Страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Установите зависимость между значениями выражений:

$\arcsin(-1)$ и $\arcsin(1)$; $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)$ и $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$; $\arcsin(-a)$ и $\arcsin a$ (рис. 15.4).

Установите зависимость между значениями выражений:

$\arccos(-1)$ и $\arccos(1)$; $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$ и $\arccos\left(\frac{1}{2}\right)$; $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ и $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$; $\arccos(-a)$ и $\arccos a$ (рис. 15.7).

Рис. 15.7

arcsin(-1) и arcsin1

По определению, арксинус числа $x$ ($arcsin(x)$) — это такое число $y$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$.

Найдем значение $arcsin(1)$. Нам нужно найти угол $y \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $sin(y) = 1$. Этим углом является $y = \frac{\pi}{2}$. Таким образом, $arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$.

Найдем значение $arcsin(-1)$. Нам нужно найти угол $y \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $sin(y) = -1$. Этим углом является $y = -\frac{\pi}{2}$. Таким образом, $arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$.

Сравнивая полученные значения, мы видим, что $arcsin(-1) = -arcsin(1)$.

Ответ: $arcsin(-1) = -arcsin(1)$.

arcsin(-1/2) и arcsin(1/2)

Найдем значение $arcsin(\frac{1}{2})$. Это угол $y \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $sin(y) = \frac{1}{2}$. Этим углом является $y = \frac{\pi}{6}$. Таким образом, $arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Найдем значение $arcsin(-\frac{1}{2})$. Это угол $y \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $sin(y) = -\frac{1}{2}$. Этим углом является $y = -\frac{\pi}{6}$. Таким образом, $arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

Сравнивая полученные значения, мы видим, что $arcsin(-\frac{1}{2}) = -arcsin(\frac{1}{2})$.

Ответ: $arcsin(-\frac{1}{2}) = -arcsin(\frac{1}{2})$.

arcsin(-√2/2) и arcsin(√2/2)

Найдем значение $arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$. Это угол $y \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $sin(y) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Этим углом является $y = \frac{\pi}{4}$. Таким образом, $arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Найдем значение $arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})$. Это угол $y \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $sin(y) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этим углом является $y = -\frac{\pi}{4}$. Таким образом, $arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.

Сравнивая полученные значения, мы видим, что $arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: $arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$.

arcsin(-a) и arcsina

Обобщим предыдущие результаты. Пусть $y = arcsin(a)$. По определению это означает, что $sin(y) = a$ и $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$.

Рассмотрим выражение $arcsin(-a)$. Нам нужно найти такое число $z$, что $sin(z) = -a$ и $-\frac{\pi}{2} \le z \le \frac{\pi}{2}$.

Из $sin(y) = a$ следует, что $-sin(y) = -a$. Так как функция синус нечетная, то есть $sin(-y) = -sin(y)$, мы можем записать $sin(-y) = -a$.

Проверим, принадлежит ли угол $-y$ отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Так как $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$, умножив неравенство на -1, получим $\frac{\pi}{2} \ge -y \ge -\frac{\pi}{2}$, что равносильно $-\frac{\pi}{2} \le -y \le \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, мы нашли угол $(-y)$, который лежит в нужном промежутке и синус которого равен $-a$. Следовательно, $arcsin(-a) = -y$. Заменив $y$ на $arcsin(a)$, получаем тождество: $arcsin(-a) = -arcsin(a)$. Это свойство нечетности функции арксинус.

Ответ: $arcsin(-a) = -arcsin(a)$.

arccos(-1) и arccos1

По определению, арккосинус числа $x$ ($arccos(x)$) — это такое число $y$ из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $x$.

Найдем значение $arccos(1)$. Нам нужно найти угол $y \in [0; \pi]$, для которого $cos(y) = 1$. Этим углом является $y = 0$. Таким образом, $arccos(1) = 0$.

Найдем значение $arccos(-1)$. Нам нужно найти угол $y \in [0; \pi]$, для которого $cos(y) = -1$. Этим углом является $y = \pi$. Таким образом, $arccos(-1) = \pi$.

Сравнивая полученные значения, мы видим, что $arccos(-1) = \pi$ и $arccos(1) = 0$. Зависимость можно выразить формулой $arccos(-1) = \pi - arccos(1)$, так как $\pi = \pi - 0$.

Ответ: $arccos(-1) = \pi - arccos(1)$.

arccos(-1/2) и arccos(1/2)

Найдем значение $arccos(\frac{1}{2})$. Это угол $y \in [0; \pi]$, для которого $cos(y) = \frac{1}{2}$. Этим углом является $y = \frac{\pi}{3}$. Таким образом, $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Найдем значение $arccos(-\frac{1}{2})$. Это угол $y \in [0; \pi]$, для которого $cos(y) = -\frac{1}{2}$. Этим углом является $y = \frac{2\pi}{3}$. Таким образом, $arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.

Сравнивая полученные значения, мы видим, что $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$. Следовательно, $arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2})$.

Ответ: $arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2})$.

arccos(-√2/2) и arccos(√2/2)

Найдем значение $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$. Это угол $y \in [0; \pi]$, для которого $cos(y) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Этим углом является $y = \frac{\pi}{4}$. Таким образом, $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Найдем значение $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$. Это угол $y \in [0; \pi]$, для которого $cos(y) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этим углом является $y = \frac{3\pi}{4}$. Таким образом, $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$.

Сравнивая полученные значения, мы видим, что $\frac{3\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4}$. Следовательно, $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$.

arccos(-a) и arccosa

Обобщим предыдущие результаты, как показано на рисунке 15.7. Пусть $y = arccos(a)$. По определению это означает, что $cos(y) = a$ и $0 \le y \le \pi$.

Рассмотрим выражение $arccos(-a)$. Нам нужно найти такое число $z$, что $cos(z) = -a$ и $0 \le z \le \pi$.

Из $cos(y) = a$ следует, что $-cos(y) = -a$. Используя формулу приведения $cos(\pi - y) = -cos(y)$, мы можем записать $cos(\pi - y) = -a$.

Проверим, принадлежит ли угол $\pi - y$ отрезку $[0; \pi]$. Так как $0 \le y \le \pi$, умножив на -1, получим $0 \ge -y \ge -\pi$. Прибавив $\pi$ ко всем частям неравенства, получим $\pi \ge \pi - y \ge 0$, что равносильно $0 \le \pi - y \le \pi$.

