Страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

13.7. Для функции $f(x)$ проверьте справедливость двух равенств и сделайте вывод — является ли число $T$ периодом функции:

1) $f(x) = \text{tg}x$, $\text{tg}\frac{\pi}{4} = 1$ и $\text{tg}\left(\frac{5\pi}{4}\right) = 1$, $T = \pi$.

1) Задана функция $f(x) = \tan x$, число $T = \pi$ и два равенства для проверки: $\tan\frac{\pi}{4} = 1$ и $\tan\frac{5\pi}{4} = 1$.

1. Проверим справедливость первого равенства: $\tan\frac{\pi}{4} = 1$.

Значение тангенса для угла $\frac{\pi}{4}$ (что соответствует $45^\circ$) является известным табличным значением. Действительно, $\tan\frac{\pi}{4} = 1$. Таким образом, первое равенство справедливо.

2. Проверим справедливость второго равенства: $\tan\frac{5\pi}{4} = 1$.

Для вычисления этого значения можно использовать свойство периодичности функции тангенс или формулы приведения. Основной период функции $y=\tan x$ равен $\pi$. Это означает, что $\tan(x+\pi) = \tan x$ для любого $x$ из области определения. Представим аргумент $\frac{5\pi}{4}$ в виде суммы: $\frac{5\pi}{4} = \frac{4\pi+\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$. Тогда: $\tan\frac{5\pi}{4} = \tan(\pi + \frac{\pi}{4})$. Согласно свойству периодичности, $\tan(\pi + \frac{\pi}{4}) = \tan\frac{\pi}{4}$. А так как из первого пункта мы знаем, что $\tan\frac{\pi}{4} = 1$, то и $\tan\frac{5\pi}{4} = 1$. Таким образом, второе равенство также справедливо.

3. Сделаем вывод, является ли число $T=\pi$ периодом функции.

Число $T \neq 0$ называется периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Проверенные нами равенства показывают, что для конкретного значения $x = \frac{\pi}{4}$ выполняется условие $f(x+T)=f(x)$, то есть $f(\frac{\pi}{4}+\pi) = f(\frac{5\pi}{4}) = f(\frac{\pi}{4}) = 1$. Однако для того, чтобы $T=\pi$ было периодом, это равенство должно выполняться для всех $x$ из области определения функции $f(x)=\tan x$. Область определения тангенса — все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — любое целое число. Как было упомянуто ранее, наименьший положительный период функции $f(x) = \tan x$ равен именно $\pi$. Тождество $\tan(x+\pi) = \tan x$ справедливо для всех $x$ из области определения функции. Следовательно, число $T=\pi$ является периодом функции $f(x) = \tan x$.

Ответ: оба равенства справедливы; число $T = \pi$ является периодом функции $f(x) = \tan x$.

13.8. Постройте график и запишите промежутки убывания функции:

1) $y = 2 - \tan(0.5x);$

2) $y = 1 + \cot(1.5x);$

3) $y = 2\tan(2x);$

4) $y = -\cot(3x).$

1) y = 2 - tg0,5x;

Для построения графика функции $y = 2 - \operatorname{tg}(0.5x)$ необходимо выполнить следующие преобразования графика базовой функции $y = \operatorname{tg}x$:

1. Растяжение графика вдоль оси OX в 2 раза. В результате получается график функции $y = \operatorname{tg}(0.5x)$. Период функции увеличивается до $T = \frac{\pi}{0.5} = 2\pi$.

2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси OX. В результате получается график функции $y = -\operatorname{tg}(0.5x)$.

3. Параллельный перенос графика на 2 единицы вверх вдоль оси OY. В результате получается искомый график $y = 2 - \operatorname{tg}(0.5x)$.

Теперь найдем промежутки убывания. Функция $y = \operatorname{tg}x$ является возрастающей на всей своей области определения. После отражения относительно оси OX (шаг 2) функция становится убывающей. Сдвиг вдоль оси OY (шаг 3) не влияет на характер монотонности. Таким образом, функция $y = 2 - \operatorname{tg}(0.5x)$ убывает на каждом промежутке своей области определения.

Область определения функции находится из условия, что аргумент тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$0.5x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$

$x \neq \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Линии $x = \pi + 2\pi n$ являются вертикальными асимптотами. Промежутки убывания функции – это интервалы между этими асимптотами.

Ответ: $(-\pi + 2\pi n, \pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) y = 1 + ctg1,5x;

Для построения графика функции $y = 1 + \operatorname{ctg}(1.5x)$ необходимо выполнить следующие преобразования графика базовой функции $y = \operatorname{ctg}x$:

1. Сжатие графика к оси OY в 1,5 раза. В результате получается график функции $y = \operatorname{ctg}(1.5x)$. Период функции уменьшается до $T = \frac{\pi}{1.5} = \frac{2\pi}{3}$.

2. Параллельный перенос графика на 1 единицу вверх вдоль оси OY. В результате получается искомый график $y = 1 + \operatorname{ctg}(1.5x)$.

Теперь найдем промежутки убывания. Функция $y = \operatorname{ctg}x$ является убывающей на всей своей области определения. Поскольку коэффициент при $x$ положителен ($1.5 > 0$), сжатие графика не меняет характер монотонности. Сдвиг вдоль оси OY также не влияет на монотонность. Следовательно, функция $y = 1 + \operatorname{ctg}(1.5x)$ убывает на каждом промежутке своей области определения.

