Номер 52.5, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

52.5. В урне находятся 4 белых и 3 черных шара. Из нее последовательно вынимают шары до первого появления белого шара. Постройте ряд и многоугольник распределения дискретной случайной величины $X$ — числа извлечения шаров.

Пусть $X$ — дискретная случайная величина, обозначающая число извлеченных шаров до первого появления белого шара.

В урне всего находится $4$ белых (Б) и $3$ черных (Ч) шара, то есть $4+3=7$ шаров. Шары вынимают последовательно без возвращения.

Случайная величина $X$ может принимать следующие значения:

$X=1$: если первый же извлеченный шар оказался белым.

$X=2$: если первый шар был черным, а второй — белым.

$X=3$: если первые два шара были черными, а третий — белым.

$X=4$: если первые три шара были черными, а четвертый — белым. Это максимальное возможное значение, так как в урне всего 3 черных шара, и после их извлечения в урне останутся только белые шары.

Теперь найдем вероятности $p_i = P(X=x_i)$ для каждого возможного значения $X$.

1. Для $X=1$:

Вероятность того, что первый вынутый шар будет белым, равна отношению числа белых шаров к общему числу шаров.

$p_1 = P(X=1) = \frac{4}{7}$.

2. Для $X=2$:

Это событие означает, что сначала был вынут черный шар, а затем белый.

Вероятность вынуть первым черный шар: $P(Ч_1) = \frac{3}{7}$.

После этого в урне останется 6 шаров (4 белых и 2 черных). Вероятность вынуть вторым белый шар при условии, что первый был черным: $P(Б_2|Ч_1) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

$p_2 = P(X=2) = P(Ч_1) \cdot P(Б_2|Ч_1) = \frac{3}{7} \cdot \frac{4}{6} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}$.

3. Для $X=3$:

Это событие означает, что первые два шара были черными, а третий — белым.

$p_3 = P(X=3) = \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{6} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{210} = \frac{4}{35}$.

4. Для $X=4$:

Это событие означает, что первые три шара были черными, а четвертый — белым.

$p_4 = P(X=4) = \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} = \frac{6}{210} = \frac{1}{35}$.

Проведем проверку: сумма всех вероятностей должна быть равна 1.

$\sum p_i = \frac{4}{7} + \frac{2}{7} + \frac{4}{35} + \frac{1}{35} = \frac{20}{35} + \frac{10}{35} + \frac{4}{35} + \frac{1}{35} = \frac{20+10+4+1}{35} = \frac{35}{35} = 1$.

Вероятности найдены верно.

Ряд распределения

Ряд распределения дискретной случайной величины $X$ — это таблица, сопоставляющая возможные значения величины с их вероятностями.

$x_i$ | 1 | 2 | 3 | 4 -----|-------|-------|--------|-------- $p_i$ | 4/7 | 2/7 | 4/35 | 1/35

Многоугольник распределения

Многоугольник распределения — это графическое представление ряда распределения. Для его построения в декартовой системе координат отмечают точки $(x_i, p_i)$ и соединяют их последовательно отрезками прямых.

В данном случае необходимо построить ломаную линию, соединяющую точки:

$A_1(1; \frac{4}{7})$, $A_2(2; \frac{2}{7})$, $A_3(3; \frac{4}{35})$, $A_4(4; \frac{1}{35})$.

Для удобства построения можно использовать приближенные десятичные значения:

$\frac{4}{7} \approx 0.571$; $\frac{2}{7} \approx 0.286$; $\frac{4}{35} \approx 0.114$; $\frac{1}{35} \approx 0.029$.

Точки для построения: $A_1(1; 0.571)$, $A_2(2; 0.286)$, $A_3(3; 0.114)$, $A_4(4; 0.029)$.

Ответ: Ряд распределения случайной величины $X$:

$x_i$ | 1 | 2 | 3 | 4 -----|-------|-------|--------|-------- $p_i$ | 4/7 | 2/7 | 4/35 | 1/35

Многоугольник распределения — это ломаная линия, последовательно соединяющая точки с координатами $(1; \frac{4}{7})$, $(2; \frac{2}{7})$, $(3; \frac{4}{35})$ и $(4; \frac{1}{35})$.