Страница 47, часть 3 - гдз по математике 1 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

3 Сделай рисунки и сравни числа, используя знаки $=$ и $\ne$.

3 и 2

4 и 4

5 и 3

1 и 4

3 и 2
Чтобы сравнить числа 3 и 2, нарисуем для каждого числа соответствующее количество фигур, например, кружочков.
Для числа 3: ● ● ● (три кружочка)
Для числа 2: ● ● (два кружочка)
Теперь посчитаем количество фигур в каждой группе. В первой группе 3 фигуры, а во второй 2. Количество фигур не совпадает. Это означает, что число 3 не равно числу 2. Для этого используется знак «не равно» (≠).
Ответ: $3 \ne 2$

4 и 4
Чтобы сравнить числа 4 и 4, нарисуем для каждого числа соответствующее количество фигур, например, квадратиков.
Для первого числа 4: ■ ■ ■ ■ (четыре квадратика)
Для второго числа 4: ■ ■ ■ ■ (четыре квадратика)
Сравниваем количество фигур в обеих группах. В первой группе 4 фигуры, и во второй группе тоже 4 фигуры. Количество фигур одинаковое. Это означает, что число 4 равно числу 4. Для этого используется знак «равно» (=).
Ответ: $4 = 4$

5 и 3
Чтобы сравнить числа 5 и 3, нарисуем для каждого числа соответствующее количество фигур, например, звездочек.
Для числа 5: ★ ★ ★ ★ ★ (пять звездочек)
Для числа 3: ★ ★ ★ (три звездочки)
Сравниваем количество фигур. В первой группе 5 фигур, а во второй 3. Количество фигур разное. Следовательно, число 5 не равно числу 3.
Ответ: $5 \ne 3$

1 и 4
Чтобы сравнить числа 1 и 4, нарисуем для каждого числа соответствующее количество фигур, например, треугольников.
Для числа 1: ▲ (один треугольник)
Для числа 4: ▲ ▲ ▲ ▲ (четыре треугольника)
Сравниваем количество фигур. В первой группе 1 фигура, а во второй 4. Количество фигур не совпадает. Значит, число 1 не равно числу 4.
Ответ: $1 \ne 4$

4 Составь по рисункам выражения и вычисли.

$5 - 1 - 3$

$2 + 3 - 2$

Левый рисунок
На этом рисунке показана последовательность действий на числовой прямой. Движение начинается с точки 5. Первая стрелка направлена влево и подписана «-3», что означает вычитание числа 3. Вторая стрелка начинается от результата первого действия (точки 2) и также направлена влево, она подписана «-1», что означает вычитание числа 1.
Составим выражение на основе этих действий:
$5 - 3 - 1$
Теперь вычислим его значение по шагам:
1) $5 - 3 = 2$
2) $2 - 1 = 1$
Таким образом, итоговый результат равен 1, что и показано на числовой прямой.
Ответ: $5 - 3 - 1 = 1$.

Правый рисунок
На этом рисунке движение начинается с точки 2. Первая стрелка направлена вправо и подписана «+3», что означает сложение с числом 3. Вторая стрелка начинается от результата первого действия (точки 5) и направлена влево, она подписана «-2», что означает вычитание числа 2.
Составим выражение на основе этих действий:
$2 + 3 - 2$
Теперь вычислим его значение по шагам:
1) $2 + 3 = 5$
2) $5 - 2 = 3$
Таким образом, итоговый результат равен 3, что и показано на числовой прямой.
Ответ: $2 + 3 - 2 = 3$.

5 Найди пропущенные числа. Проверь своё решение с помощью числового отрезка.

$\Box + 4 = 5$ $\Box - 2 = 3$ $4 - 1 - \Box = 1$

☐ + 4 = 5
Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. В данном примере сумма равна 5, а известное слагаемое — 4. Выполняем вычитание:
$5 - 4 = 1$
Проверка с помощью числового отрезка: находим на отрезке число 1 и двигаемся вправо на 4 деления. Мы окажемся на отметке 5, что соответствует условию задачи.
Таким образом, пропущенное число — 1.
Ответ: 1

☐ - 2 = 3
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое. В этом примере разность равна 3, а вычитаемое — 2. Выполняем сложение:
$3 + 2 = 5$
Проверка с помощью числового отрезка: находим на отрезке число 5 и двигаемся влево на 2 деления. Мы окажемся на отметке 3, что соответствует условию задачи.
Таким образом, пропущенное число — 5.
Ответ: 5

