Номер 51.19, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

51.19. Найдите производную функции:

1) $y = (3x - 10)^5 + 15x^2$;

2) $y = 2(5x^2 - 9x)^4 - 10x^6$.

1) Дана функция $y = (3x - 10)^5 + 15x^2$.

Чтобы найти производную этой функции, воспользуемся правилом дифференцирования суммы, согласно которому производная суммы функций равна сумме их производных: $y' = ((3x - 10)^5)' + (15x^2)'$.

Найдем производную первого слагаемого, $(3x - 10)^5$. Это сложная функция вида $u^n$, где $u = 3x - 10$ и $n = 5$. Ее производная находится по формуле $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

Найдем производную внутренней функции $u' = (3x - 10)' = (3x)' - (10)' = 3 - 0 = 3$.

Теперь можем найти производную первого слагаемого: $((3x - 10)^5)' = 5 \cdot (3x - 10)^{5-1} \cdot 3 = 15(3x - 10)^4$.

Далее найдем производную второго слагаемого, $15x^2$. Используем правило степени $(x^n)'=nx^{n-1}$: $(15x^2)' = 15 \cdot 2x^{2-1} = 30x$.

Сложим полученные производные, чтобы найти производную исходной функции:

$y' = 15(3x - 10)^4 + 30x$.

Ответ: $y' = 15(3x - 10)^4 + 30x$.

2) Дана функция $y = 2(5x^2 - 9x)^4 - 10x^6$.

Чтобы найти производную этой функции, воспользуемся правилом дифференцирования разности, согласно которому производная разности функций равна разности их производных: $y' = (2(5x^2 - 9x)^4)' - (10x^6)'$.

Найдем производную первого слагаемого, $2(5x^2 - 9x)^4$. Это сложная функция, умноженная на константу. Используем правило для сложной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$, где $u = 5x^2 - 9x$ и $n = 4$.

Найдем производную внутренней функции $u' = (5x^2 - 9x)' = (5x^2)' - (9x)' = 5 \cdot 2x - 9 = 10x - 9$.

Теперь можем найти производную первого слагаемого, не забывая про константу 2:

$(2(5x^2 - 9x)^4)' = 2 \cdot 4(5x^2 - 9x)^{4-1} \cdot (10x - 9) = 8(5x^2 - 9x)^3(10x - 9)$.

Далее найдем производную второго слагаемого, $10x^6$. Используем правило степени $(x^n)'=nx^{n-1}$: $(10x^6)' = 10 \cdot 6x^{6-1} = 60x^5$.

Вычтем из производной первого слагаемого производную второго, чтобы найти производную исходной функции:

$y' = 8(5x^2 - 9x)^3(10x - 9) - 60x^5$.

Ответ: $y' = 8(10x - 9)(5x^2 - 9x)^3 - 60x^5$.