Таким образом, мы нашли угол $(\pi - y)$, который лежит в нужном промежутке и косинус которого равен $-a$. Следовательно, $arccos(-a) = \pi - y$. Заменив $y$ на $arccos(a)$, получаем тождество: $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$.

Ответ: $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$.

ОБЪЯСНИТЕ

Какие значения в выражении $ \arccos a $ может принимать число $ a $? Почему?

По определению, арккосинусом числа $a$ (обозначается $\arccos a$) называется такой угол $\alpha$, косинус которого равен $a$, причем этот угол должен принадлежать отрезку $[0; \pi]$.

Это можно записать так: $\arccos a = \alpha \iff \cos \alpha = a$ и $0 \le \alpha \le \pi$.

Из этого определения следует, что число $a$ является значением косинуса. Функция косинус, $y = \cos x$, имеет область значений от $-1$ до $1$ включительно. Это значит, что для любого угла $\alpha$ значение $\cos \alpha$ всегда находится в пределах отрезка $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \cos \alpha \le 1$.

Поскольку $a = \cos \alpha$, то и число $a$ обязано принадлежать этому же отрезку. Если бы $a$ было больше $1$ (например, $a=2$) или меньше $-1$ (например, $a=-1.5$), то не нашлось бы такого угла $\alpha$, для которого $\cos \alpha$ был бы равен $a$. Следовательно, выражение $\arccos a$ определено (имеет смысл) только при $a \in [-1; 1]$.

Ответ: Число $a$ в выражении $\arccos a$ может принимать любые значения из отрезка $[-1; 1]$, то есть $-1 \le a \le 1$. Это связано с тем, что арккосинус является обратной функцией к косинусу, а область значений функции косинус как раз и есть отрезок $[-1; 1]$.

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на множестве (51.16–51.18):

51.16. 1) $f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$, $[1; 9];$

2) $f(x) = \sqrt{x(7-x)}$, $[1; 3].$

1) Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции $f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ на отрезке $[1; 9]$, воспользуемся алгоритмом нахождения экстремумов функции на отрезке.

1. Найдем производную функции. Для удобства представим функцию в виде степеней: $f(x) = x^{1/2} + x^{-1/2}$.

$f'(x) = (x^{1/2} + x^{-1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} + (-\frac{1}{2})x^{-3/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2x\sqrt{x}}$.

Приведем производную к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{x-1}{2x\sqrt{x}}$.

2. Найдем критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$.

$\frac{x-1}{2x\sqrt{x}} = 0$.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен. Область определения функции $x > 0$.

$x - 1 = 0 \implies x = 1$.

Критическая точка $x=1$ принадлежит заданному отрезку $[1; 9]$.

3. Вычислим значения функции в найденной критической точке и на концах отрезка $[1; 9]$. То есть в точках $x=1$ и $x=9$.

При $x=1$:

$f(1) = \sqrt{1} + \frac{1}{\sqrt{1}} = 1 + 1 = 2$.

При $x=9$:

$f(9) = \sqrt{9} + \frac{1}{\sqrt{9}} = 3 + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.

4. Сравним полученные значения, чтобы найти наименьшее и наибольшее.

$2$ и $\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$.

Очевидно, что $2 < \frac{10}{3}$.

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке $[1; 9]$ равно 2, а наибольшее значение равно $\frac{10}{3}$.

Ответ: наименьшее значение 2, наибольшее значение $\frac{10}{3}$.

2) Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции $f(x) = \sqrt{x(7-x)}$ на отрезке $[1; 3]$.

Функция $y=\sqrt{u}$ является монотонно возрастающей для $u \ge 0$. Поэтому наименьшее и наибольшее значения функции $f(x)$ будут достигаться в тех же точках $x$, что и наименьшее и наибольшее значения подкоренного выражения $g(x) = x(7-x) = 7x - x^2$ на том же отрезке $[1; 3]$. Найдем экстремумы для $g(x)$.

1. Найдем производную функции $g(x)$.

$g'(x) = (7x - x^2)' = 7 - 2x$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $g'(x) = 0$.

$7 - 2x = 0 \implies 2x = 7 \implies x = 3.5$.

Полученная критическая точка $x=3.5$ не принадлежит заданному отрезку $[1; 3]$.

3. Поскольку на интервале $(1; 3)$ нет критических точек, а функция $g(x)$ непрерывна на отрезке $[1; 3]$, ее наименьшее и наибольшее значения достигаются на концах этого отрезка.

Проверим знак производной на отрезке $[1; 3]$. Например, при $x=2$, $g'(2) = 7 - 2(2) = 3 > 0$. Значит, функция $g(x)$ возрастает на всем отрезке $[1; 3]$.

Следовательно, наименьшее значение будет при $x=1$, а наибольшее при $x=3$.

4. Вычислим значения исходной функции $f(x)$ в этих точках.

Наименьшее значение:

$f_{min} = f(1) = \sqrt{1(7-1)} = \sqrt{1 \cdot 6} = \sqrt{6}$.

Наибольшее значение:

$f_{max} = f(3) = \sqrt{3(7-3)} = \sqrt{3 \cdot 4} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

Ответ: наименьшее значение $\sqrt{6}$, наибольшее значение $2\sqrt{3}$.

51.17.

1) $f(x) = 2 + \frac{6x}{x^2 + 4}$, $[0; 1];$

2) $f(x) = -1 - \frac{x-1}{x^2 + 2}$, $[0; 1].$

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 2 + \frac{6x}{x^2 + 4}$ на отрезке $[0; 1]$, необходимо исследовать ее поведение на этом отрезке. Для этого найдем производную функции.

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ для дроби $\frac{6x}{x^2+4}$:

$f'(x) = (2)' + (\frac{6x}{x^2+4})' = 0 + \frac{(6x)'(x^2+4) - 6x(x^2+4)'}{(x^2+4)^2} = \frac{6(x^2+4) - 6x(2x)}{(x^2+4)^2} = \frac{6x^2+24-12x^2}{(x^2+4)^2} = \frac{24-6x^2}{(x^2+4)^2}$.

Далее найдем критические точки функции, приравняв производную к нулю: $f'(x)=0$.