4 - 1 - ☐ = 1
Решим пример по действиям. Сначала выполним первое вычитание:
$4 - 1 = 3$
Теперь уравнение выглядит так: $3 - ☐ = 1$.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность. Уменьшаемое равно 3, а разность — 1. Выполняем вычитание:
$3 - 1 = 2$
Проверка с помощью числового отрезка: находим на отрезке число 4, двигаемся влево на 1 деление и попадаем на отметку 3. Затем из точки 3 двигаемся влево ещё на 2 деления и оказываемся на отметке 1, что соответствует условию задачи.
Таким образом, пропущенное число — 2.
Ответ: 2

6 Что общего у фигур? Перерисуй их в тетрадь.

Представленные фигуры:

Синяя фигура: состоит из 4 клеток.

Оранжевая фигура: состоит из 5 клеток.

Красная фигура: состоит из 5 клеток.

Зеленая фигура: состоит из 5 клеток.

Общее у оранжевой, красной и зеленой фигур то, что они состоят из пяти клеток.

Придумай свои фигуры из пяти клеток.

Что общего у фигур?

Чтобы найти, что общего у всех представленных фигур, нужно их внимательно рассмотреть. Посчитаем, из скольких одинаковых квадратных клеток состоит каждая фигура.

• Первая фигура (синяя) состоит из 5 клеток.
• Вторая фигура (оранжевая) состоит из 5 клеток.
• Третья фигура (красная) состоит из 5 клеток.
• Четвертая фигура (зеленая) состоит из 5 клеток.

Главное общее свойство этих фигур — все они состоят из пяти клеток. Это означает, что у них одинаковая площадь. Если принять площадь одной клетки за 1 квадратную единицу, то площадь каждой фигуры равна 5 таким единицам ($S = 5$ кв. ед.). Такие фигуры, составленные из пяти квадратов, называют пентамино.

Также можно заметить еще одно общее свойство. Если посчитать периметр каждой фигуры (длину внешней границы), то он тоже окажется одинаковым. Если принять длину стороны одной клетки за 1 единицу, то периметр каждой из фигур равен 12 единицам ($P = 12$ ед.).

Ответ: Все фигуры состоят из 5 клеток и, следовательно, имеют одинаковую площадь. Также у всех этих фигур одинаковый периметр.

Придумай свои фигуры из пяти клеток.

Существует много других фигур, которые можно составить из пяти клеток. Вот несколько примеров таких фигур (пентамино), которые отличаются от приведенных в задании:

Пример 1: Фигура в виде прямой линии (пентамино I)

Пример 2: Фигура в виде буквы "Т" (пентамино T)

Пример 3: Фигура в виде буквы "P" (пентамино P)

Ответ: Примеры новых фигур из пяти клеток представлены выше в виде рисунков на сетке.

7 Какими способами можно заплатить 5 рублей, если имеются вот такие монеты?

Для того чтобы заплатить 5 рублей, используя имеющиеся монеты (три монеты по 1 рублю, две монеты по 2 рубля и одну монету в 5 рублей), существуют следующие способы:

Способ 1
Использовать одну монету номиналом 5 рублей.
Проверка: $5$ рублей.
Ответ: 1 монета по 5 рублей.

Способ 2
Использовать две монеты по 2 рубля и одну монету в 1 рубль.
Проверка: $2 + 2 + 1 = 5$ рублей.
Ответ: 2 монеты по 2 рубля и 1 монета по 1 рублю.

Способ 3
Использовать одну монету в 2 рубля и три монеты по 1 рублю.
Проверка: $2 + 1 + 1 + 1 = 5$ рублей.
Ответ: 1 монета по 2 рубля и 3 монеты по 1 рублю.

$5 - 2 + 4 - 3$ $2 + 5 - 1 - 4$ $5 - 1 + 4 - 3$

5 4 3 2 1 5 4 3 2 1

5 - 2 + 4 - 3

Решим пример по действиям, как указано в задании.

Используя счётные палочки:

1. Берём 5 палочек.
2. Вычитаем 2 ($5 - 2$): убираем 2 палочки, остаётся 3 палочки.
3. Прибавляем 4 ($3 + 4$): добавляем к 3 палочкам ещё 4, получается 7 палочек.
4. Вычитаем 3 ($7 - 3$): убираем 3 палочки, остаётся 4 палочки.

