Номер 51.21, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

51.21. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству:

1) $-10x + 40 > 0$;

2) $-x^2 + 8x > 0$;

3) $-x^2 + 5x + 2 > 0$.

1) Решим линейное неравенство $-10x + 40 > 0$.

Перенесем 40 в правую часть неравенства, изменив знак:

$-10x > -40$

Разделим обе части неравенства на -10. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-40}{-10}$

$x < 4$

Решением неравенства является интервал $(-\infty; 4)$. Нам нужно найти наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию. Целые числа, которые меньше 4, это ..., 1, 2, 3. Наибольшее из них - 3.

Ответ: 3

2) Решим квадратное неравенство $-x^2 + 8x > 0$.

Для начала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $-x^2 + 8x = 0$.

Вынесем общий множитель $-x$ за скобки:

$-x(x - 8) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$.

Графиком функции $y = -x^2 + 8x$ является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицательный). Следовательно, функция принимает положительные значения между корнями.

Таким образом, решение неравенства - это интервал $(0; 8)$.

Найдем наибольшее целое число из этого интервала. Целые числа в интервале $(0; 8)$ - это 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Наибольшее из них - 7.

Ответ: 7

3) Решим квадратное неравенство $-x^2 + 5x + 2 > 0$.

Найдем корни уравнения $-x^2 + 5x + 2 = 0$. Умножим уравнение на -1 для удобства:

$x^2 - 5x - 2 = 0$

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 25 + 8 = 33$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

$x_1 = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ и $x_2 = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$

Графиком функции $y = -x^2 + 5x + 2$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Значит, неравенство $-x^2 + 5x + 2 > 0$ выполняется на интервале между корнями: $(\frac{5 - \sqrt{33}}{2}; \frac{5 + \sqrt{33}}{2})$.

Оценим значения корней. Мы знаем, что $5^2=25$ и $6^2=36$, следовательно $5 < \sqrt{33} < 6$.

Для левой границы: $x_1 = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$. Так как $5 < \sqrt{33} < 6$, то $-1 < 5 - \sqrt{33} < 0$, и, соответственно, $-0.5 < \frac{5 - \sqrt{33}}{2} < 0$.

Для правой границы: $x_2 = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$. Так как $5 < \sqrt{33} < 6$, то $10 < 5 + \sqrt{33} < 11$, и, соответственно, $5 < \frac{5 + \sqrt{33}}{2} < 5.5$.

Таким образом, мы ищем наибольшее целое число в интервале, который примерно равен $(-0.5; 5.5)$. Целые числа, входящие в этот интервал: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Наибольшее из них - 5.

Ответ: 5