$\frac{24-6x^2}{(x^2+4)^2} = 0$

Это уравнение равносильно тому, что числитель равен нулю, так как знаменатель $(x^2+4)^2$ всегда положителен.

$24-6x^2 = 0$

$6x^2 = 24$

$x^2 = 4$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Проверим, принадлежат ли эти точки заданному отрезку $[0; 1]$. Очевидно, что ни $x=2$, ни $x=-2$ не входят в этот отрезок.

Поскольку на интервале $(0; 1)$ нет критических точек, наибольшее и наименьшее значения функция достигает на концах отрезка. Вычислим значения функции в точках $x=0$ и $x=1$.

При $x=0$:

$f(0) = 2 + \frac{6 \cdot 0}{0^2 + 4} = 2 + 0 = 2$.

При $x=1$:

$f(1) = 2 + \frac{6 \cdot 1}{1^2 + 4} = 2 + \frac{6}{5} = 2 + 1.2 = 3.2$.

Сравнивая полученные значения $f(0)=2$ и $f(1)=3.2$, заключаем, что наименьшее значение функции на отрезке $[0; 1]$ равно 2, а наибольшее — 3.2.

Ответ: наименьшее значение $f_{наим} = 2$, наибольшее значение $f_{наиб} = 3.2$.

2) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = -1 - \frac{x-1}{x^2 + 2}$ на отрезке $[0; 1]$, найдем ее производную.

$f'(x) = (-1)' - (\frac{x-1}{x^2+2})' = 0 - \frac{(x-1)'(x^2+2) - (x-1)(x^2+2)'}{(x^2+2)^2} = - \frac{1(x^2+2) - (x-1)(2x)}{(x^2+2)^2} = - \frac{x^2+2 - 2x^2+2x}{(x^2+2)^2} = - \frac{-x^2+2x+2}{(x^2+2)^2} = \frac{x^2-2x-2}{(x^2+2)^2}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x)=0$.

$\frac{x^2-2x-2}{(x^2+2)^2} = 0$

$x^2-2x-2 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-2) = 4 + 8 = 12$.

Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.

Получаем две критические точки: $x_1 = 1 + \sqrt{3}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{3}$.

Приблизительные значения корней: $x_1 \approx 1 + 1.732 = 2.732$ и $x_2 \approx 1 - 1.732 = -0.732$. Ни одна из этих точек не принадлежит заданному отрезку $[0; 1]$.

Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функция принимает на концах отрезка. Вычислим значения функции в точках $x=0$ и $x=1$.

При $x=0$:

$f(0) = -1 - \frac{0-1}{0^2 + 2} = -1 - \frac{-1}{2} = -1 + 0.5 = -0.5$.

При $x=1$:

$f(1) = -1 - \frac{1-1}{1^2 + 2} = -1 - \frac{0}{3} = -1$.

Сравнивая полученные значения $f(0)=-0.5$ и $f(1)=-1$, заключаем, что наименьшее значение функции на отрезке $[0; 1]$ равно -1, а наибольшее — -0.5.

Ответ: наименьшее значение $f_{наим} = -1$, наибольшее значение $f_{наиб} = -0.5$.

51.18.

1) $f(x) = |x^3 - 1| - 3x, [-1; 3];$

2) $f(x) = x^2 - 4x + 5 + |1 - x|, [0; 4].$

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = |x^3 - 1| - 3x$ на отрезке $[-1; 3]$ необходимо исследовать её поведение на этом отрезке.

Сначала раскроем модуль. Выражение под модулем $x^3 - 1$ равно нулю при $x=1$.

При $x \ge 1$, $x^3 - 1 \ge 0$, и функция принимает вид:

$f(x) = (x^3 - 1) - 3x = x^3 - 3x - 1$.

При $x < 1$, $x^3 - 1 < 0$, и функция принимает вид:

$f(x) = -(x^3 - 1) - 3x = -x^3 - 3x + 1$.

Таким образом, функцию можно представить в виде:$f(x) = \begin{cases} -x^3 - 3x + 1, & \text{если } -1 \le x < 1 \\ x^3 - 3x - 1, & \text{если } 1 \le x \le 3 \end{cases}$

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо на концах отрезка, либо в точках экстремума внутри отрезка. Точками, подозрительными на экстремум, являются критические точки (где производная равна нулю или не существует). Точка $x=1$ является "стыком" двух функций, поэтому в ней производная может не существовать, и её нужно проверить.

Найдем производные для каждого интервала:

Для интервала $(-1; 1)$:

$f'(x) = (-x^3 - 3x + 1)' = -3x^2 - 3 = -3(x^2 + 1)$.

Так как $x^2 + 1 > 0$ для всех $x$, то $f'(x) < 0$ на этом интервале. Следовательно, на отрезке $[-1; 1]$ функция монотонно убывает.

Для интервала $(1; 3)$:

$f'(x) = (x^3 - 3x - 1)' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$.

Приравняем производную к нулю: $3(x^2 - 1) = 0$, откуда $x = 1$ или $x = -1$. Ни одна из этих точек не входит в интервал $(1; 3)$. На этом интервале $x > 1$, поэтому $x^2 - 1 > 0$ и $f'(x) > 0$. Следовательно, на отрезке $[1; 3]$ функция монотонно возрастает.

Таким образом, функция убывает на $[-1; 1]$ и возрастает на $[1; 3]$. Точка $x=1$ является точкой минимума.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений на отрезке $[-1; 3]$ вычислим значения функции на концах отрезка и в точке $x=1$:

$f(-1) = |-1^3 - 1| - 3(-1) = |-2| + 3 = 2 + 3 = 5$.

$f(1) = |1^3 - 1| - 3(1) = |0| - 3 = -3$.

$f(3) = |3^3 - 1| - 3(3) = |26| - 9 = 26 - 9 = 17$.

Сравнивая полученные значения $5, -3, 17$, находим, что наименьшее значение функции равно $-3$, а наибольшее равно $17$.

Ответ: наименьшее значение функции $f(1) = -3$, наибольшее значение функции $f(3) = 17$.

2) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^2 - 4x + 5 + |1 - x|$ на отрезке $[0; 4]$ необходимо исследовать её поведение на этом отрезке.

Сначала раскроем модуль. Выражение под модулем $1 - x$ равно нулю при $x=1$.

