Номер 5, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5. Уравнение касательной к графику функции $y = x - \frac{2}{x}$, параллельной прямой $y = 3x + 1$, имеет вид:

A) $y = 3x + 2$ или $y = 3x + 4$;

B) $y = 3 - 3x$;

C) $y = 3x - 4$;

D) $y = 3 - 3x, y = 4 - 3x$.

Для нахождения уравнения касательной, параллельной заданной прямой, необходимо выполнить несколько шагов. Условие параллельности прямых означает, что их угловые коэффициенты равны.

1. Нахождение углового коэффициента касательной.

Заданная прямая имеет уравнение $y = 3x + 1$. Это уравнение вида $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент. Следовательно, угловой коэффициент этой прямой равен $3$. Так как искомая касательная параллельна этой прямой, ее угловой коэффициент $k$ также равен $3$.

2. Нахождение точек касания.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y(x)$ в точке $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $k = y'(x_0)$.

Найдем производную функции $y = x - \frac{2}{x}$. Для удобства перепишем функцию в виде $y = x - 2x^{-1}$.

Производная будет равна:

$y'(x) = (x - 2x^{-1})' = (x)' - (2x^{-1})' = 1 - 2 \cdot (-1)x^{-2} = 1 + 2x^{-2} = 1 + \frac{2}{x^2}$.

Теперь приравняем производную к найденному угловому коэффициенту $k=3$, чтобы найти абсциссы точек касания $x_0$:

$y'(x_0) = 3$

$1 + \frac{2}{x_0^2} = 3$

$\frac{2}{x_0^2} = 3 - 1$

$\frac{2}{x_0^2} = 2$

$x_0^2 = 1$

Отсюда получаем два возможных значения для абсциссы точки касания: $x_0 = 1$ и $x_0 = -1$. Это означает, что существует две касательные к графику функции, параллельные прямой $y = 3x + 1$.

3. Нахождение ординат точек касания.

Найдем соответствующие значения $y_0$ для каждой точки касания, подставив $x_0$ в исходную функцию $y = x - \frac{2}{x}$.

При $x_0 = 1$: $y_0 = 1 - \frac{2}{1} = 1 - 2 = -1$. Первая точка касания: $(1, -1)$.

При $x_0 = -1$: $y_0 = -1 - \frac{2}{-1} = -1 + 2 = 1$. Вторая точка касания: $(-1, 1)$.

4. Составление уравнений касательных.

Используем общую формулу уравнения прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0)$ с угловым коэффициентом $k$: $y - y_0 = k(x - x_0)$.

Для первой точки $(1, -1)$ и $k = 3$:

$y - (-1) = 3(x - 1)$

$y + 1 = 3x - 3$

$y = 3x - 4$

Для второй точки $(-1, 1)$ и $k = 3$:

$y - 1 = 3(x - (-1))$

$y - 1 = 3(x + 1)$

$y - 1 = 3x + 3$

$y = 3x + 4$

Таким образом, мы получили два уравнения касательных: $y = 3x - 4$ и $y = 3x + 4$. Сравнивая полученные уравнения с предложенными вариантами, мы видим, что вариант C) $y = 3x - 4$ является одним из правильных уравнений. Вариант A) содержит второе правильное уравнение $y = 3x + 4$, но в паре с неверным. В таких случаях выбирается вариант, который является полностью правильным, пусть и неполным.

Ответ: C) $y = 3x - 4$