Область определения функции находится из условия, что аргумент котангенса не должен быть равен $\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$1.5x \neq \pi n$

$x \neq \frac{\pi n}{1.5}$

$x \neq \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

Линии $x = \frac{2\pi n}{3}$ являются вертикальными асимптотами. Промежутки убывания функции – это интервалы между этими асимптотами.

Ответ: $(\frac{2\pi n}{3}, \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3})$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) y = 2tg2x;

Для построения графика функции $y = 2\operatorname{tg}(2x)$ необходимо выполнить следующие преобразования графика базовой функции $y = \operatorname{tg}x$:

1. Сжатие графика к оси OY в 2 раза. Получается $y = \operatorname{tg}(2x)$ с периодом $T = \frac{\pi}{2}$.

2. Растяжение графика вдоль оси OY в 2 раза. Получается искомый график $y = 2\operatorname{tg}(2x)$.

Для нахождения промежутков убывания определим характер монотонности. Функция $y = \operatorname{tg}x$ является возрастающей. Коэффициенты перед функцией ($2$) и перед аргументом ($2$) положительны, поэтому преобразования не меняют характер монотонности. Функция $y = 2\operatorname{tg}(2x)$ является возрастающей на всей своей области определения. Таким образом, у данной функции нет промежутков убывания.

Ответ: промежутков убывания нет.

4) y = -ctg3x.

Для построения графика функции $y = -\operatorname{ctg}(3x)$ необходимо выполнить следующие преобразования графика базовой функции $y = \operatorname{ctg}x$:

1. Сжатие графика к оси OY в 3 раза. Получается $y = \operatorname{ctg}(3x)$ с периодом $T = \frac{\pi}{3}$.

2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси OX. Получается искомый график $y = -\operatorname{ctg}(3x)$.

Для нахождения промежутков убывания определим характер монотонности. Функция $y = \operatorname{ctg}x$ является убывающей. После сжатия функция $y = \operatorname{ctg}(3x)$ также остается убывающей. Однако, отражение относительно оси OX (из-за знака "минус") меняет монотонность на противоположную. Таким образом, функция $y = -\operatorname{ctg}(3x)$ является возрастающей на всей своей области определения. У данной функции нет промежутков убывания.

Ответ: промежутков убывания нет.

13.9. Сравните значения выражений:

1) $tg(-\frac{5\pi}{7})$ и $tg(\frac{7\pi}{8})$;

2) $ctg(\frac{4\pi}{9})$ и $ctg(\frac{3\pi}{8})$;

3) $tg(\frac{3\pi}{11})$ и $tg(\frac{5\pi}{13})$.

1) Сравним значения выражений $tg(-\frac{5\pi}{7})$ и $tg\frac{7\pi}{8}$.

Для этого определим знаки каждого из выражений. Воспользуемся свойствами функции тангенса.

Функция $y=tg(x)$ является периодической с периодом $\pi$. Это означает, что $tg(x) = tg(x + k\pi)$ для любого целого $k$. Используем это свойство для первого выражения:

$tg(-\frac{5\pi}{7}) = tg(-\frac{5\pi}{7} + \pi) = tg(\frac{-5\pi + 7\pi}{7}) = tg(\frac{2\pi}{7})$.

Угол $\frac{2\pi}{7}$ находится в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, то есть в первой координатной четверти. В этой четверти значения тангенса положительны. Следовательно, $tg(-\frac{5\pi}{7}) > 0$.

Теперь рассмотрим второе выражение $tg\frac{7\pi}{8}$. Угол $\frac{7\pi}{8}$ находится в интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, то есть во второй координатной четверти. В этой четверти значения тангенса отрицательны. Следовательно, $tg\frac{7\pi}{8} < 0$.

Сравнивая положительное число $tg(-\frac{5\pi}{7})$ и отрицательное число $tg\frac{7\pi}{8}$, приходим к выводу, что положительное число больше.

Ответ: $tg(-\frac{5\pi}{7}) > tg\frac{7\pi}{8}$.

2) Сравним значения выражений $ctg\frac{4\pi}{9}$ и $ctg\frac{3\pi}{8}$.

Оба угла, $\frac{4\pi}{9}$ и $\frac{3\pi}{8}$, находятся в первой координатной четверти, так как $0 < \frac{4}{9} < \frac{1}{2}$ и $0 < \frac{3}{8} < \frac{1}{2}$.

Функция $y=ctg(x)$ является строго убывающей на интервале $(0, \pi)$. Это означает, что для двух углов $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, если $x_1 > x_2$, то $ctg(x_1) < ctg(x_2)$.

Сравним значения аргументов $\frac{4\pi}{9}$ и $\frac{3\pi}{8}$. Приведем дроби к общему знаменателю $9 \cdot 8 = 72$:

$\frac{4\pi}{9} = \frac{4\pi \cdot 8}{72} = \frac{32\pi}{72}$

$\frac{3\pi}{8} = \frac{3\pi \cdot 9}{72} = \frac{27\pi}{72}$

Поскольку $32 > 27$, то $\frac{32\pi}{72} > \frac{27\pi}{72}$, а значит $\frac{4\pi}{9} > \frac{3\pi}{8}$.

Так как функция котангенса является убывающей на данном интервале, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $ctg\frac{4\pi}{9} < ctg\frac{3\pi}{8}$.

Ответ: $ctg\frac{4\pi}{9} < ctg\frac{3\pi}{8}$.