Проверка с помощью числового отрезка:

1. Находим на отрезке число 5.
2. Двигаемся влево на 2 шага (вычитание): $5 - 2 = 3$. Мы на отметке 3.
3. Двигаемся вправо на 4 шага (сложение): $3 + 4 = 7$. Мы на отметке 7.
4. Двигаемся влево на 3 шага (вычитание): $7 - 3 = 4$. Мы на отметке 4.

Результат совпадает.
Ответ: 4

2 + 5 - 1 - 4

Решим пример по действиям.

Используя счётные палочки:

1. Берём 2 палочки.
2. Прибавляем 5 ($2 + 5$): добавляем 5 палочек, получается 7 палочек.
3. Вычитаем 1 ($7 - 1$): убираем 1 палочку, остаётся 6 палочек.
4. Вычитаем 4 ($6 - 4$): убираем 4 палочки, остаётся 2 палочки.

Проверка с помощью числового отрезка:

1. Находим на отрезке число 2.
2. Двигаемся вправо на 5 шагов (сложение): $2 + 5 = 7$. Мы на отметке 7.
3. Двигаемся влево на 1 шаг (вычитание): $7 - 1 = 6$. Мы на отметке 6.
4. Двигаемся влево на 4 шага (вычитание): $6 - 4 = 2$. Мы на отметке 2.

Результат совпадает.
Ответ: 2

5 - 1 + 4 - 3

Решим пример по действиям.

Используя счётные палочки:

1. Берём 5 палочек.
2. Вычитаем 1 ($5 - 1$): убираем 1 палочку, остаётся 4 палочки.
3. Прибавляем 4 ($4 + 4$): добавляем 4 палочки, получается 8 палочек.
4. Вычитаем 3 ($8 - 3$): убираем 3 палочки, остаётся 5 палочек.

Проверка с помощью числового отрезка:

1. Находим на отрезке число 5.
2. Двигаемся влево на 1 шаг (вычитание): $5 - 1 = 4$. Мы на отметке 4.
3. Двигаемся вправо на 4 шага (сложение): $4 + 4 = 8$. Мы на отметке 8.
4. Двигаемся влево на 3 шага (вычитание): $8 - 3 = 5$. Мы на отметке 5.

Результат совпадает.
Ответ: 5

3 Придумай задачи по схемам и составь выражения.

а) $5 + 4$

б) $9 - 7$

а) Пример задачи: У Кати было 5 кукол, а у Маши — 4 куклы. Сколько всего кукол было у девочек?

Схема показывает, что нужно найти целое, зная две его части. Для этого необходимо сложить известные части. Составим выражение и решим его:

$5 + 4 = 9$

Ответ: 9

б) Пример задачи: На стоянке было 9 машин. 7 из них легковые, а остальные — грузовые. Сколько грузовых машин было на стоянке?

Схема показывает, что известно целое и одна из его частей. Чтобы найти вторую, неизвестную часть, нужно из целого вычесть известную часть. Составим выражение и решим его:

$9 - 7 = 2$

Ответ: 2

4) Найди пропущенные числа.

$3 + \square = 7$

$\square - 1 = 6$

$5 + \square = 5$

$\square + 4 = 8$

$9 - \square = 2$

$3 - \square = 3$

3 + ☐ = 7

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. В данном случае, из 7 вычитаем 3.

$7 - 3 = 4$

Проверим, подставив найденное число в окошко: $3 + 4 = 7$. Равенство верное.

Ответ: 4

☐ - 1 = 6

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое. В данном случае, к 6 прибавляем 1.

$6 + 1 = 7$

Проверим, подставив найденное число в окошко: $7 - 1 = 6$. Равенство верное.

Ответ: 7

5 + ☐ = 5

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. В данном случае, из 5 вычитаем 5.

$5 - 5 = 0$

Проверим, подставив найденное число в окошко: $5 + 0 = 5$. Равенство верное.

Ответ: 0

☐ + 4 = 8

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. В данном случае, из 8 вычитаем 4.

$8 - 4 = 4$

Проверим, подставив найденное число в окошко: $4 + 4 = 8$. Равенство верное.

Ответ: 4

9 - ☐ = 2

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность. В данном случае, из 9 вычитаем 2.

$9 - 2 = 7$

Проверим, подставив найденное число в окошко: $9 - 7 = 2$. Равенство верное.

