Номер 8, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8. Площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции $y = \frac{x^3 + 1}{x^2}$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$, равна:

A) 4,5;

B) 4;

C) 3,5;

D) 3.

Для решения задачи необходимо выполнить три шага: найти уравнение касательной к графику функции в заданной точке, определить точки пересечения этой касательной с осями координат и, наконец, вычислить площадь треугольника, образованного этими точками и началом координат.

1. Нахождение уравнения касательной

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В нашем случае дана функция $f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2}$ и точка касания $x_0 = 1$.

Сначала найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:

$f(1) = \frac{1^3 + 1}{1^2} = \frac{1 + 1}{1} = 2$.

Теперь найдем производную функции $f'(x)$. Для упрощения вычислений можно представить функцию в виде суммы:

$f(x) = \frac{x^3}{x^2} + \frac{1}{x^2} = x + x^{-2}$.

Тогда производная будет равна:

$f'(x) = (x + x^{-2})' = 1 - 2x^{-3} = 1 - \frac{2}{x^3}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = 1 - \frac{2}{1^3} = 1 - 2 = -1$.

Теперь у нас есть все необходимые компоненты для уравнения касательной: $x_0 = 1$, $f(x_0) = 2$, $f'(x_0) = -1$. Подставим их в общую формулу:

$y = 2 + (-1)(x - 1)$

$y = 2 - x + 1$

$y = -x + 3$

Итак, уравнение касательной: $y = -x + 3$.

2. Нахождение точек пересечения касательной с осями координат

Треугольник образован касательной и осями координат. Найдем точки, в которых касательная пересекает оси Ox и Oy.

Пересечение с осью Oy происходит при $x = 0$:

$y = -0 + 3 = 3$.

Точка пересечения с осью Oy — $(0, 3)$.

Пересечение с осью Ox происходит при $y = 0$:

$0 = -x + 3$

$x = 3$.

Точка пересечения с осью Ox — $(3, 0)$.

3. Вычисление площади треугольника

Вершинами образовавшегося треугольника являются начало координат $(0, 0)$ и точки пересечения касательной с осями: $(3, 0)$ и $(0, 3)$. Это прямоугольный треугольник, катеты которого лежат на осях координат.

Длины катетов равны 3 и 3.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$, где $a$ и $b$ — длины катетов.

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4,5$.

Площадь треугольника равна 4,5. Этот результат соответствует варианту ответа А.

Ответ: 4,5.