3) Сравним значения выражений $tg\frac{3\pi}{11}$ и $tg\frac{5\pi}{13}$.

Оба угла, $\frac{3\pi}{11}$ и $\frac{5\pi}{13}$, находятся в первой координатной четверти, так как $0 < \frac{3}{11} < \frac{1}{2}$ и $0 < \frac{5}{13} < \frac{1}{2}$.

Функция $y=tg(x)$ является строго возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Это означает, что для двух углов $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, если $x_1 < x_2$, то $tg(x_1) < tg(x_2)$.

Сравним значения аргументов $\frac{3\pi}{11}$ и $\frac{5\pi}{13}$. Приведем дроби к общему знаменателю $11 \cdot 13 = 143$:

$\frac{3\pi}{11} = \frac{3\pi \cdot 13}{143} = \frac{39\pi}{143}$

$\frac{5\pi}{13} = \frac{5\pi \cdot 11}{143} = \frac{55\pi}{143}$

Поскольку $39 < 55$, то $\frac{39\pi}{143} < \frac{55\pi}{143}$, а значит $\frac{3\pi}{11} < \frac{5\pi}{13}$.

Так как функция тангенса является возрастающей на данном интервале, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, $tg\frac{3\pi}{11} < tg\frac{5\pi}{13}$.

Ответ: $tg\frac{3\pi}{11} < tg\frac{5\pi}{13}$.

13.10. Начертите единичную окружность. На линии котангенсов отметьте точку $P$, котангенс от значения абсциссы которой равен $p$. Через эту точку и начало координат проведите луч $OP$. Найдите точки пересечения линии котангенсов и луча $OP$. На чертеже отметьте угол, котангенс которого равен $p$, если:

1) $p = \frac{3}{4}$;

2) $p = 2$;

3) $p = -1$;

4) $p = -2\frac{3}{4}$.

Для решения задачи воспользуемся определением линии котангенсов. Линия котангенсов — это прямая с уравнением $y=1$, которая касается единичной окружности в точке $(0, 1)$. Котангенсом угла $\alpha$, отсчитываемого от положительного направления оси $Ox$, называется абсцисса (координата $x$) точки пересечения луча, образующего этот угол $\alpha$, с линией котангенсов.

Таким образом, для каждого значения $p$ мы выполняем следующие действия:

1. На координатной плоскости чертим единичную окружность с центром в начале координат $O(0,0)$ и радиусом 1, а также линию котангенсов, заданную уравнением $y=1$.

2. На линии котангенсов $y=1$ отмечаем точку $P$, абсцисса которой равна заданному значению $p$. Координаты этой точки будут $P(p, 1)$.

3. Проводим луч $OP$ из начала координат $O(0,0)$ через точку $P$.

4. Точка пересечения линии котангенсов и луча $OP$ — это и есть сама точка $P(p, 1)$.

5. Угол, образованный положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$, является искомым углом, котангенс которого равен $p$. На чертеже этот угол отмечается дугой от положительной части оси $Ox$ до луча $OP$ (против часовой стрелки, если угол положителен, и по часовой, если отрицателен).

1) $p = \frac{3}{4}$

На линии котангенсов $y=1$ находим точку $P$ с абсциссой $p = \frac{3}{4}$. Координаты этой точки $P(\frac{3}{4}, 1)$. Через начало координат $O(0,0)$ и точку $P$ проводим луч $OP$. Точка пересечения этого луча с линией котангенсов — это точка $P(\frac{3}{4}, 1)$. Угол $\alpha$ между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$ является искомым углом, для которого $\cot(\alpha) = \frac{3}{4}$. Так как $p > 0$, этот угол расположен в первой координатной четверти.

Ответ: Точка пересечения линии котангенсов и луча $OP$ имеет координаты $(\frac{3}{4}, 1)$. Угол, котангенс которого равен $\frac{3}{4}$, — это угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$.

2) $p = 2$

На линии котангенсов $y=1$ находим точку $P$ с абсциссой $p=2$. Координаты этой точки $P(2, 1)$. Через начало координат $O(0,0)$ и точку $P$ проводим луч $OP$. Точка пересечения этого луча с линией котангенсов — это точка $P(2, 1)$. Угол $\alpha$ между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$ является искомым углом, для которого $\cot(\alpha) = 2$. Так как $p > 0$, этот угол расположен в первой координатной четверти.

Ответ: Точка пересечения линии котангенсов и луча $OP$ имеет координаты $(2, 1)$. Угол, котангенс которого равен $2$, — это угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$.

3) $p = -1$

На линии котангенсов $y=1$ находим точку $P$ с абсциссой $p=-1$. Координаты этой точки $P(-1, 1)$. Через начало координат $O(0,0)$ и точку $P$ проводим луч $OP$. Точка пересечения этого луча с линией котангенсов — это точка $P(-1, 1)$. Угол $\alpha$ между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$ является искомым углом, для которого $\cot(\alpha) = -1$. Так как $p < 0$, этот угол расположен во второй координатной четверти. Его значение равно $\frac{3\pi}{4}$ радиан или $135^\circ$.

Ответ: Точка пересечения линии котангенсов и луча $OP$ имеет координаты $(-1, 1)$. Угол, котангенс которого равен $-1$, — это угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$.