При $x \le 1$, $1 - x \ge 0$, и функция принимает вид:

$f(x) = x^2 - 4x + 5 + (1 - x) = x^2 - 5x + 6$.

При $x > 1$, $1 - x < 0$, и функция принимает вид:

$f(x) = x^2 - 4x + 5 - (1 - x) = x^2 - 4x + 5 + x - 1 = x^2 - 3x + 4$.

Таким образом, функцию можно представить в виде:$f(x) = \begin{cases} x^2 - 5x + 6, & \text{если } 0 \le x \le 1 \\ x^2 - 3x + 4, & \text{если } 1 < x \le 4 \end{cases}$

Найдем критические точки функции. Точка $x=1$ является точкой, где может не существовать производная.

Найдем производные для каждого интервала:

Для интервала $(0; 1)$:

$f'(x) = (x^2 - 5x + 6)' = 2x - 5$.

Приравняем производную к нулю: $2x - 5 = 0$, откуда $x = 2.5$. Эта точка не принадлежит интервалу $(0; 1)$.

Для интервала $(1; 4)$:

$f'(x) = (x^2 - 3x + 4)' = 2x - 3$.

Приравняем производную к нулю: $2x - 3 = 0$, откуда $x = 1.5$. Эта точка принадлежит интервалу $(1; 4)$, поэтому она является критической.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений на отрезке $[0; 4]$ вычислим значения функции на концах отрезка ($x=0, x=4$) и в критических точках ($x=1, x=1.5$):

$f(0) = 0^2 - 4(0) + 5 + |1 - 0| = 5 + 1 = 6$.

$f(1) = 1^2 - 4(1) + 5 + |1 - 1| = 1 - 4 + 5 + 0 = 2$.

$f(1.5) = (1.5)^2 - 4(1.5) + 5 + |1 - 1.5| = 2.25 - 6 + 5 + |-0.5| = 1.25 + 0.5 = 1.75$.

$f(4) = 4^2 - 4(4) + 5 + |1 - 4| = 16 - 16 + 5 + |-3| = 5 + 3 = 8$.

Сравнивая полученные значения $6, 2, 1.75, 8$, находим, что наименьшее значение функции равно $1.75$, а наибольшее равно $8$.

Ответ: наименьшее значение функции $f(1.5) = 1.75$, наибольшее значение функции $f(4) = 8$.

51.19. Найдите производную функции:

1) $y = (3x - 10)^5 + 15x^2$;

2) $y = 2(5x^2 - 9x)^4 - 10x^6$.

1) Дана функция $y = (3x - 10)^5 + 15x^2$.

Чтобы найти производную этой функции, воспользуемся правилом дифференцирования суммы, согласно которому производная суммы функций равна сумме их производных: $y' = ((3x - 10)^5)' + (15x^2)'$.

Найдем производную первого слагаемого, $(3x - 10)^5$. Это сложная функция вида $u^n$, где $u = 3x - 10$ и $n = 5$. Ее производная находится по формуле $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

Найдем производную внутренней функции $u' = (3x - 10)' = (3x)' - (10)' = 3 - 0 = 3$.

Теперь можем найти производную первого слагаемого: $((3x - 10)^5)' = 5 \cdot (3x - 10)^{5-1} \cdot 3 = 15(3x - 10)^4$.

Далее найдем производную второго слагаемого, $15x^2$. Используем правило степени $(x^n)'=nx^{n-1}$: $(15x^2)' = 15 \cdot 2x^{2-1} = 30x$.

Сложим полученные производные, чтобы найти производную исходной функции:

$y' = 15(3x - 10)^4 + 30x$.

Ответ: $y' = 15(3x - 10)^4 + 30x$.

2) Дана функция $y = 2(5x^2 - 9x)^4 - 10x^6$.

Чтобы найти производную этой функции, воспользуемся правилом дифференцирования разности, согласно которому производная разности функций равна разности их производных: $y' = (2(5x^2 - 9x)^4)' - (10x^6)'$.

Найдем производную первого слагаемого, $2(5x^2 - 9x)^4$. Это сложная функция, умноженная на константу. Используем правило для сложной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$, где $u = 5x^2 - 9x$ и $n = 4$.

Найдем производную внутренней функции $u' = (5x^2 - 9x)' = (5x^2)' - (9x)' = 5 \cdot 2x - 9 = 10x - 9$.

Теперь можем найти производную первого слагаемого, не забывая про константу 2:

$(2(5x^2 - 9x)^4)' = 2 \cdot 4(5x^2 - 9x)^{4-1} \cdot (10x - 9) = 8(5x^2 - 9x)^3(10x - 9)$.

Далее найдем производную второго слагаемого, $10x^6$. Используем правило степени $(x^n)'=nx^{n-1}$: $(10x^6)' = 10 \cdot 6x^{6-1} = 60x^5$.

Вычтем из производной первого слагаемого производную второго, чтобы найти производную исходной функции:

$y' = 8(5x^2 - 9x)^3(10x - 9) - 60x^5$.

Ответ: $y' = 8(10x - 9)(5x^2 - 9x)^3 - 60x^5$.

51.20. Постройте график функции $y = f(x)$ и найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = -x^2 - 3x$;

2) $f(x) = x^3 + 3x$.

1) $f(x) = -x^2 - 3x$

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$, что является отрицательным числом, поэтому ветви параболы направлены вниз.

Для построения графика найдем ключевые точки.

Вершина параболы:

Координата $x$ вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{-3}{2(-1)} = -\frac{3}{2} = -1.5$

Координата $y$ вершины:

$y_v = f(-1.5) = -(-1.5)^2 - 3(-1.5) = -2.25 + 4.5 = 2.25$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1.5; 2.25)$.

Точки пересечения с осями координат:

С осью OY (при $x=0$): $f(0) = -0^2 - 3 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения — $(0; 0)$.

С осью OX (при $f(x)=0$): $-x^2 - 3x = 0 \implies -x(x+3)=0$. Отсюда $x_1=0$, $x_2=-3$. Точки пересечения — $(0; 0)$ и $(-3; 0)$.

График функции — это парабола с вершиной в точке $(-1.5; 2.25)$, проходящая через точки $(0; 0)$ и $(-3; 0)$, с ветвями, направленными вниз.

