Страница 99 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

296. Параллельные прямые пересекают стороны угла $C$ в точках $P, E, F$ и $K$ (рис. 81). $CP : PF = 4 : 1$. Укажите коэффициент и центр гомотетии, при которой:

1) отрезок $PE$ является образом отрезка $FK$;

2) отрезок $FK$ является образом отрезка $PE$.

Рис. 81

296. Параллельные прямые пересекают стороны угла $C$ в точках $P$, $E$, $F$ и $K$ (рис. 81). $CP : PF = 4 : 1$. Укажите коэффициент и центр гомотетии, при которой:

1) отрезок $PE$ является образом отрезка $FK$;

2) отрезок $FK$ является образом отрезка $PE$.

Рис. 81

По определению гомотетии (преобразования подобия), центр гомотетии — это точка, через которую проходят прямые, соединяющие соответствующие точки прообраза и образа. В данном случае прямые, соединяющие концы параллельных отрезков ($FP$ и $KE$), пересекаются в вершине угла — точке $C$. Следовательно, точка $C$ является центром гомотетии для обоих случаев.

Из условия задачи дано соотношение $CP : PF = 4 : 1$. Примем длину отрезка $PF$ за некую единицу $x$, тогда длина отрезка $CP$ будет равна $4x$. Длина всего отрезка $CF$ будет равна сумме длин его частей:

$CF = CP + PF = 4x + x = 5x$

В этом случае отрезок $FK$ является прообразом, а отрезок $PE$ — образом. Гомотетия с центром в точке $C$ переводит точку $F$ в точку $P$ и точку $K$ в точку $E$. Коэффициент гомотетии $k$ равен отношению расстояния от центра до точки-образа к расстоянию от центра до точки-прообраза.

Возьмем соответствующие точки $P$ (образ) и $F$ (прообраз). Коэффициент гомотетии $k$ равен отношению длин отрезков $CP$ и $CF$:

$k = \frac{CP}{CF}$

Подставляя известные значения, получаем:

$k = \frac{4x}{5x} = \frac{4}{5}$

Так как точки $P$ и $F$ лежат на одном луче, выходящем из центра гомотетии $C$, коэффициент $k$ положителен.

Ответ: центр гомотетии — точка C, коэффициент $k = \frac{4}{5}$.

В этом случае отрезок $PE$ является прообразом, а отрезок $FK$ — образом. Гомотетия с центром в точке $C$ переводит точку $P$ в точку $F$ и точку $E$ в точку $K$. Коэффициент гомотетии $k'$ равен отношению расстояния от центра до точки-образа к расстоянию от центра до точки-прообраза.

Возьмем соответствующие точки $F$ (образ) и $P$ (прообраз). Коэффициент гомотетии $k'$ равен отношению длин отрезков $CF$ и $CP$:

$k' = \frac{CF}{CP}$

Подставляя известные значения, получаем:

$k' = \frac{5x}{4x} = \frac{5}{4}$

Так как точки $F$ и $P$ лежат на одном луче, выходящем из центра гомотетии $C$, коэффициент $k'$ положителен.

Ответ: центр гомотетии — точка C, коэффициент $k = \frac{5}{4}$.

297. Стороны двух правильных шестиугольников относятся как $2:3$. Как относятся их площади?

297. Стороны двух правильных шестиугольников относятся как $2 : 3$. Как относятся их площади?

Обозначим стороны двух правильных шестиугольников как $a_1$ и $a_2$, а их площади как $S_1$ и $S_2$ соответственно.

По условию задачи, отношение сторон шестиугольников составляет:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3}$

Все правильные многоугольники с одинаковым числом сторон являются подобными. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия $k$ для этих шестиугольников равен отношению их сторон:

$k = \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3}$

Тогда отношение их площадей будет равно квадрату этого коэффициента:

$\frac{S_1}{S_2} = k^2 = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2$

Подставим данное в условии отношение сторон в эту формулу:

$\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$

Таким образом, площади этих шестиугольников относятся как 4 : 9.