4) $p = -2\frac{3}{4}$

Преобразуем значение $p$: $p = -2\frac{3}{4} = -\frac{11}{4} = -2,75$. На линии котангенсов $y=1$ находим точку $P$ с абсциссой $p = -\frac{11}{4}$. Координаты этой точки $P(-\frac{11}{4}, 1)$. Через начало координат $O(0,0)$ и точку $P$ проводим луч $OP$. Точка пересечения этого луча с линией котангенсов — это точка $P(-\frac{11}{4}, 1)$. Угол $\alpha$ между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$ является искомым углом, для которого $\cot(\alpha) = -2\frac{3}{4}$. Так как $p < 0$, этот угол расположен во второй координатной четверти.

Ответ: Точка пересечения линии котангенсов и луча $OP$ имеет координаты $(-2\frac{3}{4}, 1)$. Угол, котангенс которого равен $-2\frac{3}{4}$, — это угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$.

13.11. Начертите единичную окружность. На линии тангенсов отметьте точку $M$, тангенс от значения ординаты которой равен $p$. Через эту точку и начало координат проведите луч $OM$. Найдите точки пересечения линии тангенсов и луча $OM$. На чертеже отметьте угол, тангенс которого равен $p$, если:

1) $p = 3\frac{3}{4}$;

2) $p = 2,5$;

3) $p = -1$;

4) $p = -\frac{3}{4}$.

Для решения задачи воспользуемся определением тангенса через единичную окружность. Линия тангенсов — это вертикальная прямая, заданная уравнением $x=1$. Точка $M$ на этой линии, через которую проходит луч из начала координат под углом $\alpha$ к положительному направлению оси $Ox$, имеет ординату (координату $y$), равную $\tan(\alpha)$.

Таким образом, для каждого заданного значения $p$, мы должны найти на линии тангенсов точку $M$ с ординатой $p$. Координаты этой точки будут $(1; p)$. Луч $OM$, проведенный из начала координат $O(0;0)$ через точку $M(1;p)$, и будет образовывать с положительным направлением оси $Ox$ угол $\alpha$, тангенс которого равен $p$. Точкой пересечения луча $OM$ и линии тангенсов является сама точка $M$.

1) $p = 3\frac{3}{4}$

Сначала преобразуем смешанную дробь в десятичную: $p = 3\frac{3}{4} = 3,75$.Начертим единичную окружность и линию тангенсов $x=1$. На линии тангенсов отметим точку $M$ с ординатой $3,75$. Координаты точки $M$ будут $(1; 3,75)$.Проведем луч $OM$ из начала координат через точку $M(1; 3,75)$. Этот луч пересекает линию тангенсов в точке $M$.Отметим угол $\alpha$, который образует луч $OM$ с положительным направлением оси $Ox$. Так как ордината точки $M$ положительна, угол $\alpha$ находится в первой координатной четверти. Для этого угла $\tan(\alpha) = 3,75$.

Ответ: Точка пересечения $M$ имеет координаты $(1; 3,75)$.

2) $p = 2,5$

Начертим единичную окружность и линию тангенсов $x=1$. На линии тангенсов отметим точку $M$ с ординатой $2,5$. Координаты точки $M$ будут $(1; 2,5)$.Проведем луч $OM$ из начала координат через точку $M(1; 2,5)$. Точка пересечения луча и линии тангенсов — это $M$.Отметим угол $\alpha$, который образует луч $OM$ с положительным направлением оси $Ox$. Так как ордината точки $M$ положительна, угол $\alpha$ находится в первой координатной четверти. Для этого угла $\tan(\alpha) = 2,5$.

Ответ: Точка пересечения $M$ имеет координаты $(1; 2,5)$.

3) $p = -1$

Начертим единичную окружность и линию тангенсов $x=1$. На линии тангенсов отметим точку $M$ с ординатой $-1$. Координаты точки $M$ будут $(1; -1)$.Проведем луч $OM$ из начала координат через точку $M(1; -1)$. Точка пересечения луча и линии тангенсов — это $M$.Отметим угол $\alpha$, который образует луч $OM$ с положительным направлением оси $Ox$. Так как ордината точки $M$ отрицательна, угол $\alpha$ находится в четвертой координатной четверти. Для этого угла $\tan(\alpha) = -1$. (Этот угол равен $-45^\circ$ или $-\frac{\pi}{4}$ радиан).

Ответ: Точка пересечения $M$ имеет координаты $(1; -1)$.

4) $p = -\frac{3}{4}$

Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную: $p = -\frac{3}{4} = -0,75$.Начертим единичную окружность и линию тангенсов $x=1$. На линии тангенсов отметим точку $M$ с ординатой $-0,75$. Координаты точки $M$ будут $(1; -0,75)$.Проведем луч $OM$ из начала координат через точку $M(1; -0,75)$. Точка пересечения луча и линии тангенсов — это $M$.Отметим угол $\alpha$, который образует луч $OM$ с положительным направлением оси $Ox$. Так как ордината точки $M$ отрицательна, угол $\alpha$ находится в четвертой координатной четверти. Для этого угла $\tan(\alpha) = -0,75$.

Ответ: Точка пересечения $M$ имеет координаты $(1; -0,75)$.

13.12. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $y = 1 + 2\text{tg}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$;

2) $y = 2 - \text{ctg}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$;

3) $y = 1 - \text{tg}\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$

1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $y = 1 + 2\text{tg}(x - \frac{\pi}{3})$ исследуем знак ее производной.

