Номер 9, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9. Функция $y = \frac{4}{x} + \frac{x}{4}$ возрастает на промежутке:

A) $\emptyset$;

B) $(-\infty, -4]$ и $[4; \infty)$;

C) $(-\infty, 0)$;

D) $(4; +\infty)$.

Для того чтобы найти промежутки возрастания функции $y = \frac{4}{x} + \frac{x}{4}$, необходимо найти ее производную и определить интервалы, на которых эта производная положительна.

1. Найдем область определения функции. Функция содержит член $\frac{4}{x}$, поэтому знаменатель не может быть равен нулю: $x \neq 0$. Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции $y$ по переменной $x$. Для удобства представим функцию в виде $y = 4x^{-1} + \frac{1}{4}x$.

$y' = \left(4x^{-1} + \frac{1}{4}x\right)' = 4 \cdot (-1)x^{-2} + \frac{1}{4} = -\frac{4}{x^2} + \frac{1}{4}$.

3. Функция возрастает на тех промежутках, где ее производная положительна, то есть $y' > 0$. Решим соответствующее неравенство:

$-\frac{4}{x^2} + \frac{1}{4} > 0$

$\frac{1}{4} > \frac{4}{x^2}$

Приведем неравенство к общему знаменателю:

$\frac{x^2}{4x^2} - \frac{16}{4x^2} > 0$

$\frac{x^2 - 16}{4x^2} > 0$

Поскольку знаменатель $4x^2$ всегда положителен для любого $x$ из области определения ($x \neq 0$), знак дроби зависит только от знака числителя:

$x^2 - 16 > 0$

Разложим левую часть на множители:

$(x - 4)(x + 4) > 0$

Решая это неравенство методом интервалов, находим, что оно выполняется при $x < -4$ или $x > 4$.

Таким образом, производная положительна на интервалах $(-\infty; -4)$ и $(4; +\infty)$.

4. Согласно определению, если функция непрерывна на концах промежутка, то эти точки можно включить в промежуток возрастания. Функция $y = \frac{4}{x} + \frac{x}{4}$ непрерывна в точках $x=-4$ и $x=4$ (в этих точках производная равна нулю). Следовательно, промежутками возрастания функции являются $(-\infty; -4]$ и $[4; +\infty)$.

Среди предложенных вариантов ответа этому соответствует вариант B).

Ответ: B)