Промежутки возрастания и убывания можно определить по положению вершины или с помощью производной.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (-x^2 - 3x)' = -2x - 3$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критическую точку:

$-2x - 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x = -1.5$

На промежутке $(-\infty; -1.5)$ производная $f'(x) > 0$ (например, $f'(-2) = -2(-2)-3 = 1 > 0$), следовательно, функция возрастает.

На промежутке $(-1.5; +\infty)$ производная $f'(x) < 0$ (например, $f'(0) = -2(0)-3 = -3 < 0$), следовательно, функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; -1.5]$ и убывает на промежутке $[-1.5; +\infty)$.

2) $f(x) = x^3 + 3x$

Данная функция является кубической. Область её определения — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.

Для построения графика найдем точки пересечения с осями.

При $x=0$, $f(0) = 0^3 + 3 \cdot 0 = 0$. График проходит через начало координат, точку $(0; 0)$.

При $f(x)=0$, $x^3 + 3x = 0 \implies x(x^2+3)=0$. Уравнение $x^2+3=0$ не имеет действительных корней, так как $x^2$ не может быть равно $-3$. Следовательно, единственная точка пересечения с осями — это $(0; 0)$.

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, найдем производную функции:

$f'(x) = (x^3 + 3x)' = 3x^2 + 3$

Определим знак производной. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), поэтому $3x^2 \ge 0$. Таким образом, $f'(x) = 3x^2 + 3 \ge 3$ для любого действительного значения $x$.

Поскольку производная функции всегда положительна ($f'(x) > 0$), функция является строго возрастающей на всей своей области определения. Промежутков убывания у функции нет.

График функции проходит через начало координат $(0; 0)$ и монотонно возрастает на всей числовой прямой. Для более точного построения можно найти несколько точек: $f(1)=4$, $f(-1)=-4$.

Ответ: функция возрастает на всей области определения, то есть на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

51.21. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству:

1) $-10x + 40 > 0$;

2) $-x^2 + 8x > 0$;

3) $-x^2 + 5x + 2 > 0$.

1) Решим линейное неравенство $-10x + 40 > 0$.

Перенесем 40 в правую часть неравенства, изменив знак:

$-10x > -40$

Разделим обе части неравенства на -10. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-40}{-10}$

$x < 4$

Решением неравенства является интервал $(-\infty; 4)$. Нам нужно найти наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию. Целые числа, которые меньше 4, это ..., 1, 2, 3. Наибольшее из них - 3.

Ответ: 3

2) Решим квадратное неравенство $-x^2 + 8x > 0$.

Для начала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $-x^2 + 8x = 0$.

Вынесем общий множитель $-x$ за скобки:

$-x(x - 8) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$.

Графиком функции $y = -x^2 + 8x$ является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицательный). Следовательно, функция принимает положительные значения между корнями.

Таким образом, решение неравенства - это интервал $(0; 8)$.

Найдем наибольшее целое число из этого интервала. Целые числа в интервале $(0; 8)$ - это 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Наибольшее из них - 7.

Ответ: 7

3) Решим квадратное неравенство $-x^2 + 5x + 2 > 0$.

Найдем корни уравнения $-x^2 + 5x + 2 = 0$. Умножим уравнение на -1 для удобства:

$x^2 - 5x - 2 = 0$

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 25 + 8 = 33$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

$x_1 = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ и $x_2 = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$

Графиком функции $y = -x^2 + 5x + 2$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Значит, неравенство $-x^2 + 5x + 2 > 0$ выполняется на интервале между корнями: $(\frac{5 - \sqrt{33}}{2}; \frac{5 + \sqrt{33}}{2})$.

Оценим значения корней. Мы знаем, что $5^2=25$ и $6^2=36$, следовательно $5 < \sqrt{33} < 6$.

Для левой границы: $x_1 = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$. Так как $5 < \sqrt{33} < 6$, то $-1 < 5 - \sqrt{33} < 0$, и, соответственно, $-0.5 < \frac{5 - \sqrt{33}}{2} < 0$.

Для правой границы: $x_2 = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$. Так как $5 < \sqrt{33} < 6$, то $10 < 5 + \sqrt{33} < 11$, и, соответственно, $5 < \frac{5 + \sqrt{33}}{2} < 5.5$.

Таким образом, мы ищем наибольшее целое число в интервале, который примерно равен $(-0.5; 5.5)$. Целые числа, входящие в этот интервал: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Наибольшее из них - 5.

Ответ: 5

51.22. Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству:

1) $(x+2)^2(x-3)(x-5) < 0$;

2) $(x+4)(x-3)(x-6)^2 \le 0$;

3) $(x-2)^2(x-3)^3(x+5) \le 0$;

4) $(x-1)^3(x+2)(x-6)^2 \ge 0$.

1) $(x + 2)^2(x - 3)(x - 5) < 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов.Сначала найдем корни левой части неравенства: $(x + 2)^2(x - 3)(x - 5) = 0$.

Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 3$, $x_3 = 5$.

Множитель $(x + 2)^2$ всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю) при любом значении $x$.

Поскольку неравенство строгое ($< 0$), левая часть не может быть равна нулю. Следовательно, $x \ne -2$, $x \ne 3$, $x \ne 5$.

При $x \ne -2$, множитель $(x + 2)^2$ всегда строго положителен. Мы можем разделить обе части неравенства на $(x + 2)^2$, не меняя знака неравенства.

Получаем упрощенное неравенство:$(x - 3)(x - 5) < 0$.

Это квадратичное неравенство. Его решением является интервал между корнями $x=3$ и $x=5$.

Таким образом, $3 < x < 5$.

Нам нужно найти наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству. Единственное целое число в интервале $(3, 5)$ — это 4.

Ответ: 4

2) $(x + 4)(x - 3)(x - 6)^2 \le 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем корни левой части: $(x + 4)(x - 3)(x - 6)^2 = 0$.

Корни: $x_1 = -4$, $x_2 = 3$, $x_3 = 6$.

Множитель $(x - 6)^2$ всегда неотрицателен. Неравенство является нестрогим ($\le 0$), поэтому значения $x$, при которых выражение равно нулю, являются решениями.Выражение равно нулю при $x = -4$, $x = 3$ и $x = 6$.

Теперь рассмотрим случай, когда выражение строго меньше нуля: $(x + 4)(x - 3)(x - 6)^2 < 0$.

