Номер 51.22, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

51.22. Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству:

1) $(x+2)^2(x-3)(x-5) < 0$;

2) $(x+4)(x-3)(x-6)^2 \le 0$;

3) $(x-2)^2(x-3)^3(x+5) \le 0$;

4) $(x-1)^3(x+2)(x-6)^2 \ge 0$.

1) $(x + 2)^2(x - 3)(x - 5) < 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов.Сначала найдем корни левой части неравенства: $(x + 2)^2(x - 3)(x - 5) = 0$.

Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 3$, $x_3 = 5$.

Множитель $(x + 2)^2$ всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю) при любом значении $x$.

Поскольку неравенство строгое ($< 0$), левая часть не может быть равна нулю. Следовательно, $x \ne -2$, $x \ne 3$, $x \ne 5$.

При $x \ne -2$, множитель $(x + 2)^2$ всегда строго положителен. Мы можем разделить обе части неравенства на $(x + 2)^2$, не меняя знака неравенства.

Получаем упрощенное неравенство:$(x - 3)(x - 5) < 0$.

Это квадратичное неравенство. Его решением является интервал между корнями $x=3$ и $x=5$.

Таким образом, $3 < x < 5$.

Нам нужно найти наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству. Единственное целое число в интервале $(3, 5)$ — это 4.

Ответ: 4

2) $(x + 4)(x - 3)(x - 6)^2 \le 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем корни левой части: $(x + 4)(x - 3)(x - 6)^2 = 0$.

Корни: $x_1 = -4$, $x_2 = 3$, $x_3 = 6$.

Множитель $(x - 6)^2$ всегда неотрицателен. Неравенство является нестрогим ($\le 0$), поэтому значения $x$, при которых выражение равно нулю, являются решениями.Выражение равно нулю при $x = -4$, $x = 3$ и $x = 6$.

Теперь рассмотрим случай, когда выражение строго меньше нуля: $(x + 4)(x - 3)(x - 6)^2 < 0$.

При $x \ne 6$ множитель $(x - 6)^2$ строго положителен, поэтому мы можем разделить на него неравенство, сохранив знак:

$(x + 4)(x - 3) < 0$.

Решением этого квадратичного неравенства является интервал между корнями $x=-4$ и $x=3$: $-4 < x < 3$.

Объединяем все решения: интервал $(-4, 3)$ и точки, где выражение равно нулю ($-4, 3, 6$).

Получаем множество решений: $x \in [-4, 3] \cup \{6\}$.

Целые числа, входящие в это множество: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 6.

Наименьшее из этих целых чисел — -4.

Ответ: -4

3) $(x - 2)^2(x - 3)^2(x + 5) \le 0$

Рассмотрим левую часть неравенства. Множители $(x - 2)^2$ и $(x - 3)^2$ всегда неотрицательны, так как являются квадратами выражений. Их произведение $(x - 2)^2(x - 3)^2$ также всегда неотрицательно.

Обозначим $A = (x - 2)^2(x - 3)^2$. Тогда неравенство примет вид $A \cdot (x + 5) \le 0$.

Поскольку $A \ge 0$, это неравенство может выполняться в двух случаях:

1. Произведение равно нулю. Это происходит, когда один из множителей равен нулю: $x - 2 = 0$, $x - 3 = 0$ или $x + 5 = 0$. Отсюда получаем решения: $x = 2$, $x = 3$, $x = -5$.

2. Произведение строго меньше нуля. Так как $A \ge 0$, это возможно только если $A > 0$ и $(x + 5) < 0$.

Условие $A > 0$ выполняется при $x \ne 2$ и $x \ne 3$.

Условие $x + 5 < 0$ означает $x < -5$.

Объединяя эти два условия ($x < -5$ и $x \ne 2, 3$), получаем интервал $(-\infty, -5)$.

Общее решение неравенства — это объединение всех найденных решений: $(-\infty, -5) \cup \{-5, 2, 3\}$, что можно записать как $x \in (-\infty, -5] \cup \{2, 3\}$.

Множество целых решений: $\{\dots, -7, -6, -5\} \cup \{2, 3\}$.

Это множество не ограничено снизу (уходит в минус бесконечность), поэтому наименьшего целого числа в нем не существует.

Ответ: Наименьшего целого решения не существует.

4) $(x - 1)^3(x + 2)(x - 6)^2 \ge 0$

Для решения используем метод интервалов. Найдем корни левой части и их кратность.

Корни: $x_1 = 1$ (кратность 3, нечетная), $x_2 = -2$ (кратность 1, нечетная), $x_3 = 6$ (кратность 2, четная).

Нанесем корни на числовую ось: -2, 1, 6.

Определим знак выражения в каждом из интервалов. При переходе через корень нечетной кратности знак меняется, а при переходе через корень четной кратности — не меняется.

- В интервале $(6, \infty)$, возьмем $x=7$: $(7-1)^3(7+2)(7-6)^2 = 6^3 \cdot 9 \cdot 1^2 > 0$. Знак "+".

- Переходим через корень $x=6$ (четная кратность). Знак не меняется. В интервале $(1, 6)$ знак "+".

- Переходим через корень $x=1$ (нечетная кратность). Знак меняется. В интервале $(-2, 1)$ знак "-".

- Переходим через корень $x=-2$ (нечетная кратность). Знак меняется. В интервале $(-\infty, -2)$ знак "+".

Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю ($\ge 0$).

Это выполняется, когда выражение положительно или равно нулю.

Выражение положительно на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(1, 6) \cup (6, \infty)$.

Выражение равно нулю в точках $x=-2$, $x=1$, $x=6$.

Объединяя все решения, получаем множество: $(-\infty, -2] \cup [1, \infty)$.

Множество целых решений: $\{\dots, -4, -3, -2\} \cup \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, \dots\}$.

Это множество целых чисел не ограничено снизу. Следовательно, наименьшего целого решения не существует.

Ответ: Наименьшего целого решения не существует.