Задания, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

$P_i = F(X_i)$

Используя формулу $P_i = \begin{cases} \frac{i-1}{36}, & 2 \le i < 7, \\ \frac{13-i}{36}, & 8 \le i \le 12. \end{cases}$ рассчитайте вероятности. Сравните полученные данные с данными таблицы распределения дискретной случайной величины X в рассмотренном выше опыте.

Для решения данной задачи необходимо выполнить два шага: сначала рассчитать вероятности $P_i$ по предложенной кусочно-заданной формуле, а затем сравнить их с теоретическими вероятностями для случайной величины X, представляющей собой сумму очков при броске двух игральных костей.

1. Расчет вероятностей по формуле.

Формула для расчета вероятностей $P_i$ задана для двух диапазонов значений $i$.

Для диапазона $2 \le i < 7$ (то есть для $i = 2, 3, 4, 5, 6$) используется формула $P_i = \frac{i-1}{36}$. Произведем вычисления:

$P_2 = \frac{2-1}{36} = \frac{1}{36}$

$P_3 = \frac{3-1}{36} = \frac{2}{36}$

$P_4 = \frac{4-1}{36} = \frac{3}{36}$

$P_5 = \frac{5-1}{36} = \frac{4}{36}$

$P_6 = \frac{6-1}{36} = \frac{5}{36}$

Для диапазона $8 \le i \le 12$ (то есть для $i = 8, 9, 10, 11, 12$) используется формула $P_i = \frac{13-i}{36}$. Произведем вычисления:

$P_8 = \frac{13-8}{36} = \frac{5}{36}$

$P_9 = \frac{13-9}{36} = \frac{4}{36}$

$P_{10} = \frac{13-10}{36} = \frac{3}{36}$

$P_{11} = \frac{13-11}{36} = \frac{2}{36}$

$P_{12} = \frac{13-12}{36} = \frac{1}{36}$

Следует отметить, что для значения $i=7$ данная формула не определена.

2. Сравнение с данными таблицы распределения.

Теперь рассмотрим "опыт", упомянутый в задаче, — бросок двух игральных костей. Случайная величина X — это сумма выпавших очков. Общее число равновозможных исходов равно $6 \times 6 = 36$. Таблица распределения вероятностей для X выглядит следующим образом:

$P(X=2) = 1/36$ (исход 1+1)

$P(X=3) = 2/36$ (исходы 1+2, 2+1)

$P(X=4) = 3/36$ (исходы 1+3, 2+2, 3+1)

$P(X=5) = 4/36$ (исходы 1+4, 2+3, 3+2, 4+1)

$P(X=6) = 5/36$ (исходы 1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1)

$P(X=7) = 6/36$ (исходы 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1)

$P(X=8) = 5/36$ (исходы 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2)

$P(X=9) = 4/36$ (исходы 3+6, 4+5, 5+4, 6+3)

$P(X=10) = 3/36$ (исходы 4+6, 5+5, 6+4)

$P(X=11) = 2/36$ (исходы 5+6, 6+5)

$P(X=12) = 1/36$ (исход 6+6)

Сравнив результаты, полученные по формуле, с вероятностями из таблицы распределения, можно сделать вывод, что они полностью совпадают для всех значений $i$, для которых формула определена ($i \in \{2,3,4,5,6,8,9,10,11,12\}$). Единственное отличие состоит в том, что формула не задает значение вероятности для суммы $i=7$, в то время как в классической модели для броска двух костей эта вероятность существует и равна $P(X=7) = \frac{6}{36}$.

Ответ: Вероятности, рассчитанные по формуле, полностью совпадают с вероятностями распределения суммы очков при броске двух игральных костей для всех значений $i$ от 2 до 12, за исключением $i=7$. Для $i=7$ формула не определена, в то время как теоретическая вероятность этого события равна $\frac{6}{36}$.