Ответ: 7

3 - ☐ = 3

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность. В данном случае, из 3 вычитаем 3.

$3 - 3 = 0$

Проверим, подставив найденное число в окошко: $3 - 0 = 3$. Равенство верное.

Ответ: 0

5 Что нужно дорисовать и дописать? Сделай в тетради два задания по своему выбору.

6

$6 + \Box$

$9 - \Box$

$8 - \Box$

$\Box + \Box$

Для примера 6 + □:

В рамке нарисовано 6 зеленых треугольников. Это соответствует первому числу в примере. Знак «+» означает, что нужно добавить еще треугольники. Выберем, сколько треугольников добавить, например, 3. Дорисуем в рамке еще 3 треугольника. Теперь их общее количество стало $6 + 3 = 9$. Вписываем число 3 в пустую клетку.

Ответ: нужно дорисовать 3 треугольника и вписать в клетку число 3. Получится пример: $6 + 3 = 9$.

Для примера 9 – □:

В рамке изначально было 9 кругов. Знак «–» означает вычитание. На рисунке зачеркнуто 3 круга. Это значит, что из 9 вычитают 3. В пустую клетку нужно вписать число 3. Количество оставшихся, не зачеркнутых кругов, является результатом вычитания: $9 - 3 = 6$.

Ответ: нужно вписать в клетку число 3. Получится пример: $9 - 3 = 6$.

Для примера 8 – □:

В рамке нарисовано 8 синих прямоугольников. Это соответствует первому числу в примере. Знак «–» означает, что нужно убрать (зачеркнуть) несколько прямоугольников. Здесь можно выбрать любое число для вычитания от 1 до 7. Например, выберем зачеркнуть 4 прямоугольника. Зачеркиваем 4 любых прямоугольника на рисунке. Тогда в пустую клетку вписываем число 4. Считаем оставшиеся прямоугольники: $8 - 4 = 4$.

Ответ: нужно зачеркнуть 4 прямоугольника и вписать в клетку число 4. Получится пример: $8 - 4 = 4$.

Для примера □ + □:

В рамке нарисовано 3 желтых ромба. Это итоговое количество, то есть результат сложения. Нужно подобрать два числа (два слагаемых), которые в сумме дают 3. Число 3 можно представить как сумму $1 + 2$ или $2 + 1$. Выберем вариант $1 + 2$. Вписываем в первую клетку 1, а во вторую 2. Это соответствует разделению трех ромбов на две группы: одна из 1 ромба, другая из 2 ромбов.

Ответ: нужно вписать в клетки числа 1 и 2. Получится пример: $1 + 2 = 3$.

6* Нарисуй и раскрась фигуры, равные данным. Вырежи их из бумаги и составь квадраты.

а) б) 1 1 1

2 2

Для решения этой задачи необходимо проанализировать фигуры, подсчитать их площадь в клеточках и сложить из них квадраты.

а)

Сначала проанализируем фигуры, представленные в пункте а). В наборе 5 фигур:

• Две желтые фигуры, каждая площадью 5 клеточек.
• Две красные фигуры, каждая площадью 5 клеточек.
• Одна синяя фигура (квадрат 2x2), площадью 4 клеточки.

Суммарная площадь всех фигур составляет $5 + 5 + 4 + 5 + 5 = 24$ клеточки.

Из 24 клеточек невозможно составить один или несколько квадратов, так как площадь квадрата должна быть точным квадратом целого числа ($1, 4, 9, 16, 25, ...$), а 24 не является таковым. Также, сумма площадей нескольких квадратов не может быть равна 24 (например, $16+9=25$, $16+4+4=24$ - но из фигур площадью 5 нельзя составить квадрат площадью 4).

Вероятнее всего, в задании допущена опечатка. Если предположить, что синяя фигура также должна состоять из 5 клеточек (быть пентамино), то общая площадь стала бы $5 \times 5 = 25$ клеточек. Из такого набора фигур можно было бы сложить квадрат со стороной 5.

Заменим синий квадрат 2x2 на Т-образную фигуру из 5 клеток и составим квадрат $5 \times 5$. Две желтые фигуры являются U-образным пентамино (одна из них повернута), а две красные — P-образным (одна из них зеркально отражена).

Ниже представлено одно из возможных решений для исправленной задачи.