Ответ: 4 : 9

298. Радиус вписанной окружности одного равностороннего треугольника равен стороне другого. Как относятся их площади?

298. Радиус вписанной окружности одного равностороннего треугольника равен стороне другого. Как относятся их площади?

Пусть $a_1$ и $S_1$ — сторона и площадь первого равностороннего треугольника, а $a_2$ и $S_2$ — сторона и площадь второго. Пусть $r_1$ — радиус вписанной окружности первого треугольника.

Согласно условию задачи, радиус вписанной окружности первого треугольника равен стороне второго, что можно записать в виде равенства:
$r_1 = a_2$

Радиус $r$ вписанной в равносторонний треугольник окружности связан с его стороной $a$ следующей формулой:
$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Применив эту формулу для первого треугольника, мы получим:
$r_1 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}}$

Теперь, используя условие $r_1 = a_2$, мы можем установить связь между сторонами двух треугольников:
$\frac{a_1}{2\sqrt{3}} = a_2$

Из этого соотношения можно выразить отношение сторон треугольников:
$\frac{a_1}{a_2} = 2\sqrt{3}$

Площадь $S$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Найдем отношение площадей первого и второго треугольников, используя их формулы площади:
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{a_1^2\sqrt{3}}{4}}{\frac{a_2^2\sqrt{3}}{4}} = \frac{a_1^2}{a_2^2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2$

Подставим в полученное выражение найденное ранее отношение сторон $\frac{a_1}{a_2} = 2\sqrt{3}$:
$\frac{S_1}{S_2} = (2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$

Таким образом, площадь треугольника, радиус вписанной окружности которого равен стороне другого, в 12 раз больше площади второго треугольника.

Ответ: Их площади относятся как 12:1.

299. Стороны двух квадратов относятся как 2 : 5, а площадь большего из них равна 100 см$^2$. Найдите площадь меньшего квадрата.

299. Стороны двух квадратов относятся как $2 : 5$, а площадь большего из них равна $100 \text{ см}^2$. Найдите площадь меньшего квадрата.

Пусть $a_1$ — сторона меньшего квадрата, а $a_2$ — сторона большего квадрата. Тогда их площади равны $S_1 = a_1^2$ и $S_2 = a_2^2$ соответственно.

По условию, площадь большего квадрата $S_2 = 100$ см². Найдем длину его стороны $a_2$:
$a_2^2 = 100$
$a_2 = \sqrt{100} = 10$ см

Также по условию стороны квадратов относятся как 2 : 5. Поскольку $a_1$ — сторона меньшего квадрата, а $a_2$ — сторона большего, их отношение можно записать как:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{5}$

Теперь, зная сторону большего квадрата ($a_2 = 10$ см), мы можем найти сторону меньшего квадрата $a_1$:
$\frac{a_1}{10} = \frac{2}{5}$
$a_1 = 10 \cdot \frac{2}{5} = \frac{20}{5} = 4$ см

Наконец, вычислим площадь меньшего квадрата $S_1$, зная его сторону:
$S_1 = a_1^2 = 4^2 = 16$ см²

Ответ: 16 см².

300. Соответственные стороны двух подобных многоугольников равны 4 см и 10 см. Площадь большего многоугольника равна 300 $см^2$. Найдите площадь меньшего многоугольника.

300. Соответственные стороны двух подобных многоугольников равны 4 см и 10 см. Площадь большего многоугольника равна 300 $см^2$. Найдите площадь меньшего многоугольника.

Пусть $a_1$ и $a_2$ — соответственные стороны двух подобных многоугольников, а $S_1$ и $S_2$ — их площади. По условию, одна сторона равна 4 см, а другая 10 см. Следовательно, многоугольник со стороной 4 см является меньшим, а многоугольник со стороной 10 см — большим.

Дано:

• Сторона меньшего многоугольника, $a_1 = 4$ см.
• Соответственная сторона большего многоугольника, $a_2 = 10$ см.
• Площадь большего многоугольника, $S_2 = 300$ см².

Необходимо найти площадь меньшего многоугольника, $S_1$.

Отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия. Коэффициент подобия $k$ — это отношение их соответственных сторон.

Найдем коэффициент подобия $k$ как отношение стороны меньшего многоугольника к соответственной стороне большего многоугольника:

$k = \frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Теперь воспользуемся свойством отношения площадей:

$\frac{S_1}{S_2} = k^2 = (\frac{a_1}{a_2})^2$

Подставим известные значения в формулу:

$\frac{S_1}{300} = (\frac{4}{10})^2 = (\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25}$

Выразим $S_1$ из этого уравнения:

$S_1 = 300 \cdot \frac{4}{25}$

Сократим 300 и 25 ($300 / 25 = 12$):

$S_1 = 12 \cdot 4 = 48$

Таким образом, площадь меньшего многоугольника составляет 48 см².

Ответ: 48 см².

301. Периметры подобных многоугольников относятся как 2 : 5, а разность их площадей равна $189\text{ см}^2$. Найдите площади многоугольников.

301. Периметры подобных многоугольников относятся как 2 : 5, а разность их площадей равна $189 \text{ см}^2$. Найдите площади многоугольников.

Пусть $P_1$ и $P_2$ — периметры двух подобных многоугольников, а $S_1$ и $S_2$ — их площади. Коэффициент подобия $k$ равен отношению их периметров:

$k = \frac{P_1}{P_2} = \frac{2}{5}$

Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_1}{S_2} = k^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}$

Пусть площадь меньшего многоугольника $S_1 = 4x$, а площадь большего $S_2 = 25x$.

По условию, разность их площадей равна $189 \text{ см}^2$:

$S_2 - S_1 = 189$

Подставим выражения для площадей через $x$:

$25x - 4x = 189$

$21x = 189$

$x = \frac{189}{21} = 9$

Теперь найдем площади многоугольников:

Площадь меньшего многоугольника: $S_1 = 4x = 4 \cdot 9 = 36 \text{ см}^2$.

Площадь большего многоугольника: $S_2 = 25x = 25 \cdot 9 = 225 \text{ см}^2$.

Ответ: площади многоугольников равны $36 \text{ см}^2$ и $225 \text{ см}^2$.

302. Площади двух правильных шестиугольников относятся как 2 : 7. Сторона меньшего шестиугольника равна 2 см. Найдите сторону большего шестиугольника.

302. Площади двух правильных шестиугольников относятся как 2 : 7. Сторона меньшего шестиугольника равна 2 см. Найдите сторону большего шестиугольника.

Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади меньшего и большего правильных шестиугольников соответственно, а $a_1$ и $a_2$ — их стороны.

По условию задачи нам дано:
Отношение площадей: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{2}{7}$.
Сторона меньшего шестиугольника: $a_1 = 2$ см.

Все правильные многоугольники с одинаковым числом сторон подобны друг другу. Для подобных фигур отношение их площадей равно квадрату отношения их соответствующих сторон (квадрату коэффициента подобия).

Запишем эту зависимость в виде формулы:
$\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2$

Подставим в эту формулу известные значения и найдем $a_2$:
$\frac{2}{7} = \left(\frac{2}{a_2}\right)^2$
$\frac{2}{7} = \frac{2^2}{a_2^2}$
$\frac{2}{7} = \frac{4}{a_2^2}$

Выразим $a_2^2$ из пропорции:
$2 \cdot a_2^2 = 7 \cdot 4$
$2 \cdot a_2^2 = 28$
$a_2^2 = \frac{28}{2}$
$a_2^2 = 14$

Найдем длину стороны $a_2$, извлекая квадратный корень. Поскольку длина стороны является положительной величиной, мы рассматриваем только арифметический корень.
$a_2 = \sqrt{14}$ см.

Ответ: $\sqrt{14}$ см.

303. Сторона $AC$ треугольника $ABC$ равна 8 см. Прямая, параллельная стороне $AC$, делит треугольник на две равновеликие фигуры. Найдите отрезок этой прямой, содержащийся между сторонами треугольника.

