Страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

14.3. Постройте график функции:

1) $y = 2\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 3;$

2) $y = -\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 2;$

3) $y = 2\text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right).$

1) $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{3}) - 3$

Построение графика функции осуществляется путем последовательных преобразований графика базовой функции $y = \cos(x)$.

Шаг 1: Строим график $y = \cos(x)$. Это стандартная косинусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.

Шаг 2: Сдвигаем график $y = \cos(x)$ на $\frac{\pi}{3}$ влево по оси $Ox$. Получаем график функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{3})$.

Шаг 3: Растягиваем полученный график от оси $Ox$ в 2 раза, то есть умножаем каждую ординату на 2. Получаем график функции $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{3})$. Амплитуда колебаний становится равной 2.

Шаг 4: Сдвигаем последний график на 3 единицы вниз по оси $Oy$. Получаем искомый график функции $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{3}) - 3$.

В результате этих преобразований косинусоида колеблется относительно прямой $y = -3$. Максимальное значение функции равно $-3 + 2 = -1$, а минимальное $-3 - 2 = -5$. Ключевые точки для одного периода: максимум в точке $(-\frac{\pi}{3}, -1)$, минимум в точке $(\frac{2\pi}{3}, -5)$.

Ответ: График функции $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{3}) - 3$ — это косинусоида с периодом $2\pi$, амплитудой 2, смещенная по фазе на $\frac{\pi}{3}$ влево и по вертикали на 3 единицы вниз. Область значений функции: $[-5, -1]$.

2) $y = -\sin(x - \frac{\pi}{4}) + 2$

Построение графика этой функции выполним путем последовательных преобразований, начиная с базовой функции $y = \sin(x)$.

Шаг 1: Строим график $y = \sin(x)$. Это стандартная синусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.

Шаг 2: Сдвигаем график $y = \sin(x)$ на $\frac{\pi}{4}$ вправо по оси $Ox$. Получаем график функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{4})$.

Шаг 3: Отражаем полученный график симметрично относительно оси $Ox$. Это соответствует умножению функции на -1. Получаем график функции $y = -\sin(x - \frac{\pi}{4})$.

Шаг 4: Сдвигаем последний график на 2 единицы вверх по оси $Oy$. Получаем искомый график функции $y = -\sin(x - \frac{\pi}{4}) + 2$.

В результате этих преобразований синусоида колеблется относительно прямой $y = 2$. Амплитуда колебаний равна 1. Максимальное значение функции равно $2 + 1 = 3$, а минимальное $2 - 1 = 1$. Ключевые точки для одного периода: график проходит через точку $(\frac{\pi}{4}, 2)$, достигает минимума в точке $(\frac{3\pi}{4}, 1)$, затем максимума в точке $(\frac{7\pi}{4}, 3)$.

Ответ: График функции $y = -\sin(x - \frac{\pi}{4}) + 2$ — это синусоида, отраженная относительно оси абсцисс, с периодом $2\pi$, амплитудой 1, смещенная по фазе на $\frac{\pi}{4}$ вправо и по вертикали на 2 единицы вверх. Область значений функции: $[1, 3]$.

3) $y = 2\ctg(x + \frac{\pi}{4})$

Построение графика функции осуществляется путем преобразований графика базовой функции $y = \ctg(x)$.

Шаг 1: Строим график $y = \ctg(x)$. Это котангенсоида с периодом $\pi$. Вертикальные асимптоты находятся в точках $x = k\pi$, где $k$ — целое число.

Шаг 2: Сдвигаем график $y = \ctg(x)$ на $\frac{\pi}{4}$ влево по оси $Ox$. Получаем график функции $y = \ctg(x + \frac{\pi}{4})$. Вертикальные асимптоты также сдвигаются влево и теперь находятся в точках $x = k\pi - \frac{\pi}{4}$. Нули функции смещаются в точки $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$.

Шаг 3: Растягиваем полученный график от оси $Ox$ в 2 раза. Получаем искомый график функции $y = 2\ctg(x + \frac{\pi}{4})$. Это означает, что значение y в каждой точке графика умножается на 2. Растяжение не влияет на положение асимптот и нулей функции.

Ключевые точки для одной ветви графика, например, между асимптотами $x = -\frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{3\pi}{4}$: нуль функции находится в точке $(\frac{\pi}{4}, 0)$. График проходит через точки $(0, 2)$ и $(\frac{\pi}{2}, -2)$.

Ответ: График функции $y = 2\ctg(x + \frac{\pi}{4})$ — это котангенсоида с периодом $\pi$, смещенная на $\frac{\pi}{4}$ влево и растянутая по вертикали в 2 раза. Вертикальные асимптоты графика задаются уравнением $x = -\frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$. Нули функции находятся в точках $x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

14.4. Найдите область определения и множество значений функции:

1) $f(x) = 2\sin3x - 1;$

2) $f(x) = 3 - 2\cos2x;$

3) $f(x) = 2 - \sin(x - \pi).$

1) Для функции $f(x) = 2\sin3x - 1$.

