Номер 4, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4. Количество точек экстремума функции $y=(x-2)^2(x-4)^2$ равно:

A) 1; B) 2; C) 3; D) 4.

Для нахождения количества точек экстремума функции необходимо найти ее производную, приравнять ее к нулю и определить, в каких из полученных критических точек производная меняет свой знак.

Дана функция $y = (x-2)^2 (x-4)^2$.

Найдем производную функции, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u = (x-2)^2$ и $v = (x-4)^2$. Тогда их производные равны $u' = 2(x-2) \cdot (x-2)' = 2(x-2)$ и $v' = 2(x-4) \cdot (x-4)' = 2(x-4)$.

$y' = ( (x-2)^2 )' (x-4)^2 + (x-2)^2 ( (x-4)^2 )'$

$y' = 2(x-2)(x-4)^2 + (x-2)^2 \cdot 2(x-4)$

Вынесем за скобки общий множитель $2(x-2)(x-4)$:

$y' = 2(x-2)(x-4) [ (x-4) + (x-2) ]$

$y' = 2(x-2)(x-4) (2x - 6)$

$y' = 2(x-2)(x-4) \cdot 2(x-3)$

$y' = 4(x-2)(x-3)(x-4)$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$4(x-2)(x-3)(x-4) = 0$

Критические точки функции: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$, $x_3 = 4$.

Теперь исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось, чтобы определить, являются ли они точками экстремума.

- На интервале $(-\infty, 2)$, $y'$ имеет знаки множителей $4 \cdot (-) \cdot (-) \cdot (-) = -$. Функция убывает.

- На интервале $(2, 3)$, $y'$ имеет знаки множителей $4 \cdot (+) \cdot (-) \cdot (-) = +$. Функция возрастает.

- На интервале $(3, 4)$, $y'$ имеет знаки множителей $4 \cdot (+) \cdot (+) \cdot (-) = -$. Функция убывает.

- На интервале $(4, +\infty)$, $y'$ имеет знаки множителей $4 \cdot (+) \cdot (+) \cdot (+) = +$. Функция возрастает.

Поскольку производная меняет знак при переходе через каждую из трех критических точек, все они являются точками экстремума:

- В точке $x=2$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка локального минимума.

- В точке $x=3$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка локального максимума.

- В точке $x=4$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка локального минимума.

Таким образом, функция имеет 3 точки экстремума. Это соответствует варианту ответа C).

Ответ: C) 3.