Ответ: Исходный набор фигур имеет общую площадь 24 клетки, из которых невозможно составить квадрат. Если исправить синюю фигуру на 5-клеточную (пентамино), то из полученного набора можно составить квадрат $5 \times 5$.

б)

Проанализируем фигуры, представленные в пункте б). В наборе 4 фигуры:

• Зеленая фигура площадью 8 клеточек.
• Желтая фигура площадью 10 клеточек.
• Красная фигура площадью 11 клеточек.
• Синяя фигура площадью 7 клеточек.

Суммарная площадь всех фигур составляет $8 + 10 + 11 + 7 = 36$ клеточек.

Из 36 клеточек можно составить квадрат со стороной 6, так как $6 \times 6 = 36$. Необходимо расположить данные четыре фигуры так, чтобы они образовали квадрат $6 \times 6$.

Ниже представлено одно из возможных решений этой головоломки.

Ответ: Фигуры имеют общую площадь 36 клеток, из них можно составить квадрат размером $6 \times 6$.

4 а) Первая белочка заготовила на зиму 4 десятка орехов, а вторая – 5 десятков. На сколько меньше орехов заготовила первая белочка, чем вторая?

б) Маша купила 3 десятка тетрадей в клетку, а в линейку – на 2 десятка тетрадей больше. Сколько всего десятков тетрадей купила Маша?

а)

По условию задачи, первая белочка заготовила 4 десятка орехов, а вторая — 5 десятков. Чтобы узнать, на сколько меньше орехов у первой белочки, нужно из большего количества вычесть меньшее.
Вычислим разницу в десятках:
$5 \text{ десятков} - 4 \text{ десятка} = 1 \text{ десяток}$
Один десяток равен 10.
Ответ: первая белочка заготовила на 1 десяток (или на 10) орехов меньше, чем вторая.

б)

Эта задача решается в два действия.
1. Сначала определим, сколько десятков тетрадей в линейку купила Маша. По условию, их на 2 десятка больше, чем тетрадей в клетку (которых 3 десятка).
$3 \text{ десятка} + 2 \text{ десятка} = 5 \text{ десятков}$ — столько тетрадей в линейку купила Маша.
2. Теперь найдем общее количество десятков тетрадей, сложив количество тетрадей в клетку и в линейку.
$3 \text{ десятка} + 5 \text{ десятков} = 8 \text{ десятков}$ — столько всего тетрадей купила Маша.
Ответ: всего Маша купила 8 десятков тетрадей.

5 >, <, =

$3\text{ д}$ $8\text{ д}$ $5\text{ д} + 1\text{ д}$ $5\text{ д} + 2\text{ д}$ $4\text{ д} + 3\text{ д}$ $3\text{ д} + 4\text{ д}$

$9\text{ д}$ $6\text{ д}$ $8\text{ д} - 3\text{ д}$ $8\text{ д} - 6\text{ д}$ $7\text{ д} - 2\text{ д}$ $6\text{ д} - 2\text{ д}$

3 д ☐ 8 д
В данном задании буква "д" обозначает "десятки". Необходимо сравнить 3 десятка и 8 десятков.
Поскольку число 3 меньше числа 8 ($3 < 8$), то и 3 десятка будут меньше, чем 8 десятков.
$3 \text{ д} < 8 \text{ д}$
Ответ: <

5 д + 1 д ☐ 5 д + 2 д
Для сравнения выражений сначала найдем их значения.
Значение левой части: $5 \text{ д} + 1 \text{ д} = 6 \text{ д}$.
Значение правой части: $5 \text{ д} + 2 \text{ д} = 7 \text{ д}$.
Теперь сравним полученные результаты: $6 \text{ д}$ и $7 \text{ д}$.
Так как $6 < 7$, то $6 \text{ д} < 7 \text{ д}$.
Следовательно, $5 \text{ д} + 1 \text{ д} < 5 \text{ д} + 2 \text{ д}$.
Ответ: <

4 д + 3 д ☐ 3 д + 4 д
Найдем значения выражений в левой и правой частях.
Левая часть: $4 \text{ д} + 3 \text{ д} = 7 \text{ д}$.
Правая часть: $3 \text{ д} + 4 \text{ д} = 7 \text{ д}$.
Полученные значения равны ($7 \text{ д} = 7 \text{ д}$). Это является примером переместительного свойства сложения, согласно которому от перемены мест слагаемых сумма не меняется.
Следовательно, $4 \text{ д} + 3 \text{ д} = 3 \text{ д} + 4 \text{ д}$.
Ответ: =