Область определения: Функция синус определена для любого действительного аргумента. Выражение $3x$ также определено для любого действительного числа $x$. Следовательно, область определения $D(f)$ данной функции — это множество всех действительных чисел, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: Значения функции синус всегда находятся в пределах отрезка $[-1; 1]$. Исходя из этого, построим цепочку неравенств:

$-1 \le \sin(3x) \le 1$

Умножим все части неравенства на 2 (знаки неравенства сохраняются):

$-1 \cdot 2 \le 2\sin(3x) \le 1 \cdot 2$

$-2 \le 2\sin(3x) \le 2$

Теперь вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-2 - 1 \le 2\sin(3x) - 1 \le 2 - 1$

$-3 \le f(x) \le 1$

Таким образом, множество значений $E(f)$ функции — это отрезок $[-3; 1]$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(f) = [-3; 1]$.

2) Для функции $f(x) = 3 - 2\cos2x$.

Область определения: Функция косинус определена для любого действительного аргумента. Выражение $2x$ определено для любого действительного числа $x$. Следовательно, область определения $D(f)$ данной функции — это множество всех действительных чисел, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: Значения функции косинус всегда находятся в пределах отрезка $[-1; 1]$.

$-1 \le \cos(2x) \le 1$

Умножим все части неравенства на -2. Так как мы умножаем на отрицательное число, знаки неравенства изменятся на противоположные:

$-1 \cdot (-2) \ge -2\cos(2x) \ge 1 \cdot (-2)$

$2 \ge -2\cos(2x) \ge -2$

Запишем это неравенство в более привычном виде (от меньшего к большему):

$-2 \le -2\cos(2x) \le 2$

Теперь прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$3 - 2 \le 3 - 2\cos(2x) \le 3 + 2$

$1 \le f(x) \le 5$

Таким образом, множество значений $E(f)$ функции — это отрезок $[1; 5]$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(f) = [1; 5]$.

3) Для функции $f(x) = 2 - \sin(x - \pi)$.

Область определения: Функция синус определена для любого действительного аргумента. Выражение $x - \pi$ определено для любого действительного числа $x$. Следовательно, область определения $D(f)$ данной функции — это множество всех действительных чисел, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: Значения функции синус, независимо от ее аргумента, всегда находятся в пределах отрезка $[-1; 1]$.

$-1 \le \sin(x - \pi) \le 1$

Умножим все части неравенства на -1. Так как мы умножаем на отрицательное число, знаки неравенства изменятся на противоположные:

$-1 \cdot (-1) \ge -\sin(x - \pi) \ge 1 \cdot (-1)$

$1 \ge -\sin(x - \pi) \ge -1$

Запишем это неравенство в стандартном виде:

$-1 \le -\sin(x - \pi) \le 1$

Теперь прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$2 - 1 \le 2 - \sin(x - \pi) \le 2 + 1$

$1 \le f(x) \le 3$

Таким образом, множество значений $E(f)$ функции — это отрезок $[1; 3]$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(f) = [1; 3]$.

14.5. Постройте график, запишите нули и промежутки знакопостоянства функции:

1) $f(x) = - \sin 2x;$

2) $f(x) = 2\cos \frac{x}{4};$

3) $f(x) = 2\text{tg}\frac{x}{3};$

4) $f(x) = -\text{ctg}\frac{x}{2}.$

1) f(x) = -sin(2x)

Построение графика:

График функции $f(x) = -\sin(2x)$ можно получить из графика функции $y = \sin(x)$ с помощью следующих преобразований:

1. Сжатие графика по оси абсцисс (оси Ox) в 2 раза. Это преобразование изменяет период функции. Исходный период функции синуса равен $2\pi$, новый период будет $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Получаем график функции $y = \sin(2x)$.

2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси абсцисс. Это преобразование изменяет знак функции. Получаем искомый график $y = -\sin(2x)$. Амплитуда колебаний равна $1$, область значений функции $E(f) = [-1, 1]$.

Нули функции:

Нули функции — это значения $x$, при которых $f(x) = 0$.

$-\sin(2x) = 0$

$\sin(2x) = 0$

Уравнение $\sin(u) = 0$ имеет решения $u = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$2x = \pi n$

$x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства:

Найдем, где функция положительна ($f(x) > 0$):

$-\sin(2x) > 0 \implies \sin(2x) < 0$.

Неравенство $\sin(u) < 0$ выполняется для $u \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\pi + 2\pi k < 2x < 2\pi + 2\pi k$

$\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \pi + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем, где функция отрицательна ($f(x) < 0$):

$-\sin(2x) < 0 \implies \sin(2x) > 0$.

Неравенство $\sin(u) > 0$ выполняется для $u \in (2\pi k, \pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$2\pi k < 2x < \pi + 2\pi k$

$\pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: нули функции: $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$;

$f(x) > 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k), k \in \mathbb{Z}$;

$f(x) < 0$ при $x \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.