Сначала найдем область определения функции. Функция тангенс $\text{tg}(u)$ определена при $u \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае, $u = x - \frac{\pi}{3}$, поэтому:

$x - \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$

$x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \pi k$

$x \neq \frac{3\pi + 2\pi}{6} + \pi k$

$x \neq \frac{5\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Область определения функции состоит из интервалов $(-\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{5\pi}{6} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем производную функции $y$:

$y' = (1 + 2\text{tg}(x - \frac{\pi}{3}))' = 2 \cdot (\text{tg}(x - \frac{\pi}{3}))' = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2(x - \frac{\pi}{3})} \cdot (x - \frac{\pi}{3})' = \frac{2}{\cos^2(x - \frac{\pi}{3})}$.

Знаменатель $\cos^2(x - \frac{\pi}{3})$ всегда положителен в области определения функции, а числитель $2$ также положителен. Следовательно, $y' > 0$ на всей области определения.

Таким образом, функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения. Промежутков убывания у функции нет.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{5\pi}{6} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$; промежутков убывания нет.

2) Для функции $y = 2 - \text{ctg}(x + \frac{\pi}{3})$ найдем промежутки монотонности.

Область определения функции котангенс $\text{ctg}(u)$ задается условием $u \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае, $u = x + \frac{\pi}{3}$, поэтому:

$x + \frac{\pi}{3} \neq \pi k$

$x \neq -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Область определения функции состоит из интервалов $(-\frac{\pi}{3} + \pi k, \frac{2\pi}{3} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем производную функции $y$:

$y' = (2 - \text{ctg}(x + \frac{\pi}{3}))' = -(\text{ctg}(x + \frac{\pi}{3}))' = -(-\frac{1}{\sin^2(x + \frac{\pi}{3})}) \cdot (x + \frac{\pi}{3})' = \frac{1}{\sin^2(x + \frac{\pi}{3})}$.

Знаменатель $\sin^2(x + \frac{\pi}{3})$ всегда положителен в области определения функции, а числитель $1$ также положителен. Следовательно, $y' > 0$ на всей области определения.

Таким образом, функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения. Промежутков убывания у функции нет.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\frac{\pi}{3} + \pi k, \frac{2\pi}{3} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$; промежутков убывания нет.

3) Для функции $y = 1 - \text{tg}(x - \frac{\pi}{4})$ найдем промежутки монотонности.

Область определения функции тангенс $\text{tg}(u)$ задается условием $u \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае, $u = x - \frac{\pi}{4}$, поэтому:

$x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$

$x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi k$

$x \neq \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Область определения функции состоит из интервалов $(-\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{3\pi}{4} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем производную функции $y$:

$y' = (1 - \text{tg}(x - \frac{\pi}{4}))' = -(\text{tg}(x - \frac{\pi}{4}))' = -\frac{1}{\cos^2(x - \frac{\pi}{4})} \cdot (x - \frac{\pi}{4})' = -\frac{1}{\cos^2(x - \frac{\pi}{4})}$.

Знаменатель $\cos^2(x - \frac{\pi}{4})$ всегда положителен в области определения функции, а числитель равен $-1$. Следовательно, $y' < 0$ на всей области определения.

Таким образом, функция убывает на каждом из интервалов своей области определения. Промежутков возрастания у функции нет.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{3\pi}{4} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$; промежутков возрастания нет.

13.13. Расположите в порядке возрастания значений выражения:

1) $tg(-\frac{6\pi}{13})$, $tg(-\frac{\pi}{8})$, $tg\frac{3\pi}{8}$, и $tg\frac{9\pi}{20}$;

2) $ctg\frac{9\pi}{10}$, $ctg\frac{7\pi}{15}$, $ctg\frac{3\pi}{11}$ и $ctg\frac{5\pi}{13}$.

1) Для того чтобы расположить значения выражений $\text{tg}(-\frac{6\pi}{13})$, $\text{tg}(-\frac{\pi}{8})$, $\text{tg}\frac{3\pi}{8}$ и $\text{tg}\frac{9\pi}{20}$ в порядке возрастания, мы воспользуемся свойством функции тангенса. Функция $y = \text{tg}(x)$ является возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Сначала проверим, принадлежат ли все аргументы этому интервалу.

• $-\frac{\pi}{2} < -\frac{6\pi}{13} < 0$, так как $-\frac{1}{2} = -\frac{6.5}{13}$, и, следовательно, $-\frac{6.5}{13} < -\frac{6}{13}$. Значение $\text{tg}(-\frac{6\pi}{13})$ отрицательно.
• $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{8} < 0$, так как $-\frac{1}{2} = -\frac{4}{8}$, и, следовательно, $-\frac{4}{8} < -\frac{1}{8}$. Значение $\text{tg}(-\frac{\pi}{8})$ отрицательно.
• $0 < \frac{3\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$, так как $\frac{3}{8} < \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. Значение $\text{tg}\frac{3\pi}{8}$ положительно.
• $0 < \frac{9\pi}{20} < \frac{\pi}{2}$, так как $\frac{9}{20} < \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$. Значение $\text{tg}\frac{9\pi}{20}$ положительно.