При $x \ne 6$ множитель $(x - 6)^2$ строго положителен, поэтому мы можем разделить на него неравенство, сохранив знак:

$(x + 4)(x - 3) < 0$.

Решением этого квадратичного неравенства является интервал между корнями $x=-4$ и $x=3$: $-4 < x < 3$.

Объединяем все решения: интервал $(-4, 3)$ и точки, где выражение равно нулю ($-4, 3, 6$).

Получаем множество решений: $x \in [-4, 3] \cup \{6\}$.

Целые числа, входящие в это множество: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 6.

Наименьшее из этих целых чисел — -4.

Ответ: -4

3) $(x - 2)^2(x - 3)^2(x + 5) \le 0$

Рассмотрим левую часть неравенства. Множители $(x - 2)^2$ и $(x - 3)^2$ всегда неотрицательны, так как являются квадратами выражений. Их произведение $(x - 2)^2(x - 3)^2$ также всегда неотрицательно.

Обозначим $A = (x - 2)^2(x - 3)^2$. Тогда неравенство примет вид $A \cdot (x + 5) \le 0$.

Поскольку $A \ge 0$, это неравенство может выполняться в двух случаях:

1. Произведение равно нулю. Это происходит, когда один из множителей равен нулю: $x - 2 = 0$, $x - 3 = 0$ или $x + 5 = 0$. Отсюда получаем решения: $x = 2$, $x = 3$, $x = -5$.

2. Произведение строго меньше нуля. Так как $A \ge 0$, это возможно только если $A > 0$ и $(x + 5) < 0$.

Условие $A > 0$ выполняется при $x \ne 2$ и $x \ne 3$.

Условие $x + 5 < 0$ означает $x < -5$.

Объединяя эти два условия ($x < -5$ и $x \ne 2, 3$), получаем интервал $(-\infty, -5)$.

Общее решение неравенства — это объединение всех найденных решений: $(-\infty, -5) \cup \{-5, 2, 3\}$, что можно записать как $x \in (-\infty, -5] \cup \{2, 3\}$.

Множество целых решений: $\{\dots, -7, -6, -5\} \cup \{2, 3\}$.

Это множество не ограничено снизу (уходит в минус бесконечность), поэтому наименьшего целого числа в нем не существует.

Ответ: Наименьшего целого решения не существует.

4) $(x - 1)^3(x + 2)(x - 6)^2 \ge 0$

Для решения используем метод интервалов. Найдем корни левой части и их кратность.

Корни: $x_1 = 1$ (кратность 3, нечетная), $x_2 = -2$ (кратность 1, нечетная), $x_3 = 6$ (кратность 2, четная).

Нанесем корни на числовую ось: -2, 1, 6.

Определим знак выражения в каждом из интервалов. При переходе через корень нечетной кратности знак меняется, а при переходе через корень четной кратности — не меняется.

- В интервале $(6, \infty)$, возьмем $x=7$: $(7-1)^3(7+2)(7-6)^2 = 6^3 \cdot 9 \cdot 1^2 > 0$. Знак "+".

- Переходим через корень $x=6$ (четная кратность). Знак не меняется. В интервале $(1, 6)$ знак "+".

- Переходим через корень $x=1$ (нечетная кратность). Знак меняется. В интервале $(-2, 1)$ знак "-".

- Переходим через корень $x=-2$ (нечетная кратность). Знак меняется. В интервале $(-\infty, -2)$ знак "+".

Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю ($\ge 0$).

Это выполняется, когда выражение положительно или равно нулю.

Выражение положительно на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(1, 6) \cup (6, \infty)$.

Выражение равно нулю в точках $x=-2$, $x=1$, $x=6$.

Объединяя все решения, получаем множество: $(-\infty, -2] \cup [1, \infty)$.

Множество целых решений: $\{\dots, -4, -3, -2\} \cup \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, \dots\}$.

Это множество целых чисел не ограничено снизу. Следовательно, наименьшего целого решения не существует.

Ответ: Наименьшего целого решения не существует.

51.23. Брошены две игральные кости. Найдите вероятность того, что значение произведения выпавших очков равно: 1) 4; 2) 5.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. При броске двух игральных костей существует $6 \times 6 = 36$ равновозможных исходов. Каждый исход представляет собой упорядоченную пару чисел $(x, y)$, где $x$ — число очков на первой кости, а $y$ — число очков на второй. Общее число исходов $N=36$.

Вероятность события $P$ вычисляется по формуле $P = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов.

1) Найдем вероятность того, что произведение выпавших очков равно 4. Перечислим все пары очков, произведение которых равно 4:

(1, 4) — на первой кости выпало 1, на второй 4. Произведение $1 \times 4 = 4$.

(2, 2) — на обеих костях выпало 2. Произведение $2 \times 2 = 4$.

(4, 1) — на первой кости выпало 4, на второй 1. Произведение $4 \times 1 = 4$.

Таким образом, существует 3 благоприятных исхода ($m=3$).

Вероятность этого события равна: $P = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}$

2) Найдем вероятность того, что произведение выпавших очков равно 5. Так как 5 — простое число, его можно получить произведением натуральных чисел только одним способом (с точностью до порядка множителей): $1 \times 5$.

Перечислим благоприятные исходы:

(1, 5) — на первой кости выпало 1, на второй 5. Произведение $1 \times 5 = 5$.

(5, 1) — на первой кости выпало 5, на второй 1. Произведение $5 \times 1 = 5$.

Таким образом, существует 2 благоприятных исхода ($m=2$).

Вероятность этого события равна: $P = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.

Ответ: $\frac{1}{18}$

1. Функция $f(x) = x^3 + 3x^2 + 6ax + 5$ возрастает при любых $x$, если параметр $a$ принадлежит множеству:

A) $R$;

B) $(-\infty, -1]$ и $[0.5, +\infty)$;

C) $[0.5, +\infty)$;

D) $[-0.5, 1]$.

1. Для того чтобы функция $f(x)$ возрастала при любых значениях $x$, необходимо и достаточно, чтобы ее производная $f'(x)$ была неотрицательной для всех $x$, то есть $f'(x) \ge 0$.

Найдем производную данной функции $f(x) = x^3 + 3x^2 + 6ax + 5$.

$f'(x) = (x^3)' + (3x^2)' + (6ax)' + (5)' = 3x^2 + 6x + 6a$.

