Номер 3, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3. Наименьшее значение функции $y = 2x + \frac{1}{x^3}$ на множестве $[0,5; 1]$ равно:

A) 1;

B) 3;

C) 6,5;

D) 9,5.

Для нахождения наименьшего значения функции $y = 2x + \frac{1}{x^3}$ на отрезке $[0,5; 1]$, необходимо найти ее производную, определить точки экстремума и сравнить значения функции в этих точках (если они принадлежат отрезку) и на концах отрезка.

1. Нахождение производной функции

Для удобства дифференцирования представим функцию в виде $y = 2x + x^{-3}$.

Найдем производную $y'(x)$ по правилам дифференцирования суммы и степенной функции:

$y'(x) = (2x + x^{-3})' = (2x)' + (x^{-3})' = 2 - 3x^{-4} = 2 - \frac{3}{x^4}$.

2. Нахождение критических точек

Критические точки — это внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует. В данном случае функция определена и дифференцируема на всем отрезке $[0,5; 1]$. Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$y'(x) = 0$

$2 - \frac{3}{x^4} = 0$

$2 = \frac{3}{x^4}$

$2x^4 = 3$

$x^4 = \frac{3}{2} = 1,5$

$x = \sqrt[4]{1,5}$.

3. Анализ поведения функции на отрезке

Проверим, принадлежит ли найденная критическая точка $x = \sqrt[4]{1,5}$ заданному отрезку $[0,5; 1]$.

Поскольку $1^4 = 1$ и $1,5 > 1$, то $x = \sqrt[4]{1,5} > \sqrt[4]{1} = 1$.

Следовательно, критическая точка не принадлежит отрезку $[0,5; 1]$.

Это означает, что на данном отрезке нет точек экстремума, и функция является монотонной. Для определения характера монотонности исследуем знак производной $y'(x) = 2 - \frac{3}{x^4}$ на отрезке $[0,5; 1]$.

Для любой точки $x$ из отрезка $[0,5; 1]$ выполняется неравенство $x \le 1$, а значит $x^4 \le 1$.

Тогда обратная величина $\frac{1}{x^4} \ge 1$, и $\frac{3}{x^4} \ge 3$.

Следовательно, значение производной $y'(x) = 2 - \frac{3}{x^4} \le 2 - 3 = -1$.

Так как производная $y'(x) < 0$ на всем отрезке $[0,5; 1]$, функция строго убывает на этом отрезке.

4. Вычисление наименьшего значения

Для убывающей на отрезке функции ее наименьшее значение достигается в правом конце отрезка, а наибольшее — в левом.

Найдем значение функции в правом конце отрезка, в точке $x = 1$:

$y_{min} = y(1) = 2 \cdot 1 + \frac{1}{1^3} = 2 + 1 = 3$.

Для проверки найдем значение в левом конце $x=0,5$:

$y(0,5) = 2 \cdot 0,5 + \frac{1}{(0,5)^3} = 1 + \frac{1}{0,125} = 1 + 8 = 9$.

Сравнивая значения $y(1)=3$ и $y(0,5)=9$, убеждаемся, что наименьшее значение функции на отрезке равно 3. Это соответствует варианту B).

Ответ: 3.