Все аргументы находятся в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, где тангенс возрастает. Следовательно, чем больше аргумент, тем больше значение функции. Расположим аргументы в порядке возрастания:

Сравним отрицательные аргументы $-\frac{6\pi}{13}$ и $-\frac{\pi}{8}$. Для этого сравним дроби $\frac{6}{13}$ и $\frac{1}{8}$. Приведя к общему знаменателю 104, получим $\frac{48}{104}$ и $\frac{13}{104}$. Так как $\frac{48}{104} > \frac{13}{104}$, то $\frac{6}{13} > \frac{1}{8}$, а значит $-\frac{6\pi}{13} < -\frac{\pi}{8}$.

Сравним положительные аргументы $\frac{3\pi}{8}$ и $\frac{9\pi}{20}$. Приведя к общему знаменателю 40, получим $\frac{15}{40}$ и $\frac{18}{40}$. Так как $\frac{15}{40} < \frac{18}{40}$, то $\frac{3\pi}{8} < \frac{9\pi}{20}$.

Объединяя результаты, получаем порядок возрастания для аргументов: $-\frac{6\pi}{13} < -\frac{\pi}{8} < \frac{3\pi}{8} < \frac{9\pi}{20}$.

Поскольку функция $y = \text{tg}(x)$ возрастает на всем этом промежутке, значения тангенсов будут расположены в том же порядке.

Ответ: $\text{tg}(-\frac{6\pi}{13})$, $\text{tg}(-\frac{\pi}{8})$, $\text{tg}\frac{3\pi}{8}$, $\text{tg}\frac{9\pi}{20}$.

2) Для того чтобы расположить значения выражений $\text{ctg}\frac{9\pi}{10}$, $\text{ctg}\frac{7\pi}{15}$, $\text{ctg}\frac{3\pi}{11}$ и $\text{ctg}\frac{5\pi}{13}$ в порядке возрастания, мы воспользуемся свойством функции котангенса. Функция $y = \text{ctg}(x)$ является убывающей на интервале $(0, \pi)$.

Проверим, что все аргументы принадлежат этому интервалу: $\frac{9\pi}{10}$, $\frac{7\pi}{15}$, $\frac{3\pi}{11}$, $\frac{5\pi}{13}$ — все эти значения очевидно больше 0 и меньше $\pi$.

Определим знаки значений:

• Аргумент $\frac{9\pi}{10}$ находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} < \frac{9\pi}{10} < \pi$. В этой четверти котангенс отрицателен. Следовательно, $\text{ctg}\frac{9\pi}{10}$ — наименьшее из всех значений.
• Аргументы $\frac{7\pi}{15}$, $\frac{3\pi}{11}$ и $\frac{5\pi}{13}$ находятся в первой четверти, так как все они меньше $\frac{\pi}{2}$ ($\frac{7}{15} < \frac{1}{2}$, $\frac{3}{11} < \frac{1}{2}$, $\frac{5}{13} < \frac{1}{2}$). В этой четверти котангенс положителен.

Теперь нам нужно сравнить положительные значения $\text{ctg}\frac{7\pi}{15}$, $\text{ctg}\frac{3\pi}{11}$ и $\text{ctg}\frac{5\pi}{13}$. Поскольку функция котангенса убывает на $(0, \frac{\pi}{2})$, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Расположим аргументы в порядке возрастания:

Сравним дроби $\frac{3}{11}$, $\frac{5}{13}$ и $\frac{7}{15}$:

• $\frac{3}{11}$ и $\frac{5}{13}$: $3 \cdot 13 = 39$, $5 \cdot 11 = 55$. Так как $39 < 55$, то $\frac{3}{11} < \frac{5}{13}$.
• $\frac{5}{13}$ и $\frac{7}{15}$: $5 \cdot 15 = 75$, $7 \cdot 13 = 91$. Так как $75 < 91$, то $\frac{5}{13} < \frac{7}{15}$.

Так как котангенс — убывающая функция, порядок значений будет обратным: $\text{ctg}\frac{3\pi}{11} > \text{ctg}\frac{5\pi}{13} > \text{ctg}\frac{7\pi}{15}$. Значит, в порядке возрастания эти значения расположатся так: $\text{ctg}\frac{7\pi}{15} < \text{ctg}\frac{5\pi}{13} < \text{ctg}\frac{3\pi}{11}$.

Учитывая отрицательное значение $\text{ctg}\frac{9\pi}{10}$, получаем итоговый порядок возрастания.

Ответ: $\text{ctg}\frac{9\pi}{10}$, $\text{ctg}\frac{7\pi}{15}$, $\text{ctg}\frac{5\pi}{13}$, $\text{ctg}\frac{3\pi}{11}$.

13.14. Постройте согласно алгоритму график функции:

1) $y = 2\text{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$;

2) $y = 2 + \text{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$;

3) $y = \text{tg}\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$.

1) Для построения графика функции $y = 2\tg(x - \frac{\pi}{4})$ необходимо выполнить последовательность преобразований над графиком базовой функции $y = \tg(x)$.

Шаг 1: Построение графика $y_1 = \tg(x)$.

Начнем с графика функции тангенса. Это периодическая функция с периодом $T = \pi$. Вертикальные асимптоты расположены в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. График проходит через начало координат $(0, 0)$ и является возрастающим на каждом из интервалов области определения.

Шаг 2: Построение графика $y_2 = \tg(x - \frac{\pi}{4})$.

Этот график получается путем сдвига (параллельного переноса) графика $y_1 = \tg(x)$ на $\frac{\pi}{4}$ вправо вдоль оси $Ox$.

