$
$DE^2 = 9$
$DE = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: 3 см.

14. На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены соответственно такие точки $D$ и $E$, что $AD = 3 \text{ см}$, $EC = 6 \text{ см}$. Найдите отрезок $DE$, если $AB = 8 \text{ см}$, $BC = 12 \text{ см}$, $AC = 10 \text{ см}$.

14. На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены соответственно такие точки $D$ и $E$, что $AD = 3$ см, $EC = 6$ см. Найдите отрезок $DE$, если $AB = 8$ см, $BC = 12$ см, $AC = 10$ см.

По условию задачи дан треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 8$ см, $AC = 10$ см, $BC = 12$ см. На сторонах $AB$ и $AC$ отмечены точки $D$ и $E$ соответственно, так что $AD = 3$ см и $EC = 6$ см.

Найдем длину отрезка $AE$. Точка $E$ лежит на отрезке $AC$, следовательно:

$AE = AC - EC = 10 - 6 = 4$ см.

Рассмотрим треугольники $ADE$ и $ABC$. Угол $A$ у них общий. Проверим, подобны ли эти треугольники по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). Для этого должно выполняться равенство отношений сторон:

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$

Подставим известные значения:

$\frac{3}{8}$ и $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Так как $\frac{3}{8} \neq \frac{2}{5}$, то треугольники $ADE$ и $ABC$ не являются подобными. Поэтому для нахождения длины отрезка $DE$ воспользуемся теоремой косинусов.

Сначала найдем косинус угла $A$ из треугольника $ABC$ по теореме косинусов:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)$

Подставим длины сторон треугольника $ABC$:

$12^2 = 8^2 + 10^2 - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \cos(\angle A)$

$144 = 64 + 100 - 160 \cdot \cos(\angle A)$

$144 = 164 - 160 \cdot \cos(\angle A)$

Выразим отсюда $\cos(\angle A)$:

$160 \cdot \cos(\angle A) = 164 - 144 = 20$

$\cos(\angle A) = \frac{20}{160} = \frac{1}{8}$

Теперь, зная две стороны ($AD = 3$ см, $AE = 4$ см) и косинус угла между ними в треугольнике $ADE$, найдем длину стороны $DE$ по теореме косинусов:

$DE^2 = AD^2 + AE^2 - 2 \cdot AD \cdot AE \cdot \cos(\angle A)$

Подставим известные значения:

$DE^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{8}$

$DE^2 = 9 + 16 - \frac{24}{8}$

$DE^2 = 25 - 3$

$DE^2 = 22$

Следовательно, длина отрезка $DE$ равна:

$DE = \sqrt{22}$ см.

Ответ: $\sqrt{22}$ см.

15. Две стороны треугольника относятся как $3 : 5$, а угол между ними равен $120^\circ$. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен $45$ см.

15. Две стороны треугольника относятся как $3 : 5$, а угол между ними равен $120^\circ$. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен $45 \text{ см}$.

Пусть две стороны треугольника, отношение которых известно, равны $a$ и $b$. Согласно условию, $a : b = 3 : 5$. Угол между ними $\gamma = 120^\circ$. Третья сторона пусть будет $c$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины сторон $a$ и $b$ можно выразить как $a = 3x$ и $b = 5x$.

Для нахождения третьей стороны $c$ воспользуемся теоремой косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Подставим в формулу известные значения и выражения для сторон:

$c^2 = (3x)^2 + (5x)^2 - 2(3x)(5x) \cos(120^\circ)$

Значение косинуса $120^\circ$ равно $-1/2$. Подставим его в уравнение:

$c^2 = 9x^2 + 25x^2 - 2(15x^2)(-\frac{1}{2})$

$c^2 = 34x^2 + 15x^2$

$c^2 = 49x^2$

$c = \sqrt{49x^2} = 7x$ (длина стороны не может быть отрицательной).

Теперь мы имеем выражения для всех трех сторон треугольника через $x$: $3x$, $5x$ и $7x$.

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон. По условию, $P = 45$ см.

$P = a + b + c$

$45 = 3x + 5x + 7x$

$45 = 15x$

Теперь найдем значение $x$:

$x = \frac{45}{15} = 3$

Зная коэффициент $x$, можем вычислить длины каждой стороны:

Первая сторона: $a = 3x = 3 \cdot 3 = 9$ см.

Вторая сторона: $b = 5x = 5 \cdot 3 = 15$ см.

Третья сторона: $c = 7x = 7 \cdot 3 = 21$ см.

Ответ: стороны треугольника равны 9 см, 15 см и 21 см.

16. Две стороны треугольника равны 5 см и 7 см, а угол, противолежащий большей из них, — 120°. Найдите третью сторону треугольника.

16. Две стороны треугольника равны 5 см и 7 см, а угол, противолежащий большей из них, — $120^\circ$. Найдите третью сторону треугольника.

Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$. Согласно условию, две стороны равны 5 см и 7 см. Пусть $a = 5$ см и $b = 7$ см. Угол, противолежащий большей из этих сторон (то есть стороне $b = 7$ см), равен 120°. Обозначим этот угол $\beta$. Таким образом, $\beta = 120^\circ$. Нам необходимо найти длину третьей стороны $c$.

Для нахождения неизвестной стороны треугольника, когда известны две другие стороны и угол между ними или угол, противолежащий одной из известных сторон, можно использовать теорему косинусов.