Теперь решим неравенство $f'(x) \ge 0$ для всех $x$:

$3x^2 + 6x + 6a \ge 0$.

Это квадратичная функция относительно $x$, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 3, что больше нуля). Чтобы эта парабола была полностью расположена не ниже оси абсцисс, необходимо, чтобы она имела не более одного корня. Это условие выполняется, если дискриминант $D$ соответствующего квадратного уравнения $3x^2 + 6x + 6a = 0$ меньше или равен нулю ($D \le 0$).

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot (6a) = 36 - 72a$.

Решим неравенство $D \le 0$:

$36 - 72a \le 0$

$36 \le 72a$

$a \ge \frac{36}{72}$

$a \ge \frac{1}{2}$

$a \ge 0,5$.

Следовательно, параметр $a$ должен принадлежать множеству $[0,5; +\infty)$. Это соответствует варианту ответа C.

Ответ: C) $[0,5; +\infty)$.

2. Длина промежутка убывания функции $y = 12 + x^5 - 5x^4 + 5x^3$ равна:

A) 1;

B) 2;

C) 3;

D) 3,5.

Для нахождения промежутка убывания функции необходимо найти ее производную и определить, на каком интервале производная неположительна (то есть $y' \le 0$).

1. Находим производную функции.

Исходная функция: $y = 12 + x^5 - 5x^4 + 5x^3$.

Производная функции $y$ по переменной $x$ равна:

$y' = (12 + x^5 - 5x^4 + 5x^3)' = 0 + 5x^{4} - 5 \cdot 4x^{3} + 5 \cdot 3x^{2} = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2$.

2. Определяем интервалы, где производная неположительна.

Решим неравенство $y' \le 0$:

$5x^4 - 20x^3 + 15x^2 \le 0$.

Вынесем общий множитель $5x^2$ за скобки:

$5x^2(x^2 - 4x + 3) \le 0$.

Найдем корни уравнения $5x^2(x^2 - 4x + 3) = 0$.

Первый корень получаем из $5x^2 = 0$, откуда $x_1 = 0$ (корень кратности 2).

Другие корни найдем из квадратного уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Следовательно, $x_2 = 1$ и $x_3 = 3$.

3. Анализируем знак производной методом интервалов.

Отметим корни $0, 1, 3$ на числовой оси и определим знак $y'$ в каждом из полученных интервалов.

- Интервал $(-\infty, 0)$: $y'(-1) = 5(-1)^2((-1)^2 - 4(-1) + 3) = 5(1)(1+4+3) = 40 > 0$ (функция возрастает).

- Интервал $(0, 1)$: $y'(0.5) = 5(0.5)^2((0.5)^2 - 4(0.5) + 3) = 1.25(0.25 - 2 + 3) = 1.25 \cdot 1.25 > 0$ (функция возрастает).

- Интервал $(1, 3)$: $y'(2) = 5(2)^2(2^2 - 4(2) + 3) = 20(4 - 8 + 3) = 20 \cdot (-1) = -20 < 0$ (функция убывает).

- Интервал $(3, \infty)$: $y'(4) = 5(4)^2(4^2 - 4(4) + 3) = 80(16 - 16 + 3) = 240 > 0$ (функция возрастает).

Производная $y'$ неположительна ($y' \le 0$) на отрезке $[1, 3]$. Точка $x=0$ является стационарной, но не является точкой экстремума, и функция в ее окрестности возрастает. Таким образом, единственный промежуток убывания функции — это $[1, 3]$.

4. Находим длину промежутка убывания.

Длина отрезка $[1, 3]$ вычисляется как разность его конечной и начальной точек:

Длина = $3 - 1 = 2$.

Ответ: 2.

3. Наименьшее значение функции $y = 2x + \frac{1}{x^3}$ на множестве $[0,5; 1]$ равно:

A) 1;

B) 3;

C) 6,5;

D) 9,5.

Для нахождения наименьшего значения функции $y = 2x + \frac{1}{x^3}$ на отрезке $[0,5; 1]$, необходимо найти ее производную, определить точки экстремума и сравнить значения функции в этих точках (если они принадлежат отрезку) и на концах отрезка.

1. Нахождение производной функции

Для удобства дифференцирования представим функцию в виде $y = 2x + x^{-3}$.

Найдем производную $y'(x)$ по правилам дифференцирования суммы и степенной функции:

$y'(x) = (2x + x^{-3})' = (2x)' + (x^{-3})' = 2 - 3x^{-4} = 2 - \frac{3}{x^4}$.

2. Нахождение критических точек

Критические точки — это внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует. В данном случае функция определена и дифференцируема на всем отрезке $[0,5; 1]$. Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$y'(x) = 0$

$2 - \frac{3}{x^4} = 0$

$2 = \frac{3}{x^4}$

$2x^4 = 3$

$x^4 = \frac{3}{2} = 1,5$

$x = \sqrt[4]{1,5}$.

3. Анализ поведения функции на отрезке

Проверим, принадлежит ли найденная критическая точка $x = \sqrt[4]{1,5}$ заданному отрезку $[0,5; 1]$.

Поскольку $1^4 = 1$ и $1,5 > 1$, то $x = \sqrt[4]{1,5} > \sqrt[4]{1} = 1$.

Следовательно, критическая точка не принадлежит отрезку $[0,5; 1]$.

Это означает, что на данном отрезке нет точек экстремума, и функция является монотонной. Для определения характера монотонности исследуем знак производной $y'(x) = 2 - \frac{3}{x^4}$ на отрезке $[0,5; 1]$.

Для любой точки $x$ из отрезка $[0,5; 1]$ выполняется неравенство $x \le 1$, а значит $x^4 \le 1$.

Тогда обратная величина $\frac{1}{x^4} \ge 1$, и $\frac{3}{x^4} \ge 3$.

Следовательно, значение производной $y'(x) = 2 - \frac{3}{x^4} \le 2 - 3 = -1$.

Так как производная $y'(x) < 0$ на всем отрезке $[0,5; 1]$, функция строго убывает на этом отрезке.

4. Вычисление наименьшего значения

Для убывающей на отрезке функции ее наименьшее значение достигается в правом конце отрезка, а наибольшее — в левом.