2) f(x) = 2cos(x/4)

Построение графика:

График функции $f(x) = 2\cos(\frac{x}{4})$ можно получить из графика функции $y = \cos(x)$ с помощью следующих преобразований:

1. Растяжение графика по оси абсцисс (оси Ox) в 4 раза. Период функции станет $T = \frac{2\pi}{1/4} = 8\pi$. Получаем график функции $y = \cos(\frac{x}{4})$.

2. Растяжение полученного графика вдоль оси ординат (оси Oy) в 2 раза. Амплитуда колебаний станет равной $2$. Получаем искомый график $y = 2\cos(\frac{x}{4})$. Область значений функции $E(f) = [-2, 2]$.

Нули функции:

$2\cos(\frac{x}{4}) = 0$

$\cos(\frac{x}{4}) = 0$

Уравнение $\cos(u) = 0$ имеет решения $u = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\frac{x}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n$

$x = 4(\frac{\pi}{2} + \pi n) = 2\pi + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства:

$f(x) > 0 \implies 2\cos(\frac{x}{4}) > 0 \implies \cos(\frac{x}{4}) > 0$.

Неравенство $\cos(u) > 0$ выполняется для $u \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < \frac{x}{4} < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$-2\pi + 8\pi k < x < 2\pi + 8\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$f(x) < 0 \implies 2\cos(\frac{x}{4}) < 0 \implies \cos(\frac{x}{4}) < 0$.

Неравенство $\cos(u) < 0$ выполняется для $u \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < \frac{x}{4} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$

$2\pi + 8\pi k < x < 6\pi + 8\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: нули функции: $x = 2\pi + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$;

$f(x) > 0$ при $x \in (-2\pi + 8\pi k, 2\pi + 8\pi k), k \in \mathbb{Z}$;

$f(x) < 0$ при $x \in (2\pi + 8\pi k, 6\pi + 8\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

3) f(x) = 2tg(x/3)

Построение графика:

График функции $f(x) = 2\operatorname{tg}(\frac{x}{3})$ получаем из графика $y = \operatorname{tg}(x)$:

1. Растяжение графика по оси Ox в 3 раза. Период функции станет $T = \frac{\pi}{1/3} = 3\pi$. Получаем $y = \operatorname{tg}(\frac{x}{3})$. Вертикальные асимптоты смещаются в точки $x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Растяжение графика вдоль оси Oy в 2 раза. Получаем искомый график $y = 2\operatorname{tg}(\frac{x}{3})$.

Область определения функции $D(f): x \neq \frac{3\pi}{2} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Нули функции:

$2\operatorname{tg}(\frac{x}{3}) = 0 \implies \operatorname{tg}(\frac{x}{3}) = 0$.

$\frac{x}{3} = \pi n$

$x = 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства:

$f(x) > 0 \implies \operatorname{tg}(\frac{x}{3}) > 0$.

Неравенство $\operatorname{tg}(u) > 0$ выполняется для $u \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\pi k < \frac{x}{3} < \frac{\pi}{2} + \pi k$

$3\pi k < x < \frac{3\pi}{2} + 3\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$f(x) < 0 \implies \operatorname{tg}(\frac{x}{3}) < 0$.

Неравенство $\operatorname{tg}(u) < 0$ выполняется для $u \in (-\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$-\frac{\pi}{2} + \pi k < \frac{x}{3} < \pi k$

$-\frac{3\pi}{2} + 3\pi k < x < 3\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: нули функции: $x = 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$;

$f(x) > 0$ при $x \in (3\pi k, \frac{3\pi}{2} + 3\pi k), k \in \mathbb{Z}$;

$f(x) < 0$ при $x \in (-\frac{3\pi}{2} + 3\pi k, 3\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

4) f(x) = -ctg(x/2)

Построение графика:

График функции $f(x) = -\operatorname{ctg}(\frac{x}{2})$ получаем из графика $y = \operatorname{ctg}(x)$:

1. Растяжение графика по оси Ox в 2 раза. Период функции станет $T = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$. Получаем $y = \operatorname{ctg}(\frac{x}{2})$. Вертикальные асимптоты смещаются в точки $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Симметричное отражение графика относительно оси Ox. Получаем искомый график $y = -\operatorname{ctg}(\frac{x}{2})$. Исходная убывающая функция становится возрастающей на каждом интервале области определения.

Область определения функции $D(f): x \neq 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Нули функции:

$-\operatorname{ctg}(\frac{x}{2}) = 0 \implies \operatorname{ctg}(\frac{x}{2}) = 0$.

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$

$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства:

$f(x) > 0 \implies -\operatorname{ctg}(\frac{x}{2}) > 0 \implies \operatorname{ctg}(\frac{x}{2}) < 0$.

Неравенство $\operatorname{ctg}(u) < 0$ выполняется для $u \in (\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\frac{\pi}{2} + \pi k < \frac{x}{2} < \pi + \pi k$

$\pi + 2\pi k < x < 2\pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$f(x) < 0 \implies -\operatorname{ctg}(\frac{x}{2}) < 0 \implies \operatorname{ctg}(\frac{x}{2}) > 0$.