9 д ☐ 6 д
Необходимо сравнить 9 десятков и 6 десятков.
Поскольку число 9 больше числа 6 ($9 > 6$), то и 9 десятков будут больше, чем 6 десятков.
$9 \text{ д} > 6 \text{ д}$
Ответ: >

8 д - 3 д ☐ 8 д - 6 д
Для сравнения выражений найдем их значения.
Значение левой части: $8 \text{ д} - 3 \text{ д} = 5 \text{ д}$.
Значение правой части: $8 \text{ д} - 6 \text{ д} = 2 \text{ д}$.
Теперь сравним полученные результаты: $5 \text{ д}$ и $2 \text{ д}$.
Так как $5 > 2$, то $5 \text{ д} > 2 \text{ д}$. (Чем больше число мы вычитаем, тем меньше получается результат).
Следовательно, $8 \text{ д} - 3 \text{ д} > 8 \text{ д} - 6 \text{ д}$.
Ответ: >

7 д - 2 д ☐ 6 д - 2 д
Найдем значения выражений в левой и правой частях.
Левая часть: $7 \text{ д} - 2 \text{ д} = 5 \text{ д}$.
Правая часть: $6 \text{ д} - 2 \text{ д} = 4 \text{ д}$.
Теперь сравним полученные результаты: $5 \text{ д}$ и $4 \text{ д}$.
Так как $5 > 4$, то $5 \text{ д} > 4 \text{ д}$. (При вычитании одного и того же числа, результат будет больше там, где уменьшаемое было больше).
Следовательно, $7 \text{ д} - 2 \text{ д} > 6 \text{ д} - 2 \text{ д}$.
Ответ: >

6 Сколько отрезков на чертеже? Запиши их названия в тетради.

Названия отрезков:

$AB$

$AM$

$AK$

$БM$

$БK$

$MK$

На чертеже отмечены четыре точки: А, Б, М и К. Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Чтобы ответить на вопросы, нужно найти все возможные отрезки, которые можно составить из этих точек, и сосчитать их.

Сколько отрезков на чертеже? Запиши их названия в тетради.

Чтобы найти все отрезки и не запутаться, будем перечислять их систематически, двигаясь слева направо. Возьмем поочередно каждую точку и соединим ее отрезками со всеми точками, которые находятся правее от нее.

1. Отрезки, начинающиеся в точке А:
Это отрезки, соединяющие точку А с точками Б, М и К. Получаем 3 отрезка: АБ, АМ, АК.

2. Отрезки, начинающиеся в точке Б:
Это отрезки, соединяющие точку Б с точками М и К. Получаем 2 отрезка: БМ, БК.

3. Отрезок, начинающийся в точке М:
Это отрезок, соединяющий точку М с точкой К. Получаем 1 отрезок: МК.

Теперь, когда мы перечислили все уникальные отрезки, мы можем посчитать их общее количество, сложив количество отрезков, найденных на каждом шаге:
$3 + 2 + 1 = 6$ отрезков.

Этот результат можно также проверить с помощью комбинаторики. Нам нужно найти количество способов выбрать 2 точки из 4 имеющихся, что является числом сочетаний $C_4^2$:
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$

Ответ: Всего на чертеже 6 отрезков. Их названия: АБ, АМ, АК, БМ, БК, МК.

7 Найди закономерность. Нарисуй в тетради таблицы и заполни пустые клетки.

Левая таблица

В этой таблице нужно найти две закономерности: одну для расстановки фигур и другую для их цвета.

1. Закономерность расположения фигур.
Фигуры (треугольник, круг, квадрат, звезда) расставлены по принципу судоку. Это означает, что в каждой строке и в каждом столбце каждая из четырех фигур должна встречаться ровно один раз. Следуя этому правилу, мы можем однозначно заполнить все пустые клетки.

2. Закономерность раскраски фигур.
Цвета (синий, зеленый, красный, желтый) распределены по строкам. Все фигуры в первой строке — синие, во второй — зеленые, в третьей — красные, а в четвертой — желтые. Это подтверждается уже имеющимися фигурами: синий треугольник в первой строке, зеленый круг во второй, два красных объекта в третьей и желтая звезда в четвертой.