Найдем значение функции в правом конце отрезка, в точке $x = 1$:

$y_{min} = y(1) = 2 \cdot 1 + \frac{1}{1^3} = 2 + 1 = 3$.

Для проверки найдем значение в левом конце $x=0,5$:

$y(0,5) = 2 \cdot 0,5 + \frac{1}{(0,5)^3} = 1 + \frac{1}{0,125} = 1 + 8 = 9$.

Сравнивая значения $y(1)=3$ и $y(0,5)=9$, убеждаемся, что наименьшее значение функции на отрезке равно 3. Это соответствует варианту B).

Ответ: 3.

4. Количество точек экстремума функции $y=(x-2)^2(x-4)^2$ равно:

A) 1; B) 2; C) 3; D) 4.

Для нахождения количества точек экстремума функции необходимо найти ее производную, приравнять ее к нулю и определить, в каких из полученных критических точек производная меняет свой знак.

Дана функция $y = (x-2)^2 (x-4)^2$.

Найдем производную функции, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u = (x-2)^2$ и $v = (x-4)^2$. Тогда их производные равны $u' = 2(x-2) \cdot (x-2)' = 2(x-2)$ и $v' = 2(x-4) \cdot (x-4)' = 2(x-4)$.

$y' = ( (x-2)^2 )' (x-4)^2 + (x-2)^2 ( (x-4)^2 )'$

$y' = 2(x-2)(x-4)^2 + (x-2)^2 \cdot 2(x-4)$

Вынесем за скобки общий множитель $2(x-2)(x-4)$:

$y' = 2(x-2)(x-4) [ (x-4) + (x-2) ]$

$y' = 2(x-2)(x-4) (2x - 6)$

$y' = 2(x-2)(x-4) \cdot 2(x-3)$

$y' = 4(x-2)(x-3)(x-4)$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$4(x-2)(x-3)(x-4) = 0$

Критические точки функции: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$, $x_3 = 4$.

Теперь исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось, чтобы определить, являются ли они точками экстремума.

- На интервале $(-\infty, 2)$, $y'$ имеет знаки множителей $4 \cdot (-) \cdot (-) \cdot (-) = -$. Функция убывает.

- На интервале $(2, 3)$, $y'$ имеет знаки множителей $4 \cdot (+) \cdot (-) \cdot (-) = +$. Функция возрастает.

- На интервале $(3, 4)$, $y'$ имеет знаки множителей $4 \cdot (+) \cdot (+) \cdot (-) = -$. Функция убывает.

- На интервале $(4, +\infty)$, $y'$ имеет знаки множителей $4 \cdot (+) \cdot (+) \cdot (+) = +$. Функция возрастает.

Поскольку производная меняет знак при переходе через каждую из трех критических точек, все они являются точками экстремума:

- В точке $x=2$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка локального минимума.

- В точке $x=3$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка локального максимума.

- В точке $x=4$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка локального минимума.

Таким образом, функция имеет 3 точки экстремума. Это соответствует варианту ответа C).

Ответ: C) 3.

5. Уравнение касательной к графику функции $y = x - \frac{2}{x}$, параллельной прямой $y = 3x + 1$, имеет вид:

A) $y = 3x + 2$ или $y = 3x + 4$;

B) $y = 3 - 3x$;

C) $y = 3x - 4$;

D) $y = 3 - 3x, y = 4 - 3x$.

Для нахождения уравнения касательной, параллельной заданной прямой, необходимо выполнить несколько шагов. Условие параллельности прямых означает, что их угловые коэффициенты равны.

1. Нахождение углового коэффициента касательной.

Заданная прямая имеет уравнение $y = 3x + 1$. Это уравнение вида $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент. Следовательно, угловой коэффициент этой прямой равен $3$. Так как искомая касательная параллельна этой прямой, ее угловой коэффициент $k$ также равен $3$.

2. Нахождение точек касания.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y(x)$ в точке $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $k = y'(x_0)$.

Найдем производную функции $y = x - \frac{2}{x}$. Для удобства перепишем функцию в виде $y = x - 2x^{-1}$.

Производная будет равна:

$y'(x) = (x - 2x^{-1})' = (x)' - (2x^{-1})' = 1 - 2 \cdot (-1)x^{-2} = 1 + 2x^{-2} = 1 + \frac{2}{x^2}$.

Теперь приравняем производную к найденному угловому коэффициенту $k=3$, чтобы найти абсциссы точек касания $x_0$:

$y'(x_0) = 3$

$1 + \frac{2}{x_0^2} = 3$

$\frac{2}{x_0^2} = 3 - 1$

$\frac{2}{x_0^2} = 2$

$x_0^2 = 1$

Отсюда получаем два возможных значения для абсциссы точки касания: $x_0 = 1$ и $x_0 = -1$. Это означает, что существует две касательные к графику функции, параллельные прямой $y = 3x + 1$.

3. Нахождение ординат точек касания.

Найдем соответствующие значения $y_0$ для каждой точки касания, подставив $x_0$ в исходную функцию $y = x - \frac{2}{x}$.

При $x_0 = 1$: $y_0 = 1 - \frac{2}{1} = 1 - 2 = -1$. Первая точка касания: $(1, -1)$.

При $x_0 = -1$: $y_0 = -1 - \frac{2}{-1} = -1 + 2 = 1$. Вторая точка касания: $(-1, 1)$.

4. Составление уравнений касательных.

Используем общую формулу уравнения прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0)$ с угловым коэффициентом $k$: $y - y_0 = k(x - x_0)$.

Для первой точки $(1, -1)$ и $k = 3$:

$y - (-1) = 3(x - 1)$

$y + 1 = 3x - 3$

$y = 3x - 4$

Для второй точки $(-1, 1)$ и $k = 3$:

$y - 1 = 3(x - (-1))$

$y - 1 = 3(x + 1)$

$y - 1 = 3x + 3$

$y = 3x + 4$

Таким образом, мы получили два уравнения касательных: $y = 3x - 4$ и $y = 3x + 4$. Сравнивая полученные уравнения с предложенными вариантами, мы видим, что вариант C) $y = 3x - 4$ является одним из правильных уравнений. Вариант A) содержит второе правильное уравнение $y = 3x + 4$, но в паре с неверным. В таких случаях выбирается вариант, который является полностью правильным, пусть и неполным.

Ответ: C) $y = 3x - 4$