Неравенство $\operatorname{ctg}(u) > 0$ выполняется для $u \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\pi k < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2} + \pi k$

$2\pi k < x < \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: нули функции: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$;

$f(x) > 0$ при $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$;

$f(x) < 0$ при $x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

14.6. Постройте график и запишите числовые промежутки, на которых

принимает неотрицательные значения функция:

1) $f(x) = 2 - \sin x;$

2) $f(x) = \cos \frac{x}{3} - 3;$

3) $f(x) = 2\operatorname{tg} \frac{x}{2};$

4) $f(x) = -\operatorname{ctg} 2x.$

1) $f(x) = 2 - \sin x$

Для построения графика функции $f(x) = 2 - \sin x$ выполним последовательные преобразования графика функции $y = \sin x$.

Сначала строим график функции $y = \sin x$. Затем отражаем его симметрично относительно оси абсцисс, чтобы получить график $y = -\sin x$. Наконец, сдвигаем полученный график на 2 единицы вверх по оси ординат, чтобы получить искомый график $f(x) = 2 - \sin x$. График представляет собой синусоиду, смещенную вверх так, что она колеблется относительно прямой $y=2$. Минимальное значение функции равно $2-1=1$, а максимальное $2-(-1)=3$.

Чтобы найти числовые промежутки, на которых функция принимает неотрицательные значения, решим неравенство $f(x) \ge 0$:

$2 - \sin x \ge 0$

Перенесем $\sin x$ в правую часть:

$\sin x \le 2$

Область значений функции $y=\sin x$ есть отрезок $[-1, 1]$. Так как любое значение синуса не превосходит 1, оно автоматически будет меньше 2. Следовательно, неравенство $\sin x \le 2$ справедливо для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2) $f(x) = \cos\frac{x}{3} - 3$

Для построения графика функции $f(x) = \cos\frac{x}{3} - 3$ начнем с графика $y = \cos x$.

Сначала строим график $y = \cos\frac{x}{3}$. Он получается из графика $y = \cos x$ путем его растяжения вдоль оси абсцисс в 3 раза. Период функции становится $T = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$. Затем сдвигаем полученный график на 3 единицы вниз по оси ординат, чтобы получить искомый график $f(x) = \cos\frac{x}{3} - 3$. График колеблется относительно прямой $y=-3$. Минимальное значение функции равно $-1-3=-4$, а максимальное $1-3=-2$.

Чтобы найти числовые промежутки, на которых функция принимает неотрицательные значения, решим неравенство $f(x) \ge 0$:

$\cos\frac{x}{3} - 3 \ge 0$

$\cos\frac{x}{3} \ge 3$

Область значений функции $y=\cos t$ есть отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, значение $\cos\frac{x}{3}$ никогда не может быть больше или равно 3. Таким образом, неравенство не имеет решений.

Ответ: таких промежутков нет (решений нет, $\emptyset$).

3) $f(x) = 2\operatorname{tg}\frac{x}{2}$

Для построения графика функции $f(x) = 2\operatorname{tg}\frac{x}{2}$ начнем с графика $y = \operatorname{tg} x$.

График $y = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ получается из графика $y = \operatorname{tg} x$ растяжением вдоль оси абсцисс в 2 раза. Период функции становится $T = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$. Вертикальные асимптоты находятся в точках $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Затем график $y = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ растягивается в 2 раза вдоль оси ординат, что дает искомый график $f(x) = 2\operatorname{tg}\frac{x}{2}$.

Чтобы найти числовые промежутки, на которых функция принимает неотрицательные значения, решим неравенство $f(x) \ge 0$:

$2\operatorname{tg}\frac{x}{2} \ge 0$

$\operatorname{tg}\frac{x}{2} \ge 0$

Функция тангенса неотрицательна, когда её аргумент $t = \frac{x}{2}$ принадлежит промежуткам $[\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\pi n \le \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2} + \pi n$

Умножим все части неравенства на 2:

$2\pi n \le x < \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $[2\pi n, \pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4) $f(x) = -\operatorname{ctg} 2x$

Для построения графика функции $f(x) = -\operatorname{ctg} 2x$ начнем с графика $y = \operatorname{ctg} x$.

График $y = \operatorname{ctg} 2x$ получается из графика $y = \operatorname{ctg} x$ сжатием вдоль оси абсцисс в 2 раза. Период функции становится $T = \frac{\pi}{2}$. Вертикальные асимптоты находятся в точках $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$. Затем график $y = \operatorname{ctg} 2x$ отражается симметрично относительно оси абсцисс, чтобы получить искомый график $f(x) = -\operatorname{ctg} 2x$.

Чтобы найти числовые промежутки, на которых функция принимает неотрицательные значения, решим неравенство $f(x) \ge 0$:

$-\operatorname{ctg} 2x \ge 0$

$\operatorname{ctg} 2x \le 0$

Функция котангенса неположительна, когда её аргумент $t=2x$ принадлежит промежуткам $[\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\frac{\pi}{2} + \pi n \le 2x < \pi + \pi n$

Разделим все части неравенства на 2:

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \le x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $[\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2})$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Исследуйте функции и постройте их графики (14.7–14.10):

14.7.1) $f(x) = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right);$

2) $f(x) = 2\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right);$

3) $f(x) = -\cos\left(x + \frac{2\pi}{5}\right).$

1) $f(x) = 2\sin(x - \frac{\pi}{4})$

Проведем исследование функции:

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений. Поскольку $-1 \le \sin(x - \frac{\pi}{4}) \le 1$, то умножая на 2, получаем $-2 \le 2\sin(x - \frac{\pi}{4}) \le 2$. Следовательно, область значений функции $E(f) = [-2; 2]$.

