Номер 52.11, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

52.11. Студент должен сдать три экзамена. Вероятность успешной сдачи первого экзамена равна 0,8, второго — 0,7, третьего — 0,7. Составьте ряд распределения случайной величины $X$ — числа экзаменов, сданных студентом.

Пусть $X$ — это случайная величина, обозначающая количество успешно сданных студентом экзаменов. Возможные значения для $X$: $0, 1, 2, 3$.

Введем обозначения для событий:

• $A_1$ — успешная сдача первого экзамена.
• $A_2$ — успешная сдача второго экзамена.
• $A_3$ — успешная сдача третьего экзамена.

Тогда вероятности противоположных событий (неуспешной сдачи экзаменов) будут:

• $P(\bar{A_1}) = q_1 = 1 - p_1 = 1 - 0.8 = 0.2$
• $P(\bar{A_2}) = q_2 = 1 - p_2 = 1 - 0.7 = 0.3$
• $P(\bar{A_3}) = q_3 = 1 - p_3 = 1 - 0.7 = 0.3$

Считаем, что сдача каждого экзамена — независимое событие. Теперь вычислим вероятности для каждого возможного значения случайной величины $X$.

$X=0$ (студент не сдал ни одного экзамена)

Это означает, что студент не сдал первый, И не сдал второй, И не сдал третий экзамен. Вероятность этого события равна произведению вероятностей каждого из этих независимых событий:

$P(X=0) = q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 = 0.2 \cdot 0.3 \cdot 0.3 = 0.018$.

$X=1$ (студент сдал ровно один экзамен)

Существует три взаимоисключающих варианта:

1. Сдал первый, не сдал второй и третий: $p_1 \cdot q_2 \cdot q_3 = 0.8 \cdot 0.3 \cdot 0.3 = 0.072$.

2. Не сдал первый, сдал второй, не сдал третий: $q_1 \cdot p_2 \cdot q_3 = 0.2 \cdot 0.7 \cdot 0.3 = 0.042$.

3. Не сдал первые два, сдал третий: $q_1 \cdot q_2 \cdot p_3 = 0.2 \cdot 0.3 \cdot 0.7 = 0.042$.

Общая вероятность равна сумме вероятностей этих вариантов:

$P(X=1) = 0.072 + 0.042 + 0.042 = 0.156$.

$X=2$ (студент сдал ровно два экзамена)

Существует три взаимоисключающих варианта:

1. Сдал первый и второй, не сдал третий: $p_1 \cdot p_2 \cdot q_3 = 0.8 \cdot 0.7 \cdot 0.3 = 0.168$.

2. Сдал первый и третий, не сдал второй: $p_1 \cdot q_2 \cdot p_3 = 0.8 \cdot 0.3 \cdot 0.7 = 0.168$.

3. Не сдал первый, сдал второй и третий: $q_1 \cdot p_2 \cdot p_3 = 0.2 \cdot 0.7 \cdot 0.7 = 0.098$.

Общая вероятность равна сумме вероятностей этих вариантов:

$P(X=2) = 0.168 + 0.168 + 0.098 = 0.434$.

$X=3$ (студент сдал все три экзамена)

Это означает, что студент сдал первый, И сдал второй, И сдал третий экзамен.

$P(X=3) = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 = 0.8 \cdot 0.7 \cdot 0.7 = 0.392$.

Для проверки убедимся, что сумма всех вычисленных вероятностей равна 1:

$0.018 + 0.156 + 0.434 + 0.392 = 1.000$.

Расчеты верны.

Теперь мы можем составить ряд распределения для случайной величины $X$, который представляет собой таблицу, сопоставляющую возможные значения $X$ с их вероятностями.

Ответ:

Ряд распределения случайной величины $X$ — числа сданных студентом экзаменов: $$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline p_i & 0,018 & 0,156 & 0,434 & 0,392 \end{array} $$