Вследствие сдвига, вертикальные асимптоты смещаются в точки $x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Нули функции (точки пересечения с осью $Ox$) также смещаются и теперь находятся в точках $x = 0 + \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Шаг 3: Построение графика $y = 2\tg(x - \frac{\pi}{4})$.

Итоговый график получается путем растяжения графика $y_2 = \tg(x - \frac{\pi}{4})$ от оси $Ox$ в 2 раза (вдоль оси $Oy$). Это значит, что ордината каждой точки графика умножается на 2. Растяжение не влияет на положение асимптот и нулей функции. Однако, например, точка графика, где $x = \frac{\pi}{2}$, будет иметь ординату $y = 2\tg(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) = 2\tg(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: График функции $y = 2\tg(x - \frac{\pi}{4})$ получается из графика $y = \tg(x)$ сдвигом на $\frac{\pi}{4}$ вправо по оси абсцисс и последующим растяжением в 2 раза вдоль оси ординат.

2) Для построения графика функции $y = 2 + \ctg(x - \frac{\pi}{4})$ необходимо выполнить последовательность преобразований над графиком базовой функции $y = \ctg(x)$.

Шаг 1: Построение графика $y_1 = \ctg(x)$.

Начнем с графика функции котангенса. Это периодическая функция с периодом $T = \pi$. Вертикальные асимптоты расположены в точках $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Нули функции находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Шаг 2: Построение графика $y_2 = \ctg(x - \frac{\pi}{4})$.

Этот график получается путем сдвига графика $y_1 = \ctg(x)$ на $\frac{\pi}{4}$ вправо вдоль оси $Ox$.

Вертикальные асимптоты смещаются в точки $x = \pi n + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Нули функции смещаются в точки $x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Шаг 3: Построение графика $y = 2 + \ctg(x - \frac{\pi}{4})$.

Итоговый график получается путем сдвига графика $y_2 = \ctg(x - \frac{\pi}{4})$ на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

Вертикальные асимптоты остаются прежними: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Все точки графика смещаются вверх на 2. Точки, которые ранее были нулями функции $y_2$ (с ординатой 0), теперь лежат на прямой $y=2$. Таким образом, график проходит через точки с координатами $(\frac{3\pi}{4} + \pi n, 2)$.

Ответ: График функции $y = 2 + \ctg(x - \frac{\pi}{4})$ получается из графика $y = \ctg(x)$ сдвигом на $\frac{\pi}{4}$ вправо по оси абсцисс и последующим сдвигом на 2 единицы вверх по оси ординат.

3) Для построения графика функции $y = \tg(2x - \frac{\pi}{3})$ представим ее в виде $y = \tg(2(x - \frac{\pi}{6}))$. Построение будем вести путем преобразований графика базовой функции $y = \tg(x)$.

Шаг 1: Построение графика $y_1 = \tg(x)$.

Базовый график тангенса с периодом $T = \pi$ и вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Шаг 2: Построение графика $y_2 = \tg(2x)$.

Этот график получается путем сжатия графика $y_1 = \tg(x)$ к оси $Oy$ в 2 раза. Период функции уменьшается в 2 раза: $T = \frac{\pi}{2}$.

Вертикальные асимптоты теперь находятся из условия $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, то есть $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Нули функции находятся из условия $2x = \pi n$, то есть $x = \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Шаг 3: Построение графика $y = \tg(2(x - \frac{\pi}{6}))$.

Итоговый график получается путем сдвига графика $y_2 = \tg(2x)$ на $\frac{\pi}{6}$ вправо вдоль оси $Ox$.

Вертикальные асимптоты смещаются и находятся в точках $x = (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}) + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi+2\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Нули функции также смещаются и находятся в точках $x = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{6}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \tg(2x - \frac{\pi}{3})$ получается из графика $y = \tg(x)$ сжатием в 2 раза к оси ординат и последующим сдвигом на $\frac{\pi}{6}$ вправо по оси абсцисс.

13.15. Используя алгоритм, постройте график функции:

1) $y = \text{ctg}(2x + \frac{2\pi}{3})$; 2) $y = \text{tg}(3x - 4)$; 3) $y = -\text{tg}(4x + \frac{4\pi}{3})$.

1) Для построения графика функции $y = \operatorname{ctg}(2x + \frac{2\pi}{3})$ выполним следующие преобразования, исходя из графика базовой функции $y = \operatorname{ctg}(x)$.

Сначала представим функцию в виде $y = f(k(x - x_0))$.

$y = \operatorname{ctg}(2x + \frac{2\pi}{3}) = \operatorname{ctg}(2(x + \frac{\pi}{3}))$.

Здесь $k=2$, а сдвиг по фазе $x_0 = -\frac{\pi}{3}$.

Алгоритм построения:

1. Строим график основной функции $y_1 = \operatorname{ctg}(x)$. Этот график имеет период $T = \pi$ и вертикальные асимптоты в точках $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Сжимаем график $y_1 = \operatorname{ctg}(x)$ по горизонтали к оси $Oy$ в 2 раза. Получаем график функции $y_2 = \operatorname{ctg}(2x)$. Период этой функции будет в 2 раза меньше: $T_2 = \frac{\pi}{2}$. Вертикальные асимптоты теперь находятся в точках $2x = \pi n$, то есть $x = \frac{\pi n}{2}$.