3. Периодичность. Функция является периодической. Основной период синуса равен $2\pi$. Так как аргумент функции имеет вид $x+b$, основной период $T$ функции $f(x)$ равен $T = 2\pi$.

4. Четность и нечетность. $f(-x) = 2\sin(-x - \frac{\pi}{4}) = -2\sin(x + \frac{\pi}{4})$. Так как $f(-x) \ne f(x)$ и $f(-x) \ne -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

5. Нули функции. Решим уравнение $f(x) = 0$:

$2\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 0 \implies \sin(x - \frac{\pi}{4}) = 0$

$x - \frac{\pi}{4} = \pi n, \quad n \in Z$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in Z$.

6. Точки экстремума.

Максимумы функции равны 2. Они достигаются, когда $\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 1$:

$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x_{max} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in Z$.

Минимумы функции равны -2. Они достигаются, когда $\sin(x - \frac{\pi}{4}) = -1$:

$x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x_{min} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in Z$.

7. Построение графика. График функции $y = 2\sin(x - \frac{\pi}{4})$ можно построить, исходя из графика функции $y = \sin x$ с помощью следующих преобразований:

- Растяжение вдоль оси OY в 2 раза (амплитуда становится равной 2).

- Сдвиг (параллельный перенос) вправо вдоль оси OX на $\frac{\pi}{4}$.

Ключевые точки на одном периоде $[\frac{\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}]$:

- $x=\frac{\pi}{4}$, $y=0$ (начало периода, пересечение оси)

- $x=\frac{3\pi}{4}$, $y=2$ (максимум)

- $x=\frac{5\pi}{4}$, $y=0$ (пересечение оси)

- $x=\frac{7\pi}{4}$, $y=-2$ (минимум)

- $x=\frac{9\pi}{4}$, $y=0$ (конец периода, пересечение оси)

Ответ: Функция исследована, для построения графика необходимо выполнить растяжение графика $y=\sin x$ вдоль оси OY в 2 раза и сдвинуть его вправо на $\frac{\pi}{4}$.

2) $f(x) = 2\cos(x + \frac{\pi}{4})$

Проведем исследование функции:

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений. Поскольку $-1 \le \cos(x + \frac{\pi}{4}) \le 1$, то умножая на 2, получаем $-2 \le 2\cos(x + \frac{\pi}{4}) \le 2$. Следовательно, область значений функции $E(f) = [-2; 2]$.

3. Периодичность. Функция является периодической. Основной период косинуса равен $2\pi$. Основной период $T$ функции $f(x)$ равен $T = 2\pi$.

4. Четность и нечетность. $f(-x) = 2\cos(-x + \frac{\pi}{4}) = 2\cos(x - \frac{\pi}{4})$. Так как $f(-x) \ne f(x)$ и $f(-x) \ne -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

5. Нули функции. Решим уравнение $f(x) = 0$:

$2\cos(x + \frac{\pi}{4}) = 0 \implies \cos(x + \frac{\pi}{4}) = 0$

$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in Z$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in Z$.

6. Точки экстремума.

Максимумы функции равны 2. Они достигаются, когда $\cos(x + \frac{\pi}{4}) = 1$:

$x + \frac{\pi}{4} = 2\pi n \implies x_{max} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in Z$.

Минимумы функции равны -2. Они достигаются, когда $\cos(x + \frac{\pi}{4}) = -1$:

$x + \frac{\pi}{4} = \pi + 2\pi n \implies x_{min} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in Z$.

7. Построение графика. График функции $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{4})$ можно построить, исходя из графика функции $y = \cos x$ с помощью следующих преобразований:

- Растяжение вдоль оси OY в 2 раза (амплитуда становится равной 2).

- Сдвиг (параллельный перенос) влево вдоль оси OX на $\frac{\pi}{4}$.

Ключевые точки на одном периоде $[-\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}]$:

- $x=-\frac{\pi}{4}$, $y=2$ (начало периода, максимум)

- $x=\frac{\pi}{4}$, $y=0$ (пересечение оси)

- $x=\frac{3\pi}{4}$, $y=-2$ (минимум)

- $x=\frac{5\pi}{4}$, $y=0$ (пересечение оси)

- $x=\frac{7\pi}{4}$, $y=2$ (конец периода, максимум)

Ответ: Функция исследована, для построения графика необходимо выполнить растяжение графика $y=\cos x$ вдоль оси OY в 2 раза и сдвинуть его влево на $\frac{\pi}{4}$.