Теорема косинусов для стороны $b$ записывается следующим образом:

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\beta)$

Подставим в эту формулу известные нам значения:

$7^2 = 5^2 + c^2 - 2 \cdot 5 \cdot c \cdot \cos(120^\circ)$

Для продолжения вычислений найдем значение $\cos(120^\circ)$. Используя формулу приведения, получаем:

$\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = - \frac{1}{2}$

Теперь подставим это значение в наше уравнение:

$49 = 25 + c^2 - 10c \cdot (-\frac{1}{2})$

$49 = 25 + c^2 + 5c$

Мы получили квадратное уравнение относительно стороны $c$. Приведем его к стандартному виду $Ax^2 + Bx + C = 0$:

$c^2 + 5c + 25 - 49 = 0$

$c^2 + 5c - 24 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня, которые мы найдем по формуле $c = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$c = \frac{-5 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-5 \pm 11}{2}$

Вычислим оба корня:

$c_1 = \frac{-5 + 11}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$c_2 = \frac{-5 - 11}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Так как длина стороны треугольника не может быть отрицательной величиной, корень $c_2 = -8$ не является решением нашей геометрической задачи. Таким образом, единственно возможная длина третьей стороны треугольника составляет 3 см.

Ответ: 3 см.

17. Для сторон $a, b$ и $c$ треугольника выполняется равенство $c^2 = a^2 + b^2 + ab\sqrt{3}$. Докажите, что угол, противолежащий стороне $c$, равен $150^\circ$.

17. Для сторон $a$, $b$ и $c$ треугольника выполняется равенство $c^2 = a^2 + b^2 + ab\sqrt{3}$. Докажите, что угол, противолежащий стороне $c$, равен $150^\circ$.

Для доказательства воспользуемся теоремой косинусов, которая устанавливает связь между сторонами треугольника и косинусом одного из его углов.

Теорема косинусов для произвольного треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и углом $\gamma$, противолежащим стороне $c$, формулируется следующим образом:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

В условии задачи дано равенство, связывающее стороны этого же треугольника:

$c^2 = a^2 + b^2 + ab\sqrt{3}$

Поскольку левые части обоих равенств одинаковы ($c^2$), мы можем приравнять их правые части:

$a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) = a^2 + b^2 + ab\sqrt{3}$

Теперь упростим полученное уравнение. Вычтем из обеих частей $a^2 + b^2$:

$-2ab \cos(\gamma) = ab\sqrt{3}$

Так как $a$ и $b$ — это длины сторон треугольника, их значения положительны, следовательно, их произведение $ab$ не равно нулю. Мы можем разделить обе части уравнения на $-2ab$:

$\cos(\gamma) = \frac{ab\sqrt{3}}{-2ab}$

$\cos(\gamma) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Нам необходимо найти значение угла $\gamma$. Поскольку $\gamma$ — это угол в треугольнике, его значение должно лежать в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. В этом интервале косинус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ для угла $150^\circ$.

Следовательно, угол $\gamma$, противолежащий стороне $c$, равен $150^\circ$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Угол, противолежащий стороне c, равен 150°.

18. Стороны параллелограмма равны 14 см и 22 см, а его диагонали относятся как 6 : 7. Найдите диагонали параллелограмма.

18. Стороны параллелограмма равны 14 см и 22 см, а его диагонали относятся как 6 : 7. Найдите диагонали параллелограмма.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством параллелограмма, которое связывает его стороны и диагонали: сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а его диагонали — $d_1$ и $d_2$. Тогда формула имеет вид:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

По условию задачи, стороны параллелограмма равны $a = 14$ см и $b = 22$ см. Диагонали относятся как $6:7$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда длины диагоналей можно выразить как:

$d_1 = 6x$

$d_2 = 7x$

Теперь подставим все известные значения в формулу:

$(6x)^2 + (7x)^2 = 2(14^2 + 22^2)$

Выполним вычисления:

$36x^2 + 49x^2 = 2(196 + 484)$

$85x^2 = 2 \cdot 680$

$85x^2 = 1360$

Теперь найдем $x^2$:

$x^2 = \frac{1360}{85}$

$x^2 = 16$

Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, находим положительное значение $x$:

$x = \sqrt{16} = 4$

Зная коэффициент $x$, мы можем найти длины диагоналей:

$d_1 = 6x = 6 \cdot 4 = 24$ см

$d_2 = 7x = 7 \cdot 4 = 28$ см

Ответ: 24 см и 28 см.

19. Одна из сторон параллелограмма на 5 см больше другой, а его диагонали равны 17 см и 19 см. Найдите стороны параллелограмма.

19. Одна из сторон параллелограмма на 5 см больше другой, а его диагонали равны 17 см и 19 см. Найдите стороны параллелограмма.

Для решения этой задачи используется свойство параллелограмма, которое связывает его стороны и диагонали. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Если обозначить смежные стороны как $a$ и $b$, а диагонали как $d_1$ и $d_2$, то формула будет выглядеть так:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

По условию задачи нам дано:

• $d_1 = 17$ см
• $d_2 = 19$ см
• Одна сторона на 5 см больше другой. Пусть меньшая сторона $b = x$ см, тогда большая сторона $a = x + 5$ см.

Подставим эти значения в формулу:

$17^2 + 19^2 = 2((x + 5)^2 + x^2)$

Выполним вычисления:

$289 + 361 = 2(x^2 + 10x + 25 + x^2)$

Упростим уравнение:

$650 = 2(2x^2 + 10x + 25)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$325 = 2x^2 + 10x + 25$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 + 10x + 25 - 325 = 0$

$2x^2 + 10x - 300 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 2:

$x^2 + 5x - 150 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-150) = 25 + 600 = 625$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-5 - 25}{2 \cdot 1} = \frac{-30}{2} = -15$

$x_2 = \frac{-5 + 25}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$

Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, корень $x_1 = -15$ не подходит. Значит, меньшая сторона параллелограмма равна 10 см.

$b = 10$ см.

Теперь найдем вторую, большую сторону:

$a = x + 5 = 10 + 5 = 15$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 10 см и 15 см.