3. Сдвигаем полученный график $y_2 = \operatorname{ctg}(2x)$ влево вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{3}$. Получаем искомый график функции $y = \operatorname{ctg}(2(x + \frac{\pi}{3})) = \operatorname{ctg}(2x + \frac{2\pi}{3})$.

Основные свойства итоговой функции:

• Период: $T = \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{2}$.

• Вертикальные асимптоты: Аргумент котангенса должен быть равен $\pi n$.

$2x + \frac{2\pi}{3} = \pi n \implies 2x = \pi n - \frac{2\pi}{3} \implies x = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

• Нули функции (точки пересечения с осью $Ox$): Аргумент котангенса должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$.

$2x + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies 2x = \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} + \pi n \implies 2x = -\frac{\pi}{6} + \pi n \implies x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

• Функция убывает на каждом из интервалов между асимптотами.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg}(2x + \frac{2\pi}{3})$ получается из графика $y = \operatorname{ctg}(x)$ путем сжатия по горизонтали в 2 раза с последующим сдвигом влево на $\frac{\pi}{3}$.

2) Для построения графика функции $y = \operatorname{tg}(3x - 4)$ выполним следующие преобразования, исходя из графика базовой функции $y = \operatorname{tg}(x)$.

Представим функцию в виде $y = f(k(x - x_0))$.

$y = \operatorname{tg}(3x - 4) = \operatorname{tg}(3(x - \frac{4}{3}))$.

Здесь $k=3$, а сдвиг по фазе $x_0 = \frac{4}{3}$.

Алгоритм построения:

1. Строим график основной функции $y_1 = \operatorname{tg}(x)$. Этот график имеет период $T = \pi$ и вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Сжимаем график $y_1 = \operatorname{tg}(x)$ по горизонтали к оси $Oy$ в 3 раза. Получаем график функции $y_2 = \operatorname{tg}(3x)$. Период этой функции будет в 3 раза меньше: $T_2 = \frac{\pi}{3}$. Вертикальные асимптоты теперь находятся в точках $3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, то есть $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$.

3. Сдвигаем полученный график $y_2 = \operatorname{tg}(3x)$ вправо вдоль оси $Ox$ на $\frac{4}{3}$. Получаем искомый график функции $y = \operatorname{tg}(3(x - \frac{4}{3})) = \operatorname{tg}(3x - 4)$.

Основные свойства итоговой функции:

• Период: $T = \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{3}$.

• Вертикальные асимптоты: Аргумент тангенса должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$.

$3x - 4 = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies 3x = 4 + \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{4}{3} + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

• Нули функции (точки пересечения с осью $Ox$): Аргумент тангенса должен быть равен $\pi n$.

$3x - 4 = \pi n \implies 3x = 4 + \pi n \implies x = \frac{4}{3} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

• Функция возрастает на каждом из интервалов между асимптотами.

Ответ: График функции $y = \operatorname{tg}(3x - 4)$ получается из графика $y = \operatorname{tg}(x)$ путем сжатия по горизонтали в 3 раза с последующим сдвигом вправо на $\frac{4}{3}$.

3) Для построения графика функции $y = -\operatorname{tg}(4x + \frac{4\pi}{3})$ выполним следующие преобразования, исходя из графика базовой функции $y = \operatorname{tg}(x)$.

Представим функцию в виде $y = A \cdot f(k(x - x_0))$.

$y = -\operatorname{tg}(4x + \frac{4\pi}{3}) = -\operatorname{tg}(4(x + \frac{\pi}{3}))$.

Здесь амплитудный множитель $A=-1$, $k=4$, а сдвиг по фазе $x_0 = -\frac{\pi}{3}$.

Алгоритм построения:

1. Строим график основной функции $y_1 = \operatorname{tg}(x)$. Период $T = \pi$, асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

2. Сжимаем график $y_1 = \operatorname{tg}(x)$ по горизонтали к оси $Oy$ в 4 раза. Получаем график функции $y_2 = \operatorname{tg}(4x)$. Период становится $T_2 = \frac{\pi}{4}$. Асимптоты: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$.

3. Сдвигаем график $y_2 = \operatorname{tg}(4x)$ влево вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{3}$. Получаем график функции $y_3 = \operatorname{tg}(4(x + \frac{\pi}{3}))$.

4. Отражаем график $y_3$ симметрично относительно оси $Ox$. Получаем искомый график $y = -\operatorname{tg}(4(x + \frac{\pi}{3}))$. В результате отражения возрастающая функция становится убывающей на каждом интервале определения.

Основные свойства итоговой функции:

• Период: $T = \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{4}$.

• Вертикальные асимптоты: Положение асимптот не меняется при отражении. Аргумент тангенса равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$.

$4x + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies 4x = \frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{3} + \pi n \implies 4x = -\frac{5\pi}{6} + \pi n \implies x = -\frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

• Нули функции: Положение нулей не меняется при отражении. Аргумент тангенса равен $\pi n$.

$4x + \frac{4\pi}{3} = \pi n \implies 4x = \pi n - \frac{4\pi}{3} \implies x = \frac{\pi n}{4} - \frac{\pi}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

• Функция убывает на каждом из интервалов между асимптотами из-за знака минус перед функцией.

Ответ: График функции $y = -\operatorname{tg}(4x + \frac{4\pi}{3})$ получается из графика $y = \operatorname{tg}(x)$ путем сжатия по горизонтали в 4 раза, сдвига влево на $\frac{\pi}{3}$ и последующего симметричного отражения относительно оси $Ox$.