3) $f(x) = -\cos(x + \frac{2\pi}{5})$

Проведем исследование функции:

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений. Поскольку $-1 \le \cos(x + \frac{2\pi}{5}) \le 1$, то умножая на -1, получаем $-1 \le -\cos(x + \frac{2\pi}{5}) \le 1$. Следовательно, область значений функции $E(f) = [-1; 1]$.

3. Периодичность. Функция является периодической. Основной период косинуса равен $2\pi$. Основной период $T$ функции $f(x)$ равен $T = 2\pi$.

4. Четность и нечетность. $f(-x) = -\cos(-x + \frac{2\pi}{5}) = -\cos(x - \frac{2\pi}{5})$. Так как $f(-x) \ne f(x)$ и $f(-x) \ne -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

5. Нули функции. Решим уравнение $f(x) = 0$:

$-\cos(x + \frac{2\pi}{5}) = 0 \implies \cos(x + \frac{2\pi}{5}) = 0$

$x + \frac{2\pi}{5} = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in Z$

$x = \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{5} + \pi n = \frac{\pi}{10} + \pi n, \quad n \in Z$.

6. Точки экстремума.

Максимумы функции равны 1. Они достигаются, когда $-\cos(x + \frac{2\pi}{5}) = 1 \implies \cos(x + \frac{2\pi}{5}) = -1$:

$x + \frac{2\pi}{5} = \pi + 2\pi n \implies x_{max} = \frac{3\pi}{5} + 2\pi n, \quad n \in Z$.

Минимумы функции равны -1. Они достигаются, когда $-\cos(x + \frac{2\pi}{5}) = -1 \implies \cos(x + \frac{2\pi}{5}) = 1$:

$x + \frac{2\pi}{5} = 2\pi n \implies x_{min} = -\frac{2\pi}{5} + 2\pi n, \quad n \in Z$.

7. Построение графика. График функции $y = -\cos(x + \frac{2\pi}{5})$ можно построить, исходя из графика функции $y = \cos x$ с помощью следующих преобразований:

- Симметричное отражение относительно оси OX (получаем $y=-\cos x$).

- Сдвиг (параллельный перенос) влево вдоль оси OX на $\frac{2\pi}{5}$.

Ключевые точки на одном периоде $[-\frac{2\pi}{5}, \frac{8\pi}{5}]$:

- $x=-\frac{2\pi}{5}$, $y=-1$ (начало периода, минимум)

- $x=\frac{\pi}{10}$, $y=0$ (пересечение оси)

- $x=\frac{3\pi}{5}$, $y=1$ (максимум)

- $x=\frac{11\pi}{10}$, $y=0$ (пересечение оси)

- $x=\frac{8\pi}{5}$, $y=-1$ (конец периода, минимум)

Ответ: Функция исследована, для построения графика необходимо график $y=\cos x$ отразить симметрично относительно оси OX и сдвинуть его влево на $\frac{2\pi}{5}$.

14.8. 1) $f(x) = 2\text{tg}\left(x - \frac{\pi}{3}\right);$

2) $f(x) = -3\text{ctg}0.5x;$

3) $f(x) = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{3} - x\right).$

1) Чтобы найти основной период функции $f(x) = 2\text{tg}(x - \frac{\pi}{3})$, нужно определить, как преобразования влияют на период базовой функции $y = \text{tg}(x)$.

Основной период функции тангенса $y = \text{tg}(x)$ равен $T_0 = \pi$.

Для функции вида $y = A \cdot \text{tg}(kx + b)$, период вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.

В данном случае, функция $f(x) = 2\text{tg}(x - \frac{\pi}{3})$ имеет следующие параметры:

- Множитель $A=2$ отвечает за вертикальное растяжение и не влияет на период.

- Сдвиг $b = -\frac{\pi}{3}$ отвечает за горизонтальное смещение и также не влияет на период.

- Коэффициент при $x$ равен $k=1$.

Подставим значение $k$ в формулу для периода:

$T = \frac{\pi}{|1|} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

2) Чтобы найти основной период функции $f(x) = -3\text{ctg}(0,5x)$, определим параметры преобразования базовой функции $y = \text{ctg}(x)$.

Основной период функции котангенса $y = \text{ctg}(x)$ равен $T_0 = \pi$.

Для функции вида $y = A \cdot \text{ctg}(kx + b)$, период вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.

В данном случае, функция $f(x) = -3\text{ctg}(0,5x)$ имеет следующие параметры:

- Множитель $A=-3$ отвечает за вертикальное растяжение и отражение относительно оси Ox, но не влияет на период.

- Коэффициент при $x$ равен $k=0,5$.

Подставим значение $k$ в формулу для периода:

$T = \frac{\pi}{|0,5|} = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.

3) Чтобы найти основной период функции $f(x) = \text{ctg}(\frac{\pi}{3} - x)$, определим параметры преобразования базовой функции $y = \text{ctg}(x)$.

Основной период функции котангенса $y = \text{ctg}(x)$ равен $T_0 = \pi$.

Для функции вида $y = A \cdot \text{ctg}(kx + b)$, период вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.

В данном случае, функция $f(x) = \text{ctg}(\frac{\pi}{3} - x)$ имеет следующие параметры:

- Сдвиг $b = \frac{\pi}{3}$ не влияет на период.

