Номер 51.18, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

51.18.

1) $f(x) = |x^3 - 1| - 3x, [-1; 3];$

2) $f(x) = x^2 - 4x + 5 + |1 - x|, [0; 4].$

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = |x^3 - 1| - 3x$ на отрезке $[-1; 3]$ необходимо исследовать её поведение на этом отрезке.

Сначала раскроем модуль. Выражение под модулем $x^3 - 1$ равно нулю при $x=1$.

При $x \ge 1$, $x^3 - 1 \ge 0$, и функция принимает вид:

$f(x) = (x^3 - 1) - 3x = x^3 - 3x - 1$.

При $x < 1$, $x^3 - 1 < 0$, и функция принимает вид:

$f(x) = -(x^3 - 1) - 3x = -x^3 - 3x + 1$.

Таким образом, функцию можно представить в виде:$f(x) = \begin{cases} -x^3 - 3x + 1, & \text{если } -1 \le x < 1 \\ x^3 - 3x - 1, & \text{если } 1 \le x \le 3 \end{cases}$

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо на концах отрезка, либо в точках экстремума внутри отрезка. Точками, подозрительными на экстремум, являются критические точки (где производная равна нулю или не существует). Точка $x=1$ является "стыком" двух функций, поэтому в ней производная может не существовать, и её нужно проверить.

Найдем производные для каждого интервала:

Для интервала $(-1; 1)$:

$f'(x) = (-x^3 - 3x + 1)' = -3x^2 - 3 = -3(x^2 + 1)$.

Так как $x^2 + 1 > 0$ для всех $x$, то $f'(x) < 0$ на этом интервале. Следовательно, на отрезке $[-1; 1]$ функция монотонно убывает.

Для интервала $(1; 3)$:

$f'(x) = (x^3 - 3x - 1)' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$.

Приравняем производную к нулю: $3(x^2 - 1) = 0$, откуда $x = 1$ или $x = -1$. Ни одна из этих точек не входит в интервал $(1; 3)$. На этом интервале $x > 1$, поэтому $x^2 - 1 > 0$ и $f'(x) > 0$. Следовательно, на отрезке $[1; 3]$ функция монотонно возрастает.

Таким образом, функция убывает на $[-1; 1]$ и возрастает на $[1; 3]$. Точка $x=1$ является точкой минимума.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений на отрезке $[-1; 3]$ вычислим значения функции на концах отрезка и в точке $x=1$:

$f(-1) = |-1^3 - 1| - 3(-1) = |-2| + 3 = 2 + 3 = 5$.

$f(1) = |1^3 - 1| - 3(1) = |0| - 3 = -3$.

$f(3) = |3^3 - 1| - 3(3) = |26| - 9 = 26 - 9 = 17$.

Сравнивая полученные значения $5, -3, 17$, находим, что наименьшее значение функции равно $-3$, а наибольшее равно $17$.

Ответ: наименьшее значение функции $f(1) = -3$, наибольшее значение функции $f(3) = 17$.

2) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^2 - 4x + 5 + |1 - x|$ на отрезке $[0; 4]$ необходимо исследовать её поведение на этом отрезке.

Сначала раскроем модуль. Выражение под модулем $1 - x$ равно нулю при $x=1$.

При $x \le 1$, $1 - x \ge 0$, и функция принимает вид:

$f(x) = x^2 - 4x + 5 + (1 - x) = x^2 - 5x + 6$.

При $x > 1$, $1 - x < 0$, и функция принимает вид:

$f(x) = x^2 - 4x + 5 - (1 - x) = x^2 - 4x + 5 + x - 1 = x^2 - 3x + 4$.

Таким образом, функцию можно представить в виде:$f(x) = \begin{cases} x^2 - 5x + 6, & \text{если } 0 \le x \le 1 \\ x^2 - 3x + 4, & \text{если } 1 < x \le 4 \end{cases}$

Найдем критические точки функции. Точка $x=1$ является точкой, где может не существовать производная.

Найдем производные для каждого интервала:

Для интервала $(0; 1)$:

$f'(x) = (x^2 - 5x + 6)' = 2x - 5$.

Приравняем производную к нулю: $2x - 5 = 0$, откуда $x = 2.5$. Эта точка не принадлежит интервалу $(0; 1)$.

Для интервала $(1; 4)$:

$f'(x) = (x^2 - 3x + 4)' = 2x - 3$.

Приравняем производную к нулю: $2x - 3 = 0$, откуда $x = 1.5$. Эта точка принадлежит интервалу $(1; 4)$, поэтому она является критической.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений на отрезке $[0; 4]$ вычислим значения функции на концах отрезка ($x=0, x=4$) и в критических точках ($x=1, x=1.5$):

$f(0) = 0^2 - 4(0) + 5 + |1 - 0| = 5 + 1 = 6$.

$f(1) = 1^2 - 4(1) + 5 + |1 - 1| = 1 - 4 + 5 + 0 = 2$.

$f(1.5) = (1.5)^2 - 4(1.5) + 5 + |1 - 1.5| = 2.25 - 6 + 5 + |-0.5| = 1.25 + 0.5 = 1.75$.

$f(4) = 4^2 - 4(4) + 5 + |1 - 4| = 16 - 16 + 5 + |-3| = 5 + 3 = 8$.

Сравнивая полученные значения $6, 2, 1.75, 8$, находим, что наименьшее значение функции равно $1.75$, а наибольшее равно $8$.

Ответ: наименьшее значение функции $f(1.5) = 1.75$, наибольшее значение функции $f(4) = 8$.