Объединив эти две закономерности, мы получаем полностью заполненную таблицу:

(Примечание: для наглядности синяя звезда в левом верхнем углу окрашена в желтый цвет, так как синий цвет не виден на синем фоне по умолчанию).

Ответ: Пустые клетки левой таблицы нужно заполнить следующим образом:

• Первая строка: синяя звезда, синий круг, синий квадрат.
• Вторая строка: зеленый квадрат, зеленая звезда, зеленый треугольник.
• Третья строка: красная звезда, красный круг.
• Четвертая строка: желтый круг, желтый квадрат, желтый треугольник.

Правая таблица

В этой таблице закономерность основана на количестве элементов в ячейках. В каждой строке свой вид элементов: точки, круги, звездочки, квадраты. Пустые клетки находятся в позициях (1,2), (3,4) и (4,1).

1. Найдем значение в клетке (4,1).
Посмотрим на четвертую строку (с квадратами). В ней находятся 2, 3 и 4 квадрата в столбцах со второго по четвертый. Это часть арифметической прогрессии 1, 2, 3, 4. Логично предположить, что в первой клетке этой строки должен быть 1 квадрат.

2. Найдем общую закономерность.
После заполнения клетки (4,1) таблица с количеством элементов выглядит так:

Теперь можно заметить закономерность, связывающую второй и четвертый столбцы. Для каждой строки количество элементов в четвертом столбце в два раза больше, чем во втором. Запишем это в виде формулы, где $C_n$ — это столбец с номером n: $C_4 = 2 \times C_2$.
Проверим это на известных строках:

• Вторая строка: $2 = 2 \times 1$. Верно.
• Четвертая строка: $4 = 2 \times 2$. Верно.

3. Заполним оставшиеся клетки.
Применим правило $C_4 = 2 \times C_2$ для строк с пустыми клетками:

• Первая строка (точки): количество элементов в (1,4) равно 2. Значит, в (1,2) должно быть $2 / 2 = 1$. В пустой клетке (1,2) должна быть 1 точка.
• Третья строка (звездочки): количество элементов в (3,2) равно 2. Значит, в (3,4) должно быть $2 \times 2 = 4$. В пустой клетке (3,4) должно быть 4 звездочки.

Ответ: Пустые клетки правой таблицы нужно заполнить следующим образом:

• В клетке (1,2) нарисовать 1 точку.
• В клетке (3,4) нарисовать 4 звездочки.
• В клетке (4,1) нарисовать 1 квадрат.

* 8) Нарисуй на клетчатой бумаге квадрат со стороной 2 см. Раскрась его части, как показано на рисунке. Вырежи части квадрата и сложи фигуры.

а) б) в)

Задача состоит в том, чтобы сложить три фигуры (а, б, в) из трех частей, на которые разрезан квадрат. Квадрат со стороной 2 см разрезается на три треугольника:

• Один большой синий прямоугольный равнобедренный треугольник, катеты которого равны стороне квадрата (2 см).
• Два одинаковых малых треугольника (красный и желтый), которые вместе образуют второй большой треугольник, идентичный синему. Каждый из малых треугольников является прямоугольным равнобедренным, а его гипотенуза равна стороне квадрата (2 см).

Ниже показано, как можно сложить каждую из требуемых фигур.

а)

Для того чтобы сложить фигуру, напоминающую летучую мышь или бабочку, можно расположить части следующим образом:
1. Красный малый треугольник используется как центральная часть (тело).
2. Синий большой треугольник прикладывается одним из своих катетов к гипотенузе красного треугольника, образуя правое крыло.
3. Желтый малый треугольник прикладывается своим катетом к катету красного треугольника, образуя левое крыло.

Ответ: Фигура "а" сложена из трех частей, как показано на рисунке.

б)

Для того чтобы сложить фигуру в виде стрелки (шеврона), части располагаются симметрично:
1. Синий большой треугольник ставится в основу.
2. Красный и желтый малые треугольники прикладываются своими гипотенузами к катетам синего треугольника, "смотря" наружу.

Ответ: Фигура "б" сложена из трех частей, как показано на рисунке.

в)

Для того чтобы сложить симметричный шестиугольник, части располагаются следующим образом:
1. Синий большой треугольник располагается в центре.
2. Красный и желтый малые треугольники прикладываются своими гипотенузами к катетам синего треугольника, "обнимая" его.

Ответ: Фигура "в" сложена из трех частей, как показано на рисунке.