- Коэффициент при $x$ равен $k=-1$.

Подставим значение $k$ в формулу для периода:

$T = \frac{\pi}{|-1|} = \frac{\pi}{1} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

14.9.1) $f(x) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right);$

2) $f(x) = \cos\left(3x - \frac{3\pi}{4}\right);$

3) $f(x) = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{5}\right).$

1) Период функции вида $f(x) = A\sin(kx + b)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$, где $2\pi$ — это основной период функции синус. В данной функции $f(x) = \sin(2x - \frac{\pi}{4})$ коэффициент при переменной $x$ равен $k=2$. Подставляя это значение в формулу, получаем период: $T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$. Ответ: $\pi$.

2) Период функции вида $f(x) = A\cos(kx + b)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$, так как основной период функции косинус равен $2\pi$. Для функции $f(x) = \cos(3x - \frac{3\pi}{4})$ коэффициент при $x$ равен $k=3$. Следовательно, период этой функции составляет: $T = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$. Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

3) Период функции вида $f(x) = A\text{tg}(kx + b)$ вычисляется по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$, поскольку основной период функции тангенс равен $\pi$. В функции $f(x) = \text{tg}(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{5})$ коэффициент при $x$ равен $k=\frac{1}{2}$. Таким образом, период данной функции равен: $T = \frac{\pi}{|\frac{1}{2}|} = 2\pi$. Ответ: $2\pi$.

14.10.

1) $f(x) = 4\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{5}\right);$

2) $f(x) = -\cos\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right);$

3) $f(x) = 0.5\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2} - \frac{2\pi}{5}\right).$

1) Для нахождения основного периода функции $f(x) = 4\cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{5})$ необходимо проанализировать ее структуру. Функция является преобразованием стандартной функции косинуса $y = \cos(x)$.

Общий вид подобных функций: $y = A\cos(kx + \phi)$, где $A$ — амплитуда, $k$ — коэффициент, влияющий на период, а $\phi$ — фазовый сдвиг. Основной период функции $y = \cos(x)$ равен $T_0 = 2\pi$. Период преобразованной функции $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.

В нашем случае аргумент косинуса равен $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{5}$, что можно записать как $\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{5}$. Отсюда видно, что коэффициент $k = \frac{1}{2}$.

Подставим значение $k$ в формулу для периода:

$T = \frac{2\pi}{|\frac{1}{2}|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$.

Ответ: $4\pi$.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = -\cos(2x - \frac{2\pi}{3})$. Это также функция косинуса вида $y = A\cos(kx + \phi)$.

Основной период функции $y = \cos(x)$ равен $T_0 = 2\pi$. Период $T$ для данной функции вычисляется по той же формуле: $T = \frac{T_0}{|k|}$.

В выражении $2x - \frac{2\pi}{3}$ коэффициент при переменной $x$ равен $k=2$.

Вычислим период:

$T = \frac{2\pi}{|2|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

3) Проанализируем функцию $f(x) = 0,5\text{tg}(\frac{x}{2} - \frac{2\pi}{5})$. Эта функция является преобразованием стандартной функции тангенса $y = \text{tg}(x)$.

Общий вид подобных функций: $y = A\text{tg}(kx + \phi)$. Основной период функции $y = \text{tg}(x)$ равен $T_0 = \pi$. Период преобразованной функции $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.

В нашем случае аргумент тангенса равен $\frac{x}{2} - \frac{2\pi}{5}$, то есть $\frac{1}{2}x - \frac{2\pi}{5}$. Коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{2}$.

Подставим значение $k$ в формулу для периода:

$T = \frac{\pi}{|\frac{1}{2}|} = \frac{\pi}{\frac{1}{2}} = \pi \cdot 2 = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.

14.11. Найдите область значений функции:

1) $f(x) = \cos 3x \sin 3x;$

2) $f(x) = \cos^2 2x - \sin^2 2x;$

3) $f(x) = \frac{4}{1 + \mathrm{tg}^2 x};$

4) $f(x) = \cos^4 3x - \sin^4 3x;$

5) $f(x) = \frac{3}{1 + \mathrm{ctg}^2 x};$

6) $f(x) = 2 - \frac{1}{1 + \mathrm{tg}^2 x}.$

1) f(x) = cos3x sin3x

Для нахождения области значений функции $f(x) = \cos3x \sin3x$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Преобразуем исходную функцию:

$f(x) = \cos3x \sin3x = \frac{1}{2} (2 \sin3x \cos3x) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 3x) = \frac{1}{2}\sin(6x)$.

Область значений функции синус, $E(\sin t)$, это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, $-1 \le \sin(6x) \le 1$.

Умножим все части неравенства на $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2} \cdot (-1) \le \frac{1}{2}\sin(6x) \le \frac{1}{2} \cdot 1$

$-\frac{1}{2} \le f(x) \le \frac{1}{2}$

Таким образом, область значений функции $f(x)$ есть отрезок $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

Ответ: $E(f) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

2) f(x) = cos²2x - sin²2x

Для нахождения области значений функции $f(x) = \cos^22x - \sin^22x$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Применим эту формулу к нашей функции, где $\alpha = 2x$:

$f(x) = \cos(2 \cdot 2x) = \cos(4x)$.

