Номер 2, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2. Длина промежутка убывания функции $y = 12 + x^5 - 5x^4 + 5x^3$ равна:

A) 1;

B) 2;

C) 3;

D) 3,5.

Для нахождения промежутка убывания функции необходимо найти ее производную и определить, на каком интервале производная неположительна (то есть $y' \le 0$).

1. Находим производную функции.

Исходная функция: $y = 12 + x^5 - 5x^4 + 5x^3$.

Производная функции $y$ по переменной $x$ равна:

$y' = (12 + x^5 - 5x^4 + 5x^3)' = 0 + 5x^{4} - 5 \cdot 4x^{3} + 5 \cdot 3x^{2} = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2$.

2. Определяем интервалы, где производная неположительна.

Решим неравенство $y' \le 0$:

$5x^4 - 20x^3 + 15x^2 \le 0$.

Вынесем общий множитель $5x^2$ за скобки:

$5x^2(x^2 - 4x + 3) \le 0$.

Найдем корни уравнения $5x^2(x^2 - 4x + 3) = 0$.

Первый корень получаем из $5x^2 = 0$, откуда $x_1 = 0$ (корень кратности 2).

Другие корни найдем из квадратного уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Следовательно, $x_2 = 1$ и $x_3 = 3$.

3. Анализируем знак производной методом интервалов.

Отметим корни $0, 1, 3$ на числовой оси и определим знак $y'$ в каждом из полученных интервалов.

- Интервал $(-\infty, 0)$: $y'(-1) = 5(-1)^2((-1)^2 - 4(-1) + 3) = 5(1)(1+4+3) = 40 > 0$ (функция возрастает).

- Интервал $(0, 1)$: $y'(0.5) = 5(0.5)^2((0.5)^2 - 4(0.5) + 3) = 1.25(0.25 - 2 + 3) = 1.25 \cdot 1.25 > 0$ (функция возрастает).

- Интервал $(1, 3)$: $y'(2) = 5(2)^2(2^2 - 4(2) + 3) = 20(4 - 8 + 3) = 20 \cdot (-1) = -20 < 0$ (функция убывает).

- Интервал $(3, \infty)$: $y'(4) = 5(4)^2(4^2 - 4(4) + 3) = 80(16 - 16 + 3) = 240 > 0$ (функция возрастает).

Производная $y'$ неположительна ($y' \le 0$) на отрезке $[1, 3]$. Точка $x=0$ является стационарной, но не является точкой экстремума, и функция в ее окрестности возрастает. Таким образом, единственный промежуток убывания функции — это $[1, 3]$.

4. Находим длину промежутка убывания.

Длина отрезка $[1, 3]$ вычисляется как разность его конечной и начальной точек:

Длина = $3 - 1 = 2$.

Ответ: 2.