303. Сторона AC треугольника ABC равна 8 см. Прямая, параллельная стороне AC, делит треугольник на две равновеликие фигуры. Найдите отрезок этой прямой, содержащийся между сторонами треугольника.

Пусть в треугольнике $ABC$ сторона $AC = 8$ см. Проведем прямую, параллельную стороне $AC$, которая пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Отрезок этой прямой, заключенный между сторонами треугольника, это $MN$.

По условию задачи, эта прямая делит треугольник $ABC$ на две равновеликие фигуры. Это означает, что площадь малого треугольника $MBN$ равна площади трапеции $AMNC$.

Обозначим площадь треугольника $ABC$ как $S_{ABC}$, а площадь треугольника $MBN$ как $S_{MBN}$. Тогда площадь трапеции $AMNC$ равна $S_{AMNC}$.

По условию, $S_{MBN} = S_{AMNC}$.

Площадь всего треугольника $ABC$ является суммой площадей его частей: $S_{ABC} = S_{MBN} + S_{AMNC}$.

Заменив $S_{AMNC}$ на $S_{MBN}$, получим: $S_{ABC} = S_{MBN} + S_{MBN} = 2 \cdot S_{MBN}$.

Из этого следует, что отношение площадей малого и большого треугольников равно: $\frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = \frac{1}{2}$.

Поскольку прямая $MN$ параллельна стороне $AC$, то треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle MBN \sim \triangle ABC$). Это следует из того, что угол $B$ у них общий, а углы при основаниях $MN$ и $AC$ попарно равны как соответственные.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, который равен отношению их соответственных сторон: $\frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = \left(\frac{MN}{AC}\right)^2$.

Пусть длина искомого отрезка $MN = x$. Подставим известные значения в это соотношение: $\frac{1}{2} = \left(\frac{x}{8}\right)^2$.

Решим полученное уравнение: $\frac{x^2}{64} = \frac{1}{2}$ $x^2 = \frac{64}{2}$ $x^2 = 32$ $x = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

Таким образом, длина отрезка прямой, содержащегося между сторонами треугольника, равна $4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.

304. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Найдите площадь трапеции, если $AD : BC = 4 : 3$, а площадь треугольника $AKD$ равна $128$ см$^2$.

304. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Найдите площадь трапеции, если $AD : BC = 4 : 3$, а площадь треугольника $AKD$ равна $128 \text{ см}^2$.

Поскольку продолжения боковых сторон трапеции $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$, образуются два треугольника: $\triangle AKD$ и $\triangle BKC$.

В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$).

Рассмотрим треугольники $\triangle AKD$ и $\triangle BKC$.

1. $\angle K$ — общий для обоих треугольников.

2. $\angle KBC = \angle KAD$ как соответственные углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AK$.

Следовательно, треугольники $\triangle AKD$ и $\triangle BKC$ подобны по двум углам.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$. Коэффициент подобия равен отношению длин соответственных сторон:$k = \frac{BC}{AD}$

Из условия задачи известно, что $AD : BC = 4 : 3$, значит, $\frac{AD}{BC} = \frac{4}{3}$, а коэффициент подобия $k = \frac{BC}{AD} = \frac{3}{4}$.

Тогда отношение площадей треугольников равно:$\frac{S_{\triangle BKC}}{S_{\triangle AKD}} = k^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$

Нам дана площадь треугольника $AKD$: $S_{\triangle AKD} = 128 \text{ см}^2$.

Найдем площадь треугольника $BKC$:$S_{\triangle BKC} = S_{\triangle AKD} \cdot \frac{9}{16} = 128 \cdot \frac{9}{16} = 8 \cdot 9 = 72 \text{ см}^2$.

Площадь трапеции $ABCD$ ($S_{ABCD}$) можно найти как разность площадей треугольника $AKD$ и треугольника $BKC$:$S_{ABCD} = S_{\triangle AKD} - S_{\triangle BKC}$

$S_{ABCD} = 128 - 72 = 56 \text{ см}^2$.

Ответ: $56 \text{ см}^2$.