Область значений функции косинус, $E(\cos t)$, это отрезок $[-1, 1]$.

Следовательно, область значений функции $f(x) = \cos(4x)$ также является отрезком $[-1, 1]$.

Ответ: $E(f) = [-1, 1]$.

3) f(x) = 4 / (1 + tg²x)

Для нахождения области значений функции $f(x) = \frac{4}{1 + \text{tg}^2x}$ воспользуемся тригонометрическим тождеством: $1 + \text{tg}^2x = \frac{1}{\cos^2x}$.

Преобразуем функцию:

$f(x) = \frac{4}{1 / \cos^2x} = 4\cos^2x$.

Область определения исходной функции содержит ограничение, связанное с тангенсом: $\cos x \neq 0$.

Мы знаем, что $0 \le \cos^2x \le 1$ для любых $x$, для которых $\cos x$ определен.

Из-за ограничения $\cos x \neq 0$, получаем, что $\cos^2x \neq 0$. Таким образом, $\cos^2x$ может принимать любые значения из полуинтервала $(0, 1]$.

Теперь найдем область значений для $f(x) = 4\cos^2x$:

Поскольку $0 < \cos^2x \le 1$, умножив неравенство на 4, получим:

$4 \cdot 0 < 4\cos^2x \le 4 \cdot 1$

$0 < f(x) \le 4$

Следовательно, область значений функции — это полуинтервал $(0, 4]$.

Ответ: $E(f) = (0, 4]$.

4) f(x) = cos⁴3x - sin⁴3x

Для нахождения области значений функции $f(x) = \cos^43x - \sin^43x$ разложим выражение на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$f(x) = (\cos^23x - \sin^23x)(\cos^23x + \sin^23x)$.

Применим два основных тригонометрических тождества:

1. Основное тригонометрическое тождество: $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.

2. Формула косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

В нашем случае $\alpha = 3x$. Тогда:

$\cos^23x + \sin^23x = 1$

$\cos^23x - \sin^23x = \cos(2 \cdot 3x) = \cos(6x)$

Подставляя эти выражения в формулу для $f(x)$, получаем:

$f(x) = \cos(6x) \cdot 1 = \cos(6x)$.

Область значений функции косинус, $E(\cos t)$, это отрезок $[-1, 1]$.

Следовательно, область значений функции $f(x) = \cos(6x)$ также является отрезком $[-1, 1]$.

Ответ: $E(f) = [-1, 1]$.

5) f(x) = 3 / (1 + ctg²x)

Для нахождения области значений функции $f(x) = \frac{3}{1 + \text{ctg}^2x}$ воспользуемся тригонометрическим тождеством: $1 + \text{ctg}^2x = \frac{1}{\sin^2x}$.

Преобразуем функцию:

$f(x) = \frac{3}{1 / \sin^2x} = 3\sin^2x$.

Область определения исходной функции содержит ограничение, связанное с котангенсом: $\sin x \neq 0$.

Мы знаем, что $0 \le \sin^2x \le 1$ для любых $x$, для которых $\sin x$ определен.

Из-за ограничения $\sin x \neq 0$, получаем, что $\sin^2x \neq 0$. Таким образом, $\sin^2x$ может принимать любые значения из полуинтервала $(0, 1]$.

Теперь найдем область значений для $f(x) = 3\sin^2x$:

Поскольку $0 < \sin^2x \le 1$, умножив неравенство на 3, получим:

$3 \cdot 0 < 3\sin^2x \le 3 \cdot 1$

$0 < f(x) \le 3$

Следовательно, область значений функции — это полуинтервал $(0, 3]$.

Ответ: $E(f) = (0, 3]$.

6) f(x) = 2 - 1 / (1 + tg²x)

Для нахождения области значений функции $f(x) = 2 - \frac{1}{1 + \text{tg}^2x}$ сначала упростим выражение в правой части. Как и в задании 3, используем тождество $1 + \text{tg}^2x = \frac{1}{\cos^2x}$.

Тогда $\frac{1}{1 + \text{tg}^2x} = \cos^2x$.

Подставим это в нашу функцию:

$f(x) = 2 - \cos^2x$.

Область определения исходной функции имеет ограничение $\cos x \neq 0$ из-за наличия тангенса. Следовательно, $\cos^2x \neq 0$.

Известно, что $0 \le \cos^2x \le 1$. Учитывая ограничение, получаем $0 < \cos^2x \le 1$.

Теперь найдем область значений для $f(x) = 2 - \cos^2x$.

Начнем с неравенства $0 < \cos^2x \le 1$.

Умножим неравенство на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:

$-1 \le -\cos^2x < 0$.

Прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$2 - 1 \le 2 - \cos^2x < 2 + 0$

$1 \le f(x) < 2$.

Следовательно, область значений функции — это полуинтервал $[1, 2)$.

Ответ: $E(f) = [1, 2)$.